Quantenmechanik/ Relativistische Wellen

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Von Anfang an relativistische Wellengleichungen waren die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Später durchsuchte die Physik systematisch, mit welchen anderen Typen von Wertebereichen die Wellen sich relativistisch transformieren können: Skalare (Klein-Gordon), Spinoren (Dirac), Vektoren (Maxwell), Tensoren (Einstein).

Natürliche Einheiten HBAR=1 C=1
Gut gewählte Einheiten in der relativistischen Physik ersparen Schreibarbeit.
Zwei nun jahrhundertealte Prinzipien der Natur sind in Stein gemeißelt.

• In allen Intertialsystemen ist die maximale Geschwindigkeit gleich c.
• Für alle Wellen, Teilchen, Energien, Längendimensionen gilt die Planck-Einstein-DeBroglie-Beziehung $(E=\hbar \omega ;\;{\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}).$

Daher kann die Zeit in Metern als eine Länge (ct) gemessen werden. Auch die Einheit der Masse ist nicht unabhängig, Energie und Impuls haben Werte gemessen in Wirkungsquantum durch (Zeit,Länge). In natürlichen Einheiten $\hbar =c=1$ braucht man nur noch das Meter als Bezugsgröße. Oder gleichwertig bei Bedarf das Elektronenvolt. Die Werte der zwei Naturkonstanten in legalen Einheiten wurden endgültig festgenagelt. Das SI-System hat sich nach ihnen zu kalibrieren.

• c = 299 792 458 m/s
• $2\pi \hbar =h=$ 6,62607015 × 10³⁴ Joule-sek

Übrigens sind alle SI-Einheiten nun physikalisch untermauert, keine hängt von handgemachten Museumsstücken ab.

Die Klein-Gordon-Gleichung

Die Klein Gordon Gleichung ist ein Versuch eine zur Schrödinger-Gleichung äquivalente Formulierung für die Relativistische Quantenmechanik zu finden.

Zunächst noch einmal die Schrödinger Gleichung:

$i\hbar {\frac {\partial \psi (x)}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla \right)^{2}\psi (x)$

Es gilt:

$E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ sowie ${\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla$

Im relativistischen Fall verwendet man Vierervektoren:

$p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)=i\hbar \partial ^{\mu }$

Des Weiteren gilt:

$E^{2}=m^{2}c^{4}+{\vec {p}}^{2}c^{2}$

Daraus folgt:

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\left(i\hbar {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}+{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}+\left(i\hbar \nabla \right)^{2}$

Angewandt auf die Wellenfunktion ergibt sich:

$-\hbar ^{2}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x)=m^{2}c^{2}\psi (x)-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\psi (x)$

$0=\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi$

Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung ausgedrückt mit dem D'Alembert-Operator lautet sie wie folgt:

$0=\left(\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\psi$

mit der Compton Wellenlänge: ${\frac {\hbar }{mc}}$ ergibt sich:

$0=\left(\square +\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\right)\psi$

Die Dirac-Gleichung

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Theorie des Elektrons mit 2 Komponenten behandelt, in der Relativistischen Quantenmechanik benötigen wir einen N-Komponenten-Spinor:

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\.\\.\\.\\\psi _{N}(x)\\\end{pmatrix}}$

Wir suchen nun eine, analog zur Schrödingergleichung und im Gegensatz zur Klein-Gordon-Gleichung, Wellengleichung erster Ordnung, der Form: $i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =H_{D}\psi$ $H_{D}$ muss hierbei ein hermitescher Operator sein, außerdem besteht in der Relativistik eine bestimmte Symmetrie zwischen Zeit und Raum, deshalb muss der Hamilton-Operator eine Ableitung nach ${\vec {x}}$ besitzen, da auf der linken Seite eine Ableitung nach t steht. Damit hat man den Ansatz:

$H_{D}={\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}-\beta m$ mit ${\vec {p}}=i\nabla$

Hierbei sind $\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}$ und $\beta$ hermitesche Operatoren im "Spinorraum". Damit ergibt sich:

$\left(\mathbf {1} i{\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}-\beta m\right)\psi ({\vec {x}},t)=0$ (1)

Wenn:

$\alpha ^{0}=\beta ,\{\alpha ^{\mu },\alpha ^{\nu }\}=0$ für $\mu \neq 0$ und

$\alpha ^{0}\alpha ^{0}=\alpha ^{1}\alpha ^{1}=\alpha ^{2}\alpha ^{2}=\alpha ^{3}\alpha ^{3}=1$

ergibt sich:

$\mathbf {1} \left(\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\vert {\vec {p}}\vert ^{2}-m^{2}\right)\psi =0$

Gleichung (1) wird nun von links mit $i{\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta m$ multipliziert:

$\left[\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\sum _{k}\left(\alpha ^{k}\right)^{2}\left(p^{k}\right)^{2}-\beta ^{2}m^{2}-\sum _{k<l}\{\alpha ^{k},\alpha ^{l}\}p^{k}p^{l}-\sum _{k}\{\alpha ^{k},\beta \}mp^{k}\right]\psi =0$

Mit:

$\{\alpha ^{k},\alpha ^{l}\}=0,\{\alpha ^{k},\beta \}=0,\left(\alpha ^{k}\right)^{2}=1,\beta ^{2}=1$

ergibt sich die Dirac-Gleichung:

$\left[\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}-\sum _{k}\left(p^{k}\right)^{2}-m^{2}\right]\psi =0$

Es wird vorausgesetzt, dass es ${\vec {\alpha }}$ und $\beta$ gibt, die diese Eigenschaften erfüllen, dies ist der Fall für eine Dimension des "Spinorraums" $N\geq 4$. Üblicherweise ist $N=4$.

In elektromagnetischen Feldern gilt die Transformation $i{\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow i{\frac {\partial }{\partial t}}-e\phi$ und ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {p}}-e{\vec {A}}$

Für die kovariante Schreibweise verwenden wir die Gamma-Matrizen:

$\gamma ^{\mu }:=(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}),\gamma ^{0}:=\beta ,\gamma ^{n}:=\beta \alpha ^{n}$ und $D_{\mu }:=\partial _{m}u+ieA_{m}u$

Damit:

$\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-1m\right)\psi =0$

Und mit ${\mathcal {D}}:=\gamma ^{\mu }D_{\mu }$ dann die Feynman-Schreibweise:

$\left(i{\mathcal {D}}-1m\right)\psi =0$

Hamilton-Operator der Dirac-Wellen

Erinnerung. Folgendes sind die relativistischen Beziehungen Energie-Impuls-Geschwindigkeit eines Massenpunktes m. Den anschaulichen aber rechnerisch klobigen Begriff der bewegten Masse, die größer sei als die "Ruhemasse", gebrauchen wir hier nicht. m ist konstant.

$E^{2}-{\vec {p}}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\quad {\vec {v}}/c={\vec {p}}c/E,$

$E^{2}(1-(v/c)^{2})=m^{2}c^{4},\quad E=mc^{2}\cdot (1-(v/c)^{2})^{-1/2},$

$p^{2}c^{2}(c^{2}/v^{2}-1)=m^{2}c^{4},\quad p^{2}(1-(v/c)^{2})=m^{2}v^{2}.$

Daraus werden für kleine Geschwindigkeiten (|v| << c) diese Beziehungen zwischen E,p,v:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

$(1+x)^{y}\simeq (1+xy+...)\;\Rightarrow \;E\simeq mc^{2}+m{\vec {v}}^{2}/2=mc^{2}+{\vec {p}}^{2}/(2m).$

Um die Konstanten ℏ,c aus den Gleichungen zu verbannen, besser gesagt um sie ihrer überragenden Bedeutung gemäß zu würdigen, messen wir ab jetzt die Zeit in Metern, $t'=x_{0}=ct$, sowie Masse, Energie und Impuls in reziproken Metern:

${\vec {p}}'={\vec {p}}/\hbar ,\quad E'=E/(\hbar c),\quad m'=mc/\hbar .$

In gestrichenen Variablen gedacht und all solche Striche ausradiert, gibt es nur einfache Gleichungen zu merken:

$E^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}\;\Rightarrow \;E\simeq m+{\vec {p}}^{2}/(2m)\quad (|p|\ll m),$

${\vec {v}}={\vec {p}}/E\;$ (dimensionslos).

Weiter unten kommt ein Beispiel dafür, wie der Rückfall von den einfachen auf die ausgeschmückten Gleichungen vonstatten geht.

Die Diracsche Wellengleichung in den 'natürlichen' Einheiten lautet

$i\partial _{t}\psi =H\psi =({\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {A}})+\beta m+V)\psi$

Sie enthält die raumzeit-abhängigen Diracspinoren ψ(x) und reelle skalare und vektorielle Potenziale V(x), A(x). Der Impuls ist der Ableitungsoperator $p_{k}=-i\partial _{k}$; der Hamilton-Operator H stellt die Energie E dar. Mit den vier Dirac-Matrizen α,β gilt eine vollkommen lineare Operator-Gleichung

$E={\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {A}})+V+\beta m.$

Die Operatorgleichung Schrödingers ist dagegen matrizenfrei aber nichtlinear:

$E=({\vec {p}}-{\vec {A}})^{2}/(2m)+V.$

Schrödingers Gleichung ist kovariant unter Galilei-Transformationen, auch wenn nur ein skalares Potenzial im H-Operator steht. Für die Lorentz-Kovarianz mag die Dirac-Gleichung lieber ihre zwanglose Art und Weise, an ein Paar aus skalarem und Vektorpotenzial zu koppeln. Es handelt sich um die eichinvariante Wechselwirkung mit dem Maxwell-Feld, das ja dem Wesen nach relativistisch ist. Jede Lorentztransformation durchmischt die vier Potenzial-Komponenten. Nebenbei, es gibt die kovariante Yukawa-Kopplung der Dirac-Spinoren mit Lorentz-Skalaren; man macht sozusagen den Masse-Term raumzeit-abhängig. (Solche Physik kommt vor im Standardmodell, wo ein Higgs-Feld dafür herhalten muss, den Fermionen eine Masse zu verleihen.)

Die Diracmatrizen, aufgebaut aus 2x2-Blöcken von Pauli-Matrizen und Einheitsmatrix, seien in der folgenden Standardform dargestellt.

$I={\binom {1\;0}{0\;1}},\quad \sigma _{1}={\binom {0\;1}{1\;0}},\quad \sigma _{2}={\binom {0\;-i}{i\quad 0}},\quad \sigma _{3}={\binom {1\quad 0}{0\;-1}};$

$\beta ={\binom {I\quad 0}{0\;-I}},\quad \alpha _{k}={\binom {0\quad \sigma _{k}}{\sigma _{k}\quad 0}}$

Die Form $\rho (t,{\vec {x}})=\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)$ ist eine positive Dichte mit einem Erhaltungssatz für Lösungen ψ der Dirac-Gleichung im Potenzialfeld $(V,{\vec {A}})$:

$\partial _{t}\rho +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}})=0,\quad {\vec {j}}=\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi .$

Weil die 4x4-Matrizen hermitesch sind, und wenn wir kurz mal mit ${\tilde {\nabla }}$ einen Gradienten-Operator andeuten, der nach links hin operiert, folgt die Behauptung so:

$\partial _{t}(\psi ^{\dagger }\psi )=((\partial _{t}\psi )^{\dagger }\psi +\psi ^{\dagger }(\partial _{t}\psi ))=$

$\psi ^{\dagger }{\big (}(+i)[{\vec {\alpha }}\cdot (+i{\tilde {\nabla }}-{\vec {A}})+V+\beta m)]-i[{\vec {\alpha }}\cdot (-i{\vec {\nabla }}-{\vec {A}})+V+\beta m]{\big )}\psi =$

$-({\vec {\nabla }}\psi ^{\dagger })\cdot {\vec {\alpha }}\psi -\psi ^{\dagger }({\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {\nabla }}\psi )=-{\vec {\nabla }}\cdot (\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi ).$

Das Raumintegral der Diracschen Dichte sei zu Eins normiert. Wir können also den Dirac-Spinorfeldern einen Hilbertraum spendieren. Es gibt ein brauchbares Skalarprodukt

$\langle \psi |\phi \rangle (t)=\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }(t,{\vec {x}})\phi (t,{\vec {x}})$

Ein hermitescher Hamilton-Operator regiert über die Zeitentwicklung von Dirac-Wellenfunktionen, die wir vorerst im Schrödinger-Bild als Zustände interpretieren. Wie schon angesprochen, grundfalsch wenn die strenge Lehre das Sagen hat! Die Wellen sind darin nur gewisse Matrixelemente zwischen abstrakteren Vielteilchen-Zuständen. Es herrscht das Heisenberg-Bild, die Spinoren mutieren zu Feldern von Operatoren. Trotzdem weiter im Text mit der naiv fortgesetzten Schrödinger-Mechanik.

Hermitesche Operatoren Q mit lokaler, matrixwertiger Darstellung:

$\psi \mapsto Q\psi ;\;(Q\psi )(t,{\vec {x}})=Q(t,{\vec {x}},{\vec {\nabla }})\psi (t,{\vec {x}})$

haben Erwartungswerte

$\langle Q\rangle (t):=\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }(t,{\vec {x}})(Q\psi )(t,{\vec {x}})$

Wie bei der Schrödinger-Gleichung folgt aus $i\partial _{t}\psi =H\psi$ eine Bewegungsgleichung für so definierte Erwartungswerte:

$(d/dt)\langle Q\rangle =i\langle [H,Q]\rangle +\langle \partial _{t}Q\rangle \quad$ (Ehrenfest)

$(d/dt)\langle {\vec {x}}\rangle =i\langle [H,{\vec {x}}]\rangle =i\langle [{\vec {\alpha }}\cdot (-i{\vec {\nabla }}-{\vec {A}})+V+\beta m,{\vec {r}}]\rangle$

$(d/dt)\langle {\vec {x}}\rangle =\langle {\vec {\alpha }}\rangle =:\langle {\vec {v}}\rangle$

Der Operator α ist die relativistische Geschwindigkeit $({\vec {v}}/c)$ mit Beträgen zwischen 0 und 1.

Sei der verallgemeinerte Impuls-Operator ${\vec {q}}:=({\vec {p}}-{\vec {A}})$:

$(d/dt)\langle {\vec {q}}\rangle =i\langle [{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {q}}+V+\beta m,{\vec {q}}]\rangle -\langle \partial _{t}{\vec {A}}\rangle =$

$=i\langle [{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {q}},{\vec {q}}]\rangle +ia[V,-i{\vec {\nabla }}]\rangle -\langle \partial _{t}{\vec {A}}\rangle$

Darin ist ${\vec {E}}:=-{\vec {\nabla }}\ V-\partial _{t}{\vec {A}}$ das elektrische Feld.

Der Kommutator der q-Komponenten macht Werte des magnetischen Feldes ${\vec {B}}:={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$.

$[q_{j},q_{k}]\phi =[-i\partial _{j}-A_{j},-i\partial _{k}-A_{k}]\phi ={\big (}(-i\partial _{j}-A_{j})(-i\partial _{k}-A_{k})+(i\partial _{k}+A_{k})(-i\partial _{j}-A_{j}){\big )}\phi$

$[q_{j},q_{k}]\phi =i(\partial _{j}A_{k}-\partial _{k}A_{j})\;\phi$

Also folgt für den magnetischen Teil von (d/dt)⟨q⟩:

$M_{k}=i\sum \nolimits _{j}[\alpha _{j}q_{j},q_{k}]=\sum \nolimits _{j}\partial _{k}(\alpha _{j}A_{j})-(\alpha _{j}\partial _{j})A_{k}$

Nun besteht allgemein die Dreiervektor-Gleichung

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}},$

wo bewusst b vor c geordnet ist. So gilt die Beziehung auch, wenn a konstant, b der Nabla-Operator und c ein Vektorfeld ist. Die Anwendung kommt hier:

${\vec {M}}={\vec {\alpha }}\times (\nabla \times {\vec {A}})={\vec {\alpha }}\times {\vec {B}}$

Insgesamt, mit α als Geschwindigkeits-Operator v:

$(d/dt)\langle {\vec {q}}\rangle =\langle ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\rangle$

Die Zeitableitung des allgemeinen Impulses stimmt daher mit der Lorentz-Kraft überein.

Diagonaler Hamilton-Operator

Die Manipulationen, mit denen die Dirac-Gleichung bei kleinen Geschwindigkeiten p/E (dimensionslos in unseren Einheiten, denn die maximale Geschwindigkeit ist 1) angenähert wird, gehen in diese Richtung: Matrizen wegräumen, zumindest von Dimension 4 auf Dimension 2 absenken, dafür aber Nichtlineares für den Impuls-Operator zulassen, bis hin zu Potenzreihen. Die Transformationen von Foldy und Wouthuysen erreichen eine solche teilweise Entkopplung der Spinor-Komponenten.

In einem ersten Anlauf geht es der freien Dirac-Gleichung an den Kragen. Es soll eine Familie von Matrizen U(p) gefunden werden, unitär auf dem Raum der Vierer-Spinoren, so dass nach einer Ähnlichkeitstransformation der Impuls-Operator

${\hat {p}}:=({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}})$ plus Massen-Term (Matrix mβ)

blockdiagonal wird. Sind die Spinorwellen ψ=ψ(t,p) dargestellt nach einer Fourier-Transformation als Funktionen im dreidimensionalen Impulsraum, ist darauf die Hamilton-Matrix $H({\vec {p}})=({\hat {p}}+m\beta )$ punktweise anzuwenden.

$i\partial _{t}\psi =H({\vec {p}})\psi \;\to \;i\partial _{t}\psi '=H'({\vec {p}})\psi '$

$\psi '=U({\vec {p}})\psi ;\quad H'({\vec {p}})=U({\vec {p}})H({\vec {p}})U({\vec {p}})^{-1}$

Mit dem transformierten Hamilton-Operator H' hofft man auf zwei entkoppelte lineare Gleichungen für Spinoren der Dimension 2.

Es antikommutieren die Vierermatrizen

$({\hat {p}}\beta +\beta {\hat {p}})=0,\quad \alpha _{j}\alpha _{k}+\alpha _{k}\alpha _{j}=0.$

In Anlehnung an die 'Drehbewegung', mit der eine Linearkombination der Paulimatrizen auf eine diagonale Matrix gebracht werden konnte, kam es zu folgendem Ansatz mit einem zu findenden p-abhängigen Winkel:

$U=U(p)=\cos(\theta )\mathbf {1} +(\beta {\hat {p}})\sin(\theta )/|{\vec {p}}|.$

Die Matrix $P=(\beta {\hat {p}})$ ist anti-hermitesch wegen der hermiteschen β,α und der Antivertauschung. Das Produkt

$PP^{\dagger }=-P^{2}={\hat {p}}^{2}=|{\vec {p}}|^{2}\;$ mal Einheitsmatrix, wegen

$\beta ^{2}=1,\;\alpha _{j}\alpha _{k}+\alpha _{k}\alpha _{j}=2\delta _{jk},$

und damit folgt leicht die Unitarität, $UU^{\dagger }=\mathbf {1} .$

Auswertung der Ähnlichkeitstransformation des freien H-Operators.

Abkürzungen:

$c=\cos \theta ,\;s=\sin \theta ,\;c_{2}=\cos(2\theta ),\;s_{2}=\sin(2\theta ).$

Randnotiz.

$\exp(2ia)=\cos(2a)+i\sin(2a)=(\cos a+i\sin a)(\cos a+i\sin a)=$

$=(\cos ^{2}-\sin ^{2})(a)+2i\sin(a)\cos(a)\;\Rightarrow 2sc=s_{2},cc-ss=c_{2}$

Weil β mit P antivertauscht, kommt im Massenteil:

$U\beta U^{\dagger }=(c+Ps/|p|)\beta (c-Ps/|p|)=\beta (c-Ps/|p|)^{2}=$

$=\beta (cc-ss-2csP/|p|)=\beta (cc-ss)-{\hat {p}}(2cs/|p|)=c_{2}\beta -s_{2}{\hat {p}}/|p|$

Kinetischer Teil:

$U{\hat {p}}U^{\dagger }=(c+(\beta {\hat {p}})s/|p|){\hat {p}}(c-(\beta {\hat {p}})s/|p|)=$

$=(c{\hat {p}}+\beta s|p|)(c-(\beta {\hat {p}})s/|p|)=cc{\hat {p}}+\beta cs|p|+\beta cs|p|-{\hat {p}}ss)=$

$={\hat {p}}(cc-ss)+2\beta cs|p|=c_{2}{\hat {p}}+s_{2}\beta |p|$

$H'=UHU^{\dagger }={\hat {p}}(c_{2}-(m/|p|)s_{2})+\beta (s_{2}|p|+mc_{2})$

Um H' zu diagonalisieren, soll der Koeffizient von ${\hat {p}}$ zu Null werden:

$\tan(2\theta )=|p|/m\;\Rightarrow \;\theta ({\vec {p}})=\arctan(|p|/m)/2.$

Nun gilt für die Energie E(p) : E²=p²+m², was nach Pythagoras den Aha-Effekt für die Winkelvariable auslöst:

$|p|=E\sin(2\theta ),\;m=E\cos(2\theta ).$

Damit für den Koeffizienten von β:

$|p|s_{2}+mc_{2}=E(\sin ^{2}(2\theta )+\cos ^{2}(2\theta ))=E.$

Ergebnis. Der transformierte Hamilton-Operator ist der Energie-Betrag

$H'({\vec {p}})=\beta E=\beta {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$

Wegen der β-Matrix haben die ersten zwei Spinor-Komponenten eine positive und die anderen eine negative Energie.

Nach der unitären Transformation U ist also der freie Hamilton-Operator diagonal in der Impuls-Darstellung. In der Ortsdarstellung aber wird daraus eine unendliche Potenzreihe von Ableitungs-Operatoren,

$H'=\beta {\sqrt {m^{2}-\nabla ^{2}}}\quad$ (Taylorreihe in (∇/m))

insgesamt ein nicht-lokaler Operator. In der Impulsdarstellung dagegen sind ungemütlich nicht-lokal die ortsmäßig lokal-multiplikativ angekoppelten Potenziale, da sie zu Faltungen Fourier-transformiert werden.

Als nächstes soll eine zum Teil diagonalisierte, aber im Ortsraum lokale Näherung hergeleitet werden, in die auch die Potenziale des vollen Hamilton-Operators einfließen.

Ansätze zur nichtrelativistischen Näherung

Der Zeitentwicklungs-Operator H hat die Dimension Energie=Masse. Ein dimensionsloser Operator, geteilt durch die Teilchenmasse, ist daher

$H/m=\beta +D/m+N/m$

mit zwei Teilen außer dem konstanten β:

• blockdiagonales skalares Potenzial: $D=V(t,{\vec {x}}),$
• nichtdiagnal der Impuls und das Vektorpotenzial: $N={\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {A}}).$

Nichtrelativistisch sind alle Energien klein im Vergleich zu m. Eine iterative Strategie soll den (H/m)-Operator äquivalent so umformen, dass sein nichtdiagonaler Teil nur in einer hohen Potenz von Termen (Energie/m) übrig bleibt, also bei langsamen Teilchen vernachlässigt werden kann. Einige Tricks dafür sind folgende.

β kommutiert mit D-Matrizen und antikommutiert mit N-Matrizen, wo

$D={\binom {a\;0}{0\;b}},\;N={\binom {0\;c}{d\;0}}\;$ in 2x2-Blöcken.

Eine unitäre Ähnlichkeitstransformation von H addiert in niedrigster Ordnung einen Kommutator [iG,H] mit einer antihermiteschen Matrix iG.

Um ein vorhandenes nichtdiagonales (N/m) zu kompensieren, genauer um Nichtdiagonales eine Ordnung in (1/m) weiter zu unterdrücken, wähle

$iG=\beta N/(2m).\quad [iG,(H/m)]\simeq (\beta N\beta -\beta ^{2}N)/(2m)=-N/m$

kompensiert den nichtdiagonalen Teil. Alle anderen Kommutatoren schaffen neue Nichtdiagonalen herbei, aber eine Ordnung höher.

Allgemein soll eine Transformation der Dirac-Spinorwellen so aussehen

$\psi '(t,{\vec {x}})=(U\psi )(t,{\vec {x}})=[\exp(iG\{{\vec {p}},{\vec {A}},V\})\psi ](t,{\vec {x}})$

Die hermitesche Matrix G kann die Potenziale enthalten, deren Raum- und Zeit-Ableitungen beim Raumzeitpunkt $(t,{\vec {x}})$, sowie höhere Orts-Ableitungs-Operatoren des Impulses. G ist implizit zeitabhängig über die extern vorgegebenen Potenziale, aber die Näherung der Transformation U soll in der Raumzeit lokal bleiben. Gefordert wird die Kovarianz der Wellengleichung

$i\partial _{t}\psi =H\psi ;\;i\partial _{t}\psi '=H'\psi ';\;\psi '=\exp(iG)\psi$

$i\partial _{t}\psi '=i\partial _{t}(\exp(iG)\psi )=(i\partial _{t}\exp(iG))\psi +\exp(iG)(H\psi )$

$=(i\partial _{t}\exp(iG))\exp(-iG)\psi '+\exp(iG)H\exp(-iG)\psi '\;\Rightarrow$

$H'=\exp(iG)[H-i\partial _{t}]\exp(-iG)\quad$ wegen

$0=\partial _{t}[\exp(iG)\exp(-iG)]=(\partial _{t}\exp(iG))\exp(-iG)+\exp(iG)(\partial _{t}\exp(-iG))$

Achtung, es gilt

$\partial _{t}\exp(iG)\;\neq \;i{\dot {G}}\exp(iG),$

weil die Zeitableitung von Matrix G nicht allgemein mit G vertauschbar ist.

Um die Transformation $H\mapsto H'$ nach Ordnungen von G zu entwickeln, zuerst Rechenübung und Taylorreihe mit der matrixwertige Funktion

$F(G,H,z)=\exp(izG)H(\exp(-izG)$

$dF/dz=\exp(izG)(iGH-HiG)\exp(-izG)=iF(G,[G,H],z)=i[G,H]\;{\text{ bei }}\;(z=0).$

$d^{n}F/dz^{n}|_{z=0}=i^{n}[G,[G,...[G,H]...]$

$F(G,H,z=1)=\exp(iG)H\exp(-iG)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }(d^{n}F/dz^{n})|_{z=0}/n!$

Mit der Definition $K_{G}(H):=[G,H]$ für irgendwelche Elemente G,H einer assoziativen Algebra bestehen also die Reihenentwicklungen

$\exp G=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }G^{n}/n!$

$\exp(G)\cdot H\cdot \exp(-G)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }K_{G}^{n}(H)/n!$

Jeder Term der Reihe hat eine Binomialformel

$K_{G}^{n}(H)=\sum \nolimits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}G^{n-k}H(-G)^{k}$

$[G,H]=GH-HG$

$[G,[G,H]]=GGH-2GHG+HGG$

$[G,[G,[G,H]]=GGGH-3GGHG+3GHGG-HGGG$

Induktion:

$K_{G}^{n+1}(H)=[G,K_{G}^{n}(H)]=$

$=\sum \nolimits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}G^{n-k+1}H(-G)^{k}+\sum \nolimits _{j=0}^{n}{\binom {n}{k}}G^{n-j}H(-G)^{j+1}=$

$=\sum \nolimits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}G^{n-k+1}H(-G)^{k}+\sum \nolimits _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}G^{n+1-k}H(-G)^{k}=$

$=G^{n+1}H+\sum \nolimits _{k=1}^{n}{\Big (}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}{\Big )}G^{n+1-k}H(-G)^{k}+H(-G)^{n+1}$

Mit der Summe der zwei Binomialkoeffizienten folgt die Behauptung.

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n+1-k)!}}={\frac {n!}{k!(n+1-k)!}}[(n+1-k)+k]={\binom {n+1}{k}}$

Mit leichten Verallgemeinerungen sind Antikommutatoren eingeschlossen:

$\exp(aG)\cdot H\cdot \exp(bG)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }K_{G}^{n}(H)/n!$

$K_{G}(H)=aGH+bHG;\quad K_{G}^{n}(H)=\sum \nolimits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(aG)^{n-k}H(bG)^{k}$

$\exp(G)\cdot H\cdot \exp(F)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }K^{n}(H)/n!$

$K(H):=GH+HF;\quad K^{n}(H)=\sum \nolimits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}G^{n-k}HF^{k}$

Eine Formel für gewisse Teilsummen der Binomialkoeffizienten folgt aus

${\binom {n}{k-1}}-{\binom {n+1}{k}}=-{\binom {n}{k}}\;\Rightarrow \;{\binom {n}{k}}-{\binom {n+1}{k+1}}=-{\binom {n}{k+1}}\;:$

$\sum \nolimits _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n+1}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n}{k}}$

Induktion über k bei vorgegebenem n. Für $\;k=0,\;0!=1,{\binom {n}{0}}=1,$ stimmt die Gleichung. Auch für k=1 ist sie klar.

$\sum \nolimits _{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{\binom {n+1}{j}}=(-1)^{k}{\Big (}{\binom {n}{k}}-{\binom {n+1}{k+1}}{\Big )}=(-1)^{k+1}{\binom {n}{k+1}}$

Die Formel sagt in Worten, dass eine alternierende Summe von Produkten zweier Fakultäten im Nenner, bei auf- und absteigenden Faktoren, ein einzelnes solches Produkt ergibt:

$(n+1){\Big (}\sum \nolimits _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{j}}{(n+1-j)!j!}}{\Big )}={\frac {(-1)^{k}}{(n-k)!k!}}$

Ein solches Ding kommt auf, wenn nach der Reihenentwicklung bestimmter Operator-Zeitableitungen gefragt wird. Mit

$F(t):={\dot {G}}(t)=dG/dt,\;{\text{ sei }}\;D(t)=\exp(G(t))\cdot (d/dt)[\exp(-G(t))]$

Da generell F(t) und G(t) nicht kommutieren, haben Monome die Zeitableitung

$(d/dt)G^{n+1}=\sum \nolimits _{j=0}^{n}G^{j}\;F\;G^{n-j}\quad (n=0,1,2...)$

Aufsammeln der Terme in D(t), wo G in der Ordnung m vorkommt:

$D_{m}=\sum \nolimits _{n=0}^{m}{\frac {G^{m-n}}{(m-n)!}}{\frac {(d/dt)(-G)^{n+1}}{(n+1)!}}=\sum \nolimits _{n=0}^{m}{\frac {G^{m-n}}{(m-n)!(n+1)!}}\sum \nolimits _{j=0}^{n}(-G)^{j}(-F)(-G)^{n-j}$

Das Vorzeichen der Terme ist $(-1)^{n+1}$. Statt über n soll die Summierung nach den Potenzen k hinter dem F-Operator geordnet werden,

$D_{m}=\sum \nolimits _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n+1}}{(m-n)!(n+1)!}}\sum \nolimits _{k=0}^{n}G^{m-k}(F)G^{k}$

Bei gegebenem k=0...m variiert n von k bis m, daher:

$D_{m}=\sum \nolimits _{k=0}^{m}(G^{m-k}\;F\;G^{k}){\Big (}\sum \nolimits _{n=k}^{m}{\frac {(-1)^{n+1}}{(m-n)!(n+1)!}}{\Big )}$

Aha. In der großen Klammer ist nun die Summe über h:=(n-k), n=k+h, vom Typ alternierend mit auf- und absteigende Fakultäten im Nenner.

$(\;)=\sum \nolimits _{h=0}^{m-k}{\frac {(-1)^{k+h+1}}{((m-k)-h)!(k+h+1)!}}$

Eine letzte Umkleidung und obige Formel greift zu:

$i=(m-k)-h;k+h+1=m+1-i,$

$\sum \nolimits _{i=0}^{m-k}{\frac {(-1)^{m+1-i}}{i!(m+1-i)!}}={\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\cdot {\frac {(-1)^{m-k)}}{(m-(m-k))!(m-k)!}}={\frac {(-1)^{k+1}}{k!(m-k)!(m+1)}}$

$D_{m}=-\sum \nolimits _{k=0}^{m}(G^{m-k}F(-G)^{k}){\binom {m}{k}}/(m+1)!$

Die Summe vor dem Nenner ist identisch mit dem eben vorgestellten Multikommutator $K_{G}^{m}(F)$, also:

$\exp(G)\cdot (d/dt)\exp(-G)=\sum \nolimits _{m=0}^{\infty }D_{m}=-\sum \nolimits _{m=0}^{\infty }K_{G}^{m}(F)/(m+1)!$

Man beachte den subtilen Unterschied zur Ähnlichkeitstransformation:

$\exp(G)\;H\;\exp(-G)=\sum \nolimits _{m=0}^{\infty }K_{G}^{m}(H)/m!$

Die Anfänge der gewünschten Reihen zur Transformation des Hamilton-Operators

$H\mapsto H'=e^{iG}(H-i\partial _{t})e^{-iG}\quad {\text{mit}}\quad G=G(t,{\vec {x}},{\vec {\nabla }}),\;F=\partial G/\partial t$

können nun endlich ausgeschrieben werden:

$\exp(iG)\;H\;\exp(-iG)=H+i[G,H]-(1/2)[G,[G,H]]-$

$-(i/6)[G,[G,[G,H]]]+(1/24)[G,[G,[G,[G,H]]]]...,$

$\exp(iG)\;(-i\partial _{t})\exp(-iG)=+i(iF+[iG,iF]/2!+[iG,[iG,iF]]/3!+...)=$

$=-F-i[G,F]/2+[G,[G,F]]/6+i[G,[G,[G,F]]]/24....$

Hamilton-Operator, Approximation in 3 Iterationen

Nach den rechnerischen Ausschweifungen nun zum harten Kern der Sache. Die Potenziale werden ab jetzt mit einer Kopplungskonstante verziert, der Ladung des Teilchens.

$H_{0}=\beta m+D+N,\quad D=eV,\quad N={\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {p}}-e{\vec {A}})$

$iG=\beta N/(2m)\quad$(Verdrängungs-Strategie für Nichtdiagonales)

$K_{1}=[iG,H_{0}]=-N+\beta [N,D]/(2m)+\beta N^{2}/m$

(Regeln: β kommutiert mit D, antikommutiert mit N, β²=1.)

$K_{2}=[iG,K_{1}]=-\beta N^{2}/m-[N,[N,D]]/(4m^{2})-N^{3}/m^{2}$

$K_{3}=[iG,K_{2}]=N^{3}/m^{2}-\beta N^{4}/m^{3}$

$K_{4}=[iG,K_{3}]=\beta N^{4}/m^{3}$

$F_{1}=-\partial _{t}G=i\beta {\dot {N}}/(2m)$

$F_{2}=-i[G,\partial _{t}G]=-i[N,{\dot {N}}]/(4m^{2})$

Die Transformation soll alle Terme, die N enthalten, bis zur Ordnung (1/m³) mitnehmen. Dahinter steckt die kinetische Energie. Die Terme, die auch ${\dot {N}}$ in sich haben, also die Zeitableitungen der Potenziale, nur in der Ordnung (1/m²). Solche betreffen die Energie des einwirkenden Feldes. Am Ende der Prozedur soll bis zur Ordnung (1/m²) nur Diagonales auftauchen und alles von höherer Ordnung in (1/m) wird weggeworfen.

$H_{1}=H_{0}+K_{1}+K_{2}/2+K_{3}/6+K_{4}/24+F_{1}+F_{2}/2=$

$=\beta (m+N^{2}/(2m)-N^{4}/(8m^{3}))+D-[N,[N,D]]/(8m^{2})-i[N,{\dot {N}}]/(8m^{2})+$

$+\beta [N,D]/(2m)-N^{3}/(3m^{2})+i\beta {\dot {N}}/(2m)$

Der transformierte Operator

$H_{1}=\beta m+D_{1}+N_{1}$

hat als Diagonal-Terme alle, worin eine gerade Zahl von Faktoren N oder ${\dot {N}}$ vorkommt und als Nichtdiagonal-Terme diejenigen mit ungerader Zahl solcher Faktoren. Die Terme $N_{1}$ haben nun den Faktor (1/m). Das Ziel ist es, durch zweimalige weitere Verdrängung einen Faktor (1/m³) zu erreichen.

$iG_{1}=\beta N_{1}/(2m)=(\beta /(2m)){\big (}\beta [N,D]/(2m)-N^{3}/(3m^{2})+i\beta {\dot {N}}/(2m){\big )}$

$H_{2}=\beta m+D_{1}+\beta [N_{1},D_{1}]/(2m)+i\beta {\dot {N}}_{1}/(2m)=\beta m+D_{1}+N_{2}$

mit Termen $N_{2}$ der Ordnung (1/m²). Eine letzte Iteration mit:

$iG_{2}=\beta N_{2}/(2m)$

macht nichts Neues im blockdiagonalen Operator in der Ordnung (1/m²) und verschiebt alles Nichtdiagonale in die unterdrückte Ordnung (1/m³):

$H_{3}=\beta (m+N^{2}/(2m)-N^{4}/(8m^{3}))+D-[N,[N,D]]/(8m^{2})-i[N,{\dot {N}}]/(8m^{2})$

Der Operator $D_{1}$ nach der ersten Iteration war bereits das Endergebnis, weil alle eventuellen weiteren Diagonalterme mindestens den Faktor (1/m³) bekommen.

Nun sind $\;N^{2},N^{4},[N,[N,D]],[N,{\dot {N}}]\;$ auszuwerten.

$N^{2}=({\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {p}}-e{\vec {A}}))^{2}$

hat zwei gleiche 2x2-Blöcke mit Pauli-Matrix-Produkten. Bei denen hilft immer die Gleichung

$({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {a}})({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {b}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

$N^{2}\equiv ({\vec {\sigma }}\cdot (-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}}))\cdot ({\vec {\sigma }}\cdot (-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}}))=(-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}})^{2}-e{\vec {\sigma }}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

Das Magnetfeld ist definiert als

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}.$

Betrachtet man nur die ersten zwei Komponenten der Dirac-Spinoren, also die mit positiver Energie und vergisst die Ruhemasse βm, dann bleibt als einfachste Näherung dafür der Hamilton-Operator

${\bar {H}}\equiv N^{2}/2m+D=[(-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}})^{2}-e{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}]/(2m)+eV$

Die Zweikomponenten-Wellengleichung ist die Pauli-Gleichung:

$i\partial _{t}\phi ={\frac {(-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}})^{2}\phi }{2m}}-{\frac {e}{2m}}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}})\phi +eV\phi$

Genau die Schrödinger-Gleichung, angereichert mit der Kopplung des Spins an das Magnetfeld. Es war 1928 der erste Triumph der Dirac-Gleichung. Der gyromagnetische Faktor des Elektrons ist experimentell richtig, bis auf die Strahlungskorrekturen, welche die voll ausgebaute Quantenelektrodynamik erfordern.

Um eine Gleichung altgewohnt nicht-relativistisch zu schreiben, geht es von 'natürlichen' Einheiten zurück zu den konventionellen. Gedanklich werden Zeiten, Energien, Massen,... mit Strichen versehen und dann wird ihr Ausdruck in ungestrichenen Werten eingesetzt. $\partial _{t}$ bekommt den Faktor 1/c; ∇ bleibt wie es ist (1/Länge); V,A,B erhalten den Faktor 1/(ℏc), m den Faktor c/ℏ. Die verzierte Pauli-Gleichung kommt raus nach Malnehmen mit ℏc:

$i\hbar \;\partial _{t}\phi ={\frac {-i\hbar {\vec {\nabla }}-e{\vec {A}}/c)^{2}}{2m}}\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}})\;\phi +eV\;\phi$

Es bleibt noch auszurechnen: $-(1/8m^{2})[N,\;[N,D]-i{\dot {N}}]$

$C=[N,D]-i{\dot {N}}=e(-i({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }})V-i({\vec {\alpha }}\cdot \partial _{t}{\vec {A}}))=ie({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {E}})$

Das elektrische Feld ist hier definiert als ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-\partial _{t}{\vec {A}}.$

$[N,C]=[{\vec {\alpha }}\cdot (-i\nabla -e{\vec {A}}),ie({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {E}})]=$

$=ie\sum \nolimits _{j,k}\alpha _{j}\alpha _{k}(-i\partial _{j}E_{k})-2ie({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {\nabla }}))$

Hier meint ${\vec {\sigma }}$ genauer genommen die blockdiagonalen 4x4-Matrizen diag($\sigma _{i},\sigma _{i}$). Es folgt

$(1/8m^{2})[N,\;[N,D]-i{\dot {N}}]={\frac {e}{8m^{2}}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})+{\frac {ie}{8m^{2}}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}))-{\frac {ie}{4m^{2}}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {\nabla }}))$

Hamilton-Operator, alle Terme in der hier dargestellten Näherung:

$\beta {\Big (}m+{\frac {-i{\vec {\nabla }}-e{\vec {A}})^{2}}{2m}}-{\frac {(-i{\vec {\nabla }})^{4}}{8m^{2}}}{\Big )}$

$+eV-{\frac {e}{2m}}\beta ({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}})$

$-{\frac {ie}{8m^{2}}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}))$

$-{\frac {-ie}{4m^{2}}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {\nabla }}))$

$-{\frac {e}{8m^{2}}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})$

Die erste große Klammer enthält den kinetischen Term mit einer relativistischen Korrektur, die wie eine vergrößerte Masse wirkt. Der Anfang einer Entwicklung von ${\sqrt {m^{2}+({\vec {p}}-e{\vec {A}})^{2}}}.$ Dann kommen die elektrostatische Energie und die des magnetischen Dipols. Terme vier und fünf sind nur zusammen genommen hermitesch und werden als die Spin-Bahn-Kopplung interpretiert, wie gleich näher zu erläutern. Der letzte heißt der Darwin-Term und wird mitunter als ein Effekt von ausgeschmierten Ortskoordinaten oder gar Zitterbewegungen des Elektrons angesehen, weswegen es die Divergenz des elektrischen Feldes zu spüren bekommt.

In einem Zentralpotenzial V(r) soll gelten

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V,\;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0,\quad {\vec {E}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr}}{\vec {r}}.$

Mit dem Operator des Bahn-Drehimpulses

$L={\vec {r}}\times {\vec {p}}=-i({\vec {r}}\times {\vec {\nabla }})$

werden der vierte Term Null und der fünfte des Hamilton-Operators:

$H_{SB}={\frac {e}{4m^{2}r}}{\frac {dV}{dr}}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {L}})$

Das Skalarprodukt vom Spin und vom Bahn-Drehimpuls trägt also eine Energie bei, die proportonal ist zur elektrostatischen Kraft.

Fazit. Die Dirac-Gleichung bei kleinen Energien enthält den Hamilton-Operator der Schrödinger-Gleichung, angereichert mit der magnetischen Kopplung der Pauli-Gleichung und darüber hinaus mit Termen der Spin-Bahn-Kopplung, der relativistischen Kinetik und der Zitterbewegung.

Mit einer Störungsrechnung im zentralen Coulomb-Potenzial kann die Feinstruktur des Wasserstoff-Energiespektrums gut bestätigt werden, wobei das Halbspektrum negativer Energie komplett ignoriert wird und wo zwei Komponenten der Spinorwelle ausreichen. (Die Bezugs- Energie des ungebundenen Teilchens ist hier mc², nicht Null.) Der Hamilton-Operator ist näherungsweise blockdiagonal. Man behält nur den ersten Block, für den die β-Matrix gleich Eins ist.

Das Spektrum im zentralen Coulomb-Potenzial kann auch geschlossen ohne Approximationen mit Diracs Gleichung berechnet werden, was der Gegenstand des folgenden Abschnitts sein soll. Die berühmte Lamb-Verschiebung aber sprengt eindeutig den Rahmen dieser Wellengleichung. Auch mussten die negativen Energien wegdiskutiert werden mit dem Argument, ein See voller Fermionen stopfe sie alle zu.

Ein großartiger Erfolg war Diracs Vorhersage der Antiteilchen, als Löcher in dem See betrachtet. Nur kam später heraus, dass auch Bosonen wie W+,W- als Paare entgegengesetzt geladener Teilchen vorkommen. Das mühsame Bild der relativistischen Wellen als Einteilchen-Zustände wurde aufgegeben. Sie wurden zu operator-wertigen Feldern umfunktioniert, und mit der richtigen Rechentechnik konnte man die negativen Frequenzen umklappen zu den positiven Energien der Antiteilchen.