Quantenmechanik/ Feynman-Graphen

Anwendung der Quantenfelder

Um das Ziel zu erreichen, den praktischen Nutzen der Feldquantisierung mit den Feynman-Diagrammen der Elektrodynamik, müssen noch ein paar etwas abstrakte Manipulationen mit Feldoperatoren besprochen werden. Feynmans Graphen sind beliebt, weil sie eine anschauliche Idee von Elementarprozessen abgeben. Die Belohnung, nachdem man sich durch trockenen Formalismus quälte. Feynman machte die Quantenfeldtheorie zugänglich für die breite Masse, so hieß es.

Der Weg über die kanonische Quantisierung und ihre Operatoren ist altmodisch, aber er geht nahtlos aus dem Heisenberg-Bild der Quantenmechanik hervor. Der andere Weg über die Funktionalintegrale, auch Feynmansche Pfadintegrale genannt, ist kovariant, kommt angeblich ganz ohne Operatoren aus, ließ sich besser für kompliziertere Feldtheorien ausbauen. Aber auch er hat seine Bürde an Formalismus, zuvorderst die Differenzial- und Integralrechnung mit Grassmann-wertigen Feldern. Die Bücher knallen sie einfach auf den Tisch und erklären so gut wie gar nicht, wie und wo die Dinger überhaupt mathematisch existieren. Jedoch halt, existieren die wechselwirkenden Operator-Felder und ihr Hilbertraum mit dem stabilem Grundzustand irgendwie besser?

Der folgende Abschnitt behandelt die Näherungsmethode zur Berechnung von Vakuum-Erwartungswerten von Produkten, genauer zeitgeordneten Produkten, von gekoppelten Quantenfeldern an N Punkten der Raumzeit. Manchmal N-Punkt-(Green-)Funktionen genannt, sind diese die zentralen Bausteine der S-Matrixelemente, also der Übergangsamplituden von einem Zustand mit J einlaufenden Teilchen in einen mit K auslaufenden, J+K=N. Die Aufgabe, im Detail die S-Matrix auf die N-Punkt-Funktionen zurückzuführen, löst eine Rechentechnik der Reduktion nach LSZ (Lehmann-Symanzik-Zimmermann), die im allerletzten Teil drankommt. Intuitiv steht jede Feldoperator-Komponente an einem Punkt dafür, dass dort ein Teilchenzustand der gewollten Art und mit dem gewollten Orientations-Index aus dem Vakuum erzeugt oder in das Vakuum hinein entsorgt wird.

Die Wick-Zerlegung

Der Satz von Wick hat eine erkleckliche Zahl von Voraussetzungen.

Sei $\{x_{1},...,x_{n}\}$ eine Menge von Raumzeit-Punkten und sei q eine Permutation, die mit geringstem Aufwand die Punkte nach absteigender Zeit ordnet,

$x_{q1}^{0}\geq x_{q2}^{0}\geq ...\geq x_{qn}^{0}.$

Sei $\{a_{1}(x_{1}),...a_{n}(x_{n})\}$ ein Tupel von Feldoperatoren. Die $a_{i}$ können die gleichen oder verschiedene Komponenten eines oder mehrerer Operatorfelder sein. Das zeitgeordnete Operatorprodukt ist

$T(1,...,n):=T(a_{1}(x_{1})...a_{n}(x_{n})):={\text{sgn}}(q,a)\cdot a_{q1}(x_{q1})\cdot a_{q2}(x_{q2})\cdot ...a_{qn}(x_{qn})$

Das Vorzeichen ist erst nach zwei weiteren Voraussetzungen erklärbar.

Es gebe einen Hilbertraum und einen Vakuumzustand, so dass jeder der Feldoperatoren eine Zerlegung in Erzeuger c und Vernichter d hat:

$a(x)=c(x)+d(x);\quad d(x)|0\rangle =0;\quad c(x)|0\rangle =0$

Die Vernichter nullen das Vakuum; die Erzeuger machen aus ihm irgendwelche Zustände, die orthogonal zu ihm sind. Besser gesagt, die Bildmengen der Erzeuger sind orthogonale Teilräume zum Vakuum, das Vakuum gehört zum Kern aller Vernichter. In Bra-Ket-Symbolik

$d(x)|0\rangle =0;\quad \langle 0|c(x)=0.$

Jedes Paar von Feldoperatoren sei so beschaffen, dass entweder ihr Kommutator oder ihr Antikommutator proportional zum Einheitsoperator ist, also eine zahlenwertige Distribution liefert:

$a_{1}(x)a_{2}(y)-a_{2}(y)a_{1}(x)=z(x,y)$

$b_{1}(x)b_{2}(y)+b_{2}(y)b_{1}(x)=z(x,y)$

Selbstverständlich kann z(*) in häufigen Fällen Null sein.

Das zeitgeordnete Produkt zweier Operatoren hat folgende Formel, wobei die Stufenfunktion θ(t) der Zeitkoordinate benutzt wird. Für zwei Punkte $x=(t,{\vec {x}}),y=(u,{\vec {y}})$ wird definiert

$T(a(x)b(y))=a(x)b(y)\;\theta (t-u)+s\cdot b(y)a(x)\;\theta (u-t)$

Der Faktor s ist 1, wenn die Felder einen zahlenwertigen Kommutator haben und -1, wenn einen solchen Antikommutator. Bei mehr Faktoren ist s = (-1) mal Zahl der Paarvertauschungen von Antikommutierern.

Das Normalprodukt eines Operator-Tupels ist so definiert, dass jeder der $2^{n}$ Terme der Summe aus Erzeuger-Vernichter-Produkten umgeordnet wird. Die Erzeuger werden einzeln nach links geschoben, bis sie alle links vor den Vernichtern stehen. Bei jeder Paarvertauschung wird der Term mit -1 malgenommen, wenn das Paar eine Antivertauschungs-Regel hat.

Sei P(n) die Potenzmenge, Menge aller Teilmengen von {1,2,...n}. Für eine Menge $S\in P(n)$, bezeichne ${\bar {S}}$ ihr Komplement. Dann hat das Normalprodukt die Formel

$N(1,2,...n):=N(a_{1}(x_{1})a_{2}(x_{2})...a_{n}(x_{n})):=\sum _{S\in P(n)}{\text{sgn}}(S)\prod _{i\in S}c_{i}(x_{i})\;\prod _{j\in {\bar {S}}}d_{j}(x_{j})$

Die Vorzeichenfunktion sgn(S) hängt von der Zahl der jeweiligen Antivertauscher ab. Für einen einzelnen Operator ist natürlich N(a(x))=a(x)).

Die gemütlichste Eigenschaft eines Normalproduktes ist, dass sein Vakuumerwartungswert (VEW) verschwindet, $\langle 0|\;N(a_{1}(x_{1})a_{2}(x_{2})...a_{n}(x_{n}))\;|0\rangle =0.$ Denn jeweils der Vernichter ganz rechts oder der Erzeuger ganz links machen Null mit dem angrenzenden Grundzustand.

Nennen wir den VEW des zeitgeordneten Produkts eines Paares von Operatoren einen Propagator, aus späteren Gründen.

$P(i,j):=P(x_{i},x_{j}):=\langle 0|\;T(a_{i}(x_{i}),a_{j}(x_{j}))\;|0\rangle$

Es ist eine zahlenwertige Distribution.

Num kommt endlich die Behauptung von Wick, nämlich die Normalprodukt- Zerlegung eines T-Produktes. Das zeitgeordnete Produkt von Operatoren mit obigen Vorausssetzungen lässt sich zerlegen in eine Summe, deren Terme je ein Normalprodukt mal ein Produkt aus Propagatoren sind. In Formeln gilt, wo die Symbole p über Mengen von Permutationen gehen:

$T(1,2,...,n)=N(1,2,...n)+$

$\sum \nolimits _{p}sgn(1,p)\;P(p1,p2)\;N(p3,...,pn)+$

$\sum \nolimits _{p}sgn(2,p)\;P(p1,p2)\;P(p3,p1)\;N(p5,...,pn)+...$

$\sum \nolimits _{p}sgn(n/2,p)\;P(p1,p2)\;P(p3,p4)...\;P(p(n-1),pn)$

Dies ist die Form für gerades n, bei ungeradem n hat die Entwicklung in der letzten Summe isolierte Operatoren. Die Vorzeichen-Funktionen hängen vom Typ der eingebrachten Felder ab.

Korollar: Der VEW eines T-Produktes verschwindet, wenn n ungerade ist, denn dann beinhalten alle Terme der Entwicklung ein Normalprodukt. Der VEW eines geradzahligen T-Produktes ist eine Summe von Produkten aus (n/2) Propagatoren. Denn nur die letzte Teilsumme überlebt.

Der Katalog der Voraussetzungen ist etwas, das genau die freien Operatorfelder erfüllen. In der Störungsrechnung wird alles auf die VEWe ihrer T-Produkte und daher nach diesem Satz auf die Produkte von Propagatoren zurückgeführt.

Beweis:

Zunächst kommt der Fall n=2 dran.

Sei $T(a_{1}(x)a_{2}(y))=a_{1}(x)a_{2}(y))$, sonst nenne man die Variablen um.

$a_{1}(x)a_{2}(y)=c_{1}(x)c(2(y)+c_{1}(x)d_{2}(y)+d_{1}(x)c_{2}(y)+d_{1}(x)d_{2}(y)$

Nur der dritte Term ist nicht normalgeordnet und es gilt laut Voraussetzungen

$d_{1}(x)c_{2}(y)=\pm c_{2}(y)d_{1}(x)+z(x,y),$

also $T(a_{1}(x)a_{2}(y))=N(a_{1}(x)a_{2}(y))+z(x,y).$

Nummt man den VEW beider Seiten, folgt P(x,y)= z(x,y) und damit ist die Wick-Zerlegung hier fertig. Wenn zwei Felder ganz kommutieren oder antikommutieren, also z(x,y)=0, gibt es keinen Propagator, anders gesagt er ist Null. Ein Induktionschritt wird das zentrale Stück des Beweises. Wir nehmen an, dass Punkt (n+1) bereits den kleinste Zeitwert hat.

$T(1,2,...,n,n+1)=T(1,2,...,n)\cdot a_{n+1}(x_{n+1})=N(1,2,...n)\cdot a_{n-1}(x_{n+1})+$

$\sum _{p}sgn(1,p)\;P(p1,p2)\;N(p3,...,pn)\cdot a_{n+1}(x_{n+1})+...$

Es muss in jedem Term der neue Feldoperator ins Normalprodukt eingearbeitet werden, also typisch mit einem k>m, der Ausdruck

$N(1,...m)\cdot (c_{k}(x_{k})+d_{k}(x_{k}))=$

$\sum _{S\in P(m)}sgn(S)\prod _{i\in S}c_{i}(x_{i})\;\prod _{j\in {\bar {S}}}d_{j}(x_{j})\cdot c_{k}(x_{k})+$

$\sum _{S\in P(m)}sgn(S)\prod _{i\in S}c_{i}(x_{i})\;\prod _{j\in {\bar {S}}}d_{j}(x_{j})\cdot d_{k}(x_{k})$

Die letzte Teilsumme besteht bereits aus Termen des Normalproduktes N(1,...,m,k). In jedem Term der anderen Teilsumme wird per (Anti)vertauschung aus dem letzten Produkt

$d_{j}(x_{j})c_{k}(x_{k})=\pm c_{k}(x_{k})d_{j}(x_{j})+P(x_{j},x_{k}),$

also ein Propagator erscheint, denn (j,k) sind zeitgeordnet. Der Propagator multipliziert einen vorausgesetzten Normalprodukt-Term, ist also vom gewünschten Wickschen Typ. Im Rest wird unser $c_{k}(x_{k})$ schrittweise nach links getauscht, jedes Mal fallen mit einem Propagator die richtige Art von Termen ab. Letztendlich kommt $c_{k}(x_{k})$ bei den anderen Erzeugern an und zieht so in seinen Normalprodukt-Term ein.

Dyson-Reihe der Störungsrechnung

Die Dyson-Reihe ist das formale Integral einer Vektor-Differenzialgleichung mit zeitabhängiger Matrix

${\dot {y}}(t)=M(t)y(t)\;\Rightarrow \;y(t)=U(t,0)y(0);\quad U(t,s)={\text{T-exp }}{\Big (}\int _{s}^{t}dt'\;M(t'){\Big )}$

Der zeitgeordnete Exponential-Operator wurde schon mal angetroffen, bei der Diskussion der Zeitentwicklung von Schrödinger-Wellen.

Bei Quantenfeldern kommt das Prinzip wieder herein, sozusagen eine Nummer größer. Die Feldoperatoren leben im Heisenberg-Bild und haben Bewegungsgleichungen, worin a(*) ein Tupel von Feldern meint.

$\partial _{t}a(t,{\vec {x}})=i[H\{a\},a(t,{\vec {x}})].$

Der Hamilton-Operator ist ein Raumintegral bei festgehaltener Zeit über eine Operator-Dichte, in der quadratische und höhere Produkte der Felder und ihrer Ableitungen vorkommen. Unter den Feldkomponenten gibt es kanonische Paare $a(t,{\vec {x}})\to (q(t,{\vec {x}}),p(t,{\vec {x}}))$, zwischen denen kanonische (Anti-)Kommutator-Gleichungen zu jeder festen Zeit t bestehen. Es wird angenommen, dass alle auftretenden Operatorprodukte zu Normalprodukten frisiert sind.

Von der Hamilton-Dichte spalten wir die rein bilinearen Terme ab als freie Dichte und nennen die höheren Terme die Wechselwirkung W.

$H(a)=H_{0}(a)+W(a)$

meint im Folgenden die Operatoren als Raumintegrale der Dichten, bei gegebener Zeit t. Zum freien Hamilton-Operator $H_{0}(a_{0})$ gibt es geschlossene Operator-Entwicklungen als ebene Wellen mit freien Feldern $a_{0}$, wie im vorigen Kapitel ausgeführt wurde. Nun werde die Wechselwirkung weit in der Vergangenheit eingeschaltet und weit in der Zukunft wieder ausgeknipst. Die gekoppelten Felder, die dem vollen Hamilton-Operator gehorchen, sollen zu jeder Zeit unitär äquivalent sein zu den freien Feldern,

$a(t,{\vec {x}})=U^{-1}(t)a_{0}(t,{\vec {x}})U(t);\quad a_{0}(t,{\vec {x}})=U(t)a(t,{\vec {x}})U^{-1}(t).$

Die Störungsrechnung will diesen Ansatz ausbauen und den unitären Operator U(t) als Reihe in Potenzen der Wechselwirkung entwickeln. Zusätzlich fordern wir, dass U(t) stetig differenzierbar und dass das Vakuum ein Eigenvektor der Operatoren U(t) sei,

$U(t)|0\rangle =u(t)|0\rangle ;\quad U(t)^{-1}|0\rangle =u^{*}(t)|0\rangle .$

Die Operatoren $H,\;H_{0},\;W$ transformieren sich wie die Felder, z.B.

$H(a)=U^{-1}H(a_{0})U;\quad W(a)=U^{-1}W(a_{0})U$

Sei ${\dot {U}}$ die Zeitableitung von U(t), dann folgt aus $0=\partial _{t}(UU^{-1})$ die Formel

${\dot {U}}^{-1}=-U^{-1}{\dot {U}}U^{-1}.$

Nun wird die Zeitableitung der Feldersammlung $a_{0}$ auf zwei Arten ausgedrückt.

${\dot {a}}_{0}=\partial _{t}(UaU^{-1})={\dot {U}}aU^{-1}+U(i[H(a),a])U^{-1}+Ua{\dot {U}}^{-1}$

$={\dot {U}}aU^{-1}-UaU^{-1}{\dot {U}}U^{-1}+i(U[H_{0}(a),a]U^{-1}+U[W(a),a]U^{-1})$

Im reellen Term setzt man ein $a=U^{-1}a_{0}U$ und im imaginären Term

$H_{0}(a)=U^{-1}H_{0}(a_{0})U$ und so fort,

${\dot {a}}_{0}=[{\dot {U}}U^{-1},a_{0}]+i[H_{0}(a_{0}),a_{0}]+i[W(a_{0}],a_{0}]$

Der mittlere Term ist wieder die Zeitableitung ${\dot {a}}_{0}$ der freien Felder. Folglich verschwindet dieser Kommutator für alle freien Felder, zu jeder Zeit t:

$[{\dot {U}}U^{-1}+iW(a_{0})\;,\;a_{0}]=0$

Weil diese Felder eine irreduzible Darstellung im Hilbertraum haben, schließt man wie beim Schurschen Lemma, dass der fragliche Operator eine skalare Funktion ist, also gibt es ein w(t) so dass

${\dot {U}}U^{-1}=-i(W(a_{0})+w(t))=:-iV(a_{0}(t))\;\Rightarrow \;{\dot {U}}=-iVU.$

Das ist die Differenzialgleichung der zeitabhängigen "Matrix" U(t) als Funktion einer auch zeitabhängigen, aber hoffentlich nur freie Felder enthaltenden "Matrix" V. Das Integral wäre vom Typ

$U(t,s)={\text{T-exp }}{\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;V(t'){\Big )}.$

Dabei definiert man natürlich $U(t,s):=U(t)U^{-1}(s)$.

Die Iteration der zu ${\dot {U}}=-iVU$ äquivalenten Integralgleichung

$U(t,s)=1-i\int _{s}^{t}dt'\;V(t')U(t',s)$

führt auf die Reihenentwicklung

$U(t,s)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-i)^{n}\int _{s}^{t}dt_{1}\int _{s}^{t_{1}}dt_{2}...\int _{s}^{t_{n-1}}dt_{n}\;T(V(t_{1})V(t_{2})...V(t_{n}))$

Hier wurde gleich das T-Produkt gesetzt, weil die Zeitargumente geordnet sind, $t_{1}\geq t_{2}\geq ...\geq t_{n}$.

Nun werden für einen Term alle Permutationen von $\{t_{1},t_{2}...t_{n}\}$ genommen, und wegen des T-Operators ist der Integrand invariant bei Permutationen. Die Summe davon ist ein Integral über den ganzen Hyperwürfel von Intervallen [s,t]. Man teilt sie durch n! und erhält die schönere Entwicklung

$U(t,s)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{s}^{t}dt_{1}\int _{s}^{t}dt_{2}...\int _{s}^{t}dt_{n}\;T(V(t_{1})V(t_{2})...V(t_{n}))$

Weil sie abgesehen vom T wie eine Exponentialreihe aussieht, präsentiert man sie in der Form

$U(t,s)={\text{T-exp }}{\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;V(t'){\Big )}$

Nun ist V(t)=W(t)+w(t) mit einer Funktion w(*) die mit sich selbst und allem anderen vertauscht. Für letztere ist die Reihe gleich der gewöhnlichen Exponentialfunktion ihres Integrals, setzen wir

${\bar {w}}(t,s)=\exp {\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;w(t'){\Big )}$

Mehr noch, dies kann als Faktor aus U(t,s) ausgeklammert werden:

$U(t,s)={\text{T-exp }}{\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;W(t'){\Big )}\cdot {\bar {w}}(t,s)$

Entwicklung der N-Punkt-Funktionen

Sei ein zeitgeordnetes Operator-Feldprodukt $Z=a_{1}(x_{1})a_{2}(x_{2})...a_{n}(x_{n})$ gegeben. Jeder Faktor wird über den U-Operator mit einem freien Feld verknüpft,

$a_{i}(x_{i})=U^{-1}(t_{i})a_{0i}(t_{i},{\vec {x}}_{i})U(t_{i})$

Man gibt sich eine weit entfernte Zeit t vor, so dass

$t>t_{1}\geq t_{2}\geq ...\geq t_{n}>(-t).$

Damit kommen Verbindungsstücke vom Typ $U(t,s):=U(t)U^{-1}(s)$ herein:

$Z=U^{-1}(t)U(t,t_{1})a_{01}(x_{1})U(t_{1},t_{2})a_{02}(x_{2})U(t_{2},t_{3})...a_{0n}(t_{n})U(t_{n},-t)U(-t)$

Alle Feldoperatoren werden nach vorn gezogen, der Fehler wird mit einem T-Operator berichtigt, und alle Verbindungen verschmelzen:

$Z=U^{-1}(t)\cdot T[a_{01}(x_{1})...a_{02}(x_{2})...a_{0n}(x_{n})\cdot U(t,-t)]U(-t)$

Jezt wird rechts und links der normierte Vakuumzustand angesetzt. Laut Voraussetzung ist er ein Eigenvektor der U-Operatoren und man kann deren Einwirkung so herausziehen:

$\langle 0|Z|0\rangle =\langle 0|U^{-1}(t)U(-t)|0\rangle \cdot \langle 0|T[a_{01}(x_{1})...a_{02}(x_{2})...a_{0n}(x_{n})\cdot U(t,-t)]|0\rangle$

Man kann sogar die Operatoren in dem Faktor vertauschen und noch den Kehrwert bilden, also

$\langle 0|U^{-1}(t)U(-t)|0\rangle =\langle 0|U(-t)U^{-1}(t)|0\rangle =\langle 0|U(-t,t)|0\rangle =1/\langle 0|U(t,-t)|0\rangle$

Damit hat $\langle 0|Z|0\rangle$ die Form P/Q, wo im Zähler wie im Nenner der Operator U(t,-t) vorkommt. Dieser ist ein zeitgeordnetes Exponential mal dem Zahlenfaktor ${\bar {w}}(-t,t)$, welcher nun gekürzt wird.

$\langle 0|Z|0\rangle ={\frac {\langle 0|T[a_{01}(x_{1})...a_{0n}(x_{n})\cdot \exp {\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;W(t'){\Big )}]|0\rangle }{\langle 0|{\text{T-exp}}{\Big (}-i\int _{s}^{t}dt'\;W(t'){\Big )}|0\rangle }}$

Die Störungsreihe erlaubt es uns, die VEWe von (zeitgeordneten) Operatorprodukten gekoppelter Felder durch die VEWe der Produkte freier Felder auszudrücken. Weil diese mit der Wick-Zerlegung zu Produkten von Propagatoren werden, entwickelt man letztlich die gesuchten VEWe ganz in Propagatoren. Die Kombinatorik der ganzen Sache ist die Reihe der Feynman-Graphen.

Jeder Faktor W(t) der Wechselwirkung ist ein Stück Hamilton-Operator, genauer gesagt ein Raumintegral über typischerweise ein Polynom aus freien Operatorfeldern

$W(t)=W(a_{0},t)=\int d^{3}x\;h(a_{0}(t,{\vec {x}}))$

In den Termen der Dysonreihe werden daraus vierdimensionale Integrale $\int _{-t}^{t}d^{4}x\;h(a_{0}(x))$ und man geht ohne zu zögern zum Grenzwert bei unendlicher Zeit.

Ein Term der Ordung k im Zähler hat also folgende Gestalt

${\frac {(-i)^{k}}{k!}}\int d^{4}y_{1}\;d^{4}y_{2}...d^{4}y_{k}\;T[a_{01}(x_{1})...a_{0n}(x_{n})\cdot h(a_{0}(y_{1}))...h(a0(y_{k}))]$

Es ist ein Integral über T-produkte freier Felder, denn jeder Faktor h(*) ist ein, übrigens bereits normalgeordnetes, Polynom dieser Felder. Diese T-produkte zerfallen in Propagator-Produkte, aber nur solche, für die eine Paarung der Felder nichtverschwindende Propagatoren bringt. Die relevanten Terme werden aus der Wick-Zerlegung herausgeklaubt.

Wenn zum Beispiel h(a(y)) = :A(y)B(y)C(y): ein normalgeordnetes Produkt aus drei Feldern ist, können die nicht am selben Ort untereinander paaren. Jedes muss einen anderen Knotenpunkt y' oder einen Randpunkt x finden, wo ein noch ungenutztes Feld bereit ist, einen nichttrivialen Propagator zu bilden. Ein Term in der Entwicklung entspricht einem Graphen mit n Randknoten und k inneren Knoten. Die inneren verbinden je 3 Linien, die Knoten am Rand nur eine, da sie nur eine Feldvariable ins T-Produkt einbringen. Der Typ einer Linie ist der Typ des Propagators. Ist der Propagator symmetrisch P(x,y)=P(y,x), haben seine Linien keine Orientierung. Bei unsymmetrischen Propagatoren sind solche Linien gerichtet und tragen einen Pfeil.

Die Sache wird interessant, wenn die Graphen Schleifen haben, auch geschlossene Wege oder Maschen genannt. Die Integrale über die drei einfachsten Schleifenprodukte von Propagatoren der Quantenelektrodynamik, nämlich Elektron-Positron, Elektron-Photon und Elektron-Elektron-Photon, ergeben Unendlich. Der Durchbruch der QED kam um etwa 1950, weil es gelang, systematisch mit einem Renormierungs-Algorithmus die Divergenzen auf die unbeobachtbaren nackten Ladungen und Massen zu verschieben, so dass alle Feynman-Graphen aller Ordnungen zugleich konvergierten.

Der Nenner im obigen Ausdruck für die n-Punkt-Funktion besteht aus Graphen, die keine Randknoten, sondern nur welche mit den Wechelwirkungs-Operatorprodukten haben. Sie heißen Vakuumblasen. In der Ordnung N der Blasensumme kommen auch alle unzusammenhängenden Graphen vor, zum Beispiel Paare von Blasen der Ordnung K und N-K. Im Zähler gibt es auch alle unzusammenhängenden Graphen, von denen nur Teile mit den Randknoten Kontakt haben. Zu einen Graphen, dessen innere Vertizes alle einen Weg zu einem Randknoten haben, kommen alle anderen, wo ein Term aus der Vakuumblasen-Reihe daneben liegt. Die Blasensumme kann als Faktor abgetrennt werden. Daher wird der Nenner weggekürzt und das endgültige Rezept der Störungsreihe besagt: Man summiere über alle blasenfreien Graphen. Das sind die Graphen mit vollem Randkontakt, genannt die verbundenen Graphen.

Beispiel mit drei Operatorfeldern

Wir denken uns ein Modell mit drei Feldern $A,\psi ,{\bar {\psi }}$ und zwei Propagatoren

$D(x-y)=\langle 0|T(A(x)A(y))|0\rangle ;\quad S(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle$

Der Propagator D ist symmetrisch, S ist unsymmetrisch, also orientiert. Alle anderen Paarungen haben Null-Propagatoren. Der Wechselwirkungterm sei das Produkt ${\bar {\psi }}A\psi$. Jeder innere Knoten benötigt also eine einlaufende und eine auslaufende S-Linie (Elektron, Positron als Fermionen) plus eine D-Linie (Photon als Boson). Das Modell ist eine Karikatur der QED, wo alle Indizes und Konstanten weggelassen wurden.

Die Vierpunkt-Funktion des Operators

$\psi (x1)\psi (x2){\bar {\psi }}(x3){\bar {\psi }}(x4)$

hat Graphen kleinster Ordnung mit zwei inneren Knoten, y1 und y2. Der simpelste davon: Eine S-Linie geht von x1 über y1 nach x3, die andere von x2 über y2 nach x4. Ein D-Propagator verbindet y1 und y2. Ein zweiter Graph macht es genauso, nur sind x3 und x4 vertauscht. Der Prozess ist die elastische Streuung. Zwei Elektronen erscheinen bei x1,x2 und tauschen ein virtuelles Photon aus bei y1,y2. Dann verschwinden sie bei x3,x4.

Weil die zwei Graphen sich durch Vertauschung zweier Fermion-Linien unterscheiden, gibt es ein Minuszeichen im Spielzeug-VEW:

S(x1-y1)S(y1-x3)S(x2-y2)S(y2-x4)D(y1-y2) -

S(x1-y1)S(y1-x4)S(x2-y2)S(y2-x3)D(y1-y2)

Über die inneren Raumzeit-Variablen y1,y2 wird integriert, und für S-Matrix-Amplituden werden alle Propagatoren zu den äußeren x-Variablen amputiert, was weiter unten drankommt.

 (x1)-->S>--(y1)-->S>--(x3)   (x1)-->S>--(y1)-->S>--(x4)
             |                            |
             D             -              D
             |                            |
 (x2)-->S>--(y2)-->S>--(x4)   (x2)-->S>--(y2)-->S>--(x3)

In höherer Ordnung wird die D-Linie aufgetrennt mit zwei neuen Vertizes y3,y4, die zwei gegenläufige S-Propagatoren kontaktieren. Anschaulich, das virtuelle Photon spaltet sich kurzzeitig in ein Elektron-Positron-Paar. Eine innere S-Linie könnte auch zwei neue innere Knoten bekommen, zwischen denen ein S und parallel ein D vermitteln. Bildlich, das Elektron entsendet ein virtuelles Photon, um es sofort wieder einzufangen. In allen Ordnungen betrachtet, sind sowohl das Elektron wie das Photon in Wolken von virtuellen Teilchen eingehüllt. Ihre Propagatoren müssen renormiert werden. Die Verzierungen des Photons heißen die Vakuum-Polarisation, die des Elektrons, seine Selbstenergie.

         /-->S>--\            (*)-->S>--(yi)-->S>--(yk)-->S>--(*)
         |       |                       |          |
(*)--D--(yi)    (yk)--D--(*)             \-----D----/
         |       |
         \--<S<--/

Auch jeder innere Knoten hat eine Komplikation mit Schleifenbildung, nämlich ein D-Propagator wird nahe dran zwischen den beiden S-Beinen eingesetzt. Man spricht von einer Vertex-Korrektur.

                      /----------D---------(*)
                      |       
(*)-->S>--(yi)-->S>--(yj)-->S>--(yk)-->S>--(*)
           |                     |
           \----------D----------/

Ein Operator $\psi (x1)A(x2)A(x3){\bar {\psi }}(x4)$ beschreibt die Streuung von Photonen an Elektronen. Zwei innere Knoten: entweder x1 und x2 verschmelzen zum inneren S-Propagator, oder x1 hat einen Knoten gemeinsam mit x3. Im ersten Fall wird das Photon eingefangen, bevor ein anderes abgesendet wird. Im zweiten wird erst gesendet, danach eingefangen. Beide Graphen zusammen machen die niedrigste Ordnung aus.

 (x1)-->S>--(y1)-->S>--(y2)-->S>--(x4)
             |          |               +
 (x2)--D----/           \-----D---(x3)
              
 (x1)-->S>--(y1)-->S>--(y2)-->S>--(x4)
             |          |             
 (x2)--D---------------/     --D--(x3)
             \--------------/ 

Die Streuung von Elektron und Positron wird so codiert, dass ein einlaufendes Positron den Operator ${\bar {\psi }}$ und ein auslaufendes den Operator ψ bekommt. In den zwei kleinsten Graphen tauschen die beiden ein Photon oder sie verschmelzen zu einem virtuellen Photon, das sich wieder spaltet.

 (x1)-->S>--(y1)-->S>--(x3)   (x1)-->S>-\        /->S>--(x3)
             |                          |        |
             D             -           (y1)--D--(y2)
             |                          |        |
 (x2)--<S<--(y2)--<S<--(x4)   (x2)--<S<-/        \-<S<--(x4)

Auch hier ein Minus, weil nur die Fermion-Vertauschung x2,x3 die Diagramme unterscheidet. Die Richtung der Pfeile suggeriert die Merkregel: Positronen sind äquivalent zu Elektronen, die sich rückwärts in der Zeit bewegen.

Noch ein kleines Bild der ersten Vakuumblase des Modells:

 /--->S>--\ 
 |        | 
(y1)--D--(y2)
 |        |
 \---<S<--/

Zur Auswertung der Graphen

Es gibt zwei Ordnungszahlen in der Graphenreihe, die Zahl der inneren Knoten und die Zahl der unabhängigen Schleifen. Die erste ist die Potenz der Kopplungskonstante in der Reihenentwicklung, die zweite ist die Potenz der Planckschen Wirkung. Die reinen Baumgraphen haben eine minimale Zahl von Propagatoren, konstant für jede Zahl von Knoten. Jede neue Schleife bringt einen Propagator mehr, und diese enthalten das Wirkungsquantum, wäre es nicht mit der Konvention ℏ=c=1 unterdrückt worden. Die Graphen ohne Schleifen sind also eine quasiklassische Approximation, die mit Schleifen bringen die höheren Quantenkorrekturen ins Spiel. Würde man den Hamilton- Operator zu einem klassisches Hamilton-Funktional einer klassischen Kontinuums-Mechanik abwerten, dann kämen in der Tat aus der Reihe der Baumgraphen gewöhnliche Lösungen der gekoppelten Wellengleichungen. (Da wären eher retardierte als Feynmansche Propagatoren zu benutzen.)

Weil die inneren Knoten beliebig umnummeriert werden können, muss abgezählt werden, wie viele verschiedene Propagatorprodukte aus der Wick-Zerlegung auf einen Graphen derselben Topologie hinauslaufen. Das bestimmt den kombinatorischen Faktor des Graphen. Außerdem muss bei Fermionen, also bei Propagatoren aus Feldern mit Antivertauschung, genauestens über die Minuszeichen Buch geführt werden. Die Sache wird hier nicht durchexerziert, nur weiter unten in den Feynman- Regeln der QED kommen die wichtigsten Rezepte zu Papier.

Die letzten Abschnitte dieser Quantenmechanik werden behandeln, wie die VEWe mit der S-Matrix zusammenhängen und warum deshalb die Feynman-Diagramme versprechen, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Endprodukte zu berechnen, wenn die Teilchen Elektronen, Positronen und Photonen miteinander reagieren. Diese Wahrscheinlichkeiten, bei Streuprozessen als Wirkungsquerschnitte präsent, sind die Betragsquadrate der Quanten-Amplituden (der S-Matrix-Elemente) mal kinematische Faktoren, die an sich ein Extra-Kapitel nötig hätten.

Die Feynman-Propagatoren der freien Felder

Die freien Felder des letzten Abschnitts haben folgende gemeinsame Eigenschaften.

• Ihre Zerlegung in Fourier-Koeffizienten ergibt

$a(x)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k\;[f(k,s)b(k,s)e^{-ikx}+g(k,s)c^{\dagger }(k,s)e^{ikx}],$

$a^{\dagger }(x)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k\;[g^{*}(k,s)c(k,s)e^{-ikx}+f^{*}(k,s)b^{\dagger }(k,s)e^{ikx}].$

f,g sind zahlenwertig, b,c und ihre Ajungierten sind Operatorfelder

• Felder b,c sind Vernichter und ihre Adjungierten sind Erzeuger,

$b(k,s)|0\rangle =0;\quad c(k,s)|0\rangle =0;\quad \langle 0|b^{\dagger }(k,s)=0;\quad \langle 0|c^{\dagger }(k,s)=0.$

• Vernichter und Erzeuger untereinander kommutieren bzw. antikommutieren
• Felder mit ungleichen Symbolen kommutieren oder antikommutieren
• $a(k,s)a^{\dagger }(g,r)\pm a^{\dagger }(g,r)a(k,s)=\delta _{sr}\;\delta ^{3}(k-g)$

also jedes Feld hat kanonische (Anti)vertauscher mit dem Adjungierten

Daraus folgt, dass in der Ort-Zeit-Darstellung solche Felder einen zahlenwertigen (Anti)Kommutator haben, etwa $[a(x),d(y)]=z(x-y)$, nicht nur zu gleicher Zeit. Denn die einzigen überlebenden Paare im Impulsraum produzieren die feldfreien Faktoren

$\delta _{sr}\;\delta ^{3}(k-g)\exp(i(kx-gy)),{\text{ also }}\exp(ik(x-y))$

nach der g-Integration. Das ist direkt eine Fourierdarstellung der Kommutatorfunktion.

Weiter folgt, dass die Produkte von Paaren solcher Felder einen zahlenwertigen VEW haben vom Typ $\langle 0|a(x)b(y)|0\rangle =z'(x-y)$.

In Impulsdarstellung bleiben nämlich nach Voraussetzung nur Terme wie $\langle 0|b(k,s)a^{\dagger }(g,r)|0\rangle$. Hier ersetze man unbeschadet das Produkt durch den (Anti)kommutator, denn das Vakuum tötet den vertauschten Term. Dann bleibt aber wie vorhin eine Deltafunktion und nur ein Faktor exp(ik(x-y)). Fertig ist die Fourierzerlegung des Feldproduktes. Insbesondere haben die zeitgeordneten Produkte einen VEW von dieser Form, ihren Feynman-Propagator.

$\langle 0|T(a(x)b(y))|0\rangle =P^{ab}(x-y).$

Der Feynman-Propagator lässt sich interpretieren als die Amplitude dafür, dass ein Teilchen am früheren der zwei Punkte erzeugt und das selbe oder ein anderes am späteren vernichtet wird. In einem freien Feld wie a(x) überlagern sich gleichviel Beiträge von Erzeuger- und von Vernichter-Operatoren, wie die Fourier-Analyse zeigt. Nur der Erzeuger-Anteil von a bzw. b koppelt an das Vakuum rechts und nur der Vernichter-Anteil an das Vakuum links.

Es ist nur eine Sache des fleißigen Rechnens, diese Kommutatoren und Propagatoren in geschlossener Form zu bestimmen, sowie ihre mathematischen Eigenschaften. Das erfolgte ausgiebig seit Urzeiten. Einige Fakten werden hier ohne Beweis angegeben, später sollte ein Anhang die nötige Mathematik nachliefern. Allgemein handelt es sich um Distributionen, die starke Delta-Singularitäten aufweisen, besonders bei der Massenschale $k^{2}=k_{0}^{2}-{\vec {k}}^{2}=m^{2}$ im Impulsraum. Immer wieder erscheint der Faktor $1/(k^{2}-m^{2}+i\epsilon )$ der besagt, dass bei dieser Distribution im Integral über glatte Testfunktionen der Grenzwert eines komplexen Kontur-Integrals zu errechnen ist.

Viele freie Felder haben einen lokalen Differenzialoperator D(x) mit der Eigenschaft D(x)a(x)=0. Es ist die Wellengleichung. Wenn a,b die Gleichung erfüllen, dann tut der VEW eines Operatorproduktes es ebenfalls, im ersten Argument sei er anzuwenden.

$P_{0}^{ab}(x-y)=\langle 0|a(x)b(y)|0\rangle \;\Rightarrow \;D(x)P_{0}(x-y)=0.$

Die Distribution gehört zum Kern des Differenzialoperators.

Die Distribution des (Anti)Kommutators $P_{1}^{ab}(x-y)$ gehört ebenfalls zu diesem Kern. Eventuell hat das Feld b einen modifizierten D-Operator, weil adungiert zum Feld a. Hat der Operator D(x) die richtigen Eigenschaften, geht es gut.

Die Feynman-Propagatoren sind anders. Bei der Zeitordnung stoßen am Nullpunkt unstetige Dinge zusammen, ein Antikommutator bei Boson-Feldern oder ein Kommutator bei Fermion-Feldern. Es kommt heraus, dass der Feynman-Propagator modulo trivialer Faktoren die Distributions-Gleichung erfüllt

$P^{ab}(x-y)=\langle 0|T(a(x)b(y))|0\rangle \;\Rightarrow \;D(x)P^{ab}(x-y)=\delta ^{4}(x-y).$

Anders gesagt, der Feynman-Propagator ist eine Greensche Funktion des Wellengleichungs-Operators D(x).

Die Greenschen Funktionen lösen inhomogene Differenzialgleichungen D(x)f(x)= g(x). Eine Lösung f ist die Faltung von g mit einer Green-Funktion, $f(x)=\int d^{n}y\;G(x-y)g(y)$. Es gibt haufenweise Green-Funktionen, denn man kann eine beliebige Distribution aus dem Kern des Operators D dazu addieren. Mit speziellen Anfangsbedingungen gibt es retardierte und avancierte Green-Funktionen, die eine Quelle der Inhomogenität nur in die Zukunft oder nur in die Vergangenheit ausbreiten. Es gibt symmetrische und antisymmetrische Green-Funktionen, etc.

Ein Feynman-Propagator als Green-Funktion hat gleich viele retardierte und avancierte Anteile. Eine Randbedingung dieser Propagatoren ist, dass sie symmetrisch unter einer CPT-Operation sind. Werden zugleich Teilchen mit Antiteilchen vertauscht, die Raumkoordinaten am Nullpunkt gespiegelt und die Zeitkoordinate umgeklappt, bleibt der Feynman-Propagator intakt. Wenn nun die Störungsrechnung alles nach Feynman-Propagatoren auflöst, dann sind die Quantenamplituden der Prozesse CPT-invariant. Wie beim Spin-Statistik-Theorem hat die axiomatische Feldtheorie unter sehr allgemeinen Annahmen bewiesen, dass alle relativistisch invarianten Quantenfeldtheorien die CPT-Symmetrie haben. Auch diese Vorhersage ist experimentell wahr. Es gibt keinen Prozess zwischen Teilchen, der CPT verletzt. Wohl gibt es Prozesse, die unsymmetrisch bezüglich C, P, CP oder T verlaufen. Eine wichtige Entdeckung war seinerzeit, dass die schwache Wechselwirkung die Parität P maximal verletzt.

Propagator der skalaren Felder

Für das skalare Wellenfeld rechnen wir ein bisschen, denn es liefert die grundlegendsten Elemente für die Propagatoren der anderen.

$q(x)=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3/2}(2k_{0})^{1/2}}}[a(k)e^{-ikx}+a^{\dagger }(x)e^{ikx}];$

$k_{0}={\sqrt {{\vec {k}}^{2}+m^{2}}};\quad kx=k_{0}x_{0}-{\vec {k}}{\vec {x}}$

Im VEW $Q=\langle 0|q(x)q(y)|0\rangle$ bleiben nach der allgemeinen Betrachtung nur Terme

$\langle 0|a(k)a^{\dagger }(g)|0\rangle =\delta ^{3}(k-g),$

$Q(x-y)=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}(2k_{0})}}e^{-ik(x-y)}$

Der VEW des T-Produktes, also der gesuchte Propagator P(x-y),

$P(x)=Q(x)\theta (x_{0})+Q(-x)\theta (-x_{0})$

hat den Integranden

$e^{-ikx}\theta (t)+e^{ikx}\theta (-t)$ mit der Zeitvariablen $t=x_{0}.$

Zur positiven Zeit sind es positive Frequenzen, definiert als das, was bei Schrödinger-Wellen die Norm ist. Zu negativer Zeit, nur negative Frequenzen. Man kann den Raum-Anteil der Exponentiale ausklammern, wenn man im zweiten Term ${\vec {k}}\to (-{\vec {k}})$ substituiert, was den Wert des dreidimensionalen Integrals nicht ändert. Bezeichne $k_{0}=E$.

Erinnerung, $kx=Et-{\vec {k}}{\vec {x}}$ (Lorentz-Produkt).

Der entscheidende Trick ist nun,

$e^{-iEt}\theta (t)/(2E)+e^{+iEt}\theta (-t)/(2E)$

einheitlich darzustellen. Den ersten Teil für (t>0), den zweiten für (t<0) zu wählen.

Nach Cauchys Residuensatz hat ein Integral einer Funktion f(z) in der komplexen Ebene für einen geschlossenen Weg (einmal gegen den Uhrzeigersinn herum) den Wert $2\pi i\cdot g(z_{0})$,

• wenn die Funktion die Form $f(z)=g(z)/(z-z_{0})$ hat,
• wenn $z_{0}$ ein Punkt im Inneren der Kurve
• und wenn die komplexwertige Funktion g im Inneren analytisch ist.

Damit wird jetzt gespielt.

$f(z):=e^{-izt}/(z^{2}-E^{2})$ hat Pole $z_{0}=\pm E.$

Ein Cauchy-Kringel gegen den Uhrzeiger um (-E) liefert $e^{iEt}/(-2E),$

Einer um (+E) ergibt das Residuum $e^{-iEt}/(2E).$

Man möchte, dass die Kurve praktisch die reelle Achse wird, geschlossen mit einem Halbkreis mit unendlich werdendem Radius. Auf der reellen Achse ist das Kontur-Integral gleich dem gewöhnlichen.

Sei $z=u+iv,\;t\neq 0,\;y=e^{-izt}=e^{-iut}e^{vt}.$

Für negatives t fällt y exponentiell ab in der oberen Halbebene, für positives t in der unteren. Eine deformierte reelle z-Achse "C", die bei z=-E kurz nach unten ausweicht und bei z=+E kurz nach oben, macht das Richtige beim obigen Integranden f(z). Bei t<0 wird mit einem oberen Halbkreis geschlossen und der Pol bei -E bestimmt den Integralwert, weil der Beitrag des Halbkreises gegen Null konvergiert. Bei t>0 ergibt die Grenzbetrachtung mit dem unteren Halbkreis, dass das Residuum des Pols von f bei +E herausgefischt wird. Die Kurve im Uhrzeigersinn hier bringt ein Minuszeichen.

$\int _{C}f(z)\;dz={\frac {2\pi i}{(-2E)}}\cdot [e^{-iEt}\theta (t)+e^{+iEt}\theta (-t)]$

Kleine Verbesserung des Konzepts. Nicht die reelle Achse wird abgelenkt, sondern der negative Pol von f wird leicht nach oben verschoben, der positive Pol leicht nach unten. Der Nenner wird

$(z-(E-i\epsilon ))(z-(-E+i\epsilon ))=(z-E+i\epsilon )(z+E-i\epsilon )=z^{2}-E^{2}+\epsilon ^{2}+2iE\epsilon .$

Das Quadrat von ε vernachlässigend und den positiven Term 2Eε zu einem neuen Epsilon umbenennend, wird der Nenner $(z-E)^{2}+i\epsilon$. Als Prozedur mit Grenzübergang 0+ zu verstehen.

Alternativ kann das Integral hergeleitet werden, wenn man zuerst den Stufenfunktionen Integraldarstellungen gibt, mit Cauchy/Halbkreis-Logik:

$\theta (t)={\frac {-1}{2\pi i}}\int dz\;{\frac {\exp(-itz)}{z+i\epsilon }}$

$\theta (-t)={\frac {+1}{2\pi i}}\int dz\;{\frac {\exp(-itz)}{z-i\epsilon }}$

Daraus wird die bei t=0 nicht differenzierbare Funktion

$g(t)=e^{-iEt}\theta (t)+e^{+iEt}\theta (-t)$

berechnet mit Substitutionen und Epsilon-Manipulationen. Das liefert

$g(t)={\frac {-2E}{2\pi i}}\int dz\;{\frac {\exp(-itz)}{(z-E)(z+E)+i\epsilon }}$

Also später im Propagator P mit 1/(2E) der Faktor i/(2π).

Zurück zum Thema, der einheitlichen Darstellung von

$P(x)=\int {\frac {d^{3}p\;\exp(i{\vec {p}}{\vec {x}})}{(2\pi )^{3}\cdot 2E({\vec {p}})}}[e^{-iEt}\theta (t)+e^{iEt}\theta (-t)];\quad E^{2}={\vec {p}}^{2}+m^{2}.$

Die reelle Achse des Integraltricks ist die Achse $p_{0}=z$. Der Nenner (z²-E²+iε) der trickreichen Darstellungsfunktion f(z) wird mit $E^{2}={\vec {p}}^{2}+m^{2}$ identifiziert als

$(p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}+i\epsilon ),$

schließlich ist noch durch Cauchys Faktor (2πi) zu teilen und ein Minuszeichen zu verwerten. Der Propagator wird damit insgesamt

$P(x)=i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-ipx)}{(pp)-m^{2}+i\epsilon }}$

worin (pp) das Lorentz-Skalarprodukt meint. Auch (px) ist ein Lorentz-Skalarprodukt. Damit folgt, dass P unter den Lorentzgruppe invariant ist, denn das Integralmaß ist es auch.

Ebenfalls folgt, was der Klein-Gordon-Operator angewandt auf P ergibt

$(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})P(x)=-i\delta ^{4}(x).$

Die offizielle Definition des skalaren Feynman-Propagators lautet:

$i\Delta _{F}(x)=P(x)\;\Rightarrow \;(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})\Delta _{F}(x)=-\delta ^{4}(x).$

$\Delta _{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp(-i(px))\;{\hat {\Delta }}_{F}(p,m);\quad {\hat {\Delta }}_{F}(p,m)={\frac {1}{(pp)-m^{2}+i\epsilon }}$

Der Propagator, ein Lorentz-invarianter Integralkern, ist als Green- Funktion eine Art Inverser zum Klein-Gordon-Operator unter Zusatzbedingungen. Seine explizite Darstellung im Ortsraum wird selten benötigt, massiv aber die gezeigte Darstellung im Impulsraum.

Propagator der Spinor- und Vektorfelder

Die Feynman-Propagatoren der freien Maxwell- und Dirac-Felder lassen sich mit Hilfe des skalaren Propagators ausdrücken. Ohne Beweise werden hier die Resultate und Definitionen zusammengestellt.

Den Propagator der Diracfelder formuliert man als eine Matrix, die entsteht, wenn der Spaltenspinor ψ(x) mit dem Zeilenspinor ${\bar {\psi }}(y)=\psi ^{\dagger }(y)\gamma ^{0}$ operator-multipliziert wird.

$S_{F}(x-y)=i\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle$

Er erfüllt die Gleichungen

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbf {1} )S_{F}(x)=\delta ^{4}(x);\quad S_{F}(x)=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m\mathbf {1} )\Delta _{F}(x).$

Seine Impulsdarstellung lautet

$S_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp(-i(px))\;{\hat {S}}_{F}(p,m);\quad {\hat {S}}_{F}(p,m)={\frac {p_{\mu }\gamma ^{\mu }+m\mathbf {1} }{(pp)-m^{2}+i\epsilon }}$

Produkte der Komponenten von ψ oder ${\bar {\psi }}$ untereinander haben gemäß der allgemeinen Diskussion einen Propagator Null.

Der Propagator des Maxwellfeldes ist eine Matrix aus den Komponenten des Vierervektor-Potenzials. Zunächst als transversaler Propagator definiert,

$i{D_{F}^{T}}_{\mu \nu }(x-y)=\langle 0|T(A_{\mu }(x)A_{\nu }(y)|0\rangle .$

Bei der Strahlungseichung verschwinden die Felder $A_{0}$ und die verbleibenden Raumkomponenten des nicht-kovarianten Propagators sind

${D_{F}^{T}}_{jk}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp(-i(px))\;{{\hat {D}}_{F}^{T}}_{jk}(p);\quad {{\hat {D}}_{F}^{T}}_{jk}(p)={\Big (}\delta _{jk}-{\frac {p_{j}p_{k}}{{\vec {p}}^{2}}}{\Big )}{\frac {1}{(pp)+i\epsilon }}.$

Der transversale Propagator lässt sich aufspalten in drei Teile, den kovarianten Propagator, die Eichterme und die Coulomb-Terme. Die voll durchgerechnete Theorie zeigt, dass nur der kovariante Teil in die Feynman-Graphen einzieht, die anderen kompensieren sich. Dieser kovariante Propagator hat die Form im Impulsraum

${{\hat {D}}_{F}}_{\mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{(pp)+i\epsilon }}$

Man definiert die skalare Distribution

$D_{F}(x)=-\Delta _{F}(x,m\to 0);\quad {\hat {D}}_{F}(p)=-{\hat {\Delta }}_{F}(p,m\to 0).$

Sie genügt der Wellengleichung (Vorzeichen!)

$(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2})D_{F}(x)=\delta ^{4}(x)$

und damit schreibt man auch

${D_{F}}_{\mu \nu }(x)=g_{\mu \nu }\cdot D_{F}(x);\quad {{\hat {D}}_{F}}_{\mu \nu }(p)=g_{\mu \nu }\cdot {\hat {D}}_{F}(p).$

Graphen im Impulsraum

Was passiert, wenn man alle Feynman-Propagatoren in einem Graphen durch ihre Fourier-Entwicklung in ebenen Wellen ersetzt?

$P(x-y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\exp(-i(k(x-y))\;{\hat {P}}(k)$

An jedem inneren Knoten y gibt das Produkt der Propagatoren den Faktor

$\exp {\Big [}i(\sum \nolimits _{h}k_{h}-\sum \nolimits _{j}k_{j})y{\Big ]}$

wo Index h,j über die auslaufenden bzw. einlaufenden Wellenvektoren gehen. Dieser Faktor enthält die ganze y-Abhängigkeit und sein Integral über y ergibt ein $(2\pi )^{4}\delta ^{4}(\sum \nolimits _{h}k_{h}-\sum \nolimits _{j}k_{j})$. Damit lässt sich ein k-Integral einsparen. Die Summe der (einlaufend orientierten) Wellenvektoren, gleich Energien und Impulse, an jedem inneren Knoten ist Null. Diese Impulserhaltung geht einher mit Ausreißern weg von den Massenschalen. Wenn etwa an einem Knoten drei Propagatoren andocken, zwei leichte und ein schwerer, dann wäre im Vergleich zur der Kinematik der entsprechenden Verschmelzung oder Spaltung freier Teilchen die Bilanz unmöglich. Die inneren Propagatoren sind virtuelle Zustände zu betrachten.

Man möchte den Graphen ganz im Impulsraum besehen. An den Randknoten wird aus der Fourier-Zerlegung des Propagators direkt die Komponente ${\hat {P}}(p_{i})$ zum externen Wellenvektor $p_{i}$ geschrieben. Die Raumzeit-Punkte $\{x_{i}\}$ sind unbestimmt, an ihrer Stelle sind die Energien und Impulse der ein- und auslaufenden Partikel bekannt. Aus dem Ausdruck des Graphen fallen alle Faktoren vom Typ exp(i(*)) heraus.

Ist das Diagramm ein Baumgraph, dann sind an den Vertizes alle Impulse eindeutig duch die externen bestimmt: mit der Knotenregel, Impulssumme gleich Null. Es bleibt kein inneres k-Integral übrig. Auch einer der externen Impulse ist eine Funktion der anderen. Das äußert sich in einem Faktor der globalen Impulserhaltung $\delta ^{4}(\sum \nolimits _{i}p_{i})$.

Erst wenn ein Graph Maschen bekommt, bleiben so viele k-Integrale, wie es unabhängige Schleifen in der Topologie gibt. Diese Integrale über Produkte von Propagatoren wurden systematisch untersucht, wichtige Rechentechniken wurden von Feynman erarbeitet. Die ganze Kunst der Renormierung kümmert sich darum, die Divergenzen solcher Propagator-Integrale aus der Welt zu schaffen.

Beispiele mit dem fiktiven ${\bar {\psi }}A\psi$-Modell.

$G(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\int dy_{1}\;dy_{2}\;S(x_{1}-y_{1})S(y_{1}-x_{3})S(x_{2}-y_{2})S(y_{2}-x_{4})D(y_{1}-y_{2})$

Die externen Wellenvektoren $k_{1}...k_{4}$ werden als 'einlaufende' Wellen orientiert, der innere Impuls p geht von $y_{1}$ nach $y_{2}$.

$p=k_{1}+k_{3}=-(k_{2}+k_{4})$.

Der Baumgraph im Impulsraum hat die Form

${\hat {G}}={\hat {S}}(k_{1}){\hat {S}}(k_{2}){\hat {D}}(p){\hat {S}}(k_{3}){\hat {S}}(k_{4})$

Das virtuelle Photon, das ein Elektron begleitet:

$G(x_{1},x_{2})=\int dy_{1}\;dy_{2}\;S(x_{1}-y_{1})S(y_{2}-y_{1})S(x_{2}-y_{2})D(y_{1}-y_{2})$

Der einlaufende Impuls sei $k=k_{1}=(-k_{2})$, der Impuls des D-Propagators sei p. Alle Linien eines Graphen werden, im Prinzip willkürlich, mit der Orientierung ihres Wellenvektors versehen. Man braucht nicht zwangslâufig die Orientierung der S-Propagatoren zu übernehmen.

${\hat {G}}=\int d^{4}p\;{\hat {S}}(k){\hat {S}}(k-p){\hat {D}}(p){\hat {S}}(k)$

Fürs Integral über p ist zunächst oberflächlich zu bestimmen, mit welchen Potenzen die Propagatoren ${\hat {D}},{\hat {S}}$ bei großen Beträgen abfallen. Dann gilt es, irgendwie den Fall zu bereinigen, dass die Potenz nicht hoch genug ist.

Die S-Matrix

Das Quantenfeld-Modell wird im Heisenberg-Bild aufgebaut, während die S-Matrix didaktisch behendiger dem Schrödinger-Bild entspringt. (Paradox, Heisenberg war ein großer Theoretiker der S-Matrix). Beide Bilder haben gemeinsam einen Hamilton-Operator der Zeitentwicklung.

• Schrödinger-Gleichung: Dynamik der Wellen, $i\partial _{t}\psi =H\psi$.
• Heisenberg-Gleichung: Dynamik der Operatoren, $\partial _{t}A=i[H,A]$.

Mit den Schrödinger-Wellen berechnete man Kollisionen etwa so: Man startet mit einem einlaufenden Vielteilchen-Zustand, der mit einer Kollektion von Energie-Impuls-Vektoren und Spin-Indizes die Vorbereitung des Experiments widerspiegelt. Kollapsologisch gesagt, die Vorbereitungs-Apparatur projiziert die einkommende Materie auf einen gut bekannten IN-Zustand, der praktisch ein Tensorprodukt freier Wellen ist; die Wechselwirkung sei noch ausgeschaltet. Dann verwandelt die Schrödingersche Zeitentwicklung die Vielpunkt-Welle in eine Ansammlung von ausgehenden Wellen, die Teile der ursprünglichen Strahlen und Teile aller möglichen auslaufenden Kugelwellen überlagert. Am Ausgang lauert ein ganzer Park von Detektoren, die nach dem Prinzip der Projektionsmessung (volkstümlich: Quantenkollaps) aus dem Wellensalat genau definierte OUT-Zustände herausholen. Diese Endzustände nach dem Kollaps haben ebenfalls Sammlungen von Eigenwerten, speziell Energie-Impuls-Vektoren und Spin-Indizes.

Die Quantenamplitude S = <OUT(t)|U(t,-t)|IN(-t)>, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Messungen abgibt, enthält den unitären Zeitentwicklungs-Operator. Dessen Ableitung nach der Zeit ist der Hamilton-Operator des Modells. Operator U transformiert aus der weiten Vergangenheit (-t) in die weite Zukunft (t), so dass nur dazwischen die Kopplungsteile des Hamilton-Operators wirksam sind.

Hier waren mit IN,OUT-Zuständen die Idealisierungen mit freien Teilchen gemeint. Man kann auch ganz auf die streuenden Wellen setzen. Definiert man als IN'-Zustände die vollen Streulösungen, die bei (-t) wie ebene Wellen aussehen, und als OUT' die hypothetischen einlaufenden Kugelwellen, die sich bei (t) magisch zu ebenen Wellen fügen (man löst die Schrödinger-Gleichung rückwärts), dann ist das S-Matrixelement einfach S = <OUT'|IN'> und ganz zeitunabhängig.

Im Heisenberg-Bild verwandelt sich kein Zustand, nur Operatoren haben eine Zeitentwicklung. Die Idee der Kollapsmessungen soll aber irgendwie eingebaut werden. Wie geht es von den Quantenfeldern zur S-Matrix? Ein ganzer Forschungszweig der S-Matrix-Theorie hat versucht, aus reinen Prinzipien ganz ohne irgendein unzulängliches Feldmodell die S-Matrix zu berechnen. In diesem Text aber haben wir uns das QED-Modell eingefangen und müssen uns damit durchbeißen.

Die Vorbereitungsphase ist eine Kollektion von IN-Feldoperatoren, die aus dem Vakuum mit ihrem Erzeuger-Anteil die einlaufenden Teilchen abholen, in der fernen Vergangenheit bei (-t). Mit einer Definition der Freie-Teilchen-Zustände im Impulsraum, etwa

$|IN\rangle =\prod _{i}a_{IN,i}^{\dagger }(p_{i},s_{i})|0\rangle .$

Die Quantenfelder ändern mit der Zeit, wie was am Zustand gemessen werden muss, aber sie ändern den Zustand selbst nicht.

Die Messphase an Ausgang, zur Zeit (+t) weit vom Reaktionszentrum, hat auch eine Kollektion von OUT-Feldoperatoren, deren Vernichtungskunst die Erzeugnisse der Reaktion wieder ins Vakuum wirft. Der OUT-Zustand ist nur deshalb verschieden vom IN-Zustand, weil er die Zielscheibe des großen Kollapses ist, der bei der Messung hereinbricht.

$|OUT\rangle =\prod _{j}a_{OUT,j}^{\dagger }(q_{j},s_{j})|0\rangle .$

Das S-Matrix-Element ist also bei dieser Betrachtungsweise S=<OUT|IN> und es misst die Amplitude einer Zustandsänderung. Trotz Heisenberg-Bild und zusätzlich zu ihm werden wir hier, zumindest als Arbeitshypothese, den abrupten Mess-Kollaps in die Physik einschleusen.

$S=\langle 0|\prod _{j}a_{OUT,j}(q_{j},s_{j})\prod _{i}a_{IN,i}^{\dagger }(p_{i},s_{i})|0\rangle .$

Die Symbole p,q sind Energie-Impuls-Vektoren, die Symbole s sind Spin/Polarisations-Indizes. Verschiedene Arten von Feldern a sind möglicherweise beteiligt.

Die Feldoperatoren IN und OUT sind isomorph zu freien Feldern zu Zeiten (-t) und (t). Dazwischen entwickeln sich gekoppelte Felder mit Hamiltonscher Dynamik, etwa

$\phi (t')=U(t',-t)\phi _{IN}U(t',-t)^{-1}.$

Die wahren miteinander reagierenden Quantenfelder $\phi (t',{\vec {x}})$ haben als Asymptote in der Vergangenheit die Felder $\phi _{IN}$ und in der Zukunft die Felder $\phi _{OUT}$. Wirklich ernsthafte Bücher führen noch Renormierungs-Faktoren ein, die wir hier unterschlagen.

Spezielle Zeitentwicklungen

Die Differenzialoperatoren D der Dirac- und Klein-Gordon-Gleichung sind beide mit einer erhaltenen Ladungsdichte versehen, in Gestalt einer bi-(besser sesqui-)linearen hermiteschen Form B(f,f). Die Ladungserhaltung gilt für Lösungen f. Sind die zwei Argumente in der Form B(f,g) nicht die gleiche Funktion und nur f erfüllt die Wellengleichung Df=0, dann ist die Zeitentwicklung der "Ladung" durch die Dichte (f,Dg) mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt gegeben.

Gemeint ist das 3D-Skalarprodukt $(f,g):=\int d^{3}x\;f^{*}(x)g(x).$

Beweis, Klein-Gordon:

$Df(t,x)=(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})f(t,{\vec {x}});\quad B(f,g)=i\int d^{3}x\;[f^{*}(x)\partial _{t}g(x)-(\partial _{t}f)^{*}(x)g(x)].$

$\partial _{t}B=i\int d^{3}x\;[f^{*}\partial _{t}^{2}g-(\partial _{t}^{2}f)^{*}g]=i\int d^{3}x\;[f^{*}\partial _{t}^{2}g-({\vec {\nabla }}^{2}-m^{2})f^{*}g]$

Durch zweifache partielle Integration und mit der Voraussetzung, dass f normierbar ist und bei großen Argumenten verschwindet, folgt

$\partial _{t}B=i\int d^{3}x\;f^{*}(t,x)[\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}-m^{2}]g(t,x)$

Beweis, Dirac:

$Df(t,{\vec {x}})=(\partial _{t}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }})-im\beta )f(t,{\vec {x}});\quad B(f,g)=\int d^{3}x\;f^{\dagger }(x)g(x).$

Df=0 hat hermitesche Matrizen: die α sind reell und symmetrisch, (iβ) ist reell, β ist imaginär und schiefsymmetrisch.

$\partial _{t}B(f,g)=\int d^{3}x\;[(\partial _{t}f)^{\dagger }(x)g(x)+f^{\dagger }(x)\partial _{t}g(x)]$

$\partial _{t}f^{\dagger }g=[({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+im\beta )f]^{\dagger }g=$

$({\vec {\nabla }}f^{\dagger }\cdot {\vec {\alpha }})g-f^{\dagger }(im\beta )g$

Durch partielle Integration gelangen Ableitung und Minuszeichen zu g.

$\partial _{t}B(f,g)=\int d^{3}x\;f^{\dagger }(x)[\partial _{t}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\alpha }}-im\beta ]g(x)=\int d^{3}x\;f^{\dagger }Dg.$

Ein anderer Einsatzfall der Formen B kommt mit den Umkehrformeln zur Darstellung der Lösungen von Df=0 in ebenen Wellen. Die reellwertige Klein-Gordon-Welle g hat zu jeder Zeit t die Integraldarstellung

$g(t,{\vec {x}})=\int d^{3}k({\hat {g}}(k)w(k,x)+{\hat {g}}^{*}(k)w^{*}(k,x));$

$w(k,x):={\frac {exp(-i(kx)}{(2\pi )^{3/2}(2k_{0})^{1/2}}};\;k_{0}={\sqrt {{\vec {k}}^{2}+m^{2}}};\;kx=k_{0}t-{\vec {k}}{\vec {x}}.$

${\hat {g}}({\vec {k}})=B(w(k,*),g(*))=i\int d^{3}x\;[w^{*}(k,x)\partial _{t}g(x)-(\partial _{t}w^{*})(k,x)g(x)]$

Diese Amplitude von g zum Impuls k ist zeitunabhängig.

Beweis zur Umkehrung der Entwicklung von Klein-Gordon-Lösungen:

$g(t,{\vec {x}})=\int d^{3}p\;({\hat {g}}(p)f(x,p)+{\hat {g}}^{*}(p)f^{*}(x,p));\quad f(x,p):={\frac {e^{i{\vec {p}}{\vec {x}}-iE(p)t}}{(2\pi )^{3/2}(2E(p))^{1/2}}}.$

Um ${\hat {g}}$ aus g zu berechnen, dient die bekannte Formel

$y({\vec {x}})=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3/2}}}{\hat {y}}({\vec {p}})e^{i{\vec {p}}{\vec {x}}}\;\Leftrightarrow \;{\hat {y}}({\vec {p}})=\int {\frac {d^{3}x}{(2\pi )^{3/2}}}y({\vec {x}})e^{-i{\vec {p}}{\vec {x}}}.$

Werden g und $\partial _{t}g$ als Funktionen y benutzt und wird alles geschickt mit Hilfe der ebenen Wellen f(x,p) verpackt, folgen die Gleichungen

$\int d^{3}x\;f^{*}(t,{\vec {x}},p)g(t,{\vec {x}})={\frac {1}{2E}}({\hat {g}}(p)+{\hat {g}}^{*}(-p)\exp(2iE(p)t))$

$\int d^{3}x\;f^{*}(t,{\vec {x}},p)\partial _{t}g(t,{\vec {x}})={\frac {-i}{2}}({\hat {g}}(p)-{\hat {g}}^{*}(-p)\exp(2iE(p)t))$

${\hat {g}}(p)=\int d^{3}x\;f^{*}(t,{\vec {x}},p)\cdot [E(p)g(t,{\vec {x}})+i\partial _{t}g(t,{\vec {x}})]=$

${\hat {g}}(p)=i\int d^{3}x\;[f^{*}(t,{\vec {x}},p)\partial _{t}g(t,{\vec {x}})-(\partial _{t}f^{*}(t,{\vec {x}},p))g(t,{\vec {x}})]=$

${\hat {g}}(p)=\int d^{3}x\;{\Big (}i(f^{*}(\partial _{0}g)-(\partial _{0}f^{*})g)(t,{\vec {x}}){\Big )}=B(f(t,*),g(t,*))$

Die Form B taugt also zur Umkehrung der Wellenentwicklung.

Die oben definierten ebenen Wellen w(*) sind konstruiert als Lösungen einer Gleichung $D_{x}w(k,x)=0$. Zu jedem Wellenvektor/Impuls k erfinden wir nun ein normierbares Wellenpaket $f_{k}(t,{\vec {x}})$, das ebenfalls die Gleichung löst, das den Impuls-Ewartungswert k habe und dessen Streubreite von k für alle praktischen Zwecke klein genug sei. Die Lösungen von Dg=0 haben also die hinreichend gute Darstellung

$g(t,{\vec {x}})=\int d^{3}k\;({\tilde {g}}(k)f_{k}(x)+{\tilde {g}}^{*}(k)f_{k}^{*}(x))$

Nun sei angenommen, die Wellenfunktion g sei eine Lösung von Dg=0 außerhalb der Zeitspanne [-t,t], während sie in dem Zeitintervall wegen Störfaktoren nicht die Gleichung löst. Die Impuls-Komponenten ${\hat {g}}({\vec {k}})$ sind hier Funktionen der Zeit. Die 'verschmierten' Impuls-Komponenten werden definiert als ${\tilde {g}}(t,{\vec {k}})=B(f_{k},g)$ ausgewertet zur Zeit t. Auf diese Funktionen kann die Formel losgelassen werden $\partial _{t}B(f,g)=z\cdot (f,Dg)$. Faktor z=i bei Klein-Gordon, z=1 bei Dirac.

Außerhalb des Stör-Intervalls ist ${\tilde {g}}$ konstant. Seine Zeitentwicklung von -t bis t ist das Integral

${\tilde {g}}(t,{\vec {k}})-{\tilde {g}}(-t,{\vec {k}})=z\int _{-t}^{t}dt'\;(f_{k}(t',*)Dg(t',*))=\int _{-t}^{t}d^{4}x\;f_{k}^{*}(x)(Dg)(x),$

wo ein vierdimensionales Raum-Zeit-Integral auftaucht. Dieses ist "praktisch" eine Fourier-Transformation von Dg, denn $f_{k}$ ist so gut wie eine ebene Welle. Auch stellt man sich vor, dass das Intervall [-t,t] gegen Unendlich strebt, weil die Störung asymptotisch eingeschaltet und ausgeschaltet wird.

Für die Dirac-Gleichung und die Maxwell-Gleichung definiert man genauso normierbare Substitute ihrer ebenen Wellen.

Reduktion der S-Matrix auf N-Punkt-Funktionen

Die Impulsdarstellung des S-Matrix-Elements soll hier in eine Ort-Zeit-Darstellung umgerechnet werden. Um die Technik des vorigen Abschnitts anzuwenden, seien die IN- und OUT-Teilchenzustände nicht mathematisch reine ebene Wellen, sondern normierbare, endlich ausgedehnte Wellenpakete. Diesen werden die Energien und Impulse der idealen ebenen Wellen zugeordnet, im Rahmen experimenteller Genauigkeit.

Die Quantenfelder des Systems $\phi (x)=\phi (t,{\vec {x}})$ sollen außerhalb des Intervalls [-t,t] deckungsgleich mit freien Feldern sein,

$\phi (u,{\vec {x}})=\phi _{IN}(u,{\vec {x}})\;$ für u<(-t),

$\phi (u,{\vec {x}})=\phi _{OUT}(u,{\vec {x}})\;$ für u>t.

Sie erfüllen also linear-homogene Differenzialgleichungen Dφ=0 asymptotisch, aber nicht im Inneren des Intervalls, wo ein Hamilton-Operator mit Kopplungstermen sie in Wechselwirkung bringt.

Analog zu Wellenfunktionen haben die Felder verschmierte, aber im Raum normierbare Fourier-Komponenten, nämlich Operatoren

${\tilde {\phi }}(t',k)=B(f_{k}(t',*),\phi (t',*))\;$ und ihre Adjungierten

${\tilde {\phi }}^{\dagger }(t',k)=B(\phi (t',*),f_{k}(t',*))$.

Jeder Erzeuger wie $a_{IN,i}^{\dagger }(p_{i},s_{i})$ in einem S-Matrix-Element wird nun ersetzt durch ein ${\tilde {\phi }}_{i}^{\dagger }(-t,p_{i},s_{i})$.

Nur die freien IN- und OUT-Felder haben Darstellungen von Typ

$\phi (t,{\vec {x}})=\int d^{3}k({\tilde {\phi }}(k)f_{k}(x)+{\tilde {\phi }}^{\dagger }(k)f_{k}^{*}(x))$

wo die Komponenten mit Tilde nicht zeitabhängig sind. Wir diskutieren zuerst ein hermitesches Feld, das also die reellen Klein-Gordon-Welle quantisiert. Die Komponenten, die beinahe ebene Wellen sind, haben beim unfreien Feld die Bewegungsgleichungen vom Typ

$\partial _{t}B(f_{k}(x),\phi (t,{\vec {x}}))=i(f_{k}(t,*),D\phi (t,*));\quad D=\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2}.$

Wir nähern uns dem zentralen Argument, mit dem diese IN/OUT-Elemente herausfliegen und durch Raumzeit-Integrale über die gekoppelten Felder ersetzt werden. Ins Matrixelement

$S=\langle U|a_{IN}^{\dagger }(p)V\rangle$

mit beliebigen Teilen U,V schiebt man $a_{OUT}^{\dagger }$ ein.

$S=\langle U|a_{OUT}^{\dagger }(p)|V\rangle +\langle U|(a_{IN}^{\dagger }-a_{OUT}^{\dagger })(p)|V\rangle$

Im ersten Term wirkt $a_{OUT}^{\dagger }$ auf den Bra-Vektor U wie ein Vernichter, der eine Anregung mit Impuls p herauswirft. Opportunistisch wird angenommen, dass keine Teilchen ungestreut durch die Reaktion gehen, also keine ausgehenden mit unverändertem Impuls p vorkommen. Damit bleibt nur der zweite Teil. Dieser wird nach der verfeinerten Analyse eine Differenz von verschmierten Impuls-Komponenten. Konkret, die a(p) sollen äquivalent sein zu bestimmten ${\tilde {\phi }}(p)$. Man interpoliert vom freien IN-Feld zur Zeit -t zum freien OUT-Feld zur Zeit t, in der Zwischenzeit herrscht das gekoppelte Feld. Wie im vorigen Abschnitt ergibt sich ein vierdimensionales Integral über die Ortsdarstellung eines Feldoperators φ(x), verziert mit dem Wellengleichungs-Operator D. Der Impuls wird auf eine gewöhnliche Funktion $f_{p}(x)$ abgeschoben, die einer ebenen Welle täuschend gleicht, aber normierbar ist.

Genauso geht es auf der OUT-Seite:

$<\langle U|a_{OUT}(q)V\rangle =\langle U|a_{IN}(q)V\rangle +\langle U|(a_{OUT}-a_{IN})(q)|V\rangle$

Der erste Term wird wegdiskutiert, weil der Impuls q in den IN-Zuständen nicht vorkommen soll. Die Feldintegrale sind

$(a_{OUT}-a_{IN})(q)=i\int d^{4}x\;f_{q}^{*}(x)D(x)\phi (x)$

$(a_{IN}^{\dagger }-a_{OUT}^{\dagger })(p)=-(-i)\int d^{4}x\;f_{p}(x)D(x)\phi (x)$

wo benutzt wurde, dass φ hermitesch sein soll. Stillschweigend wurde auch der Grenzprozess des unendlich wachsenden [-t,t]-Intervalls durchgeführt.

Am Ende werden also alle Erzeuger und Vernichter im S-Matrix-Element nacheinander durch Integrale über die wechselwirkenden Felder ersetzt. Es stellt sich dabei die Frage nach der Ordnung der Operatorprodukte. Die Differenzial- und Integralrechnung mit Operatorfeldern ist apriori eine 'schwache Mathematik', nur denkbar nachdem Matrixelemente solcher Operatormengen zwischen einem Paar von Hilbertvektoren genommen wurden.

Die Operatoren wie $a_{OUT},a_{IN}$ oder deren Wellenpaket-Versionen ${\tilde {\phi }}_{(IN,OUT)}$ haben ein Zeitattribut, nämlich (+t) bzw. (-t). Sei nun ein Matrixelement von der Form $\langle U|Z(z_{i})|V\rangle$ mit Operatoren Z, die bereits von einem Tupel von Raumzeit-Punkten abhängen. Der Hilbertvektor V gehört zum Universum der freien IN-Felder zu einer Zeit (-t) kleiner als alle Zeiten im Operator Z. Vektor U stammt von OUT-Feldern zur alles übertreffenden Zeit (+t). Wird eine Differenz wie a_IN-a_OUT oder sein Adjungiertes eingebaut, meint das also genauer dies:

$\langle U|a_{OUT}(t)Z(z_{i})-Z(z_{i})a_{IN}(-t)|V\rangle =\langle U|T((a_{OUT}-a_{IN})Z(z_{i}))|V\rangle ,$

das zeitgeordnete Produkt der Operatordifferenz mit dem Vielpunkt- Operatorfeld Z. Die Operator-Formeln für die Feldintegrale meinen also von vorne herein Matrixelemente von T-Produkten. Wenn also iterativ die OUT- und IN-Operatoren entfernt werden, kommen global Integrale über das T-Produkt der vollen, wechselwirkenden Felddoperatoren heraus.

Bevor wir ein paar Details der Reduktion für die wirklichen Felder der QED durchgehen, diskutieren wir das Spielzeug-Resultat für skalare, ungeladene Felder ohne Spin-Indizes. (Notation $f(p,x)=f_{p}(x)$.) Nach allem oben Gesagten werden aus den Erzeugern und Vernichtern im Impulsraum folgende Integrale über Raumzeit-Variablen:

$S=\langle q_{1},...,q_{m}|p_{1},...,p_{n}\rangle =i^{(n+m)}\cdot$

$\int d^{4}y_{1}\;f^{*}(q_{1},y_{1})\;D(y_{1})\;...\;\int d^{4}y_{m}\;f^{*}(q_{m},y_{m})\;D(y_{m})\;\cdot$

$\int d^{4}x_{1}\;f(p_{1},x_{1})\;D(x_{1})\;...\;\int d^{4}x_{n}\;f(p_{n},x_{n})\;D(x_{n})\;\cdot$

$\langle 0|T(\phi (y_{1})...\phi (y_{m})\phi (x_{1})...\phi (x_{n}))|0\rangle .$

Dieses Ungetüm ist eine LSZ-Reduktionsformel. Ein Element der S-Matrix wird abgebildet auf die N-Punkt-Funktion der gekoppelten Felder, verziert mit den Wellengleichungs-Operatoren der freien Felder. Zunächst möchte man die gedachten Wellenpakete f(*) wieder durch ebene Wellen ersetzen,

$f(p,x)\;\to \;w(p,x)={\frac {exp(-i(kx))}{(2\pi )^{3/2}(2p_{0})^{1/2}}},$

$f^{*}(q,y)\;\to \;{\frac {exp(+i(qy))}{(2\pi )^{3/2}(2q_{0})^{1/2}}}.$

Denn die normierbaren Pakete waren erfunden worden, damit weniger schludrige Mathematik in die Zwischenschritte der Berechnung kam. Der Ausdruck ist also praktisch die Fourier-Transformation einer Darstellung der S-Matrix im Ortsraum. Diese sagt aus, mit welcher Amplitude gewisse Teilchen an den Punkten $x_{1}...x_{n}$ ins System einfallen und dieselben oder andere Teilchen an den Punkten $y_{1}...y_{m}$ wieder abtauchen.

Wie die Störungsrechnung zeigt, zerfällt der VEW des Operatorprodukts in eine Reihe von Propagator-Produkten, die nach den Prinzipien der Feynman-Diagramme aufgebaut werden. Die Diagramme haben eine unendlich wachsende Zahl von Zwischenknoten an Raumzeit-Punkten $\{z_{l}\}$. Alle Graphen haben externe Knoten an den Punkten wie $x_{j},y_{k}$, an denen je ein Feynman-Propagator vom Typ $P(x_{j}-z_{l})$ andockt. Die Reduktionsformel zieht einen Operator D(x) hinein für jeden dieser Punkte. Und wie schon gesagt, macht dieser D(x) aus dem angrenzenden Propagator eine Deltafunktion, denn die Propagatoren sind Greensche Distributionen. Das praktische Ergebnis: Die ein- und ausgehenden Linien der Graphen werden amputiert. Es bleibt dort gerade mal eine ebene Welle übrig. Nur die inneren Linien haben funktionierende Propagatoren.

Ein wichtiger Unterschied besteht zwischen äußeren und inneren Linien. Die Impulse der ein- und auslaufenden Teilchen sitzen auf ihrer Massenschale (Hyperboloid E²—p²=m²), sie respektieren die relativistische Energie-Impuls- Beziehung. Die Propagatoren mit ihrem charakteristischen Faktor $1/((pp)-m^{2}+i\epsilon )$ haben zwar Singularitäten auf der Massenschale des freien Teilchens, aber auch Beiträge drüber und drunter. Daher bezeichnet man die Propagatoren als virtuelle Teilchen oder virtuelle Zwischenzustände. Wenn Elektronen und/oder Positronen aneinander streuen, tauschen sie virtuelle Photonen aus, deren Energie nicht zu Masse Null passt. Wenn ein Elektron und ein Positron sich treffen, können sie 'kurzzeitig' zu einem virtuellen Photon verschmelzen, dessen Enerige-Impuls-Relation ebenfalls kinematisch unmöglich ist. Prozesse der schwachen Wechselwirkung werden von sehr schweren Zwischenteilchen vermittelt, den W-Bosonen. Zwischen leichten, energiearmen Teilchen laufen diese Prozesse langsam bzw. selten ab, weil der W-Propagator im Bereich der relevanten Impulse nur noch eine winzige Amplitude hat. Bildlich gesprochen, das schwere W-Teilchen stellt einen Potenzialwall auf von sehr hoher Energie. Und der Prozess tunnelt hindurch, wie es halt die Quantenmechanik so will.

Reduktion von Dirac- und Maxwell-Feldern

Die freien Dirac-Felder, in unserem Modell also auch die IN- und OUT-Felder zu den Zeiten -t und t weit vor und nach dem Knäuel von Wechselwirkungen, haben Entwicklungen in ebenen Spinor-Wellen U,V malgenommen mit Impulsraum-Operatoren $b,d,b^{\dagger },d^{\dagger }.$

$\psi (x)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;(b(p,s)U(p,s,x)+d^{\dagger }(p,s)V(p,s,x))$

$\psi ^{\dagger }(x)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;(d(p,s)V^{\dagger }(p,s,x)+b^{\dagger }(p,s)U^{\dagger }(p,s,x))$

$U(p,s,x)={\frac {u(p,s)}{((2\pi )^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m}{E(p)}}}e^{-ipx}$

$V(p,s,x)={\frac {v(p,s)}{((2\pi )^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m}{E(p)}}}e^{+ipx}$

Die Umkehrformeln, mit B als Raum-Skalarprodukt zur Zeit t oder -t,

$b(p,s)=B(U(p,s,*),\psi (*))=\int d^{3}x\;U^{\dagger }(p,s,x)\psi (x)$

$b^{\dagger }(p,s)=B(\psi (*),U(p,s,*))=\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }(x)U(p,s,x)$

$d(p,s)=B(\psi (*),V(p,s,*))=\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }(x)V(p,s,x)$

$d^{\dagger }(p,s)=B(V(p,s,*),\psi (*))=\int d^{3}x\;V^{\dagger }(p,s,x)\psi (x)$

erhält man wegen der Orthogonalität der Spinorbasis

$u^{\dagger }(p,s)u(p,r)=\delta _{sr}\cdot E(p)/m;\quad u^{\dagger }(p,s)v(-p,r)=0;$

$v^{\dagger }(p,s)v(p,r)=\delta _{sr}\cdot E(p)/m;\quad v^{\dagger }(p,s)u(-p,r)=0.$

Zum Beispiel kommt nach dem Einsetzen bei $\int U^{\dagger }\psi \;d^{3}x$ ein x-abhängiger Teil

$u^{\dagger }(p,s)u(p',r)\exp(ipx-ip'x)/(2\pi )^{3},$

der zu $\delta (p-p')\cdot \delta _{sr}$ schrumpft. Der andere Teil

$u^{\dagger }(p,s)v(p',r)\exp(ipx+ip'r)/(2\pi )^{3}$

macht ein $\delta (p+p')$; mit der Orthogonalität von $u^{\dagger }(p)$ bezüglich v(-p) schwindet er zu Null.

Wie beim skalaren Feld werden die ebenen Wellen durch glatte, normierbare Wellenpakete approximiert, die Symbole U,V sollen vorübergehend auch diese Pakete bezeichnen. Sie erfüllen die freie Dirac-Gleichung. Normierbarkeit rechtfertigt die weiteren nötigen Rechenschritte. Bei angekoppelten Störungen im Intervall [-t,t] werden die Impulsraum-Felder b,d zeitabhängig und sie haben mit dem Dirac-Operator D den Vorteil, dass ihr Integral über die Reaktion hinweg mit dem Ortsraum-Feld formuliert werden kann. Das folgt wie in den vorigen Abschnitten aus den Differenzialgleichungen $\partial _{t}B(f,g)=z\;(f,Dg)$.

$b_{OUT}(t;p,s)-b_{IN}(-t;p,s)=\int _{-t}^{t}d^{4}x\;U^{\dagger }(p,s,x)(D\psi (x))$

$d_{OUT}^{\dagger }(t;p,s)-d_{IN}^{\dagger }(-t;p,s)=\int _{-t}^{t}d^{4}x\;V^{\dagger }(p,s,x)(D\psi (x))$

$b_{OUT}^{\dagger }(t;p,s)-b_{IN}^{\dagger }(-t;p,s)=\int _{-t}^{t}d^{4}x\;(D\psi (x)^{\dagger })U(p,s,x)$

$d_{OUT}(t;p,s)-d_{IN}(-t;p,s)=\int _{-t}^{t}d^{4}x\;(D\psi (x)^{\dagger })V(p,s,x)$

Das Operatorfeld ψ erfüllt in [-t,t] nicht Dψ=0, die freie Wellengleichung, aber es soll nach Hypothese unitär äquivalent zu dem freien Feld sein. Die Operator-Integrale sollen gelten für schwache Konvergenz, eingebettet in Matrixelemente und mit freien Wellen, die zu normierten Paketen gestutzt wurden.

Wie beim skalaren Feld werden in S-Matrix-Elementen nacheinander die Erzeuger am Eingang und die Vernichter am Ausgang zu je einem T-Produkt vom Typ OUT minus IN ergänzt und dann durch Operator- Integrale ersetzt, so dass sich der Vakuumerwartungswert eines T-Produkts aus 'unfreien' Operatoren ψ(x) ergibt. Die Logik verlangt wieder, dass keine ungestreut durchfliegenden Partikel vorkommen sollen.

Ohne einen ganzen Apparat von Reduktionsformeln aufzuschreiben, hier nur im Prinzip die Substitutionen. Aus ihnen folgt auch der Spinor, der nach der Amputation des VEW mit den Dirac-Operatoren D an den Beinen der Feynman-Graphen haften bleibt.

Einlaufendes Elektron: $\quad b^{\dagger }(-t;p,s)\to \int -(D\psi ^{\dagger }(x))U(p,s,x)\to u(p,s)$

Einlaufendes Positron: $\quad d^{\dagger }(-t;p,s)\to \int -V^{\dagger }(p,s,x)(D\psi (x))\to {\bar {v}}(p,s)$

Auslaufendes Elektron: $\quad b(t;q,s)\to \int U^{\dagger }(q,s,y)(D\psi (y))\to {\bar {u}}(q,s)$

Auslaufendes Positron: $\quad d(t;q,s)\to \int (D\psi ^{\dagger }(y))V(q,s,y)\to v(q,s)$

Der Pfeil des Dirac-Propagators zeigt per Konvention die Orientierung $\psi ^{\dagger }\to \psi$. Elektronen wandern also in Pfeilrichtung, Positronen in Gegenrichtung. Einlaufende Elektronen haben positive Frequenzen in ihrer Welle U; einlaufende Positronen haben negative Frequenzen wegen ihrer zu V komplex konjugierten Welle.

Das Photon-Feld gehorcht außerhalb von [-t,t] der Wellengleichung (masselose Klein-Gordon-Gleichung) und der Strahlungseichung,

$A_{0}=0;\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0;\;\square A_{\mu }=0.$

Impulsraum-Darstellung mit Operatorfeldern a(k,s) und ebenen, transversalen Vektorwellen A(k,s,x):

${\vec {A}}(x)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k(a(k,s){\vec {A}}(k,s,x)+a^{\dagger }(k,s){\vec {A}}^{*}(k,s,x)$

${\vec {A}}(k,s,x)={\frac {{\vec {\epsilon }}(k,s)}{(2\pi )^{3/2}(2E(k))^{1/2}}}e^{-ikx}$

Man definiert noch ein 4-Vektorfeld mit Hochindex

$A^{\mu }(x)=(0,-{\vec {A}}(x))$

und hat Umkehrformeln ganz wie beim skalaren Feld:

$a(k,s)=i\int d^{3}x[{\vec {A}}^{*}(k,s,x)\cdot (\partial _{t}{\vec {A}}(x))-(\partial _{t}{\vec {A}}^{*}(k,s,x))\cdot {\vec {A}}(x)]$

$a(k,s)=-i\int d^{3}x[A^{*}(k,s,x)_{\mu }(\partial _{t}A^{\mu }(x))-((\partial _{t}A^{*}(k,s,x))_{\mu }A^{\mu }(x))]$

Die ebenen Wellen denkt man sich wieder als normierte Wellenpakete. Die Zeitentwicklung der Impuls-Komponenten mündet wieder in ein Integral über das wechselwirkende elektromagnetische Feld

$a_{OUT}(t;k,s)-a_{IN}(-t;k,s)=-i\int _{-t}^{t}d^{4}x\;A^{*}(k,s,x)_{\mu }(\square A^{\mu }(x))$

Das Feld in der Ortsdarstellung zieht so in die S-Matrix ein, sowie die Polarisationsvektoren in die Beine der amputierten Graphen:

Einlaufendes Photon: $\quad a^{\dagger }(-t;k,s)\to -i\int d^{4}x(\square A^{\dagger \mu }(x))A_{\mu }(k,s,x)\;\to \epsilon _{\mu }(k,s)$

Auslaufendes Photon: $\quad a(t;k,s)\to -i\int d^{4}yA^{*}(k,s,y)_{\mu }(\square A^{\mu }(y))\;\to \epsilon _{\mu }(k,s)$

Feynman-Regeln für die QED

Zum Abschluss sollen die naiven Regeln aufgeschrieben werden, in denen die Renormierung nicht berücksichtigt wurde. Die Hamiltondichte der Kopplung von Vektor- und Spinorfeldern hat die Form (Normalprodukt)

$:e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }:$

Die Regeln wurden hergeleitet im Rahmen des Modells von kanonisch quantisierten Feldern in drei Schritten:

• Reduktion der S-Matrix auf VEWe der T-Produkte von gekoppelten Feldern (LSZ)
• Potenzreihen dieser T-Produkte in T-Produkten von freien Feldern (Dyson)
• Auflösung der freien T-Produkte in Produkte von Feynman-Propagatoren (Wick)

(Das ist ein didaktischer, historisch etwas nachträglicher Pfad zu den Regeln. Feynman hatte seine eigenen Schnellverfahren — nur geeignet für Leute von seinem geistigen Kaliber.)

Die Quanten-Amplitude eines Prozesses, bei vorgegebenen externen Teilchen (Elektron, Positron, Photon), Energie-Impuls-Vektoren p und Spin/Polarisations-Indizes s, ist die Summe aller verbundenen Feynman-Graphen. Die Graphen bestehen aus:

• gerichteten Fermion-Linien und Photon-Linien ohne Orientierung,
• Randknoten an denen je eine Linie nach außen mündet,
• inneren Knoten mit einem Photon und zwei Fermionen in Gegenrichtung.
• Elektronen wandern in Pfeilrichtung, Positronen gegen den Pfeil.
• Jede Linie hat eine Impuls-Variable, Orientierung ist festzulegen.
• Die Summe der Impulse an jedem inneren Knoten ist Null.

Der Graph ist ein Produkt folgender Faktoren:

• Einlaufende Elektronlinie, Spinorspalte $u(p,s)$
• Auslaufende Elektronlinie, Spinorzeile ${\bar {u}}(p,s)$
• Einlaufende Positronlinie, Spinorzeile ${\bar {v}}(p,s)$
• Auslaufende Positronlinie, Spinorspalte $v(p,s)$
• Ein/Auslaufende Photonlinie, 4-Vektor $\epsilon _{\mu }(p,s)$
• Innere Fermion-Linie mit Impuls q: Propagator $iS_{F}(q)$
• Innere Photon-Linie mit Impuls q: Propagator $iD_{F}(q)_{\mu \nu }$
• Vertex (innerer Knotenpunkt): $(-ie\gamma ^{\mu })$
• Jeder freie innere Impuls k: Integral $\int d^{4}k/(2\pi )^{4}$
• Jeder geschlossene Fermionring: Faktor (-1).

Der Vertexfaktor enthält die nackte Ladung und drei Indizes, die eine Kontraktion eingehen mit der Photon-Propagatormatrix und mit zwei Fermion-Propagator-Matrizen (Ordnung=Pfeilrichtung), oder mit einem äußeren Vektor/Spinor (Zeile davor, Spalte dahinter).

Ein innerer Impuls ist frei, wenn er nicht durch die externen Impulse und die Impulserhaltung feststeht, also wenn Schleifen in dem Graphen vorkommen.

Zwei Graphen, die sich nur durch die Vertauschung zweier äußerer Fermion-Linien unterscheiden, haben entgegengesetzte Vorzeichen.

Anwendungsbeispiel

Hier ist kein Platz für viele Rechenübungen mit den Feynman-Regeln. Nur ein Beispiel. Ein Symmetrie-Argument zeigt, dass in der QED-Graphen-Reihe die Kreiswege von Fermionen nur bei einer geraden Zahl von Knoten beitragen. Alle Diagramme mit einem Dreieck, Fünfeck usw. als Fermion-Schleife können ignoriert werden.

Die Knoten tragen die Dirac-Matrizen γ, die Fermion-Propagatoren haben Matrizen ((γp)+m) bei Impuls p. Bei einem geschlossenen Weg werden die Matrizen in Pfeilordnung multipliziert und der letzte mit dem ersten Index wird kontrahiert: es ist die 'Spur' des Matrixprodukts.

Eine Spur ist invariant: bei Transposition der Matrix; bei Vertauschung in einem Produkt zweier Matrizen; bei Ähnlichkeitstransformationen. Die Transponierte eines Produkts ist gleich dem Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge.

Kommt es vor, dass eine Fermionschleife sich weghebt gegen ihren Zwilling, der in der anderen Richtung durchlaufen wird? Diese Schleife in Gegenrichtung hat dasselbe Matrixprodukt wie die erste, aber in umgedrehter Ordnung. Transponieren wir es, so sind beide Produkte gleich geordnet, aber das zweite hat transponierte Faktoren.

Nun gibt es Ähnlichkeitstransformationen C der Diracmatrizen, die die Negativen ihrer Transponierten liefern. In der hier gewählten Darstellung

$\gamma ^{0T}=-\gamma ^{0};\;\gamma ^{kT}=\gamma ^{k};\;C:=\beta =\gamma ^{0}\;\Rightarrow \;C\gamma ^{\mu }C^{-1}=-\gamma ^{\mu T}$

Wird die Transformation mit C auf die Propagatoren angesetzt und gleichzeitig das Vorzeichen der Impulse umgedreht, kommt der transponierte Propagator heraus. Die kombinierte Transformation der Spur einer Schleife, mit der Ähnlichkeitstransformation aller Matrizen durch C und mit dem Umklappen der Impulse, produziert also die gleichgeordnete Produktfolge, mit den transponierten Matrizen. Bis auf Vorzeichen! Minuszeichen am Vertex, Plus am Propagator. Global ein Minus genau bei ungerader Knotenzahl. Das vergleicht man mit der Auswertung der im Gegensinn gezeichneten Schleife, wo alle Faktoren transponiert waren. Der Spurwert der ungeraden Schleife fällt weg, kompensiert durch die Schleife in Gegenrichtung mit umgedrehten Impulsen.

Bei Schleifen gerader Ordnung bringen beide Orientierungen gleiche Terme, das erspart daher Rechenarbeit.

Die Transposition aller Spinormatrizen ist äquivalent dazu, alle Pfeile in Feynman-Graphen umzudrehen, also Teilchen und Antiteilchen zu vertauschen. Das Umklappen der Vierer-Impulse ist gleichbedeutend mit der PT-Transformation. Bei der Kombination CPT bleibt also der Wert der nichtverschwindenden Graphen unverändert. Das beweist die CPT-Symmetrie der QED im Rahmen der Störungsrechnung.

Zum Ausbau der Störungstheorie

Der Stoß zweier Teilchen

Der Wirkungsquerschnitt für eine Reaktion zweier Teilchen A,B ist ein Integrationsmaß. Die ankommenden Partikel auf Kollisionskurs haben Impulse $p_{A},p_{B}$, die Reaktionsprodukte j=1...n die Impulse $p_{j}$. Impuls meint hier immer den Energie-Impuls-Vierervektor

$p=(p_{0},{\vec {p}});\;p_{0}=E(p)=({\vec {p}}^{2}+m^{2})^{1/2}.$

Weitere Attribute wie die Indizes von Spin oder Polarisation werden hinzugedacht. Die Masse m der Photonen ist Null. Formel des Wirkungsquerschnitts:

$d\sigma =|T|^{2}\cdot F\cdot {\frac {(2\pi )^{4}\delta ^{4}(p_{A}+p_{B}-\sum \nolimits _{j}p_{j})}{|{\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B}|}}\cdot Q(p_{A})Q(p_{B})\times$

$\prod _{j}{\Big (}{\frac {d^{3}p_{j}}{(2\pi )^{3}}}Q(p_{j}){\Big )}$

Der erste Faktor enthält die ganze Quantentheorie. Er ist das Betragsquadrat der Transfer-Matrix T, die aus der unitären S-Matrix folgt, wenn von ihr der Eins-Operator abgetrennt wird: S=1+iT. (Man kümmert sich nicht um ungestreuten Stoff, nur die wahre Ausbeute. Und natürlich ist S nur unitär, wenn alle denkbaren Endzustände drin sind, nicht nur die ausgewählten.) Das Element der T-Matrix für den zu prüfenden Vorgang ist die Summe der ihn betreffenden zusammenhängenden Feynman-Graphen, eine komplexwertige Funktion aller beteiligten Impulse und Spins.

Der zweite Faktor $F=\prod _{i}(1/n_{i}!)$ berichtigt die Statistik, wenn die Reaktion mehrere Sorten i von gleichen Teilchen produziert, $n_{i}$ von jeder Art.

${\vec {v}}_{A}={\vec {p}}_{A}/E(p_{A}),\;{\vec {v}}_{B}={\vec {p}}_{B}/E(p_{B})$ sind die relativistischen Geschwindigkeiten.

Die Faktoren Q haben die Werte $Q(p)={\frac {1}{2E(p)}}$ bei Bosonen, $Q(p)={\frac {m}{E(p)}}$ bei Fermionen.

In einem Experiment sind oft die Eigenschaften der einlaufenden Teilchen nur unvollständig bekannt und die der auslaufenden nur unzureichend gemessen, im Vergleich zu dem, was die Quantenmechanik sich als einen reinen Zustand zurecht definiert. Das heißt hier, im Vergleich zur vollen Liste der Argumente der Feynman-Diagramme. Zur Auswertung der Wahrscheinlichkeitsverteilung wird dann über die unbekannten Parameter am Eingang gemittelt und über die ungemessenen am Ausgang integriert und summiert.

Oberflächliche Divergenz:

Wenn r die euklidische Norm der Energie-Impuls-Vierervektoren p,q bezeichnet, dann haben die Propagatoren bei großen Impulsen das Verhalten D(p) ~ 1/r² (Photon) und S(p) ~ 1/r (Fermion). Die Integrale der drei einfachsten Schleifen der QED, geschätzt mit dem radialen Maß $r^{3}\;dr$, explodieren dann so auf den ersten Blick:

$\int d^{4}p\;S(p)S(q-p)\to r\;dr\quad$ (quadratisch divergent)

$\int d^{4}p\;S(p)D(q-p)\to 1\cdot dr\quad$ (linear divergent)

$\int d^{4}p\;S(q-p)S(q'+p)D(p)\to (1/r)\;dr\quad$ (logarithmisch divergent)

Es sind die Vakuumpolarisation, die Selbstenergie des Elektrons sowie die Vertex-Korrektur. Mit der Eichinvarianz lässt sich immerhin die Vakuumpolarisation auf logarithmisch divergent herunterhandeln. Die Selbstenergie auch, wegen einer Umklapp-Symmetrie.

Nachdem Dirac aus seiner Gleichung das richtige magnetische Moment des Elektrons folgerte, nämlich den gyromagnetischen Faktor g=2, berechnete Schwinger 1948 die Verbesserung erster Ordnung, also (g-2), mit der Vertex-Korrektur. Er fand heraus, welche divergenten Terme wie zu subtrahieren sind und traf den genauen experimentellen Wert. Der Durchbruch der QED war gekommen. Das erfolgreiche System der Renormierung konnte alle Unendlichkeiten auf drei bis vier unbeobachtbare nackte Parameter abwälzen.

Definition der Renormierung

Die Feynman-Graphen $G_{0}(p_{i},Z_{k})$ enthalten divergente Integrale. Hier sind $p_{i}$ die ein- und auslaufenden Impulse. Für jede solche Konfiguration gbt es eine unendliche Reihe von Graphen. Die $Z_{k}$ seien die 3 oder 4 nackten Eingabe-Parameter des Modells, etwa die Möchtegern-Massen, Ladungen, Skalenparameter der Felder.

Zunächst etabliert man ein Regularisierungs-Schema mit einem Abschneideparameter Λ, so dass die berechenbaren, mit "bequemen" Integralen versehenen, endlichen Funktionen

$G_{1}(p_{i},Z_{k},\Lambda ){\text{ für }}\Lambda \to \infty$

die divergenten Graphen $G_{0}$ genau beschreiben. Die gutmütigen Integranden werden im Grenzfall zu den explosiven.

Danach werden Relationen mit Hilfe der $G_{1}$ hergestellt, welche die physikalischen Schlüsselwerte $m_{j}$, wie gemessene Ladungen und Massen, enthalten. Diese Randbedingungen erzwingen dann, dass die nackten Parameter $Z_{k}(\Lambda )$ zu Funktionen des Abschneideparameters werden. Nur eine kleine Zahl von $G_{1}$-Funktionen niedriger Ordnung sei nötig, um die $Z_{k}(\Lambda )$ zu fixieren.

Das Modell heißt renormierbar, wenn mit diesen Abhängigkeiten alle Feynman-Graphen gleichzeitig zu endlichen, von der Regularisierung unabhängigen Funktionen werden. Alle Schleifenintegrale konvergieren zu endlichen Funktionen:

$G_{2}(p_{i}|m_{j})=\lim _{\Lambda \to \infty }G_{1}(p_{i},Z_{k}(\Lambda ),\Lambda |m_{j})$

Der senkrechte Strich meint: unter der Nebenbedingung, dass die physikalischen Zielwerte $m_{j}$ richtig reproduziert werden.

Kurz gesagt, der Abschneideparameter und alle nackten Parameter fliegen raus, in allen Ordnungen zugleich. Wenn Λ gegen Unendlich gefahren wird, divergieren die nackten unphysikalischen $Z_{k}$ ebenfalls. Aber kontrolliert in der Weise, dass alle bösen Stellen überall in allen Graphen abgezogen oder rausdividiert werden. Von Fall zu Fall ist die Kompensation günstiger als additive oder als multiplikative Renormierung zu deuten. Nur die physikalischen Sollwerte stecken als Nebenbedingungen drin. Eine nicht-renormierbare Theorie hätte eine unendliche Serie von Z-Parametern nötig -- nichts wäre damit berechenbar. Für ein akzeptables Modell ist die Anzahl der nackten Z klein, und zwar so klein wie möglich.

Die Kette der Transformationen $G_{0}\to G_{1}\to G_{2}$ macht den Algorithmus der Renormierung aus. Funktioniert er, dann ist die Störungsrechnung für die betroffene Feldtheorie lückenlos definiert. Ob die Störungsreihe als Ganzes konvergiert, ist noch eine andere Frage.

Die Feinstrukturkonstante und die Masse des Elektrons sind Sollwerte der Elektrodynamik. Das magnetische Moment ist ein starkes Ergebnis der renormierten Theorie, präzise gemessen und von der Störungsrechnung in höherer Ordnung bestätigt.

Der voluminöse Standard-Beweis, dass die QED und verwandte Modelle renormierbar sind, trägt den Namen BPHZ nach den Forschern Bogoliubov, Parasiuk, Hepp, Zimmermann.

Ein interessantes Thema ist noch, auf welcher Mannigfaltigkeit sich der Satz der Schlüssel-Werte $\{m_{j}\}$ variieren lässt bei erfolgreicher Renormierung, ohne dass die physikalischen Vorhersagen sich ändern. Es ergeben sich 'Flüsse' von solchen Parametern und Differenzialgleichungen zwischen ihnen, 'Renormierungsgruppen-Gleichungen'. Zum Beispiel die Frage nach der asymptotischen Freiheit einer Feldtheorie wird damit behandelt.

QED: Abschirmung und Energie-Abhängigkeit

Die Renormierung der QED, noch einmal ganz qualitativ und oberflächlich betrachtet.

Die kanonischen Vertauschungsrelationen sind im Grunde die Normierungen der Quantenfelder, denn gewisse ihrer Polynome werden da auf 1 gezwungen, genauer gesagt auf den Wert des Wirkungsquantums. Die freien Felder sind dann so kalibriert, dass ihr Hamilton-Operator richtig die Energie darstellt. Sobald eine Kopplung mit den Termen dritter Ordnung die Hamilton-Dichte anreichert, ist zu erwarten, dass die ursprünglichen Summanden mit Faktoren zur Berichtigung der Energiedichte nachzustellen sind. In der QED-Dichte gibt es vier Arten von Termen, von denen zwei bereits einen Koeffizienten mit sich schleppen. Es sind der Massenterm des Spinors und die Kopplungsterme mit der Ladung. Wir ernennen die Faktoren zu Renormierungskandidaten: $m,e\to Z_{m},Z_{e}$. Dann gibt es noch von den freien Feldern her die kinetischen Terme. Kinetisch heißt in lässiger Sprechweise, hat Ableitungen drin. Diese Terme des Spinors und des Vektors bekommen je einen Faktor verpasst. Insgesamt erwarten wir 4 Renormierungs-Multiplikatoren, etwa $\{Z_{\psi },Z_{A},Z_{m},Z_{e}\}.$

Auf der anderen Seite gibt es den Abschneider der Regularisierung, die physikalische Masse und die physikalische Ladung. Vielleicht fehlt eine vierte Größe, um die 4 Unbekannten der Renormierung zu bestimmen? Ja, es ist die Energie E, bei der die Kopplung gemessen wird. Der Renormierungs-Algorithmus kann exakt dieselbe Physik beschreiben, z.B. dieselbe S-Matrix, wenn die physikalischen Werte entlang einer Kurve $\{E,(m_{P}(E),e_{P}(E)\}$ geführt werden. Es gibt gleitende Kopplungen und eventuell Massen, auf Englisch gar eine rennende Kopplung. Die Feinstrukturkonstante ist keine mehr, sie wird eine Funktion.

Verwirrung stiftet manchmal der lässige Ausdruck "unendliche Renormierungskonstanten" für die Z-Faktoren. Weder unendlich noch konstant, sind die 'Z' vielmehr reelle Funktionen der Abschneideparameter und einiger physikalischer Referenz-Werte. Wenn nur ganz wenige solcher Anker und ebenso wenige Z-Funktionen reichen —  genau dann ist die Störungstheorie renormierbar.

Was hat die variable Kopplung physikalisch zu sagen? Die Kraft der QED steigt mit der Energie an. Hohe Energie-Impuls-Werte bedeuten kürzere Abstände in Raum und Zeit. Wenn die Elektronen sich nähern, sehen sie eine weniger eingehüllte Version voneinander und stoßen sich stärker ab, als das Coulombsche Gesetz vorhersagt. Es handelt sich um eine Abschirmung der elektromagnetischen Kraft. Sie kommt durch die Vakuumpolarisation zustande. Wenn die Teilchen einen gewissen Abstand haben, ist Platz für virtuelle Elektron-Positron-Paare im Zwischenraum. Diese schwächen die Wirkung der ausgetauschten virtuellen Photonen, die also nur bei ganz kurzen Abständen fast nackt herumlaufen.

Anhang, Eigenschaften von Propagatoren und Kommutatoren

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