Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log)

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0.1Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.2Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.3Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.4Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.5Bearbeiten
 
Beweis

Aus  

folgt  .

0.6Bearbeiten
 
Beweis

Aus  

folgt  .

0.7Bearbeiten
 
Beweis

In der Formel   setze  .

Wegen  

und  

ist dann  .

0.8Bearbeiten
 
Beweis

Differenziere  .

 .

und setze  .

 .

Dies ist nach Substitution   gleich  .

0.9Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.10Bearbeiten
 
Beweis

Betrachte die Formel  .

Wegen  

und   ist  .

Nach der Substitution   erhält man das gesuchte Integral.

0.11Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.12Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.13Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.14Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.15Bearbeiten
 
Beweis

Wegen   ist

 .

0.16Bearbeiten
 
Beweis

 

 

0.17Bearbeiten
 
Beweis

 ,

wobei   ist.

 

0.18Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.19Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.20Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.21Bearbeiten
 
ohne Beweis


0.22Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.1Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.2Bearbeiten
 
Beweis

In der Formel   setze   und verschiebe   um   nach rechts.

 

Differenziere   mal nach  

 

Und setze  

 

1.3Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.4Bearbeiten
  Fontana-Zahlen genügen der Rekursion:  
ohne Beweis


1.5Bearbeiten
 
Beweis

Die Funktion   ist auf   meromorph.
 
Die Polstellen liegen bei   und  . Dabei ist   und  .

Also gilt nach dem Residuensatz  .

Aus   und   folgt  .

Daher geht   gegen null für  .

Für  , nahe bei 0, ist   groß, und somit   klein.

Daher geht   für   auch gegen null.

Im Grenzübergang   ergibt sich:

 .

Dabei ist  , und somit gilt

 .

1.6Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.7Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.8Bearbeiten
 
Beweis

  ist nach Substitution   gleich  .

Also ist      .

Integriere nach  :

 

Dass dabei   ist, erkennt man, wenn man   setzt.

1.9Bearbeiten
 
Beweis

In der Formel   substituiere  :

 

1.10Bearbeiten
 
Beweis

Definiert man   als  ,

so ist  

 .

Also ist  .


Definiert man   als  ,

so ist  

 

Also ist  .


Mit den beiden Integralen erhält man  .

Integriert man beide Seiten nach  , so ist  .

Dass die Konstante   sein muss, erkennt man wenn man   gehen lässt.

1.11Bearbeiten
 
Beweis

         

 

         

     

1.12Bearbeiten
 
Beweis

Setzt man  ,

so ist  

und  

 

 .

Nun ist  

und somit ist  

 .

Daraus folgt  .

1.13Bearbeiten
 
Beweis

 

 

 

 

1.14Bearbeiten
 
Beweis


2.1Bearbeiten
 
Beweis

Nach der Substitution   wird das Integral zu  

Also ist  

 .

2.2Bearbeiten
 
Beweis

Nach der Substitution   wird das Integral zu  .

Also ist  

 .