Formelsammlung Mathematik: Quadratische Gleichungen

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Allgemein

Definition

Definition. Quadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

$ax^{2}+bx+c=0$

mit reellen Zahlen a, b, c  und a≠0.

Definition. Normalform einer quadratischen Gleichung.

Die Form

$x^{2}+px+q=0$

heißt Normalform der quadratischen Gleichung.

Lösung

Für jede quadratische Gleichung gibt es wegen a≠0 die Äquivalenzumformung

$ax^{2}+bx+c=0\iff x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0.$

Somit lässt sich jede quadratische Gleichung über p:=b/a und q:=c/a in die Normalform bringen.

Die Zahl D = p²−4q heißt Diskriminante. Es werden drei Fälle unterschieden.

D>0	D=0	D<0
Es gibt zwei Lösungen: $x_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}},$ $x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}}.$	Es gibt eine Lösung: $x_{1}=-{\frac {p}{2}},$ $x_{2}=x_{1}.$	Es gibt keine reelle Lösung. Aber es gibt zwei komplexe Lösungen: $x_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {-D}},$ $x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {-D}}.$ Die Lösungen sind zueinander konjugiert: ${\overline {x_{2}}}=x_{1}.$

Kompakte Lösungsformel:

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {p}{2}}{\Big )}^{2}-q}}=-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Satz von Vieta

Satz von Vieta.

Für die Lösungen x₁, x₂ der quadratischen Gleichung gilt:

$p=-(x_{1}+x_{2}),$

$q=x_{1}x_{2}.$

Lösungen als Nullstellen

Quadratische Funktion f(x) := x²−4x+2. Die quadratische Gleichung f(x)=0 besitzt die Lösungen 2±√2, deren Näherungswerte dem Plot entnommen werden können.

Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung lässt sich als Menge der Nullstellen einer quadratischen Funktion beschreiben.

Für die quadratische Funktion

$f(x):=ax^{2}+bx+c$

ist $f(x)=0$ die zugehörige quadratische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen von $f$.

Spezialfälle

Kein absoluter Term

Bei einer quadratischen Gleichung der Form

ax² + bx = 0.

lässt sich die linke Seite faktorisieren. Man erhält (ax+b)x = 0. Es gilt

(ax+b)x = 0 genau dann, wenn ax+b = 0 oder x = 0.

Damit ergeben sich zwei Lösungen:

x₁ = 0,

x₂ = −b/a.

Kein linearer Term

Eine quadratische Gleichung der Form

ax² + c = 0

lässt sich in die Form

x² = −c/a

bringen. Es werden drei Fälle unterschieden.

c/a < 0	c=0	c/a > 0
$x_{1}=-{\sqrt {-c/a}},$ $x_{2}={\sqrt {-c/a}}.$	x1=x2=0	Es gibt keine reelle Lösung. Es gibt aber zwei komplexe Lösungen: $x_{1}=-\mathrm {i} {\sqrt {c/a}},$ $x_{2}=\mathrm {i} {\sqrt {c/a}}.$

Komplexe Koeffizienten

Quadratische Funktion f(z) := z²−4z+5. Die Linien sind Isolinien konstanten Betrags. Die Lösungen von f(z)=0 sind 2+i und 2−i. Die eine Lösung ist eine komplexe Konjugation der anderen Lösung.

Quadratische Funktion f(z) := z²−(4+2i)z+5. Die Lösungen von f(z)=0 sind nicht mehr komplex konjugiert zueinander, was damit zusammehängt, dass der Koeffizient −(4+2i) einen Imaginärteil besitzt.

Betrachte

$az^{2}+bz+c=0$

mit komplexen Zahlen z, a, b, c und a≠0.

Die Gleichung lässt sich wie im reellen normieren, und man bildet wieder die Diskriminante

$D=p^{2}-4q$.

Jede quadratische Gleichung besitzt zwei komplexe Lösungen, die im Fall D=0 zu einer doppelten Lösung zusammenfallen.

Die Lösungen sind

$z_{1}=-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}}$

und

$z_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {D}},$

wobei

${\sqrt {D}}:={\sqrt {|D|}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg(D)/2}$

der Hauptwert der komplexen Wurzel von D ist.

Die komplexe Wurzel von D ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung $w^{2}=D$, das ist gerade $\pm {\sqrt {D}}$.