Quantenmechanik/ Bell-Ungleichungen

Bell-Ungleichungen

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Spukhafte Fernwirkung

Das Gedankenexperiment von Einstein-Podolsky-Rosen (EPR), später von Bohm etwas aufpoliert, war als Angriff auf die Quantenmechanik gedacht. Die Theorie würde Effekte erlauben, die sich schneller als das Licht ausbreiten.

Es werden Teilchen mit Spin 1/2 angenommen, die längs der y-Achse fliegen. Wegen der Drehimpuls-Kommutatoren kann der Spin gemessen werden:

• entweder $S_{x}$ um die x-Achse, was den Wert für $S_{z}$ unbestimmt macht
• oder $S_{z}$ um die z-Achse, was den Wert $S_{x}$ ungewiss macht.

Die Spin-Messungen haben zwei Werte, einfachheitshalber +1 und -1.

An der Quelle werden die Teilchen in Paaren A,B erzeugt in einer Konfiguration mit totalem Drehimpuls Null. Nach den Clebsch-Gordan Regeln für die Kombination von Spins muss dann der Zweiteilchen-Zustand verschränkt sein. Das heißt, die Wellenfunktion kann kein einfaches Produkt sein, sondern ist eine Linearkombination von Produkten (Superpositionsprinzip!).

$|f\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1;-1\rangle -|-1;1\rangle )$

mit $S_{z}$ - Eigenwerten zum Beispiel. Die Notation besagt |Eigenwert-A;Eigenwert-B>. Dieser Singulett-Zustand hat die gleiche Formel, wenn $S_{x}$ oder irgendeine andere Richtung für den Spin-Operator gewählt wird.

Das Paar fliegt weit auseinander, ein Teilchen wird rechts auf Station Alice gemessen, das andere links auf Station Bob. Wenn Alice beschließt, $S_{z}$ zu messen und Wert 1 findet, legt die Eigenvektor-Projektion sofort fest, dass bei Bob ein $S_{z}=-1$ mit Sicherheit zu messen ist. Falls Bob gerade im Sinn hat, auch sein $S_{z}$ zu messen und nicht das unbestimmte $S_{x}$. Wählt Alice eine Messung von $S_{x}$, wird auch schlagartig auf Bobs Seite das Partnerteilchen auf einen scharfen Wert in x-Richtung festgenagelt. Eine Seite ändert die Eigenschaften des Objekts bei der anderen. Weil nach den Quanten-Postulaten jede Messung eine Projektion auf einen Eigenvektor ist und weil wegen der Verschränkung die Eigenvektoren untrennbar die Koordinaten beider Teilchen enthalten.

Bob kann weit entfernt sein; kann also Alice ihre Messreihe so manipulieren, dass Bob schneller als das Licht Informationen bekommt? Nein, denn er weiß nicht, was Alice genau findet. Seine Statistiken allein genommen sind dieselben, als würde Alice nichts tun. Nur beim nachträglichen Auslesen der Korrelationen können Alice und Bob es finden: immer wenn beide gleichartig gemessen haben, also $S_{x},S_{x}$ oder $S_{z},S_{z}$, ist die Summe Null.

Für die Kritiker waren die Koinzidenzen aber verdächtig. Das orthodoxe Modell ist damit zufrieden, dass die Teilchen, während sie im Anflug sind, keine definierte Ausrichtung haben. Auch wenn Alice erst während der Flugphase ihr Gerät auf $S_{z}$ einstellt und dann das Teilchen fängt, erfolgt schlagartig auf Bobs Seite ein Kollaps auf den komplementären Zustand. Das sei unwichtig, weil die Zustände/Wellenfunktionen sowieso nur Rechenkrücken seien und keine physikalische Realität haben.
Eine klassisch angehauchte Interpretation würde aber erwarten, dass die Teilchen ihre Eigenschaften seit ihrer Entstehung fix und fertig mitbringen und dass Alices Messung einfach feststellt, welches Wertepaar vorliegt. Wenn ein linker Handschuh ankommt, ist klar, dass der andere ein rechter Handschuh sein muss.
Welche Randbedingungen die gemessenen Korrelationen nach der klassischen Logik haben, hat Bell mit seinen Ungleichungen erfasst. Die Quantenmechanik mit ihrem Formalismus der Projektions-Messung verletzt diese Ungleichungen. Sie verletzt das Postulat des lokalen Realismus. Das kann experimentell geprüft werden.

Test auf verborgene Variablen, Überblick

Typischer Versuchsaufbau für Messreihen und statistische Auswertung:

• eine Teilchenquelle, die Paare von Teilchen mit Spin bzw. Polarisation sendet
• ein Labor rechts, A=Alice. Sie kann Werte $S(a)$ mit lokalen Kontrollparametern a messen. a ist zum Beispiel die Orientierung von Polarisatoren.
• ein zweites Labor links, B=Bob. Er kann Werte $S(b)$ an seinen Teilchen mit seinen lokalen Kontrollparametern b messen.

Hypothese 1

Es gibt eine gemeinsame klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung $W(v)$, die Eigenschaften der Paare bei der Quelle kontrolliert. Mit den versteckten Zufallsvariablen $v$ und Funktionen $S_{c}$ gilt:

Mittelwerte $\langle S(a)\rangle =\int dv\;W(v)S_{c}(a,v);\qquad \langle S(b)\rangle =\int dv\;W(v)S_{c}(b,v)$

Korrelation $\langle S(a)S(b)\rangle =\int dv\;W(v)\;(S_{c}(a,v)-\langle S(a)\rangle )(S_{c}(b,v)-\langle S(b)\rangle )$

Hypothese 2

Es gibt einen (verschränkten) Quantenzustand $|f\rangle$ der Teilchen an der Quelle. Es gibt nicht immer vertauschbare Operatoren $S_{q}(a)$ und $S_{q}(b)$. Messung ist Eigenvektor-Projektion.

Mittelwerte $\langle S(a)\rangle =\langle f|S_{q}(a)|f\rangle \;\qquad \langle S(b)\rangle =\langle f|S_{q}(b)|f\rangle$

Korrelation $\langle S(a)S(b)\rangle =\langle f|{\tfrac {1}{2}}\{S_{q}(a),S_{q}(b)\}|f\rangle \quad ;\quad$bei Erwartungswerten Null, einfachheitshalber.

Ergebnis

Die Analyse von Bell und anderen hat folgendes gezeigt:

Mit einigen trickreich gewählten Kontrollpaaren $(a,b)$ lassen sich geschickt Linearkombinationen aus den gemessenen Korrelationen bilden, welche:

• kleiner sein müssen als eine bestimmte Schwelle bei Hypothese 1
• größer sind als diese Schwelle bei Hypothese 2.

Die erste Hypothese formalisiert Einsteins Wunsch nach lokalem Realismus: die Teilchen bekommen alle nötigen (selbstverständlich korrelierten) Eigenschaften am Entstehungsort verpasst und tragen sie getrennt weiter zum Ort der Experimente. Die Hypothese zwei entspringt dem seltsamen Modell der Quantenmessung: Während des Flugs sind gewisse Eigenschaften noch unbestimmt. Bei einer Messung erst werden sie fixiert. Über die Reduktion der verschränkten Zwei-Teilchen-Wellenfunktion provoziert die Messung am Punkt A mit Geisterhand einen Kollaps an dem mit Lichtgeschwindigkeit unerreichbaren Punkt B. Keiner kann übrigens entscheiden, wer wen provoziert. Denn wegen der speziellen Relativität ist die Ordnung der Zeit zwischen A und B umkehrbar, also undefiniert.

Die Experimente von Aspect schließen mit großem Sicherheitsabstand die Hypothese 1 aus und kommen gut der quantenmechanischen Vorhersage nahe.

Originalversion der Ungleichung

Es geht um ein EPR-Experiment mit zwei Beobachtern Alice(1) und Bob(2). Sie empfangen zwei Spin-1/2 Teilchen im verschränkten Singlett-Zustand. $|s\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle \otimes |-1\rangle -|-1\rangle \otimes |1\rangle )$ Der Spin-Vektoroperator des ersten bzw. zweiten Teilchens ist das Trio aus Paulimatrizen $\mathbf {S} ={\frac {\hbar }{2}}{\vec {\sigma }}$ angewandt auf den ersten bzw. zweiten Faktor des Tensorprodukts aus Spinoren.

Notation: $\mathbf {S_{1}} =(S_{1x},S_{1y},S_{1z});\;\mathbf {S_{2}} =(S_{2x},S_{2y},S_{2z})$.

Der Mittelwert dieser 6 Operatoren auf dem Singlettzustand $|s\rangle$ ist Null. Die Summen $S_{1x}+S_{2x}$ usw. sind identisch Null auf dem Singlett. Der Spin kann in jeder Richtung, gegeben durch einen Einheitsvektor ${\hat {a}}$, gemessen werden. Die Operatoren der Messung auf Teilchen 1 und 2 sind $A_{1}:=(\mathbf {S_{1}} \cdot {\hat {a}})$ und $B_{2}:=(\mathbf {S_{2}} \cdot {\hat {b}})$. Die Messwerte, also Eigenwerte, sind jeweils $(+{\frac {\hbar }{2}},-{\frac {\hbar }{2}})$.

Es wird gespielt mit drei Richtungen ${\hat {a}},{\hat {b}},{\hat {c}}$ und den so orientierten Observablen $A_{i},B_{i},C_{i};\;i=1,2$. Folgende Produktformel für Paulimatrizen wird gebraucht:

$\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\mathbf {1} +i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}$

Daraus folgt für das Produkt zweier Operatoren:

$A_{1}B_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}({\hat {a}}\cdot {\hat {b}})\mathbf {1} +i{\frac {\hbar }{2}}(({\hat {a}}\times {\hat {b}})\cdot \mathbf {S_{1}} )$

Auf dem Singlett ist $B_{2}=-B_{1}$ und der Mittelwert von $\mathbf {S_{1}}$ ist 0. Resultat ist die Korrelation von Spin-Messung bei Alice und Bob:

$E(A_{1}B_{2})=-\langle s|A_{1}B_{1}|s\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}({\hat {a}}\cdot {\hat {b}})$.

Nach der Quanten-Version nun eine Berechnung nach klassischer Hypothese. Es gebe gewöhnliche Zufallsvariablen $A_{1}(v)$ bis $C_{2}(v)$, alle auf demselben Ereignisraum mit normiertem Integrationsmaß $W(v)\;dv$ definiert. Ihre Wertebereiche sind binär wie vorhin $(+{\frac {\hbar }{2}},-{\frac {\hbar }{2}})$. Ihre Quadrate sind also die Konstante

$c:={\frac {\hbar ^{2}}{4}}$.

Es gelten auch Summenregeln so wie bei gleichartigen Messungen gefunden: $A_{1}(v)+A_{2}(v)=B_{1}(v)+B_{2}(v)=C_{1}(v)+C_{2}(v)=0$. Man nehme die Differenz zweier Korrelationen:

$E(A_{1}B_{2}-A_{1}C_{2})=\int W(v)\;dv\;[A_{1}(v)B_{2}(v)-A_{1}(v)C_{2}(v)]$

$=-\int W(v)\;dv\;[A_{1}(v)B_{1}(v)-A_{1}(v)C_{1}(v)]$

$=-\int W(v)\;dv\;(A_{1}(v)B_{1}(v))[1-{\frac {1}{c}}B_{1}(v)C_{1}(v)]$

wo einmal $B_{1}(v)^{2}=c$ eingeschleust wurde.

Der Faktor $A_{1}B_{1}$ im Integrand ist vom Betrag kleiner oder gleich c, der in eckigen Klammern ist nicht-negativ. Der Absolutwert des Integrals ist kleiner-gleich dem Interal des Absolutwertes, und so folgt die Ungleichung:

$|E(A_{1}B_{2})-E(A_{1}C_{2})|\leq [c-E(B_{1}C_{1})]$. Wegen $E(B_{1}C_{1})=-E(B_{1}C_{2})$ :

$|E(A_{1}B_{2})-E(A_{1}C_{2})|-E(B_{1}C_{2})\leq c$

Aus drei Korrelationsmessungen hat Bell eine obere Schranke kombiniert, die unabhängig von der Wahl der Richtungen ${\hat {a}},{\hat {b}},{\hat {c}}$ ist.

Vergleich mit der Quantenmechanik, wo $E(A_{1}B_{2})=-c({\hat {a}}{\dot {\hat {b}}})$. Man wähle ${\hat {a}}$ und ${\hat {b}}$ orthogonal, $({\hat {a}}\cdot {\hat {b}})=0$ und ${\hat {c}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {a}}+{\hat {b}})$ diagonal dazu.

$|E(A_{1}B_{2})-E(A_{1}C_{2})|-E(B_{1}C_{2})=|E(A_{1}C_{2})|-E(B_{1}C_{2})=$

${\frac {c}{\sqrt {2}}}[|-({\hat {a}}\cdot {\hat {a}})|-(-{\hat {b}}\cdot {\hat {b}})]={\frac {2c}{\sqrt {2}}}$. Die Zahl ist erheblich größer als das klassische c. Die Quantenmechanik liefert grob gesagt mehr Korrelation als es die Schul-Stochastik erlaubt.

Version von Clauser et al.

In diesem Schema gibt es Messgeräte mit 4 Richtungsvektoren ${\hat {a}},{\hat {b}},{\hat {c}},{\hat {d}}$. Zwei werden auf Seite 1 (Alice) benutzt, zwei auf Seite 2 (Bob).

Es gebe also 4 hypothetische Zufallsvariablen $A_{1}(v),B_{1}(v),C_{2}(v),D_{2}(v)$, passend zu den genannten 4 Richtungen. Es wird keine Summenregel dazu gefordert, aber alle Funktionen können nur die 2 Werte {+1,-1} annehmen, die bei Messungen anfallen.

Folgende magische Kombination von Korrelationen soll ausgewertet werden:

$E(A_{1}C_{2})-E(A_{1}D_{2})+E(B_{1}C_{2})+E(B_{1}D_{2})=\int W(v)\;dv\;[A_{1}(v)C_{2}(v)-A_{1}(v)D_{2}(v)+B_{1}(v)C_{2}(v)+B_{1}(v)D_{2}(v)]$

Die Argumente kommen in 16 Kombinationen vor, hier die Wertetabelle des Integranden:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}A_{1}&B_{1}&C_{2}&D_{2}&[\cdot \cdot \cdot ]\\\hline -1&-1&-1&-1&2\\-1&-1&-1&1&2\\-1&-1&-1&-1&2\\-1&-1&-1&1&2\\-1&1&-1&-1&-2\\-1&1&-1&1&2\\-1&1&-1&-1&-2\\-1&1&-1&1&2\\1&-1&-1&-1&2\\1&-1&-1&1&-2\\1&-1&-1&-1&2\\1&-1&-1&1&-2\\1&1&-1&-1&-2\\1&1&-1&1&-2\\1&1&-1&-1&-2\\1&1&-1&1&-2\\\end{array}}$

Der Absolutbetrag des Integranden ist 2 oder kleiner, daher fürs Integral:

$|E(A_{1}C_{2})-E(A_{1}D_{2})+E(B_{1}C_{2})+E(B_{1}D_{2})|\leq 2$

Nun wird ein Quantenexperiment mit Photonen gebaut, das den Wert 2 durchbricht. Die vorschriftsmäßige Behandlung der Quanten des Elektromagnetismus steht nicht in diesem Buch, sondern gehört zur Quantenfeldtheorie. [Und es ist nicht ratsam, ein Buch über Quantenfeldtheorie zu öffnen, ohne vorher eines der Quantenmechanik durchgeackert zu haben].

Wenige Fakten sind hier nötig. Photonen können in verschränkten Paaren mit Gesamtdrehimpuls Null erzeugt werden. Sie sind Teilchen von Spin 1, haben aber nur 2 Quantenwerte davon, in und gegen Flugrichtung. Richtig linearkombiniert, sind dies zirkulare Polarisationen und äquivalent zu zwei transversalen Polarisationen, z.B. horizontal und vertikal. Die Quanten- Statistik mit Projektion und so funktioniert, wenn Polarisatoren mit einstellbarem Winkel vorm Detektor eingebaut sind. Ein beliebig polarisiertes Photon wird auf die Achse des Polarisators projiziert (will sagen, der Vektor seines elektrischen Wellenfeldes wird projiziert). Es kommt geradeaus durch mit der Chance = Betragsquadrat, und dahinter ist es mit Sicherheit in Richtung der Achse polarisiert. Mit Eins-minus-Chance landet es im Nebenausgang des Polarisators, mit einer Polarisation senkrecht zur Achse.

Die gemessene Größe $A_{1}$ zum Polarisationsvektor ${\hat {a}}$ sei so definiert:

• +1 falls das Photon 1 den Polarisator ordentlich durchquert,
• -1 falls es abgebogen wird, also senkrechte Polarisation zu ${\hat {a}}$ abbekommt.

Entsprechend für den zweiten Messplatz und alle vier Polarisator-Richtungen. Hinter allen Strahlengängen sitzen gute Detektoren, die nicht zu viele Partikel verpassen.

Nun kommt ein Symmetrie-Argument, das von den Details des Prozesses zehrt. Das Photonpaar wird mit Gesamt-Drehimpus Null erzeugt. Daher ist die Amplitude des Prozesses invariant unter Rotationen, also eine skalare Funktion der Vektoren, Flugrichtung und Polarisationen von Photon 1 und 2 : ${\vec {k}},{\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2}$. Weil das beteiligte Atom vorher und nachher dieselbe Spiegelsymmetrie (Parität) hat, scheidet ein pseudoskalarer Term ${\vec {k}}\times ({\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2})$ aus und es bleibt das Skalarprodukt $({\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2})$ der Wellenfeld-Ausrichtungen.

Gegeben zwei Polarisatoren längs Einheitsvektoren ${\hat {a}}$ bzw ${\hat {b}}$ senkrecht zur k-Achse, dann misst $({\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {a}})$ die Projektion der ersten und $({\hat {e}}_{2}\cdot {\hat {b}})$ die der zweiten Feldamplitude. Integriert über alle transversalen ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2}$ mit dem Gewicht $({\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2})$ ergibt sich eine Amplitude proportional zu $({\hat {a}}\cdot {\hat {b}})$.

Nach der quantenmechanischen Bornschen Regel ist dann die 2-Photon-Ausbeute das Quadrat davon, mal ein Normierungsfaktor: $w(a,b)=f({\hat {a}}\cdot {\hat {b}})^{2}=f\;\cos ^{2}\theta$. Faktor f wird dadurch bestimmt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 die Summe aus den 4 Fällen ist mit ${\hat {a}},{\hat {b}}$ und den zu ${\hat {a}},{\hat {b}}$ senkrechten Polarisationen. Das ergibt 2 Terme $f\cos ^{2}\theta$ plus 2 Terme $f\sin ^{2}\theta$, somit $f=1/2$.

Die gesuchte Korrelation der Beobachtung Plus-Minus-Eins wird nun aufsummiert mit den 4 Vorzeichenkombinationen ++ +- -+ -- : $E(A_{1}B_{2})={\frac {1}{2}}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )=\cos(2\theta )$.

Resultat: Die Quantenkorrelation $E(A_{1}C_{2})=\cos 2\theta ({\hat {a}},{\hat {c}})$ wobei $\theta ()$ der Winkel zwischen den Polarisator-Richtungsvektoren ist. Entsprechend alle anderen Korrelationen: Cosinus zwei mal Winkel.

Es folgt für die magische Kombination:

$E(A_{1}C_{2})-E(A_{1}D_{2})+E(B_{1}C_{2})+E(B_{1}D_{2})=\cos 2\theta ({\hat {a}},{\hat {c}})-\cos 2\theta ({\hat {a}},{\hat {d}})+\cos 2\theta ({\hat {b}},{\hat {c}})+\cos 2\theta ({\hat {b}},{\hat {d}})$

Die folgende Wahl der Winkel ist dann tödlich:

$\theta ({\hat {a}},{\hat {c}})=\theta ({\hat {c}},{\hat {b}})=\theta ({\hat {b}},{\hat {d}})=$ 22,5°

und $\theta ({\hat {a}},{\hat {d}})$ wird die Summe davon.

Der Wert übersteigt damit theoretisch 2,8. Von Aspect und Mitarbeitern wurde 2,7 gemessen. Seitdem ist die Theorie der lokalen versteckten Variablen endgültig vom Tisch.

Das Theorem von Bell-Kochen-Specker

Mathematisch sagt das Theorem ungefähr folgendes: Abgesehen von trivialen Fällen, gibt es keinen Algebra-Homomorphismus von Operator-Mengen auf die reellen Zahlen. Das erscheint logisch. Aber es gibt auch keine weniger anspruchsvolle Abbildung, die nur auf den kommutierenden Teilmengen deren Algebra respektiert.
Die Algebra der Natur ist strukturell verschieden von den vier Grundrechenarten auf der Zahlengeraden.

Zum Beispiel ist die Determinante von regulären Matrizen ein Homomorphismus in Sachen Multiplikation, und praktisch der einzige. Kann als Definition der Determinante herhalten. Aber bei gerader Dimension ist schon Det(Minus Einheitsmatrix) = (Plus Eins), also kommt es zu gewaltigen Vorzeichenfehlern, wenn auch Additionen getreu abzubilden wären.

Die Analyse von Beispielen beweist als unmöglich, dass alle observablen Werte klassisch gemeinsam existieren, sobald unvertauschbare Operatoren vorkommen. Dieses unterminiert weiter alle Versuche, ein Modell in Form einer klassischen Statistik über versteckte Variablen zu bauen.

Sei M eine Menge von Observablen, die nicht alle kommutieren. Bei endlicher Dimension des Zustandsraums ist M also eine Menge von hermiteschen Matrizen.

Definition von Teilgleichungen $(A,f)$ auf M:
Sei $\{A_{i}\}$ eine Teilmenge von paarweise kommutierenden Observablen. Sei $\{a_{i}\}$ ein Tupel ihrer Eigenwerte, zu einem gemeinsamen Eigenvektor. Gibt es eine algebraische Operatorgleichung $f(A_{1},...A_{n})=0,$ zum Beispiel ein Polynom f, dann gilt sie auch für alle Eigenwert-Tupel: $f(a_{1},...,a_{n})=0.$
Ein solches $f()$ nennen wir eine Teilgleichung.

Definition: die Operator-Menge M heißt klassisch konsistent, wenn es eine reellwertige Auswerte-Funktion gibt, $v:M\to \mathbb {R} ,$ die gleichzeitig alle Teilgleichungen auf M erfüllt, $f(v(A_{1}),...,v(A_{n}))=0.$

Behauptung: Auf Vektorräumen $\mathbb {C} ^{n};\;n\geq 3,$ gibt es inkonsistente Operator-Mengen. Das bedeutet, es gibt keine vorherbestimmten Werte für alle Observablen, sondern je nach Zuständen fluktuieren die Relationen zwischen den Werten.

Der Beweis besteht darin, Beispiele von möglichst kleinen Matrix-Mengen von möglichst niedriger Dimension zu finden.

Das Beispiel für n=3 ist zu kompliziert für dieses Buch. Die Operatormenge von Kochen-Specker bestand aus 117 Matrizen, später konnte ein besseres Beispiel der Größe 33 gefunden werden.

Ein einfacheres Beispiel funktioniert auf $\mathbb {C} ^{4}=\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$ mit Tensorprodukten von Pauli-Matrizen.

$(A_{x},B_{x},C_{x})=(\sigma _{x}\otimes 1,1\otimes \sigma _{x},\sigma _{x}\otimes \sigma _{x})$

$(A_{y},B_{y},C_{y})=(1\otimes \sigma _{y},\sigma _{y}\otimes 1,\sigma _{y}\otimes \sigma _{y})$

$(A_{z},B_{z},C_{z})=(\sigma _{x}\otimes \sigma _{y},\sigma _{y}\otimes \sigma _{x},\sigma _{z}\otimes \sigma _{z})$

Jedes der Tripel kommutiert, jede der drei A, B oder C kommutieren ebenfalls. Die Menge M hat 9 Matrizen. Es bestehen folgende 6 Operator-Gleichungen:

$1=A_{x}A_{y}A_{z}=B_{x}B_{y}B_{z}=A_{x}B_{x}C_{x}=A_{y}B_{y}C_{y}=A_{z}B_{z}C_{z};$

$-1=C_{x}C_{y}C_{z}.$

Angenommen es gebe ein Auswertefunktion $v()$ mit $v(C_{x})v(C_{y})v(C_{z})=-1.$ Nun kommen die drei Matrizen C auch vor, wenn man die Auswertefunktion aller Tripel der Zeile davor multipliziert,

$1=[v(A_{x})v(A_{y})v(A_{z})v(B_{x})v(B_{y})v(B_{z})]^{2}[v(C_{x})v(C_{y})v(C_{z})]$

Das Vorzeichen führt zu einem Widerspruch. Die nicht-kommutative Menge M kann nicht algebraisch getreu auf kommutative Zahlen abgebildet werden.

Das Pentagramm-Beispiel von Mermin benutzt Tensorprodukte von 3 Paulimatrizen. Der Darstellungsraum ist $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2};$ er besteht aus den Tripeln von Qbits. Qbits haben eine Basis aus Eigenvektoren zum Operator $\sigma _{z},\;\{|0\rangle ,|1\rangle \}.$ Daraus formt man eine Produktbasis aus 8 Tripeln $\{|000\rangle \cdots |111\rangle \}.$

Pentagramm der Operatoren, mit 5 Zacken und 5 Kreuzungspunkten. In der ASCII-Kunst hier steht '*' fürs Tensorprodukt und 'sx' für $\sigma _{x}:$

                       sy*1*1
                     .       .
                   .           .
sx*sx*sx  . .  sy*sy*sx  . .  sy*sx*sy  . .  sx*sy*sy
      .         .                  .         .
         .     .                    .     .      
            1*1*sx                1*1*sy
             .     .           .       . 
            .       .  sx*1*1 .         .
           .    .                 .
       1*sy*1                          1*sx*1

• Produkte von Tensorprodukt-Matrizen funktionieren komponentenweise.
• Operatoren wie (1*1*sx) und (1*sx*1) kommutieren also.
• Quadrate der Paulimatrizen sind 1.
• Ungleiche Paulimatrizen antikommutieren.

Alle Mengen von vier Matrizen auf einer der 5 Linien kommutieren untereinander. Die Matrixprodukte aller 4 schrägen Linien sind 1. Die Horizontale hat das Produkt ist -1.
Hypothese: Es gibt eine Auswertefunktion f. Das Produkt einer Auswertefunktion f aus Faktoren über alle 5 Linien muss also -1 sein. Anderseits kommt jede Paulimatrix genau zweimal im Linienprodukt vor, ob als Zacken oder als Kreuzung im Pentagramm. Das ergibt ein widersprüchliches +1 fürs Auswerteprodukt. f existiert daher nicht.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist falsch?

Die klassische Wahrscheinlichkeitslehre und die Quantentheorie widersprechen sich. Die Mathematik von "messbaren Funktionen auf W-Raum" ist unphysikalisch.

Annahme zur Beschreibung mit klassischen Variablen w:
Der Zustand Ψ ist ein statistisches Ensemble. Passend für Ψ existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum, also eine Menge W mit einem Maß $\mu ,\;\mu (W)=\int _{w\in W}d\mu (w)=1.$
Observablen A, B sind Zufallsvariablen, also messbare Funktionen $A,B:W\to \mathbb {R} .$ Die Wahrscheinlichkeiten der Werte sind

$W(A=a_{i})=\mu (\{w\in W|A(w)=a_{i}\});\;W(B=b_{j})=\mu (\{w\in W|B(w)=b_{j}\}).$

Ein Punkt $w\in W$ in diesem Modell ist eine einzelne Stichprobe des Systems. Die Werte aller relevanten Observablen sind als Abbildungen derselben Urmenge W zu berechnen, also gleichzeitig vorhanden. Die feinstmögliche Beschreibung des Systems nach diesem Modell ist ein Punkt im Wahrscheinlichkeitsraum W, so wie ein Punkt im Phasenraum der klassischen statistischen Mechanik. Sprechweise: das System hat kontextfreie versteckte Zustandsvariablen. Das heißt, allein ein Punkt bestimmt letztendlich alle Messwerte. Ein allwissender Dämon könnte mehr Informationen haben als nur das momentane Wahrscheinlichkeitsmaß, vielleicht sogar eine deterministische Dynamik für den Punkt $w(t)\in W\;?$

Zur Konfrontation mit dem Operator-Modell der Quantentheorie nehme man ein System mit den einfachsten möglichen Observablen, deren Werte nur 1 oder 0 seien, die Entscheidungen Ja/Nein. In Prinzip kann jede diskrete Observable, zum Beispiel die N Ausgänge im Stern-Gerlach-Versuch, auf einen Satz von solchen elementaren Operatoren zurückgeführt werden. Die relevanten Observablen sind alle Projektions-Operatoren auf je einen Strahl im Hilbert-Raum. Ein Zustand des Systems wäre möglichst vollständig charakterisiert durch die Menge der binären Messwerte Ja/Nein.

Ein System S von eindimensionalen Orthogonalprojektionen sei angegeben als eine Menge von Einheitsvektoren $P_{i}=|u_{i}\rangle \langle u_{i}|.$ Es gilt $P_{i}^{2}=P_{i}$. Und $P_{i}P_{k}=P_{k}P_{i}=0$ genau dann, wenn $\langle u_{i}|u_{k}\rangle =0$. Eine Auswerte-Funktion v(.) mit Wertebereich {0,1} sei so gemacht, dass auf jedem vollständigen Orthonormalsystem, welches Teilmenge von S ist, genau einmal der Wert 1 vorkommt. Dies entspricht dem quantenmechanischen Dogma, dass ein gemessener nicht-entarteter Eigenwert alle Zustandsvektoren orthogonal zum Eigenvektor ausschließt. Funktion v(.) ist also charakteristisch für den System-Zustand und bildet die Operator-Algebra getreu ab, auf allen paarweise orthogonalen Teilmengen von S:

$v(P_{i})v(P_{j})=v(P_{i}P_{j})\;$ und $\;v(\sum P_{i})=\sum v(P_{i}).$

Dieses Verhalten wird erwartet, auch Eigenvektoren im Hilbertraum gehen so vor.

Die Funktion v(.) würde mehr Informationen liefern als der Zustandsvektor Ψ. Der macht nur Zahlen aus den Operatoren, für die er ein Eigenvektor ist. Alle anderen bekommen Mittelwerte serviert. Auswertefunktionen wären "besser" als die Hilbertvektoren, sie enthalten also versteckte Variablen.
Anders herum gedeutet: Die Menge aller Auswertefunktionen wäre praktisch ein klassischer Wahrscheinlichkeitsraum; alle Observablen wären zahlenwertige Abbildungen auf diesem Definitionsbereich. Aber wie sieht die Mathematik der Auswertefunktionen aus?

Bell, Kochen, Specker zeigten, dass Auswertefunktionen widersprüchlich sind, wenn das Operator-Schema für Quantenmessungen zutrifft. In der Dimension 3 gibt es Mengen von 117 Einheitsvektoren -- zu deuten als binäre Observablen -- für die keine Funktion v(.) mit den verlangten algebraischen Eigenschaften existiert. In der Dimension 4 genügt ein Satz von 18 Einheitsvektoren, auf dem alle derartigen Funktionen verboten sind. Die Werte aller Observablen können daher nicht gleichzeitig als Funktion eines Punktes in einem W-Raum auftauchen. Die Eigenschaften eines Quantensytems sind kontext-abhängig: sie stecken nicht gespeichert im Zustand drin, sondern fallen unterschiedlich aus, je nachdem was in welcher Reihenfolge gemessen wird. Wären die messbaren Werte kontextfrei vorbestimmt, dann gäbe es eine Auswerte-Funktion für die Observablen, dann wäre jeder Zustand mit versteckten Variablen besser bekannt als mit der verschwommenen Wellenfunktion. Erlaubt bleiben nur subtilere Sorten von verborgenen Parametern: nicht-lokale, kontext-behaftete.

Das Kochen-Specker-System mit 18 Vektoren.
Gegeben seien 4 orthonormale Vektoren a,b,c,d. Die folgende Tabelle hat 9 Spalten mit je 4 orthogonalen Linearkombinationen. Es sind nicht-normierte Vektoren. Jeder bestimmt aber eindeutig einen Projektions-Operator und er kommt genau zweimal vor. Folgendes Wochenendrätsel soll gelöst werden: Allen Vektoren soll ein Wert 1 oder 0 zugewiesen werden, so dass in jeder Spalte (die eine Orthogonalbasis ist) genau eine Eins vorkommt, und so dass selbe Vektoren selbe Werte haben.

0+0+0+d 0+0+0+d a-b+c-d a-b+c-d 0+0+c+0 a-b-c+d a+b-c+d  a+b-c+d  a+b+c-d
0+0+c+0 0+b+0+0 a-b-c+d a+b+c+d 0+b+0+0 a+b+c+d a+b+c-d -a+b+c+d -a+b+c+d
a+b+0+0 a+0+c+0 a+b+0+0 a+0-c+0 a+0+0+d a+0+0-d a-b+0+0  a+0+c+0  a+0+0+d
a-b+0+0 a+0-c+0 0+0+c+d 0+b+0-d a+0+0-d 0+b-c+0 0+0+c+d  0+b+0-d  0+b-c+0 

Dieses Skript BKS-Skript stellt die Tabelle graphisch dar.
Beweis, dass die Aufgabe unlösbar ist: Der Wert 1 muss genau 9 mal kommen, da jede Spalte eine 1 enthält. Andererseits muss es eine gerade Anzahl von Werten 1 geben, da jeder Träger von 1 genau zweimal vorkommt. Widerspruch.

Nichtlokalität der Quantenmechanik

Greenberger, Horne, Zeilinger (GHZ) haben 3-Teilchen-Modelle erarbeitet. Zur Konflikt-Analyse ohne Bellsche Wahrscheinlichkeiten und ohne Ungleichungen. Denen zufolge steht die Annahme, die Ergebnisse von Messungen seien streng lokal verursacht, im Widerspruch zum Operator-Formalismus der Quantenmechanik.

Die Argumentation beruht auf der verbotenen Funktion f des Pentagramm-Beispiels und mischt richtige Quantenmechanik mit weitergehenden Hypothesen, die sich dann als zu gewagt herausstellen.

Man interpretiert die Tensorprodukte des Pentagramms als die Observablen von 3 räumlich getrennten Teilchen. Außer denen auf der Horizontalen agieren hier 6 Operatoren auf einzelnen Teilchen, (sx) oder (sy) für jedes der drei. Operator (sx) des ersten Teilchens ist zum Beispiel beteiligt an zwei Linien, eine wo die (sy), die andere, wo die (sx) der übrigen Teilchen vorkommen.

Die Mehrteilchen-Observablen auf der Horizontalen kommutieren, also gibt es gemeinsame Eigenzustände zu diesen vier Operatoren. Ein solcher kollektiver Eigenzustand wird als Anfangsbedingung festgelegt. Ein maximal verschränkter ist zum Beispiel $2^{-1/2}(|111\rangle -|000\rangle ).$

Die Annahme der Einstein-Lokalität heißt, die Messung an einem Teilchen hat keinen Einfluss auf die zwei anderen. Die sechs Einteilchen-Observablen hätten also Werte, die nicht vom Kontext (Werten der anderen) abhängen. Auch die nicht-kommutierenden (sx),(sy) des ersten Teilchens zum Beispiel haben, als versteckte Parameter, gleichzeitige Werte! An dieser Stelle wird Heisenberg frech ignoriert.

Auf den Nicht-Horizontalen gibt es jeweils zu messen die drei unabhängigen Einteilchen-Observablen, die dort vorkommen. Weil alles kommutiert, sind diese Messungen keine Gefahr für den nichtlokalen Wert auf der Horizontalen. Das Produkt der drei lokalen Messwerte muss gleich dem Eigenwert auf der Horizontalen sein, gemäß der der Anfangsbedingung. Dort, wo die Nicht-Horizontale und die Horizontale sich treffen.

Die starke Annahme ist, dass alle Werte, die sechs lokalen und die vier auf der Horizontalen, gleichzeitig definiert sind. Dann sind alle 10 Operatoren auf Zahlen abgebildet, die die Kriterien einer Auswertefunktion erfüllen. Diese existiert aber nicht, wenn man die Operator-Algebra akzeptiert. Widerspruch!

Man folgert: die quantenmechanische Messungen sind kontext-abhängig, auch wenn die beteiligten Teile vom System an verschiedenen Orten sind. Die Lokalität darf angezweifelt werden. Die Werte der Messung bei A hängen ab davon, welche Experimente bei B und C laufen.

Von Neumann hatte schon mathematisch bewiesen, dass es keine versteckten kontext-unabhängigen Variablen geben kann, das bedeutet, keine numerischen Funktionale, die allein vom Zustandsvektor abhängen. Es blieb ein Schlupfloch für Teilchenbahnen nach Bohm-DeBroglie, deren Konfigurationspunkt abhängt von der Wellenfunktion (extrem nicht-lokal) und von den Punktwerten in der Vergangenheit.

Anhang

Python-Schnipsel um die Wertetabelle zu erzeugen

 
def valuetab() : # value table of four-direction Bell-inequality scheme
  t='\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\n'
  t+= 'A_1 & B_1 & C_2 & D_2 & [\\cdot\\cdot\\cdot] \\\\ \\hline\n'
  for i in range(16) :
    a1=(i%16)>>3;   b1=(i%8)>>2;   c2=(i%4)>>2;   d2=(i%2)
    a1=2*a1-1;      b1=2*b1-1;     c2=2*c2-1;     d2=2*d2-1 
    y= a1*c2 - a1*d2 + b1*c2 + b1*d2
    t+=str(a1)+' & '+str(b1)+' & '+str(c2)+' & '+str(d2)+' & '+str(y) +'\\\\\n'
  t+= '\\end{array}\n'
  print(t)

Schmidt-Zerlegung von Produktvektoren

Diese Zerlegung dient als Algorithmus, um Zustände auf Verschränkung zu testen.

Behauptung. Gegeben zwei Vektorräume U,V über $\mathbb {C}$ mit positiv definitem Skalarprodukt und mit Dimensionen $n,m\;(n\geq m).$ Dann hat jeder Vektor z im Tensorprodukt, $z\in U\otimes V,$ Zerlegungen von der Form:

$z=\sum _{k=1}^{m}a_{k}\cdot u_{k}\otimes v_{k};\;\{u_{1},..,u_{m}\}\subset U;\;\{v_{1},...,v_{m}\}\subset V;\;a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}\geq 0,$

mit nichtnegativen Zahlen $\{a_{k}\}$ und orthonormalen Mengen $\{u_{k}\},\;\{v_{k}\}.$
Die Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Die Zahl der positiven Koeffizienten $(a_{k}>0)$ heißt der Schmidt-Rang des Vektors. Genau bei Rang Eins ist z ein reines Produkt, sonst ein verschränkter Vektor.

Zum Beweis wird die Singulärwert-Zerlegung von Matrizen bemüht. Mit zwei Orthonormalbasen $\{e_{1},...,e_{n}\}\subset U,\;\{f_{1},...,f_{m}\}\subset V$ hat z eine Darstellung als

Matrix $M_{ij};\;z=\sum _{i,j}M_{ij}\cdot e_{i}\otimes f_{j}.$

Es gibt unitäre Matrizen $R\;(n\times n)\;{\text{ und }}\;S\;(m\times m)$ und eine positiv semidefinite Diagonalmatrix $D\;(m\times m),$ so dass gilt $M=R{\binom {D}{0}}S^{T}.$
Nur die ersten m Spaltenvektoren von $R,\;\{r_{1}...r_{m}\},$ die Diagonale $D={\text{diag}}(a_{1},...a_{m})$ und die m Spaltenvektoren von $S,\;\{s_{1}...s_{m}\},$ werden benutzt.

$M_{ij}=\sum _{k}r_{ik}a_{k}s_{jk}\;\Rightarrow \;z=\sum _{k}{\big [}a_{k}\cdot (\sum _{i}r_{ik}e_{i})\otimes (\sum _{j}s_{jk}f_{j}){\big ]}$

Mit einer absteigend geordneten Diagonalmatrix D folgt die Behauptung.

No-Cloning, No-Communication

Ein ideales Bauelement für Quantencomputer wäre ein elementarer Kopierer für Quantenzustände. Das heißt, man möchte aus dem beliebigen Zustand $|a\rangle$ das Tensorprodukt $|a\rangle \otimes |a\rangle$ herstellen, von einem Phasenfaktor abgesehen. Man ahnt schon, dass diese nichtlineare Abbildung mit der Linearität, dem Superpositionsprinzip, irgendwie auf Kollisionskurs geht. Arbeitsschritte im Quantencomputer sind unitäre lineare Operatoren U. Nehmen wir also an, es gäbe einen unitären Operator U und einen normierten Hilfsvektor $|h\rangle$ so, dass für alle Zustände $|a\rangle$ gilt

$U(|a\otimes h\rangle )=z(a,h)(|a\otimes a\rangle ),$

wobei z eine Phase vom Betrag 1 ist. Dies führt zu einem Widerspruch. Mit jedem Paar $|a\rangle ,|b\rangle$ von normierten Zuständen soll gelten:

$\langle a|b\rangle =\langle a\otimes h|b\otimes h\rangle =\langle a\otimes h|U^{\dagger }U|b\otimes h\rangle =$

$z(a,h)^{-1}z(b,h)\langle a\otimes a|b\otimes b\rangle =z(a,h)^{-1}z(b,h)\langle a|b\rangle ^{2}$

Daraus folgt $|\langle a|b\rangle |^{2}=|\langle a|b\rangle |\quad \Rightarrow \;|\langle a|b\rangle |\in \{0,1\}$

Es folgt: Entweder sind $|a\rangle ,|b\rangle$ orthogonal, oder wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung sind sie proportional, $|b\rangle =z(a,b)|a\rangle .$
In einem Raum der Dimension 2 und höher gibt es aber nicht-orthogonale linear unabhängige Vektoren, so dass die Folgerung nicht zu erfüllen ist.

Folgerung No-Cloning-Theorem:
Das Klonen von Quantenzuständen ist allgemein unmöglich. Nur, wenn der Vorgang auf ein vorgegebenes Orthonormalsystem (Eigensystem eines Operators) beschränkt wird, kann einer der Eigenzustände verlustfrei 'verdoppelt' werden. Umgekehrt gilt: das Auslöschen von Quantensystemen ist allgemein verboten. Auch bei Messungs-Kollaps geht kein Freiheitgrad verloren.

Ein Klon-Prozess würde die Kausalität verletzen, mit Signalausbreitung schneller als Licht bei EPR-Bell-Experimenten. Eine Quelle sendet verschränkte Singulett-Zustände $\{a,b\}=(HV-VH)\sim (DA-AD)$ an Alice und Bob. H=Horizontal, V=Vertikal, D=Diagonal, A=Antidiagonal. Wenn Alice mit Analysatoren H/V misst, könnte Bob mit Statistik nach Messungen an vielen Kopien seines Teilchens rausfinden, dass H/V eine deterministisch bevorzugte Ausrichtung ist. Entsprechend für D/A. Das Bit "entweder H/V oder D/A" würde beliebig schnell oder gar rückwärts in der Zeit bei Bob ankommen.

Spukhafte Kommunikation.
Sei $H_{A}\otimes H_{B}$ der Produktraum der Zweiteilchenzustände, die bei A=Alice und B=Bob gemessen werden. Die Observablen der beiden Apparate haben die Operator-Form $P_{A}\otimes \mathbf {1} ;\;\mathbf {1} \otimes P_{B}.$
Es soll gelten, trotz Verschränkung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines beliebigen Zustands, bei Alice gemessen, bleibt unverändert, gleich ob bei Bob gemessen wird oder nicht. Dann ist ein spukhaft fernwirkender Informationskanal widerlegt. Der Beweis hängt mit der quadratischen Born-Regel zusammen, eine andere Potenz würde Schwierigkeiten mit der Kausalität machen. Man zerlege den beliebigen Zustandsvektor $|z\rangle$ nach den orthonormalen Eigensystemen der beiden Operatoren.

$|z\rangle =\sum _{j,k}c_{jk}\cdot |a_{j}\rangle \otimes |b_{k}\rangle ;\;P_{A}=\sum a_{j}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|;\;P_{B}=\sum b_{k}|b_{k}\rangle \langle b_{k}|.$

Der Operator $P_{A}\otimes \mathbf {1}$ hat entartete Eigenwerte. Zum Wert $a_{j}$ gehört die Menge von orthogonalen Eigenvektoren $\{|a_{j}\rangle \otimes |b_{k}\rangle ;\;k=1...K\}.$

$W_{1}(j)=\sum _{k}|(\langle a_{j}|\otimes \langle b_{k}|)|z\rangle |^{2}=\sum _{k}|c_{jk}^{2}|$

ist die Wahrscheinlichkeit von Messergebnis (j) bei Alice, wenn bei Bob nichts geschieht. Nun gebe es bei Bob Projektionsmessungen, die symmetrisch mit der Wahrscheinlichkeit

$W_{2}(k)=\sum _{j}|c_{jk}|^{2}$ den Zustand $|z\rangle$ auf

$|y_{k}\rangle =(\sum _{j}c_{jk}\cdot |a_{j}\rangle \otimes |b_{k}\rangle )/(\sum _{j}|c_{jk}|^{2})^{1/2})$ werfen.

Dies it ein normierter Kollaps mit der Fernwirkung, von welcher Spuk befürchtet werden könnte. Auf diesem Zustand $|y_{k}\rangle$ bekommt Alice die Messung (j) mit bedingter Wahrscheinlichkeit

$W_{3}(j|k)=|c_{jk}|^{2}/W_{2}(k),$ wie leicht zu sehen ist.

Die totale Wahrscheinlichkeit vom Wert (j) bei Alice, wenn Bob aktiv ist, ergibt

$W_{4}(j)=\sum _{k}W_{2}(k)W_{3}(j|k)=\sum _{k}|c_{jk}|^{2}.$

Tatsächlich ist $W_{4}(j)=W_{1}(j)$ und daher hat Bob null Einfluss auf die Statistik bei Alice, die sie an wiederholt gleich präparierten Quantensystemen misst.

Quantenteleportation

Es geht dabei nicht darum, Energie oder Materie nach Art von Science Fiction zu übertragen. Sondern bescheiden darum, eine elementare Zustands-Information Q, ein Qubit, von Punkt A nach Punkt B zu schaffen. Nach dem No-Cloning-Theorem geht dabei die Information Q am Quellpunkt verloren. Die etwas umständliche Methode soll in diesem Abschnitt erläutert werden. Sie benötigt eine Aushilfe C in der Mitte sowie einen Hilfskanal für klassische Information. Sie benutzt mehrfache Verschränkung von Produkt-Zuständen.

Es gibt drei Stationen A,B,C, Alice,Bob,Chris. Die Hilfsstation C versendet maximal verschränkte Paare von Photonen (Zustände), a nach A und b nach B. Angenommen nach einem vereinbarten Takt. Alle Photonen haben eine Basis aus zwei Niveaus, etwa horizontal H oder V vertikal polarisiert. Die Zustände {a,b} von C sollen die Form haben $(H\otimes H+V\otimes V)/{\sqrt {2}}.$

A besitzt ein Qubit q in Zustand Q. A misst nun den Produktzustand $\{a,q\}:=a\otimes q$ mit einem Gerät, das ihn auf einen von 4 verschränkten Zuständen projiziert, beispielsweise diese:

HH+VV, HH-VV, HV+VH, HV-VH.

Tensorprodukte hier in Kurzschreibweise (Achtung, die kommutieren nicht. Die Position im Produkt besagt, aus welchem Definitionsbereich ein Faktor kommt). Von Normierungen und Ket-Klammern wird hier und im Folgenden auch abgesehen.

A sendet an B die Information (zwei Bits), welche der vier Kombinationen herauskam. B benutzt diese Information, um seine Geräte für das Photon b einzustellen, das von der Hilfsstation C kommt. Gleich wird gezeigt: Der Zustand von b ist gleich Q, auf eine von 4 Arten unitär transformiert.

Alice braucht den Wert Q nicht zu kennen, er geht bei ihrer Kollapsmessung verloren. Der Gewinn bei der Sache: zwei digitale Bits reichen aus, um eine prinzipiell größere kontinuierliche Qubit-Information nach B zu vermitteln, den Winkel bezüglich der Basis (H,V). Wie funktioniert es?

Die Hilfspaare {a,b} haben den Zustand (HH+VV). Sei das unabhängige Q = uH+vV.

Das Dreiteilchen-System ist: Z = {a,q,b} = H(uH+vV)H + V(uH+vV)V

Und hier nun der Trick! Z ist proportional zu

(2Z) = (HH+VV)(uH+vV) + (HH-VV)(uH-vV) + (HV+VH)(vH+uV) + (HV-VH)(vH-uV).

Wenn Alice den Zweiteilchen-Faktor {a,q} herausprojiziert, ist also klar, auf welchen dieser vier Terme Z beidseitig kollabiert und welche Kombinatorik der (jetzt nicht mehr verschränkte) b-Faktor hat. Mit den 2 Bits weiss Bob genug, um sein Photon b in den Zustand Q umzuformen. Er könnte den Zustand verwerten oder ungelesen mit identischer Technik weiter senden. Zugabe: wer den klassischen Kanal belauscht, kann nichts damit anfangen.

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