Quantenmechanik/ Drehimpulsquantelung

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Allgemein zu Transformationen

Viele Operatoren der Quantenmechanik entstehen als so genannte Generatoren von Transformationen. Hier die offensichtlichsten, was Raum und Zeit angeht:

• Die Zeitverschiebung wird erzeugt vom Energie- oder Hamilton-Operator
• Die Verschiebungen im Raum werden von den Impuls-Operatoren erzeugt
• Die Drehungen um Achsen durch den Nullpunkt generieren Drehimpuls-Operatoren

All diese Transformationen vereint spannen natürlich eine euklidische Gruppe auf, die der affinen Transformationen, die Längen und Winkel erhalten.

Sei $({\vec {x}},t)=:(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4})$ ein Raumzeit-Punkt und $(z\mapsto T(z),z\in \mathbb {R} )$ eine stetig-differenzierbare Familie von Transformationen $T(z):\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$. Das heißt, die vier Funktionen

$(T^{1},T^{2},T^{3},T^{4})(z,{\vec {x}},t):=T(z)({\vec {x}},t)$

seien glatt genug in allen Argumenten. Als Zugabe kann man noch fordern, dass eine Ein-Parameter-Gruppe vorliegt: $T(z_{1})T(z_{2})=T(z_{1}+z_{2})$.

$T(z=0)$ ist die Identitätsabbildung auf $\mathbb {R} ^{4}$. Welche Variation erster Ordung sieht ein Punkt x auf seiner Bahn mit der Transformationsfamilie, an einer beliebigen Raumzeit-Funktion $f({\vec {x}},t)$?

Zwei Interpretationen sind an dieser Stelle möglich, die aktive und die passive (die Physik neigt zu mathematisch überflüssigen Sinnfragen). Passiv ist der Beobachter mit der Transformationsfamilie unterwegs und er sieht die Veränderungen an der stehenden Landschaft, der Funktion f. Aktiv steht der Beobachter, aber das Physik-Objekt, zum Beispiel f als Wellenfunktion, wird mitgerissen. In der Konvention hier wird der Beobachter mitgeschleppt, nicht die Funktion. Zur aktiven Uminterpretation ist dann bloß das Vorzeichen umzuklappen.

Es geht also um die Ableitung nach $z$ am Punkt $z=0$ der Transformation, gemessen im Wertebereich von $f$:

${\frac {d}{dz}}|_{z=0}\,f(T(z)({\vec {x}},t))={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial T^{i}(z,{\vec {x}},t)}{\partial z}}|_{z=0}=:G^{i}({\vec {x}},t){\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$

mit Summationskonvention für Index i. Die von $T^{i}$ abgeleiteten Komponenten $G^{i}({\vec {x}},t)$ formen zusammen ein 4-Vektorfeld auf der Raumzeit, das an den partiellen Ableitungen der Funktion f andockt. Es wertet Richtungsableitungen von f aus, am Punkt x längs des dort angehefteten Vektors. Abgekürzt als Operator $G^{i}\partial _{i}$, wird dieses Feld salopp eine infinitesimale Transformation $(Gf)$ von $f$ genannt. Also eine lineare Approximation der Transformationsfamilie, nahe am Nullpunkt von z. Man sagt auch, Vektorfeld $G$ ist der Generator der Ein-Parameter-Familie. Man erhält $T(z)=\exp(zG)$, die Integration des Vektorfeldes nahe $z=0$, mit einer gewaltig verallgemeinerten Exponentialabbildung.

Beispiele:

• Zeitverschiebung $T(z)(x,t)=(x,t+z);\quad G(x,t)=(0,0,0,1);\quad (G_{t}f)(x,t)={\frac {\partial f}{\partial t}}$
• Raumverschiebungen $T(z)(x,t)=(x_{1}+z,x_{2},x_{3},t);\quad G(x,t)=(1,0,0,0);\quad (G_{x}f)(x,t)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=:\partial _{1}f$
• Drehungen um dritte Achse $T(z)(x,t)=(x_{1}\cos z-x_{2}\sin z,x_{1}\sin z+x_{2}\cos z,x_{3},t);\quad (G_{3}f)(x,t)=(-x_{2}\partial _{1}+x_{1}\partial _{2})f$
• Zyklisch vertauscht für andere Achsen

Setzen wir die Energie- und Impuls-Operatoren an Stelle der partiellen Ableitungen ein.

$E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}};\;p_{i}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

Infinitesimale Zeittranslation, Raumtranslation, Rotation um dritte Achse:

$G_{t}f={\frac {1}{i\hbar }}Ef$

$G_{x}f={\frac {i}{\hbar }}p_{x}f$

$G_{3}f={\frac {i}{\hbar }}(x_{1}p_{2}-x_{2}p_{1})f={\frac {i}{\hbar }}L_{3}f$

Hat eine Gruppe mehrere Transformations-Familien, die nicht kommutieren, zum Beispiel die Drehungen um drei verschiedene Achsen, dann ist der Kommutator der zugehörigen Generatoren $G,H,[G,H]f:=GH(f)-HG(f)$ wieder ein Generator für diese Gruppe. Die Generatoren bilden eine in sich geschlossene Lie-Algebra. Stehen G und H als Vektorfelder zur Verfügung, dann ist ihr Kommutator-Vektorfeld die so gennante Lie-Klammer

$([G,H])^{i}=G^{k}\partial _{k}H^{i}-H^{k}\partial _{k}G^{i};i,k=1...4$.

Symmetrie-Transformationen

Die Quantenzustände gehören oft zu unitären Darstellungen von Gruppen. Die Lie-Algebra der Generatoren wird abgebildet auf hermitesche Operatoren, eventuell also observable, messbare Größen wie den Drehimpuls. Das Paradebeispiel hier betrifft diese Drehimpuls-Algebra, sie ist die Lie-Algebra der Rotationsgruppe SO(3) der Speziellen Orthogonalen Matrizen in 3 Dimensionen. Speziell heißt, dass die Determinante 1 ist.

Ein System besitzt eine Symmetrie, wenn es invariant ist unter einer Gruppe von Transformationen. Quantenmechanisch heißt das, die Generatoren dieser Gruppe vertauschen mit dem Hamiltonoperator. Es gibt also gemeinsame Diagonalisierungen der Operatoren, das heißt, die Eigenwerte und Eigenvektoren der Symmetrie-Operatoren sind auch Energie-Eigenwerte, stationäre Zustände. Symmetrien sind also eine große Hilfe bei der Lösung von zeitunabhängigen Schrödinger-Problemen. Das Wasserstoff-Atom ist ohne sie undenkbar.

Wenn im Hamilton-Operator mehrere Teilchen und auch noch Spin-Freiheitsgrade auftauchen, kann die Symmetrie so sein, dass die Summe der Drehimpuls- Operatoren mit ihm vertauscht, aber nicht die Komponenten einzeln. Dann kommt eine Technik zum Einsatz, die das Tensorprodukt von Drehimpuls-Darstellungen zerlegt in irreduzible Komponenten, worin sich die gesuchten Eigenlösungen befinden. Die Matrizen dazu heißen Clebsch- Gordan-Koeffizienten und werden später behandelt.

Drehimpulsquantelung

Die Drehimpuls-Operatoren spannen eine dreidimensionale Lie-Algebra auf.

Kurzform: $\mathbf {J} =(J_{1},J_{2},J_{2});\quad [J_{i},J_{j}]=i\epsilon _{ijk}J_{k}$

Summenkonvention hier; es bleibt aber nur je ein Term. Ein Epsilon-"Tensor" ist für alle Dimensionen definiert. Er verschwindet, wenn seine Indexliste keine Permutation ist; andernfalls ist er das Vorzeichen +1 oder -1 der Permutation. Ein Faktor $\hbar$ wurde hinweg skaliert, wir holen ihn ganz am Ende wieder rein. Gesucht werden nur hermitesche Operatoren.

Wie beim harmonischen Oszillator versuchen wir mit algebraischen Methoden zu erfahren, welche Eigenwerte und Vektorräume, eventuell welche Darstellungen als Matrizen, es gibt. Ganz unabhängig von Schrödingers Gleichung. Erst danach breiten wir konkrete Funktionen auf der Kugelfläche aus.

$J^{2}:=J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}$ ist positiv-definit hermitesch und vertauscht mit allen $J_{i}$. Teilrechnung zum Beispiel:

$[J_{1},J_{2}^{2}]=J_{1}J_{2}J_{2}-J_{2}J_{2}J_{1}=(J_{1}J_{2}J_{2}-J_{2}J_{1}J_{2})+(J_{2}J_{1}J_{2}-J_{2}J_{2}J_{1})=J_{3}J_{2}+J_{2}J_{3}$.

Der Term $[J_{1},J_{3}^{2}]$ liefert das Negative davon und $[J_{1},J_{1}^{2}]=0$.

$J^{2}$ und $J_{3}$ vertauschen, haben also gemeinsame Eigenvektoren. Vom Betrag her sind die Eigenwerte $m$ von $J_{3}$ kleiner-gleich ${\sqrt {k}}$, wo $k$ ein Eigenwert von $J^{2}$ ist. Als vorgreifenden Trick wechseln wir die Variable zu $k=j(j+1)$ wo $j\geq 0$.

Ein Paar von hermitesch konjugierten Operatoren wird eingeführt:

$J_{+}=J_{1}+iJ_{2};\;J_{-}=J_{1}-iJ_{2}$. Nach leichtem Rechnen:

$[J_{3},J_{+}]=J_{+};\;[J_{3},J_{-}]=-J_{-};\;[J_{+},J_{-}]=2J_{3}$.

Natürlich gilt auch: $[J^{2},J_{+}]=[J^{2},J_{-}]=0$. Es gibt noch eine Regel mit dem Antikommutator dieser Leiter-Operatoren:

$J^{2}={\tfrac {1}{2}}\{J_{+},J_{-}\}+J_{3}^{2}$.

Damit bekommt man noch folgende Produkte:

$J_{-}J_{+}=J^{2}-J_{3}(J_{3}+1);\;J_{+}J_{-}=J^{2}-J_{3}(J_{3}-1)$.

Sei $|jm\rangle$ ein gemeinsamer Eigenvektor von $(J^{2},J_{3})$ mit Eigenwerten $(j(j+1),m)$.

Angenommen, es existieren die Vektoren $J_{+}|jm\rangle$ und/oder $J_{-}|jm\rangle$.

Die Produktregeln der Leiteroperatoren liefern:

$J_{-}J_{+}|jm\rangle =[j(j+1)-m(m+1)]|jm\rangle =(j-m)(j+m+1)|jm\rangle$

$J_{+}J_{-}|jm\rangle =[j(j+1)-m(m-1)]|jm\rangle =(j+m)(j-m+1)|jm\rangle$

Damit und mit der Festlegung, $|jm\rangle$ sei auf 1 normiert, kommt man an die Normen seiner beiden Leiter-Nachbarn:

$|J_{+}|jm\rangle |^{2}=\langle jm|J_{-}J_{+}|jm\rangle =(j-m)(j+m+1)$

$|J_{-}|jm\rangle |^{2}=\langle jm|J_{+}J_{-}|jm\rangle =(j+m)(j-m+1)$

Sie sind nicht-negativ, es folgt:

$(j-m)(j+m+1)\geq 0;\;(j+m)(j-m+1)\geq 0$.

Wegen $j\geq 0$ brauchen wir $m\leq j$, sonst wäre die erste Ungleichung kaputt.

Ebenfalls muss $m\geq -j$ sein, denn sonst ginge die zweite zu Bruch.

Grenzfall $m=j$ ist der einzige, der Gleichung $J_{+}|jm\rangle =0$ lösen würde.

Grenzfall $m=-j$ ist notwendig und hinreichend für $J_{-}|jm\rangle =0$.

Im Fall $|jm\rangle$ mit $m<j$ ist $J_{+}$ ein Verschiebe-Operator, der Eigenwert $m$ um 1 anhebt:

$J^{2}J_{+}|jm\rangle =J_{+}J^{2}|jm\rangle =j(j+1)J_{+}|jm\rangle$

$J_{3}J_{+}|jm\rangle =J_{+}(J_{3}+1)|jm\rangle =(m+1)J_{+}|jm\rangle$

In gleicher Weise verschiebt $J_{-}$ den Eigenwert $m$ nach unten, wenn $m>-j$ ist.

Bis hier haben wir notwendige Bedingungen für das Spektrum, aber noch nicht bewiesen, dass die Vektoren mathematisch existieren. Angenommen immer noch, ein nicht-triviales $|jm\rangle$ existiert, dann führt die Anwendung von n mal $J_{+}$ zu einem Eigenvektor $|j;m+n\rangle$. Da nun $m+n$ nie den Wert $j$ übersteigen darf, muss irgendwann genau am Grenzwert $m+n=j$ Schluss sein:

$J_{+}|j;m+n\rangle =0$.

Symmetrisches Argument für den Absteige-Operator.

Notwendigerweise müssen also die Werte $m$ im Abstand 1 vorkommen und genau die Endpunkte $-j$ und $j$ erreichen. Lösungen für $j$ sind also alle Werte

$j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},2,...$

Bei den ganzzahligen $j$ ist Platz für eine ungerade Zahl von m-Werten,

bei den halbzahligen $j$ gibt es eine geradzahlige Leiter $m=(-j,-j+1,...j-1,j)$.

Alles schön und gut, aber existieren diese verfluchten Vektorräume jetzt?

Der Fall $j=0$ ist trivial. Ein eindimensionaler Vektorraum, also nichts mehr als die komplexen Zahlen. Alle Operatoren werfen alles auf Null, das Ding reagiert gar nicht auf infinitesimale Drehungen. Es ist ein Skalar.

Im Fall $j={\tfrac {1}{2}}$ haben wir zwei Eigenvektoren $|{\frac {1}{2}};{\frac {-1}{2}}\rangle$ und $|{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}}\rangle$ und müssen sie irgenwie im Raum $\mathbb {C} ^{2}$ unterbringen. Allgemein, Darstellung im $\mathbb {C} ^{2j+1}$.

Wir erklären willkürlich die $2j+1$ Achsen-Einheitsvektoren zu den Eigenvektoren der Serie von oben nach unten, $|jj\rangle$ bis $|j;-j\rangle$. Dann legen wir die beiden Leiteroperatoren als Matrizen fest, vom Diagonaltyp: entweder gleich über oder unter der Hauptdiagonalen. Die Matrixelemente legen wir so aus, dass sie positiv reell und normerhaltend funktionieren. Das ergibt:

$J_{+}|jm\rangle ={\sqrt {[j(j+1)-m(m+1)]}}|j;m+1\rangle$

$J_{-}|jm\rangle ={\sqrt {[j(j+1)-m(m-1)]}}|j;m-1\rangle$

Der Operator $J_{3}$ wird die Diagonalmatrix $diag(j,j-1,...,-j+1,-j)$ wie erwünscht.

Aus $J_{+}$ und $J_{-}$ können wir die Matrizen $J_{1},J_{2}$ linearkombinieren, und damit sämtliche Matrizen der Algebra. Fertig ist die Matrixdarstellung der Drehgruppe. Als Nagelprobe dient das Ausrechnen der Matrix $J^{2}$. Sie muss die Einheits- Matrix mal $j(j+1)$ ergeben, denn der Darstellungsraum besteht nur aus Eigenvektoren dazu.

Zusammenfassung.

Die Drehimpuls-Algebra, oder Lie-Algebra der Gruppe SO(3), hat eine unendliche Serie von irreduziblen hermiteschen Matrixdarstellungen. Sie werden mit der Zahl $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}}...$ nummeriert und haben die Dimensionen $2j+1=1,2,3...$.

Eine Basis von Eigenvektoren zur dritten Komponente $J_{3}$, auch Drehimpuls um die z-Achse genannt, wird konventionell gewählt. Die Eigenwerte $m$ gehen von $-j$ bis $j$ im Schritt 1. Die Paare $(j,m)$ repräsentiern die Quantelung des Drehimpulses, wie sie tatsächlich in der Atomphysik beobachtet wird.

Matrizen der Drehimpuls-Algebra

Die Matrixdarstellungen für Dimension 2 bis 4 sehen mit der angegebenen Rezeptur wie folgt aus. Achtung, meist sehen wir eine Matrix M bei der Koordinatentransformation wie $\{x_{i}\}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}y_{k}$; doch hier, als Transformation von Basisvektoren, gehört sie auf die andere Seite: $\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{k}\mathbf {e} _{k}M_{ki}$. Die Ordnung der Indizes geht auch gegen den Strich, $J_{+}$ befördert $\mathbf {e} _{i}$ nach $\mathbf {e} _{i-1}$.

$\mathbf {j={\frac {1}{2}}} :\quad J_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\;J_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\;J_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

${\begin{matrix}\mathbf {j=1} \\a:={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}:\quad J_{1}=a{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};\;J_{2}=a{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}};\;J_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

${\begin{matrix}\mathbf {j={\frac {3}{2}}} \\a:={\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{matrix}}:\quad J_{1}={\begin{pmatrix}0&a&0&0\\a&0&1&0\\0&1&0&a\\0&0&a&0\end{pmatrix}};\;J_{2}={\begin{pmatrix}0&-ia&0&0\\ia&0&-i&0\\0&i&0&-ia\\0&0&ia&0\end{pmatrix}};\;J_{3}={\begin{pmatrix}{\tfrac {3}{2}}&0&0&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\tfrac {-1}{2}}&0\\0&0&0&{\tfrac {-3}{2}}\end{pmatrix}}$

In der Dimension 2 setzt man $J_{i}={\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}$ mit dem Triplett der Pauli-Matrizen

$\mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right)$.

Sie spannen den linearen Raum aller komplexen, hermiteschen, spurfreien 2-mal-2 Matrizen auf. Die von ihnen erzeugte Lie-Gruppe besteht aus den unitären Matrizen mit Determinante Eins, dazu weiter unten mehr.

Von der Algebra zur Transformationsgruppe

Es kommt noch ein Pferdefuß.

Beispiele

Durchrechnen der Dimensionen 2 und 3.

Wasserstoffatom

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