Quantenmechanik

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EinführungBearbeiten

NotationBearbeiten

In der Quantenmechanik werden viele, leicht unterschiedliche Notationen verwendet. In diesem Buch soll die folgende Notation Anwendung finden:

Dirac-Notation (abstrakte Darstellung):

  • Allgemeine Abhängigkeit eines Zustandes von einem Parameter:

     

  • Das benutzte quantentheoretische Bild wird durch einen Index an Zustand und Operator angegeben:

     

  • Darstellung eines Operators in einer bestimmten Basis  :

     

GeschichtlichesBearbeiten

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts glaubten die Physiker, die Physik sei im Wesentlichen abgeschlossen. Die Physiker hatten zwei große Theorien, die Mechanik und die Elektrodynamik und die etwas dazwischen angesiedelte Theorie der Thermodynamik. Die Wechselwirkungen zwischen Materie und Strahlung wurden mithilfe des Lorentzschen Kraftgesetzes erklärt.

Zwar gab es einige ungeklärte Punkte, einige nicht erklärbare Beobachtungen, doch man gewöhnte sich langsam daran, sie zu ignorieren.

Diese Punkte waren:

  • Es gab kein Gesetz, welches das Energiespektrum des schwarzen Strahlers zutreffend beschrieb.
  • Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern und Gasen konnte nicht erklärt werden.
  • Es gab Widersprüche bei der Interpretation der Maxwellschen Gleichungen, und
  • der negative Ausgang des Michelson-Morley-Versuchs (1887) war unverständlich.

Und genau aus diesen scheinbar "letzten Problemen der Physik" heraus entstand fast das gesamte neue physikalische Weltbild.

Die beiden letztgenannten Probleme wurden von A. EINSTEIN durch die Spezielle Relativitätstheorie (1905) gelöst. Die übrigen Probleme wurden nach und nach durch die ebenso revolutionären Vorstellungen der Quantenmechanik behoben.

Für das erste Problem fand Max Planck eine Lösung, indem er seine Theorie von der Quantisierung der Energie aufstellte. Die Energie einer elektromagnetischen Welle ist eine ganzzahlige Vielfache von  , wobei h eine neue Konstante darstellt. Einstein verallgemeinerte diese Theorie zu einer Teilchentheorie des Lichts mit Photonen (siehe Der Photoeffekt), welche alle die Energie   besitzen. Ein Lichtstrahl ist gemäß dieser Theorie ein Strom von Lichtteilchen. Allerdings zeigt Licht gleichzeitig Wellenverhalten, wie in der klassischen Elektrodynamik beschrieben. Diese Doppelnatur des Lichts bezeichnet man als Welle-Teilchen-Dualismus.

Die ersten Probleme waren also bereits gelöst, allerdings waren die Lösungen einerseits schwer mit den vorhanden Theorien in Einklang zu bringen, anderseits sah man nun, auf welchen wackeligen Füßen die bisherigen Theorien standen.

Den nächsten Knacks erlitten die etablierten Theorien bereits 1911 als Ernest Rutherford seinen Streuversuch durchführte und dabei feststellte, dass das Atom zum größten Teil leer ist und nur einen kleinen positiv geladenen Kern besitzt, welcher von einer Elektronenhülle umkreist wird. Negativ geladene Elektronen, die um einen positiv geladenen Atomkern laufen, stellen gegeneinander bewegte elektrische Ladungen dar. Solche müssen nach der klassischen Elektrodynamik ständig elektromagnetische Wellen abstrahlen und damit Energie verlieren. Die Atome wären nicht stabil, müssten also in Sekundenbruchteilen zusammenfallen. Zusammen mit den Untersuchungen der Emissions- und Absorptionsspektren der Atome, welche bis dahin noch nicht erklärt waren und welche gegen eine kontinuierliche Energieabgabe der Elektronen sprachen, entwickelte Bohr daraus sein Atommodell mit quantisierten Elektronenbahnen.

Die Theorie der Lichtquanten von Max Planck und Albert Einstein und das Bohrsche Atommodell konnten jedoch nur Teilbereiche der Quantentheorie erklären und sie standen noch nicht auf einem gemeinsamen theoretischen Unterbau. Dies änderte sich 1923 als de Broglie seine Theorie über den Wellencharakter von Teilchen aufstellte, welche allerdings noch keine eindeutigen Vorhersagen ermöglichte, und wenig später (1925) Schrödinger und Heisenberg ihre beiden äquivalenten Formulierungen der Quantenmechanik herausgaben.

Im Folgenden werden zunächst die für die Quantenphysik grundlegenden Phänomene besprochen.

Mathematischer Rahmen der QuantenmechanikBearbeiten

Wie jede physikalische Theorie hat auch die Quantentheorie die Aufgabe, das Ergebnis von Experimenten vorherzusagen und in das existierende Weltbild einzubinden. Die Mathematik dient gerade in der Quantenphysik als wichtiges Hilfsmittel Zusammenhänge, jenseits der alltäglichen Erfahrung, zu erfassen und zu verstehen. Der Rahmen der sich hierbei für die Quantentheorie bewährt hat, ist die Theorie des Hilbert-Raumes und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Zusammenhang zwischen den mathematischen Größen und der physikalischen Realität soll hier aufgeführt werden.

Fourier-TransformationenBearbeiten

In der Quantenmechanik sind die Fourier-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel. Mit ihrer Hilfe lässt sich zwischen verschiedenen Räumen, z. B. dem Orts- und dem Impulsraum transformieren.

Definition: Fouriertransformation

Die Fouriertransformierte   einer Funktion   ist definiert durch:

 
Die Rücktransformation ist entsprechend:
 

Hilbert-Raum der VektorenBearbeiten

Jedem quantenmechanischen Zustand wird im Allgemeinen ein Vektor zugeordnet, der nach der Diracschen Notation Ketvektor oder schlicht Ket genannt wird. Die Gesamtheit dieser Kets bildet einen d-dimensionalen Vektorraum, den sog. Hilbert-Raum.

Definition: Hilbert-Raum

Der d-dimensionale Hilbertraum   ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen  , auf dem ein hermitesches Skalarprodukt definiert ist.

Linearität: Mit   und   gilt:

 , dass   ist

Metrik: Zwei Vektoren   ist als Skalarprodukt (auch inneres Produkt) eine komplexe Zahl der Form   zugeordnet. Es besitzt folgende Eigenschaften:

Liouville-Raum der OperatorenBearbeiten

Definition: Liouville-Raum:

Der Liouville-Raum   ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen  , dessen Elemente   die linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum   sind.

Grundlagen der WahrscheinlichkeitstheorieBearbeiten

Kommutator und AntikommutatorBearbeiten

Der Kommutator zweier Operatoren ist definiert durch:   Entsprechend definiert man den Antikommutator  

Der PhotoeffektBearbeiten

Im Jahre 1887 entdeckte H.R. HERTZ bei seinen bahnbrechenden Versuchen mit elektromagnetischen Wellen, dass ultraviolettes Licht eine Funkenentladung beeinflusst. Er beauftragte seinen Assistenten W. HALLWACHS mit der Untersuchung dieser Erscheinung, der daraufhin 1888 den "lichtelektrischen Effekt" (Hallwachs-Effekt, Photoeffekt) entdeckte und untersuchte. Das Ergebnis: Negativ geladene Metallkörper entladen sich bei Bestrahlung mit ultraviolettem Licht, positiv geladene nicht.

P. LENARD verlegte diese Versuche ins Vakuum und schaltete dadurch den störenden Einfluss der Luft aus. Er wies nach, dass die von dem Licht aus einer Metalloberfläche ausgelösten negativen Ladungen aus Elektronen bestehen. Genauere Untersuchungen (1902) zeigten:

1. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen ist unabhängig von der Intensität des Lichtes. Höhere Lichtintensität vergrößert lediglich die Zahl der pro Zeiteinheit ausgelösten Elektronen.

2. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen hängt nur von der Frequenz des Lichtes ab und steigt mit zunehmender Frequenz.

3. Bei abnehmender Frequenz des Lichtes verschwindet der Effekt plötzlich bei einer Grenzfrequenz fG.

4. Auch bei Strahlung von sehr geringer Intensität ("Helligkeit") tritt der Effekt praktisch sofort ein, nämlich in weniger als 10 - 8 Sekunden.

Alle diese Eigenschaften sind mit der Wellennatur des Lichtes nicht zu vereinbaren. Mit der in Jahrhunderten durch Interferenz- und Beugungserscheinungen gefestigten Vorstellung, das Licht sei eine Welle, kann der Photoeffekt nicht erklärt werden.

Die Erklärung gab EINSTEIN im Jahr 1905: In einem Lichtstrahl ist die Energie nicht (wie in einer Welle) kontinuierlich verteilt, sondern in einer endlichen Anzahl von voneinander getrennten (diskreten) "Energiequanten" konzentriert, die nur als Ganzes und nur einzeln absorbiert werden können. Die Energie E eines "Lichtquants" ist der Frequenz f des Lichtes proportional.

 


Der Proportionalitätsfaktor h ist das plancksche Wirkungsquantum:

 
 


Wenn die Energie eines einzelnen Lichtquants nicht ausreicht, ein Elektron aus dem Metall herauszulösen (die "Austrittsarbeit" aufzubringen), dann vermögen es auch noch so viele Lichtquanten nicht.

Ist die Energie des Lichtquants größer als die Austrittsarbeit, dann wird der Überschuss dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben.

Hochpräzise Messungen von MILLIKAN (1916) bestätigten die Theorie Einsteins vollkommen.

 

Der Erklärung des Photoeffekts (wie auch der des Compton-Effekts - siehe unten) haftet etwas Zwiespältiges an: Einerseits werden die Lichtquanten - auch Photonen genannt – als Korpuskeln betrachtet, andererseits werden ihnen eine Frequenz und eine Wellenlänge zugeordnet, also Eigenschaften, die nur bei einer Welle Sinn haben. Dazu kommt, dass es beim Licht Phänomene gibt, nämlich Interferenz und Beugung, die nur durch die Welleneigenschaft des Lichts erklärt werden können. Wir haben es also hier mit einem "Dualismus" von Welle und Korpuskel zu tun, der zwei im Grunde unverträgliche Erklärungsmodelle verbindet. Die Erklärung des Photoeffekts hat einen hohen Preis: Sie ist nur möglich, wenn wir dem Licht zwei einander widersprechende, zwei einander ausschließende Eigenschaften zuschreiben, nämlich sowohl Welle als auch Korpuskelstrom zu sein. Dagegen hilft auch nicht der Erklärungsversuch, das Wellenmodell des Lichtes beschreibe lediglich die Dichteverteilung der Photonen, denn einer elektromagnetischen Welle wie dem Licht kommt zweifellos eine eigenständige Realität zu: elektrische und magnetische Felder sind physikalische Realitäten mit beobachtbaren Eigenschaften. Mit anderen Worten: hier liegt noch immer ein ungelöstes Problem von gewaltiger Tiefe vor, das nicht durch Gewöhnung beseitigt wird.

Der Compton-EffektBearbeiten

Der Compton-Effekt (A. H. Compton, 1921) ist die Streuung von harten Röntgen- oder Gammastrahlen an den Elektronen von Materie. Dabei werden Elektronen aus der Materie herausgelöst. Die seitlich vor- oder rückwärts gestreuten Strahlen erfahren dabei eine mit dem Streuwinkel ψ (0 < ψ <= 180°) zunehmende Vergrößerung ihrer Wellenlänge. Die kinetische Energie der gestoßenen Elektronen nimmt mit ihrem Streuwinkel φ (0 < φ < 90°) und der Wellenlänge der Strahlung ab.

Zur Untersuchung des Compton-Effekts wird ein kleiner Körper aus z. B. Paraffin oder Graphit mit monochromatischem Röntgenlicht bestrahlt und die Wellenlänge der gebeugten Strahlung mit dem Röntgen-Spektrometer untersucht. Die herausgeschlagenen Elektronen können z. B. mit der Nebelkammer beobachtet werden.

Wie sich zeigt, kann dieser Effekt quantitativ zutreffend gedeutet werden als elastischer, im Allgemeinen nicht zentraler Stoß zwischen je einem Lichtquant (Photon) der Strahlung und einem Elektron des bestrahlten Stoffes, wobei die aus der klassischen Mechanik bekannten Erhaltungssätze für Energie und Impuls gelten. Der Compton-Effekt ist eine starke Stütze der Quantentheorie und der Speziellen Relativitätstheorie.

 


Nach der Quantentheorie beträgt die Energie eines Photons der Frequenz f

 

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist.

Nach der Speziellen Relativitätstheorie besitzt ein Energiequantum E die Masse

 


Demnach hat ein Photon der Frequenz f (und der Wellenlänge λ = c / f ) die Masse

 


Für den Impuls p = m v ergibt sich für das Photon daraus

 


Von dem gestoßenen Elektron wird angenommen, dass es vor dem Stoß ruht und nicht an ein Atom gebunden ist. Seine kinetische und seine potentielle Energie seien also null. (Dass diese Annahme tatsächlich berechtigt ist, wird später gezeigt werden.)

Dann lautet die Energiebilanz

 

wobei E' die Energie des Photons und f' seine Frequenz nach dem Stoß ist.

Da das Elektron nach dem Stoß eine sehr hohe Geschwindigkeit v haben kann, müssen wir seine relativistische Massenveränderung berücksichtigen. Dann beträgt seine kinetische Energie

 


wobei m0 die Ruhemasse des Elektrons und β = v/c ist.

Somit lautet die Energiebilanz

 


Die Impulsbilanz stellen wir für die beiden Komponenten des Impulses getrennt auf: Für den Impuls in Stoßrichtung gilt

 


wofür man mit β = v/c auch schreiben kann

 


Für den Impuls senkrecht zu Stoßrichtung gilt entsprechend

 


Aus den Gleichungen (2) und (3) wird zunächst φ wie folgt eliminiert:

Aus Gleichung (2) folgt

 


Aus Gleichung (3) folgt

 


Durch Quadrieren und Addieren dieser beiden Gleichungen ergibt sich

 


Aus Gleichung (1) findet man für den in Gleichung (4) rechts stehenden Ausdruck

 


Nach Einsetzen in (4) und einigen Umformungen ergibt sich

 


Ersetzt man darin f' durch c/λ' und f durch c/λ, so erhält man schließlich

 


Hier fällt auf, dass die Änderung der Wellenlänge nur vom Streuwinkel, nicht aber von der Wellenlänge (und damit auch nicht von der Frequenz) abhängt. Das bedeutet aber nicht, dass auch die Frequenzänderung von der Frequenz unabhängig ist. Die letzte Gleichung kann nämlich auch wie folgt geschrieben werden:

 


woraus folgt

 


und wenn sich f und f' nicht zu sehr unterscheiden (sowie innerhalb nicht allzu großer Intervalle), ist annähernd

 


Praktisch beobachtbar sind nur die relative Frequenz- bzw. Wellenlängenänderungen der Röntgenstrahlung. Da aber Δλ sehr klein ist (siehe Gleichung (6)), erhält man nur dann einen beobachtbaren Effekt, wenn auch λ sehr klein ist. Daher ist der Compton-Effekt nur bei harten Röntgen- und Gammastrahlen beobachtbar. Dann aber sind die Photonen so energiereich, dass die Bindungsenergie auch der Elektronen auf tiefen Schalen und ihre kinetische Energie vernachlässigbar klein sind. Die Elektronen verhalten sich also gegenüber diesen Photonen wirklich wie freie und ruhende Elektronen.

Die in Gleichung (5) auftretende Größe

 


hat die Dimension "Länge" und wird als Compton-Wellenlänge λC (des Elektrons) bezeichnet. Sie ist die Wellenlänge einer Strahlung, deren Photonen die Masse eines (ruhenden) Elektrons besitzen. Es ist

 


Diese Wellenlänge liegt im Gebiet der Gamma-Strahlung. Auch diese Tatsache weist darauf hin, dass der Compton-Effekt nur bei harter Röntgen- und Gammastrahlung beobachtet werden kann: Wir haben den Compton-Effekt ja als elastischen Stoß zwischen einem Photon und einem Elektron aufgefasst. Die Theorie des elastischen Stoßes zeigt aber, dass bei einem solchen Stoß nur dann ein nennenswerter Anteil der Energie des Photons auf das Elektron übertragen wird, wenn das Massenverhältnis von Photon und Elektron nicht allzu klein ist. Das ist aber nur bei entsprechend kleinen Wellenlängen der Fall.

Bezeichnen wir die kinetische Energie des Elektrons nach dem Stoß mit Ee, so kann man Gleichung (1) nach Division mit h f wie folgt schreiben

 


woraus für das Verhältnis der Elektronenenergie (nach dem Stoß) zur Photonenenergie (vor dem Stoß) folgt

 


und mit Gleichung (5)

 


Mit der oben eingeführten Compton-Wellenlänge kann diese Gleichung auch so geschrieben werden:

 



Für λ = λC und ψ = 180° (zentraler Stoß zweier Teilchen gleicher Masse) folgt aus Gleichung (8)

 


Das Elektron übernimmt also nur 2/3 der Energie des Photons, und nicht – wie nach der klassischen Mechanik zu erwarten wäre – die gesamte Energie. Dies erklärt sich relativistisch daraus, dass beim Stoß das Elektron Masse gewinnt und das Photon Masse verliert, sodass die beiden Teilchen nicht mehr gleiche Massen haben.


Mit

 

lassen sich durch eine etwas mühsame Rechnung aus Gleichung (7) β (und daraus v) bestimmen:

 

wobei zur Vereinfachung

 

gesetzt wurde.


Schließlich bleibt noch der Winkel φ zu berechnen. Dividiert man die Gleichung (3) durch Gleichung (2), so findet man nach einigen einfachen Umformungen

 


Setzt man für f' den Wert aus Gleichung (5) ein, so erhält man schließlich

 


Führt man hier wieder die Compton-Wellenlänge ein, so erhält man

 


Wenn also ψ zwischen 0° und 180° variiert (ψ/2 also zwischen 0° und 90°), dann variiert φ zwischen 90° und 0°. Die Elektronen werden also stets nach vorn oder schräg nach vorn weggestoßen.

Ein besonders einfacher Sonderfall – der aber doch die typischen Charakteristika des allgemeinen Falles zeigt – ergibt sich für λ = λC. Dann wird

 


und

 


Für die Energie des Photons nach dem Stoß findet man daraus

 


Aus diesen Formeln wurden für ψ = 0, 15°, 30° ... 180° die dazu gehörigen Werte von φ, Ee und h f' berechnet. Ihre Darstellung in Polarkoordinaten zeigt die folgende Abbildung:


 



Wellen und TeilchenBearbeiten

De-Broglie-WellenlängeBearbeiten

Untersuchungen (Photoeffekt und Doppelspaltversuch) ergaben, dass das Licht sowohl Wellen, als auch Teilcheneigenschaften besitzt. Für Photonen gilt:

 
 

De Broglie übertrug dies 1923 auf beliebige Teilchen:

 

mit dem relativistischen Impuls:

 

ergibt sich daraus die sogenannte De-Broglie-Wellenlänge:

 

Damit besitzt jedes Teilchen sowohl Wellen als auch Teilcheneigenschaften. Dies wurde 1927 durch Experimente bestätigt.

Grundkonzepte der QuantenmechanikBearbeiten

In diesem Abschnitt soll, nachdem im letzten Abschnitt der mathematische Rahmen erläutert wurde, der physikalische Rahmen der Quantentheorie abgesteckt werden. Zunächst werden die Postulate der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik axiomatisch eingeführt. Hierbei spielt der Begriff der Messung eine besondere Rolle. Daran schließt sich dann eine Betrachtung der verschiedenen Bilder und Darstellungen der Quantentheorie an.

Postulate für reine und abgeschlossene QuantensystemeBearbeiten

Im folgenden wird die theoretische Begründung der quantenphysikalischen Phänomene auf einige wenige Grundannahmen zurückgeführt. Diese Postulate bilden das axiomatische Grundgerüst für die nichtrelativistische Quantenmechanik. Eine Verallgemeinerung auf relativistische Phänomene erfolgt im Kapitel über die Klein-Gordon-Gleichung.

Postulat 1 (reiner Zustand):

Ein abgeschlossenes Quantensystem, das sich in einem reinen Zustand befindet, wird durch einen normierten Zustandsvektor   auf einem komplexen, unitären Hilbert-Raum beschrieben.

Da es sich bei   um einen reinen Zustand handelt, beschreiben vom Zustandsvektor linear abhängige Vektoren den selben Zustand. Daher wird jedem quantenmechanischen Zustand ein eindimensionaler Teilraum des Hilbertraumes zugeordnet. Diesen Teilraum bezeichnet man als Strahl. Der Hilbertraum ist ein linearer Vektorraum, deshalb folgt daraus, dass eine Linearkombination von Zustandsvektoren wiederum einen Zustandsvektor bildet. Das nennt man das Superpositionsprinzip.

Postulat 2 (Projektionsmessung, von Neumann Messung):

  1. Die durch eine Projektionsmessung an einem Quantensystem experimentell messbaren physikalischen Größen (z. B. Energie, Ort, Drehimpuls) werden durch hermitesche Operatoren auf   beschrieben. Diese Operatoren werden als Observablen bezeichnet.
  2. Mögliche Ergebnisse einer an einem Quantensystem durchgeführten Messung der Observablen A sind die Eigenwerte a dieses Operators. Diese ergeben sich mit der Wahrscheinlichkeit:

     

  3. Bei einer idealen Messung (ideal bezieht sich hier auf den Unterschied zwischen Experiment und Theorie) der Observablen A geht der Zustand   des Systems in den zum Messwert   gehörenden Eigenzustand   über.

Postulat 3 (Zeitentwicklung):

  1. Die Zeitenwicklung eines Quantensystems von   nach   lässt sich durch einen unitären Zeitentwicklungsoperator   beschreiben. Er hat folgende Eigenschaften:

     

  2. Im Schrödinger-Bild genügt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors   der Schrödinger-Gleichung:

     

    Dabei entspricht der Hamiltonoperator der klassischen Hamiltonfunktion für N Teilchen:

     

    Hinweis: Die Festlegung der Schrödingergleichung als fundamentale Gleichung der Quantenmechanik ist eine beliebige. Ebensogut kann die gesamte Quantenmechanik auch aus der Heisenberg- oder Dirac-Gleichung (bzw. aus beliebigen anderen Bildern) entwickelt werden.

Die Schrödinger-GleichungBearbeiten

Die zeitabhängige Schrödinger-GleichungBearbeiten

Die Schrödinger-Gleichung ist die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Aus ihr folgen die Unschärferelation, die Drehimpulsquantelung und viele weitere Dinge, die die Quantenmechanik ausmachen. Für ein Teilchen der Masse m (etwa ein Elektron) im Potential V (etwa das eines Atomkerns) lautet sie:

 

Dabei ist   der Laplace-Operator und   das Plancksche Wirkungsquantum. Der Ausdruck auf der linken Seite wird Hamilton-Operator   genannt:

 

Die Lösung   dieser partiellen Differentialgleichung ist die Wellenfunktion die das Teilchen im Potential V beschreibt. Was sagt diese Wellenfunktion aber aus?

Statistische InterpretationBearbeiten

Die Wellenfunktion kann so verstanden werden, dass sie die Verteilung der Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen, beschreibt. Da   im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist, wird das Betragsquadrat   als Wahrscheinlichkeit genommen. Dies bringt einige Forderungen mit sich, die wir an die Wellenfunktion stellen müssen:

  • An irgendeinem Ort muss sich das Teilchen befinden, daher muss die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben:   bei Integration über den gesamten Raum. Dies ist die Normierungsbedingung
  • Um diese Bedingung zu erfüllen muss   quadratintegrabel sein, das heißt dieses Integral muss überhaupt bestimmt sein.
  • Daraus folgt auch, dass   im Unendlichen auf 0 abfällt, was uns noch bei einigen Rechnungen zugute kommt.

Uns kommt eine Eigenschaft der Schrödinger-Gleichung zugute, die die Erfüllung der ersten Bedingung vereinfacht: sie ist linear! Damit lässt sich eine beliebige quadratintegrable Wellenfunktion normieren: Ist  , dann erfüllt die Funktion   ebenfalls die Schrödinger-Gleichung (wie man sich leicht durch Einsetzen klar machen kann), und zusätzlich die Normierungsbedingung.

Es seien noch zwei übliche Größen der Statistik erwähnt:

  • Der Erwartungswert einer Größe Q:  , dabei ist   das komplex konjugierte  . Der Erwartungswert gibt die Mittelung einer Größe gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit an. Zu beachten ist, dass diese Mittelung keineswegs dem wahrscheinlichsten Wert entsprechen muss.
  • Die Standardabweichung:  . Sie gibt an, wie weit ein Wert gestreut ist.

Freies TeilchenBearbeiten

Zum besseren Verständnis der Schrödinger-Gleichung betrachten wir nun zunächst ein freies Teilchen ( ). Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung:

 

Diese Gleichung hat Lösungen der Form:

 

wobei

 

und

 

ein Vergleich dieser letzten Gleichung mithilfe der Einstein-De-Broglie-Beziehung ergibt eine Übereinstimmung mit:

 

Da die Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und in   linear und homogen ist, gilt für sie das Superpositionsprinzip, d.h. jede Linearkombination von Lösungen ist wieder eine Lösung. Solche Überlagerungen kann man als Integral darstellen:

 

Beschränkt man sich auf den eindimensionsalen Fall, so ergibt sich:

 

Setzt man die Zeit  , so ergibt sich:

 

Vergleicht man dies mit einer Fourier-Transformation, so sieht man, dass   die Fourier-Transformierte von   ist:

 

Daraus folgt, das diese beiden letzen Gleichungen nicht nur für ein freies Teilchen, sondern für jedes Teilchen in einem beliebigen Potential gelten.

Die zeitunabhängige Schrödinger-GleichungBearbeiten

Wenn man ein zeitlich konstantes Potential   annimmt, lässt sich die Schrödinger-Gleichung mit Hilfe eines Separationsansatzes   vereinfachen:

 

Teilt man durch   sind die Variablen   und   getrennt, stehen also nur noch auf je einer Seite der Gleichung:

 

Es lässt sich also jede Seite als konstant in "ihrer" Variablen auffassen:

 
 

Dabei nennen wir die Konstante E. Warum, werden wir später noch sehen. Betrachten wir zunächst die zweite Gleichung:

 

Diese einfache Differentialgleichung wird gelöst durch  , wobei man durch Einsetzen   erhält, womit der Zeitanteil der Wellenfunktion im Falle eines zeitunabhängigen Potentials lautet:

 

Nun zum Ortsanteil. Dieser ist bekannt als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

 

Für zeitunabhängige Potentiale haben wir die Lösung des Problems somit darauf vereinfacht, nur noch den Ortsanteil bestimmen zu müssen.

Messung von QuantensystemenBearbeiten

DarstellungenBearbeiten

Ortsdarstellung und OrtsoperatorBearbeiten

Impulsdarstellung und ImpulsoperatorBearbeiten

Der ImpulsoperatorBearbeiten

Die klassische Mechanik soll als Grenzfall in der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik enthalten sein. Daher definieren wir den Erwartungswert des Impulses in der Ortsdarstellung, welche ja normalerweise auch in der klassischen Mechanik verwendet wird, als:

 

Dieser Ausdruck lässt sich weiter auswerten, was schließlich auf den Impulsoperator führen wird:

 

Nun lässt sich die Schrödinger-Gleichung einsetzen, wobei zu beachten ist, dass  :

 

Da das Potential reell ist und mit der Wellenfunktion vertauscht, bleibt:

 

Nun benutzen wir, dass   und den Gaußschen Satz:  :

 

Da aber die Wellenfunktion quadratintegrabel sein soll, muss sie im Unendlichen auf 0 fallen, daher verschwindet das Oberflächenintegral.

 
 
 
 

Der Ausdruck links kann wieder mit dem Gaußschem Satz aufgelöst und mit 0 interpretiert werden. Damit erhalten wir schließlich:

 

Dieser Ausdruck hat wieder genau die Form eines Erwartungswertes! Allerdings ist der Ausdruck, dessen Erwartungswert berechnet wird, ein Operator. Dies ist der Impulsoperator:

 

Heisenbergsche UnschärferelationBearbeiten

Quantentheoretische Bilder und ZeitentwicklungBearbeiten

In Postulat 3 wurde als Zustandsgleichung für die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems, die sog. Schrödinger-Gleichung angegeben. Dies entspricht der Darstellung der Quantenmechanik in einem speziellen Bild, in diesem Fall im Schrödinger-Bild. Wegen der Invarianz aller physikalischen Größen unter unitären Transformationen, gibt es jedoch eine unendliche Anzahl äquivalenter Bilder mit denen die Quantenmechanik beschrieben werden kann. Neben dem angesprochenen Schrödinger-Bild, sind das Heisenberg- und das Dirac-Bild noch von besonderem Intresse. In diesem Abschnitt sollen deswegen die verschiedenen quantenmechanischen Bilder und die entsprechenden Transformationen besprochen werden.

ZeitentwicklungsoperatorBearbeiten

Unter Ausnutzung des Zeitentwicklungsoperators   ergibt sich die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung:

 

eingesetzt wird daraus die zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:

 

Die Entwicklung des Zeitentwicklungsoperators   um   bei einer infinitesimalen Änderung der Zeit   ergibt:

 

Die Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden.   kann nun als Produkt dieser infinitesimalen unitären Operatoren dargestellt werden:

 

Daraus folgt dann sofort die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators.

Schrödinger-BildBearbeiten

Das Schrödinger-Bild zeichnet sich dadurch aus, dass in ihm quantenmechanische Zustände zeitabhängig sind, während die Operatoren nur explizit von der Zeit abhängen können. Ist der Zustand eines Quantensystems zu einem Zeitpunkt bekannt, so ergibt sich die dynamische Entwicklung des Systems eindeutig durch Lösen der Schrödinger-Gleichung:

 

Es gilt also: Sei   gegeben. Nun ergibt sich die Wahrscheinlichkeit X zu finden:

 

Wenden wir nun den Zeitentwicklungsoperator   auf den Zustand an:

 

Damit ergibt sich für unsere Wahrscheinlichkeit:

 

Heisenberg-Bild und Heisenberg-GleichungBearbeiten

Man erhält das Heisenberg-Bild aus dem Schrödinger-Bild durch eine unitäre Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator  :

 

Für eine Observable A ergibt sich:

 

Nun spielt man ein wenig mit der Wellenfunktion

 

und der Schrödingergleichung

 

und kommt so auf folgende Herleitung

 
 

mit   und   folgt:

 
 

mit  

 

mit   folgt daraus die Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Gleichung genannt, also das 4. Quantenpostulat im Heisenberg-Bild:

 

Dirac-/ Wechselwirkungs-BildBearbeiten

Der Harmonische OszillatorBearbeiten

Betrachten wir den Hamiltonoperator:

 

und suchen wir die dazugehörenden Eigenfunktionen und Eigenwerte.

Es gibt zwei grundsätzliche Lösungswege. Zum einen könnten wir den Operator in die Ortsdarstellung der Schrödingergleichung einsetzen und die resultierende Differentialgleichung mit den entsprechenden Randbedingungen lösen. Der zweite Weg zeigt eine grundsätzliche Herangehensweise an Probleme in der Quantenmechanik auf und nutzt die Operatordarstellung. Dieser Lösungsweg wird hier gerechnet.

Zerlegung des HamiltonoperatorsBearbeiten

Zunächst führen wir drei Operatoren ein:

 

 

 

Zu beachten ist, daß   keine hermiteschen Operatoren sind,   allerdings schon. Man nennt Operatoren, die in ähnlicher Weise wirken wie   Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren, bzw. auch Ab- und Aufsteigeoperatoren. Warum und worauf auf- und abgestiegen wird, werden wir im nächsten Kapitel sehen.

Zuvor müssen wir uns aber einige Eigenschaften klarmachen

  1.  

    Beweis:  

Der Hamiltonoperator lässt sich nun darstellen als  . Wir können jetzt schon das Energiespektrum dieses Systems bestimmen! Nehmen wir an den Grundzustand   mit Energie   zu kennen, das heißt

 .

Wenden wir nun den Operator   auf diese Gleichung an und benutzen den Kommutator von oben, so erhalten wir

 .

Wir definieren nun den Zustand  , und bringen ein   auf die andere Seite. Damit erhalten wir

 ,

was die Schrödingergleichung für den ersten angeregten Zustand ist. Dieser hat also die Energie  . Da das gleiche Argument wieder auf den ersten Zustand angewandt werden kann, ist die Energie für den n-ten Zustand:

 

Wir haben also gesehen, dass   der Operator ist, der einen Zustand in den nächst höheren übergehen lässt, also  . Der Operator   tut das gleiche in umgekehrter Richtung, er senkt die Energie ab. Daher heißen diese Operatoren Erzeuger/Vernichter, sie erzeugen/vernichten ein Energiequant.

Nun können wir noch die Energie   des Grundzustands   bestimmen. Da es per Definition keinen Zustand unterhalb des Grundzustands gibt, gilt  . Nutzen wir wieder die Kommutatorbeziehung von oben aus, erhalten wir

 .

Die Wellenfunktion in OrtsdarstellungBearbeiten

Die ursprüngliche Differentialgleichung lässt sich zwar nicht ohne weiteres lösen, mit dem oben hergeleiteten Formalismus lässt sich aber relativ leicht ein Konstruktionsschema für die Wellenfunktion in Ortsdarstellung angeben.

Dazu nutzen wir die Eigenschaft des Grundzustands aus, dass sich kein Energiequant vernichten lässt:

 

Der Einfachheit zuliebe betrachten wir nur eine Raumdimension, der Impulsoperator wird also im Ortsraum  . Setzen wir dies also in die Definition von   ein ergibt sich die Differentialgleichung

 

Diese Gleichung lässt sich durch Separation der Variablen lösen:

 

was nach Integration die Wellenfunktion des Grundzustand liefert:

 

Der Faktor A entsteht als Integrationskonstante und dient der Normierung der Wellenfunktion. Um ihn zu bestimmen wird das uneigentliche Integral   benötigt:

 

womit, bis auf eine komplexe Phase, A bestimmt ist als  .

Vom Grundzustand aus kann man nun schrittweise die Wellenfunktionen der angeregten Zustände berechnen. Dazu muss nur der Operator   n-mal auf   angewandt werden, um den n-ten Zustand zu erreichen. Zum Beispiel entsteht so der erste angeregte Zustand:

 


Eigenwerte des quantenmechanischen harmonischen Oszillators (Rechnung)Bearbeiten

In diesem Artikel wird gezeigt, wie die Energie-Eigenwerte des quantenmechanischen harmonischen Oszillators in einer Dimension berechnet werden können. Die Rechnung versteht sich auch als ein repräsentatives Beispiel für die Lösung quantenmechanischer Probleme mit Hilfe der Methode der zweiten Quantisierung, etwa die Bestimmung von Drehimpulseigenwerten oder in der Festkörperphysik.

Problemstellung und VorgehensweiseBearbeiten

AllgemeinesBearbeiten

Wir bestimmen die Energie-Eigenwerte des eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillators, also sämtliche Eigenwerte   des Eigenwertproblems

 

wobei der Hamiltonoperator   gegeben ist durch     ist der Impulsoperator,   der Ortsoperator. Dabei werden wir wie folgt vorgehen:

Einführung von Auf- und AbsteigernBearbeiten

Zunächst werden wir zueinander adjungierte lineare Operatoren   und   einführen, mit denen sich der Hamiltonoperator   schreiben lässt als

 

Untersuchung des Operators  Bearbeiten

Anstelle der Eigenzustände von   untersuchen wir die Eigenzustände von  .Es lässt sich leicht zeigen, dass wir alle Eigenzustände von   aus denen von   konstruieren können, ebenso können wir die Eigenwerte von   leicht aus denen von   gewinnen. Wir konzentrieren uns daher auf das Eigenwertproblem

 

Wir haben dabei die Eigenzustände von   mit zwei Indizes "nummeriert": Der untere Index gibt den zu   gehörigen Eigenwert an und durchläuft die (noch unbekannte) Menge aller Eigenwerte. Auch wenn die Wahl des Buchstabens bereits die spätere Erkenntnis andeutet, dass es sich bei den Eigenwerten von   um natürliche Zahlen handelt, so ist an dieser Stelle noch keinerlei Einschränkung vorgenommen; die Menge der Eigenwerte und damit der Index   kann durchaus eine kontinuierliche Größe sein. Gleiches gilt für den oberen Index  , der dazu dient, Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert zu unterscheiden, ohne ein neues Symbol verwenden zu müssen. Da der Eigenzustand   durch die Angabe der beiden Indizes   und   bereits vollständig bestimmt ist, ist es in der Literatur vielfach üblich, das Symbol   komplett wegzulassen und den Zustand einfach nur durch

 

zu kennzeichnen. Dieser Konvention werden wir uns aber nicht anschließen.

Bestimmung der Eigenwerte von  Bearbeiten

Um die Eigenwerte von   zu bestimmen, werden wir die Zustände   und   genauer untersuchen: wir werden sehen, dass   unter bestimmten Bedingungen ein Eigenzustand zum Eigenwert   und   ein Eigenzustand zum Eigenwert   ist, darüber hinaus werden wir zeigen, dass   ein Eigenwert von   ist, indem wir in der Ortsdarstellung eine konkrete Wellenfunktion des zu   gehörigen Eigenvektors   ermitteln; Da, wie wir sehen werden, alle Eigenwerte von   nicht-negativ sind, ist dann schon bewiesen, dass alle   zum Eigenwertspektrum von   gehören:

  1. 0 ist Eigenwert, wie wir durch explizite Angabe eines Eigenzustandes   zu diesem Eigenwert sehen werden.
  2.   ist ein Eigenzustand zum Eigenwert  , also ist auch die Zahl 1 aus dem Eigenwertspektrum von  . Ebenso ist   ein Eigenzustand zum Eigenwert  , also ist auch 2 Eigenwert von  .

Sukzessive folgt so, dass alle natürlichen Zahlen zum Eigenwertspektrum von   gehören (formal vollziehen wir den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion). Induktiv werden wir abschließend zeigen, dass   keine weiteren Eigenwerte besitzt. Damit ist das Eigenwertspektrum von   und somit auch das von   vollständig bestimmt. Es sei angemerkt, dass wir die Rechnung in demjenigen Hilbertraum   durchführen, der der Bewegung eines spinlosen Teilchens in einer Dimension zugeordnet ist. Wir werden daher die Begriffe Eigenzustand und Eigenvektor synonym verwenden.

Die Rechnung im DetailBearbeiten

Schritt 1: Umschreiben des HamiltonoperatorsBearbeiten

Zunächst führen wir die Operatoren   und   ein. Aus Gründen, die später klar werden, nennen wir   den Aufsteigeoperator,   den Absteigeoperator (übliche Bezeichnungen sind auch Erzeuger und Vernichter.). Sie sind definiert durch:

 

Sowohl   als auch   sind lineare Operatoren, da   und   linear sind. Man beachte in allen nachfolgenden Rechnungen, dass der Einsoperator, definiert durch

 

stets unterdrückt wird: so schreiben wir z. B. stets   anstatt  . Diese Unterdrückung gestaltet Rechnungen übersichtlicher und ist an gängige Konventionen in üblicher Quantenmechaniklehrbücher angepasst. Die Operatornatur des Kommutators   sollte dabei aber nicht aus den Augen verloren werden! Widmen wir uns aber nun der Bestimmung der Eigenwerte von  . Wie bereits in der Einleitung angedeutet, zeigen wir zunächst:

Satz 1: Der Hamiltonoperator ist gegeben durch  .

Beweis: Den Beweis führen wir direkt durch Einsetzen, wobei wir ausnutzen, dass die Menge der linearen Operatoren auf   einen (nichtkommutativen) Ring bildet:

 

Bekanntlich ist  , so dass insgesamt folgt:

 

oder

 

und somit ist alles gezeigt.

Wir führen nun das Eigenwertspektrum des Hamiltonoperators auf das Eigenwertspektrum des Operators   zurück:

Satz 2: Jeder Eigenvektor von   ist auch Eigenvektor von   und umgekehrt. Weiterhin gilt: Alle Eigenwerte   von   sind durch   gegeben, wenn   die Eigenwerte von   durchläuft.

Beweis:: Sei   ein Eigenvektor von   zum Eigenwert  . Dann gilt:

 

  ist also ein Eigenvektor von  , wie behauptet. Aus der Rechnung folgt weiterhin direkt, dass jede Zahl der Form   mit einem Eigenwert   von   ein Eigenwert des Hamiltonoperators   ist. Sei nun umgekehrt   ein Eigenvektor von   zum Eigenwert  . Wegen   folgt mit einer analogen Rechnung, dass   auch Eigenvektor von   ist.   und   besitzen also die gleichen Eigenzustände, da jeder Eigenzustand von   auch Eigenzustand von   ist und umgekehrt. Bleibt noch zu zeigen, dass jeder Eigenwert von   von der Form   mit einem Eigenwert   von   ist. Sei dazu   ein Eigenwert von  . Dann existiert dazu eine Eigenfunktion  . Nun ist   aber auch Eigenfunktion von  , wie weiter oben gezeigt. Damit gilt:

 

da   folgt  , wie behauptet.

Der letzte Satz garantiert uns, dass wir sämtliche Eigenvektoren sowie das gesamte Eigenwertspektrum von   aus den Eigenvektoren bzw. Eigenwerten von   rekonstruieren können. Wenn wir alle Eigenvektoren und -Werte von   kennen, ist das Problem der Bestimmung des Eigenwertspektrums des eindimensionalen harmonischen Oszilators im Prinzip gelöst. Daher werden wir nun das Eigenwertproblem

 

genauer untersuchen, wobei wir konsequent die bereits in der Einführung beschriebene Notation verwenden werden: der Zustand   steht in allen nachfolgenden Rechnungen stets für einen Eigenzustand von   zum Eigenwert  , auch wenn dies keine explizite Erwähnung findet! Per Definition eines Eigenzustandes ist damit auch  . Wir zeigen zunächst die folgende wichtige Tatsache:

Satz 3:   ist adjungiert zu  : 

Beweis: Dies erkennt man sofort aus den Regeln zur Bildung des adjungierten Operators zu einem Operator, der Linearkombination anderer linearer Operatoren ist:

 

Da   und   selbstadjungiert sind (d.h.  ), ist die Behauptung gezeigt.

Schritt 2: Bestimmung der Eigenwerte von  Bearbeiten

Aus Satz 3 folgt sofort:

Satz 4: Alle Eigenwerte von   sind reell und nicht negativ.

Beweis:   ist reell, da der Operator   selbstadjungiert ist:

 

Nun berechnen wir die Norm des Zustandes  

 

Man beachte, dass wir im zweiten Schritt benutzt haben, dass  , im vorletzten Schritt haben wir   verwendet. Wegen   und   folgt sofort  .

Wir untersuchen nun den Zustand   etwas genauer. Da wir in den nachfolgenden Rechnungen häufiger die Kommutatoren  ,   und   benötigen werden, wollen wir diese Ausdrücke an dieser Stelle berechnen. Zunächst rechnet man mit Hilfe der Definition von   und   unter Benutzung der Linearität des Kommutators und dem bekannten Postulat   sofort nach, dass gilt:

 

Damit lässt sich der Kommutator von   und   direkt ermitteln:

 

Es folgt   Ganz analog lässt sich beweisen, dass

 

gilt. Wir haben nun alle nötigen Vorbereitungen für die nächsten beiden Sätze und für einen großen Schritt in Richtung der Lösung unseres Problems getroffen.

Satz 5: Existiert zu   ein Eigenzustand  , so ist  . Ist  , so ist der Zustand   ein Eigenzustand zum Eigenwert  .

Beweis: Die erste Behauptung folgt direkt aus dem Beweis zum vorangegangenen Satz. Ist nämlich  , so gilt:   der Nullvektor ist aber der einzige Vektor mit einer Norm von 0, also ist  . Sei nun  . Um zu zeigen, dass   Eigenzustand zum Eigenwert   ist, müssen wir beweisen:

  •   genügt der Eigenwertgleichung  
  • Es ist  .

Zum Beweis der ersten Behauptung untersuchen wir den Ausdruck  . Da   Eigenzustand von   ist, wäre es günstig,   mit   vertauschen zu können. Dies ist zwar nicht möglich, aber wir können die zuvor berechneten Kommutatoren ausnutzen, denn es gilt:

 

Der Kommutator   ist aber bekannt: wie wir zuvor gezeigt haben, ist  , und es folgt:

 

wie behauptet.   folgt aus dem Beweis von Satz 4. Dort wurde gezeigt, dass die Norm von   durch

 

gegeben ist. Da   als Eigenvektor per Defition nicht der Nullvektor ist und damit auch eine von 0 verschiedene Norm aufweist, ist auch   und damit   von 0 verschieden, es gilt also  .

Der letzte Satz gibt Aufschluss darüber, warum der Operator   auch Absteigeoperator genannt wird:   erzeugt aus einem Eigenvektor zum Eigenwert   einen Eigenvektor zu dem um 1 verminderten Eigenwert  . Eine ganz analoge Eigenschaft besitzt auch der Aufsteigeoperator  : Dieser erzeugt aus einem Eigenvektor zum Eigenwert   einen Eigenvektor zu dem um 1 erhöhten Eigenwert  , wie der nachfolgende Satz und sein Beweis zeigen! Man beachte, dass wir allerdings im Falle des Aufsteigeoperators die Einschränkung   fallen lassen können.

Satz 6: Der Zustand   ist Eigenzustand zum Eigenwert  .

Beweis: Der Beweis verläuft vollkommen analog zum Beweis von Satz 5. Wir bestimmen zunächst die Norm von  . Wenn wir berücksichtigen, dass gilt:

 

so finden wir:

 

Da   gilt, ist   für alle Eigenwerte   von  . Da   ein Eigenvektor ist, ist seine Norm stets von 0 verschieden, daher ist auch  , folglich ist   nicht der Nullvektor. Nun zeigen wir, dass   die Eigenwertgleichung

 

erfüllt:

 

Bei der Rechnung haben wir verwendet, dass

 

Damit ist alles gezeigt.

Die immense Bedeutung des letzten Satzes ergibt sich anhand folgender Überlegung: können wir zeigen, dass die Zahl 0 ein Eigenwert des Operators   darstellt, so können wir mit Hilfe des letzten Satzes beweisen, dass alle natürlichen Zahlen im Eigenwertspektrum von   enthalten sind. Ist nämlich 0 ein Eigenwert, dann auch 1, schließlich ist   nach Satz 6 ein Eigenzustand zum Eigenwert 1. Mit der gleichen Argumentation ist dann auch   ein Eigenzzustand zum Eigenwert 2 usw., oder allgemeiner: ist irgendeine beliebige natürliche Zahl   Eigenwert von  , so ist auch   Eigenwert von  , wir müssen ja lediglich   auf   anwenden, um einen Eigenzustand zu   zu erhalten. Der letzte Satz liefert uns also letztlich den Induktionsschluss für einen Induktionsbeweis, den wir im folgenden führen werden.

Theorem 1: Sei   beliebig. Dann gehört   zum Eigenwertspektrum von  .

Beweis: Wie angekündigt, führen wir den Beweis mittels der vollständigen Induktion. Induktionsanfang:  . Wir müssen beweisen, dass 0 im Eigenwertspektrum von   enthalten ist. Dazu betrachten wir das gesamte Problem im Ortsraum. Mit Hilfe von Satz 5 finden wir leicht eine notwendige Bedingung an einen möglichen Eigenzustand   zum Eigenwert 0: Er muss der Bedingung

 

genügen. Der Operator   ist aber in der Ortsdarstellung durch

 

gegeben, wobei   der Ortsoperator und   der Impulsoperator ist. Die Bedingung  wird dann nach wenigen leichten Umformungen zu der linearen Differenzialgleichung

 

oder

 

Wie aus der Mathematik bekannt (durch "Trennung der Variablen" ), besitzt diese einzig die Lösungsschar

 

Der Einfachheit halber können wir sogar   wählen (auch wenn   dann i.A. nicht normiert ist), dann ist   mit Sicherheit nicht die Nullfunktion, und wir müssen nun nur noch zeigen, dass diese Funktion tatsächlich Eigenfunktion zum Eigenwert 0 des Operators   ist. Wegen

 

und

 

in der Ortsdarstellung lässt sich dies sofort durch Einsetzen von   in die Gleichung

 

verifizieren. Damit ist der Induktionsanfang getan. Induktionsschluss: . Sei nun   ein Eigenwert des Operators  ,   ein zugehöriger Eigenzustand. Nach Satz 6 ist   Eigenzustand zu  , also ist mit   auch   ein Eigenwert von   und es ist alles gezeigt.

Schritt 3: Ausschluss weiterer EigenwerteBearbeiten

Wir wissen nun, dass alle natürlichen Zahlen zum Eigenwertspektrum von   gehören. Nun müssen wir uns die Frage stellen, ob es noch weitere Eigenwerte geben kann. Wegen Satz 4 kommen nur noch positive reelle Zahlen in Frage, zu untersuchen wären als mögliche weitere Eigenwerte also noch positive, nicht-natürliche Zahlen. Der nächste Satz zeigt, dass keiner dieser Zahlen zum Eigenwertspektrum von   gehört.

Theorem 2:   besitzt keine nicht-natürlichen Eigenwerte.

Beweis:: Sei   irgendeine reelle Zahl. Ist   nicht-natürlich, so gibt es eine natürliche Zahl   mit

 

sowohl   also auch   gehören aber nach Theorem 1 zum Eigenwertspektrum von  . Wir zeigen nun induktiv, dass zwischen einer natürlichen Zahl   und ihrem Nachfolger   kein Eigenwert liegen kann. Induktionsanfang:  . Angenommen, es gäbe einen Eigenwert   von   mit  . Dann gäbe es zu   einen Eigenzustand   und   wäre wegen   nach Satz 6 Eigenzustand zum Eigenwert  . Wegen   ist aber  , Widerspruch zu Satz 4. Induktionsschritt:  . Sei der Satz für ein   bereits bewiesen. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann keinen Eigenwert   von   mit  . Angenommen, es gäbe einen Eigenwert   von   mit  . Dann gäbe es zu   einen Eigenzustand  , wegen   wäre nach Satz 5   aber ein Eigenzustand zum Eigenwert  , was aber einen Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung darstellt.

ErgebnisBearbeiten

Zusammen mit Satz 2 folgt aus den letzten beiden Theoremen abschließend:

Eigenwertspektrum des harmonischen Oszillators. Der Hamilton-Operator   des eindimensionalen harmonischen Oszillators,   besitzt das Eigenwertspektrum  

LiteraturBearbeiten

DrehimpulsBearbeiten

 

 

Kommutator und AntikommutatorBearbeiten

Der Kommutator zweier Operatoren ist definiert durch: