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Beim Integral I:=∫−∞∞e−x2coshαxdx{\displaystyle I:=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{\cosh \alpha x}}\,dx} ersetze 1coshαx{\displaystyle {\frac {1}{\cosh \alpha x}}} durch ∫−∞∞cos2αxtcoshπtdt{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos 2\alpha xt}{\cosh \pi t}}\,dt} . I=∫−∞∞∫−∞∞e−x2cos2αxtcoshπtdtdx{\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}\cos 2\alpha xt}{\cosh \pi t}}\,dt\,dx} Vertausche die Integrationsreihenfolge und ersetze ∫−∞∞e−x2cos2αxtdx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\cos 2\alpha xt\,dx} durch πe−α2t2{\displaystyle {\sqrt {\pi }}\,e^{-\alpha ^{2}t^{2}}} . I=π∫−∞∞e−α2t2coshπtdt{\displaystyle I={\sqrt {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-\alpha ^{2}t^{2}}}{\cosh \pi t}}\,dt} Nach Substitution t=xα{\displaystyle t={\frac {x}{\alpha }}} ist I=π∫−∞∞e−x2coshπxαdxα{\displaystyle I={\sqrt {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{\cosh {\frac {\pi x}{\alpha }}}}\,{\frac {dx}{\alpha }}} . Ersetzt man π{\displaystyle \pi \,} durch αβ{\displaystyle \alpha \beta \,} , so ist I=βα∫−∞∞e−x2coshβxdx{\displaystyle I={\sqrt {\frac {\beta }{\alpha }}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{\cosh \beta x}}\,dx} . Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.