Beweisarchiv: Moore-Penrose Pseudoinverse

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Die Moore-Penrose-Pseudoinverse

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse ist eine Matrix $(A^{+})$ zu einer beliebigen Matrix $A$, die folgende Eigenschaften erfüllt:

• $AA^{+}A=A$
• $A^{+}AA^{+}=A^{+}$
• $(AA^{+})^{*}=AA^{+}$
• $(A^{+}A)^{*}=A^{+}A$

Es gilt $(A^{+})^{+}=A$

Voraussetzung

Sei $(A^{+})$ die Moore-Penrose-Pseudoinverse zu einer beliebigen Matrix $A$.

Behauptung

Es gilt: $(A^{+})^{+}=^{?}A$ (Die Moore-Penrose-Pseudoinverse der Moore-Penrose-Pseudoinversen ist wieder die Originalmatrix)

Beweis

• a) Sei $A:=BC$
• b) ?$A^{+}=C^{T}(CC^{T})^{-1}(B^{T}B)^{-1}B^{T}$
• c) sei $A^{+}=SP$
• Jetzt kann man S und P in die obige Formel einsetzen und erhält:
• d) $(A^{+})+=P^{T}(PP^{T})^{-1}(S^{T}S)^{-1}S^{T}$
• aus c) und b) ergibt sich
  • e) $S=C^{T}(CC^{T})^{-1}$
  • f) $P=(B^{T}B)^{-1}B^{T}$
• e) und f) in d) einsetzen ergibt:
• $(A^{+})^{+}=((B^{T}B)^{-1}B^{T})^{T}(((B^{T}B)^{-1}B^{T})((B^{T}B)^{-1}B^{T})^{T})^{-1}((C^{T}(CC^{T})^{-1})^{T}(C^{T}(CC^{T})^{-1}))^{-1}(C^{T}(CC^{T})^{-1})^{T}$
• Bemerkung: $CC^{T}$ ist eine symmetrische Matrix.
  • D.h. $((CC^{T})^{-1})^{T}=((CC^{T})^{T})^{-1}=(CC^{T})^{-1}$. Daraus ergibt sich*
• $(A^{+})^{+}=B(B^{T}B)^{-1}((B^{T}B)^{-1}B^{T}B(B^{T}B)^{-1})^{-1}((CC^{T})^{-1}CC^{T}(CC^{T})^{-1})^{-1}(CC^{T})^{-1}C$
  • $=B(B^{T}B)^{-1}((B^{T}B)^{-1})^{-1}((CC^{T})^{-1})^{-1}(CC^{T})^{-1}C$
  • $=B(B^{T}B)^{-1}(B^{T}B)((CC^{T})^{)}(CC^{T})^{-1}C$
  • $=BC$
  • $=A$