Formelsammlung Mathematik: Quadratische Gleichungen

Formelsammlung Mathematik

AllgemeinBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition. Quadratische Gleichung.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

 

mit reellen Zahlen abc  und a≠0.


Definition. Normalform einer quadratischen Gleichung.

Die Form

 

heißt Normalform der quadratischen Gleichung.

LösungBearbeiten

Für jede quadratische Gleichung gibt es wegen a≠0 die Äquivalenzumformung

 

Somit lässt sich jede quadratische Gleichung über p:=b/a und q:=c/a in die Normalform bringen.

Die Zahl D = p2−4q heißt Diskriminante. Es werden drei Fälle unterschieden.

D>0 D=0 D<0
Es gibt zwei Lösungen:
 
 
Es gibt eine Lösung:
 
 
Es gibt keine reelle Lösung.

Aber es gibt zwei komplexe Lösungen:

 
 

Die Lösungen sind zueinander konjugiert:

 

Kompakte Lösungsformel:

 

Satz von VietaBearbeiten

Satz von Vieta.

Für die Lösungen x1x2 der quadratischen Gleichung gilt:

 
 

Lösungen als NullstellenBearbeiten

 
Quadratische Funktion f(x) := x2−4x+2. Die quadratische Gleichung f(x)=0 besitzt die Lösungen 2±√2, deren Näherungswerte dem Plot entnommen werden können.

Die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung lässt sich als Menge der Nullstellen einer quadratischen Funktion beschreiben.

Für die quadratische Funktion

 

ist   die zugehörige quadratische Gleichung.

Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen von  .

SpezialfälleBearbeiten

Kein absoluter TermBearbeiten

Bei einer quadratischen Gleichung der Form

ax2 + bx = 0.

lässt sich die linke Seite faktorisieren. Man erhält (ax+b)x = 0. Es gilt

(ax+b)x = 0 genau dann, wenn ax+b = 0 oder x = 0.

Damit ergeben sich zwei Lösungen:

x1 = 0,
x2 = −b/a.

Kein linearer TermBearbeiten

Eine quadratische Gleichung der Form

ax2 + c = 0

lässt sich in die Form

x2 = −c/a

bringen. Es werden drei Fälle unterschieden.

c/a < 0 c=0 c/a > 0

 
 

x1=x2=0

Es gibt keine reelle Lösung.

Es gibt aber zwei komplexe Lösungen:

 
 

Komplexe KoeffizientenBearbeiten

 
Quadratische Funktion f(z) := z2−4z+5. Die Linien sind Isolinien konstanten Betrags. Die Lösungen von f(z)=0 sind 2+i und 2−i. Die eine Lösung ist eine komplexe Konjugation der anderen Lösung.
 
Quadratische Funktion f(z) := z2−(4+2i)z+5. Die Lösungen von f(z)=0 sind nicht mehr komplex konjugiert zueinander, was damit zusammehängt, dass der Koeffizient −(4+2i) einen Imaginärteil besitzt.

Betrachte

 

mit komplexen Zahlen zabc und a≠0.

Die Gleichung lässt sich wie im reellen normieren, und man bildet wieder die Diskriminante

 .

Jede quadratische Gleichung besitzt zwei komplexe Lösungen, die im Fall D=0 zu einer doppelten Lösung zusammenfallen.

Die Lösungen sind

 

und

 

wobei

 

der Hauptwert der komplexen Wurzel von D ist.

Die komplexe Wurzel von D ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung  , das ist gerade  .