Quantenmechanik/ Potenzial-Streuung

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Einleitung

In diesem Abschnitt geht es um die elastische Streuung der Schrödinger-Wellen an einem Potenzial, das unbeweglich im Zentrum sitzt. Dies ist das einfachste Modell für den historischen Rutherford-Versuch, der Alpha-Teilchen − also Helium-Kerne − auf eine hauchdünne Goldfolie geschossen hat. Es konnte gefolgert werden, dass positive Ladung in kleinen Kernen konzentriert ist und dass jedes Alpha au seinem Weg statistisch nur einem Atomkern nahe genug kommt, um merklich abgelenkt zu werden.

Allgemeines

Definition Greensche Funktion

Eine lineare inhomogene Differenzialgleichung $Df(x)=g(x)$ sei gegeben, $x\in \mathbb {R} ^{n}$. D ist ein linearer Operator, z. B. mit partiellen Ableitungen und mit x-abhängigen Faktoren, g ist eine vorgegebene Funktion. Gesucht sind Lösungen f(x).

Die homogene Gleichung Df=0 habe bereits einen Vektorraum von Lösungen, den Kern des Operators D. Es gibt also unmittelbar keinen inversen Operator zu D.

Wenn aber zusätzlich zu Df=g eine ausreichende Menge von linearen Anfangs-, Rand- und/oder Nebenbedingungen gefordert werden, Bf=0, dann kann das System $\{D,B\}f=\{g,0\}$ eventuell eindeutig gelöst werden. Mit dem inversen Operator $G:\quad f=Gg;\;DGg=g;\;BG=0$. Dieser bedingte Umkehr-Operator G heißt eine Greensche Funktion, kurz Green-Funktion, wenn er eine Integraldarstellung als Faltung besitzt:

$f=Gg;\quad \Rightarrow \;f(x)=\int dy\;G(x,y)g(y)=\int dy\;G(x-y)g(y)$ (bei Translations-Invarianz).

Die allgemeine Lösung von $Df=g$ ist eine homogene Lösung, plus $(Gg)$. Meistens ist eine Green-Funktion eine Distribution. Die Bedingung $DGg=g$ kann als Gleichung für Distributionen geschrieben werden: $D_{x}G(x-y)=\delta (x-y)$. Der Differenzial-Operator D hat möglicherweise eine ganze Familie von Green-Funktionen. Immer ist wichtig, durch welche Nebenbedingungen sie genau festgelegt werden.

Kurvenintegral in der komplexen Ebene

Erinnerung an eine Integrationstechnik. Für gewisse Integrale von Funktionen f(x) über die reelle Achse, $I=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}f(x)\;dx$, hilft es, die geraden Strecken von -R bis R in der komplexen Ebene mit einem Halbkreis oberhalb oder unterhalb der Achse zur geschlossenen Kurven zu machen und dann Grenzwerte für R gegen Unendlich zu betrachten. Denn für komplexwertige Funktionen ist auf $\mathbb {C}$ das Kurvenintegral definiert, das mit dem gewöhnlichen rellen übereinstimmt, wenn die Kurve zur Achse $\mathbb {R}$ wird. Für geschlossene Kurven C mit einer Runde gegen den Uhrzeigersinn gilt der mächtige Residuensatz:

Ist f(z) analytisch im Gebiet, das von C umschlossen wird, und ist w ein Punkt im Inneren, dann $\int _{C}{\frac {f(z)}{z-w}}\;dz=2\pi if(w)$.

Folglich, hat f die Form $f=\sum _{k}f_{k}(z)/(z-w_{k})$ mit analytischen $f_{k}(z)$ und einfachen Polen $w_{k}$ im Inneren von C, dann ist

$\int _{C}f(z)\;dz=2\pi i(\sum _{k}f_{k}(w_{k}))$.

Bei Kurven im Uhrzeigersinn klappt das Vorzeichen um.

Die Technik mit den Halbkreisen (oder anderen Rückführungs-Kurven) hat dann einen Sinn, wenn die analytische Fortsetzung auf $\mathbb {C}$ einer Funktion f() existiert und auf solchen Konturen einen Beitrag zu Kurvenintegralen leistet, der im Grenzwert vom Radius verschwindet. Hat die komplexifizierte Funktion dann nur einfache Pole in Inneren der Kurve, ist das Integral gelöst: $\int _{\mathbb {R} }f\;dx$ ist gleich der Summe der Residuen (mal $2\pi i$).

Streulösungen

Gesucht werden die ungebundenen Wellenlösungen der Schrödinger-Gleichung mit einem zentralen Potenzial V(x). Das Potenzial soll weit vom Zentrum schnell genug gegen Null fallen. Daher untersuchen wir die Existenz von solchen stationären Lösungen, zu jeder Energie E oberhalb des Spektrums der gebundenen Zustände, die weit weg vom x=0 in freie Wellen oder Wellenpakete übergehen.

Aber halt, eine Streuung ist alles andere als stationär? Die Teilchen kommen aus einer Richtung an und verschwinden messbar später anderswo. Trotzdem idealisiert man zu einem kontinuierlichen Teilchenstrom, der mit konstanter Intensität nachgeliefert wird. Dann beschreiben die stationären Wellen doch wohl die Verteilungen von Winkeln, Energien und so weiter von solchen Ensembles. Gemessen werden große Statistiken, Häufigkeits-Verteilungen.

Speziell wünscht man sich zwei Klassen von Streulösungen:

• Die In-Lösungen Richtung ${\vec {k}}$ haben die Form $\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})+$ auslaufende Kugelwelle
• Die Out-Lösungen nach ${\vec {k}}'$ haben die Form einlaufende Kugelwelle $+\exp(i{\vec {k}}'{\vec {x}})$.

Der Hamilton-Operator $H=T+V$ hat den kinetischem Teil $T={\vec {p}}^{2}/(2m)$. Sei $\psi$ eine In-Welle, es wird angenommen, dass sie existiert:

$(T+V)\psi =E\psi ;\quad \psi ({\vec {x}},t)=\exp(-iEt/\hbar )\psi ({\vec {x}},0)$

Sei $\phi$ die freie Welle Richtung ${\vec {k}}$:

$T\phi =E\phi ;\quad E=\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}/(2m);\quad \phi ({\vec {x}},t)=\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}}-ft)$ mit $E=\hbar f$.

Es gelte also das Paar von Gleichungen:

$(T-E)\phi =0;\quad (T-E)\psi =V\psi$

$V\psi$ tritt auf wie der inhomogene Teil einer Operator-Gleichung für $D:=T-E.\;\phi$ ist eine homogene Lösung für D. Erwünscht ist, dass $\psi$ für große negative Zeiten gegen $\phi$ konvergiert, in einer geeigneten schwachen Metrik. Ansatz mit einer Green-Funktion $G=G\{T-E\}$ des Operators D:

$\psi =\phi +G(V\psi );\;G=(T-E)^{-1}\;$ "unter gewissen Bedingungen".

Die Nebenbedingung an G ist, dass G angewandt auf eine schnell abfallende Funktion wie $V\psi$ im Grenzfall negativer Zeit gegen Null konvergiert.

Schwacher $\lim _{t\to -\infty }G\{T-E)\}\cdot \exp(-iEt))=0$.

Die Operator-Gleichung mit G heißt Lippmann-Schwinger-Gleichung. Die Suche nach In-Wellen wird zur Suche nach Green-Funktionen mit Nebenbedingung. Anstatt der Schrödingerschen Differentialgleichung ist eine Integral- gleichung am Start, worin ein Faltungsintegral mit der Green-Funktion auftritt. Gelöst nach einer Streuwelle ist das Problem noch nicht, nur umgeformt.

Angenommen, man habe G gefunden. Iteratives Einsetzen in den Ansatz ergibt: $\psi =(1+GV+GVGV+GVGVGV+\dots )\phi$ , auch als Born-Reihe bekannt. In der Praxis geht nur einigermaßen die erste Bornsche Näherung, $\psi =(1+GV)\phi$ für anspruchslose Probleme. Für härtere Fälle gibt es die Entwicklung nach Partialwellen, dazu später.

Der Operator $(T-E)$ hat den Eigenwert Null und ist nicht umkehrbar. Doch die Familie von Operatoren $(T-E\pm i\epsilon )$ mit Imaginärteil ist es. Die Fourier-Transformation macht aus Ableitungen einfache Multiplikation. Konkret, ist ein Operator $D(\partial _{j})$ ein Polynom in den partiellen Ableitungen, dann wird er im 'Impulsraum' zum einfachen Multiplikator $D(-ik_{j})$. Hat dieser keine Nullstelle in ${\vec {k}}$, dann ist er umkehrbar. Bei Gleichungssystemen mit n Komponenten (z. B. Dirac-Gleichung, Maxwell-Gleichung) geht es zusätzlich um die Umkehrung von recht einfachen Matrizen.

Der Laplace-Operator ist das Herz des vorliegenden Problems $(T-E)$. Hier ist mit $E=\hbar ^{2}{\vec {g}}^{2}/(2m)$ und $T=-\hbar ^{2}\Delta /(2m)$ der Operator $T-E=-\hbar ^{2}/(2m)[\Delta +g^{2}]$, mit g= Betrag vom Wellenvektor.

Zwei Green-Funktionen des Operators $(\Delta +g^{2})$ werden nun ausgerechnet.

$G_{+}({\vec {x}})=[\Delta +g^{2}+i\epsilon ]^{-1}=-1/(4\pi )\;\exp(igr)/r$

$G_{-}({\vec {x}})=[\Delta +g^{2}-i\epsilon ]^{-1}=-1/(4\pi )\;\exp(-igr)/r$

Hier ist $r=|{\vec {x}}|$. Die Schreibweise als Inverses soll andeuten, dass Grenzwerte für $\epsilon \to 0+\;$ von umkehrbaren, regularisierten Operatoren genommen werden. Die Fourier-Transformation wird da bemüht.

Verschiedene Versionen kreisen in den Büchern, mit und ohne Minuszeichen und Faktoren $(4\pi )$. Die Konvention hier ist $(\Delta +g^{2})G(x)=\delta (x)$.

$(\Delta +g^{2})f({\vec {x}})=h({\vec {x}})\quad \Rightarrow (-k^{2}+g^{2}){\hat {f}}({\vec {k}})={\hat {h}}({\vec {k}})\quad$ mit:

${\hat {h}}({\vec {k}})=(2\pi )^{-3/2}\int e^{-i{\vec {k}}{\vec {x}}}h({\vec {x}})\;d{\vec {x}};\quad f({\vec {x}})=(2\pi )^{-3/2}\int e^{i{\vec {k}}{\vec {x}}}{\hat {f}}({\vec {k}})\;d{\vec {k}}$

Wir verbiegen weiter unten $(-k^{2}+g^{2})$ nach $(-k^{2}+g^{2}\pm i\epsilon )$, das für keinen Wert von ${\vec {k}}$ verschwindet. Daher geht es unbesorgt weiter:

${\hat {f}}({\vec {k}})=(2\pi )^{-3/2}\int {\frac {\exp(-i{\vec {k}}{\vec {y}})}{-k^{2}+g^{2}}}h({\vec {y}})\;d{\vec {y}}$

$f({\vec {x}})=(2\pi )^{-3}\int \int {\frac {\exp(i{\vec {k}}({\vec {x}}-{\vec {y}}))}{-k^{2}+g^{2}}}\;d{\vec {k}}\;h({\vec {y}})\;d{\vec {y}}$

$G({\vec {x}})=(2\pi )^{-3}\int d{\vec {k}}\;{\frac {\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})}{-k^{2}+g^{2}}}={\frac {2\pi }{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}}{-k^{2}+g^{2}}}\left(\int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\exp(ikr\cos \theta )\;d\theta \right)\;dk$

Hier ist $r=|{\vec {x}}|$ und $k=|{\vec {k}}|$. Das Integral über $\theta$ wird zu:

$I={\frac {1}{(-ikr)}}\exp(ikr\cos \theta )|_{0}^{\pi }={\frac {1}{ikr}}(\exp(ikr)-\exp(-ikr))$

Insgesamt bleibt eine gerade Funktion von k. Das k-Integral ist also der halbe Wert vom Integral, das über die ganze k-Achse getreckt wird.

$G={\frac {1}{2ir(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dk{\frac {-k}{(k-g)(k+g)}}[\exp(ikr)-\exp(-ikr)]$

Wenn k einen Imaginärteil $(k+ik')$ bekommt, erhält $\exp(ikr)$ einen Dämpfungsfaktor $\exp(-k'r)$. Dies reicht aus, zusammen mit dem Faktor des Integranden, der sich wie (1/k) bei großem k verhält, um auf positiven Halbkreisen in der komplexen Ebene ein Kurvenintegral gegen Null zu zwingen, wenn der Radius Unendlich wird. Die Residuen-Strategie wird also sein, für den Anteil mit $\exp(ikr)$ den oberen und für den Teil mit $\exp(-ikr)$ den unteren Halbkreis zu schließen.

Zuerst sei mit positivem $\epsilon ,\;g^{2}\to g^{2}+i\epsilon \sim (g+i\delta )^{2}$. Der Integrand $\propto 1/[(k-g)(k+g)]$ hat einen Pol in der oberen Halbebene bei $k=g$, einen in der unteren bei $k=-g$. Der erste wird als Residuum vom Integrand $\exp(ikr)$ aufgefischt, mit Beitrag $\exp(igr)\;(2\pi i)(-g)/(2g)$.

Der zweite Pol, mit $\exp(-ikr)$, gibt nochmal $\exp(igr)\;(2\pi i)g/(-2g)$. Das Integral ist fertig, alle Faktoren inbegriffen: $G_{+}={\frac {-1}{4\pi }}{\frac {\exp(igr)}{r}}$, als Grenzwert für $\epsilon \to 0+$.

Zweiter Fall, $g^{2}\to g^{2}-i\epsilon \sim (g-i\delta )^{2}$.

Der obere Pol liegt bei -g, der untere bei g. Genau wie vorhin errechnet sich die Funktion $G_{-}={\frac {-1}{4\pi }}{\frac {\exp(-igr)}{r}}$.

Die Green-Funktion $G_{+}\propto \exp(igr)/r$ ist eine vom Zentrum auslaufende Kugelwelle. Denn mit dem Zeitfaktor $\exp(-i\omega t)$ versehen, bewegt sich eine beliebige Phase vom Nullpunkt weg. Die andere Funktion ist eine aufs Zentrum einlaufende Kugelwelle. Der Mittelwert zweier Green-Funktionen ist wieder eine Green-Funktion. Hier ergibt sich $G_{0}={\frac {-1}{4\pi }}{\frac {\cos(gr)}{r}}$. Diese Lösung ist eine reelle, stehende Kugelwelle. Sie kann aus der Integralrechnung unter dem Einsatz von Hauptwerten gewonnen werden.

Die Integralgleichung der stationären "In"-Lösungen der Energie E wird mit den Operatoren für auslaufende Kugelwellen gebaut, die $(T-E)$ umkehren : $G=2m/(-\hbar ^{2})[\Delta +g^{2}+i\epsilon ]^{-1}$.

$\psi ({\vec {x}})=\phi ({\vec {x}},0)+\int d{\vec {y}}\;G({\vec {x}}-{\vec {y}})V({\vec {y}})\psi ({\vec {y}})$

Es bleibt zu zeigen, dass der Operator GV, angewandt auf eine Lösung $\psi$, bei einer Projektion auf freie Schrödingerwellen $\phi ({\vec {x}},t)$ eine Funktion ergibt, die für $t\to -\infty$ verschwindet. Der Bequemlichkeit dienende Annahmen dazu: Das Potenzial $V({\vec {x}})$ soll für großen Abstand vom Nullpunkt abfallen, so dass $V({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})=\eta ({\vec {x}})$ eine integrierbare, quadrat-integrierbare und glatte Funktion im Hilbert-Raum ist. Die Fourier-Transformierte ${\hat {\eta }}({\vec {k}})$ sei ebenfalls gutartig. Die freie Testwelle sei im Impulsraum durch ${\hat {\phi }}({\vec {k}})$ vorgegeben, das um einen Wellenvektor ${\vec {k}}_{0}$ herum konzentriert ist und reell bei t=0.

$\phi ({\vec {x}},t)=(2\pi )^{-3/2}\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}}-if(k)t)$

mit $f\propto qk^{2};\;\hbar f(k)=\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}/(2m)$.

Das Matrixelement im Impulsraum ist also, von Faktoren abgesehen:

$\langle \phi (t)|G|\eta \rangle =\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\eta ({\vec {k}}){\frac {\exp(if(k)t)}{-k^{2}+g^{2}+i\epsilon }}$

Nach den Voraussetzungen kann über den Raumwinkel integriert werden und es bleibt das eindimensionale k-Integral mit einer gutartigen Funktion u(k):

$\langle \phi (t)|G|\eta \rangle =\int _{0}^{\infty }dk\;{\frac {u(k)k^{2}\exp(if(k)t)}{-k^{2}+g^{2}+i\epsilon }}$.

Der Nenner hat einen Betrag größer als $\epsilon$, daher hat der Integrand eine obere Schranke. Von der Integrationsvariablen k wird zu $f(k)=qk^{2}$ gewechselt, $df=2qk\;dk$:

$\langle \phi (t)|G|\eta \rangle =\int _{0}^{\infty }df/(2q)\;{\frac {u(f){\sqrt {f/q}}\exp(ift)}{-(f/q)+g^{2}+i\epsilon }}$.

Wird noch $u(f)=0$ für $f<0$ definiert, dann ist die ganze Formel die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion von f, zu einer Funktion der Variablen t. Daher konvergiert sie nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma für $t\to -\infty$ gegen Null.

Das Argument funktioniert nur für diese Reihenfolge von Grenzprozessen: Regularisierten Operator erst mit bravem Paar von Testfunktionen füttern, dann $\epsilon$ festhalten und t gegen Unendlich, danach erst $\epsilon$ gegen Null. Wenn das Ergebnis für kleine $\epsilon$ von höherer Ordnung ansteigt als es für große t abfällt, was dann? Etwas wackeliger Beweis. Vorsichtig gesagt, eine Streu-Lösung der Lippmann-Schwinger-Gleichung konvergiert schwach gegen eine freie Welle.

Streu-Amplituden

Mit $k^{2}=2mE/\hbar ^{2}$ und $U=2mV({\vec {x}})/\hbar ^{2}$ ist für die Streu-Welle

$(\Delta +k^{2})\psi =U\psi \quad \Rightarrow \psi ({\vec {x}})=(2\pi )^{-3/2}e^{i{\vec {k}}{\vec {x}}}-{\frac {1}{4\pi }}\int d{\vec {y}}\;{\frac {\exp(ig|x-y|)}{|x-y|}}U({\vec {y}})\psi ({\vec {y}}).$

Potential U soll kurze Reichweite haben. |y| ist klein, während die Welle weit vom Streuzentrum betrachtet wird, also bei $(r=|x|)\gg (a=\max(|y|))$.

Entwicklung in Potenzen von ${\vec {y}}$ mit Notation $r=|{\vec {x}}|;\;{\hat {x}}={\vec {x}}/r$ :

$k|x-y|=k{\sqrt {r^{2}-2{\vec {x}}{\vec {y}}+|{\vec {y}}|^{2}}}=kr(1-{\hat {x}}{\vec {y}}/r+O(a^{2}/r^{2}))$

Der quadratische Beitrag von der Ordung $ka^{2}/r$ soll vernachlässigt werden. Im Nenner wird noch drastischer ersetzt, $|x-y|\approx r$ . Daher

$\psi ({\vec {x}})\sim (2\pi )^{-3/2}\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})-{\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int dy\;\exp(-ik({\hat {x}}\cdot {\vec {y}}))U({\vec {y}})\psi (y)$

$=(2\pi )^{-3/2}(\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})+{\frac {e^{ikr}}{r}}f_{\vec {k}}({\hat {x}}))$

Dies definiert die Streuamplitude $f_{\vec {k}}$ mittels der Gleichung

$f_{\vec {k}}({\hat {x}})=-{\frac {(2\pi )^{3/2}}{4\pi }}\int d{\vec {y}}\;\exp(-ik({\hat {x}}\cdot {\vec {y}}))U({\vec {y}})\psi _{\vec {k}}(y)$

$\psi _{\vec {k}}$ ist die Streuwelle aus einem einkommenden Strahl mit dem Wellenvektor ${\vec {k}}$. Sie löst die Schrödinger-Gleichung eindeutig mit der Anfangsbedingung, weit in der Vergangenheit wie die ebene Welle auszusehen.

Für ein Potenzial $U({\vec {x}})$, das für $|x|>a$ verschwindet, gibt es noch folgende Begründung, warum mit einem freien einkommenden Wellenpaket das Skalarprodukt $\langle \phi |GU\psi \rangle$ Null ist. Das Paket sei bei t=0 am Ort ${\vec {x}}_{0}$ mit dem Wellenvektor ${\vec {k}}_{0}$ lokalisiert, zum Beispiel als Gauss-Paket mit minimaler Unschärfe. ${\vec {k}}_{0}$ und ${\vec {x}}_{0}$ liegen in Gegenrichtung, denn das Paket bewegt sich aufs Zentrum zu. Fourier-Darstellung:

$\phi (x,0)=(2\pi )^{-3/2}\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp(i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}))$

Folgendes soll also kleiner als jedes Epsilon werden:

$\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp(-i{\vec {k}}{\vec {x}}_{0})\left[\int d{\vec {y}}\;{\frac {\exp(ik|x-y|}{|x-y|}}U({\vec {y}})\psi _{\vec {k}}({\vec {y}})\right]$

Hier ist mit $\psi _{\vec {k}}$ die Familie der Streuwellen gemeint, die je mit den einlaufenden Wellen $\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})$ die Integralgleichung lösen. Wegen $U({\vec {y}})=0$ für $|y|>a$ genügt es, für alle $|y|<a$ zu fordern:

$\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp(-i{\vec {k}}{\vec {x}}_{0}+ik|x-y|)\psi _{\vec {k}}({\vec {y}})=0$.

Nun wird mutig angenommen, dass $\psi _{\vec {k}}({\vec {y}})$ als Funktion von ${\vec {k}}$ auf der 'kleinen' Umgebung von ${\vec {k}}_{0}$ wenig variiert, die zur einlaufenden Welle beiträgt. Also wird $\psi _{{\vec {k}}_{0}}$ eingesetzt. Für schmale Resonanzen, bei denen die Streuamplitude enorm mit ${\vec {k}}$ variiert, wäre das falsch. Wegen der Nähe von ${\vec {k}}$ zu ${\vec {k}}_{0}$ wird auch diese Approximation gesetzt: $|{\vec {k}}|=k=({\hat {k}}_{0}\cdot {\vec {k}})$.

Damit wird $\psi _{{\vec {k}}_{0}}$ aus dem Integral herausgezogen:

$\psi _{{\vec {k}}_{0}}[\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp(i{\vec {k}}\cdot ({\hat {k}}_{0}|x-y|-{\vec {x}}_{0})]=0$.

Vergleich mit der Definition von $\phi$ zeigt, dass der Integralausdruck der Wert im Ortsraum $\phi ({\hat {k}}_{0}|x-y|,t=0)$ ist, von Normierung abgesehen. $\phi$ war aber bei ${\vec {x}}_{0}$ in Gegenrichtung zu ${\vec {k}}_{0}$ konzentriert, sollte also an einem Punkt wie hier in Richtung ${\vec {k}}_{0}$ hinter dem Zentrum verschwinden. Damit gilt das Ergebnis Null als bewiesen.

Anschaulich bedeutet das verschwindende Skalarprodukt: die auslaufende Welle der Integralgleichung hat keine Rückwirkung auf einlaufende Wellenpakete. Daher ist der Ansatz konsistent, die Lippmann-Schwinger-Gleichung bildet freie Schrödinger-Wellen eindeutig auf Streuwellen ab. Diese freien Wellen fließen als asymptotischer einkommendender Teil in die Lösung ein.

Wirkungsquerschnitt

Um die Streuung abhängig von der Zeit zu betrachten, sei $\phi$ ein Wellenpaket das zur Zeit t=0 am Ort ${\vec {x}}_{0}$ und um Wellenvektor ${\vec {k}}_{0}$ herum konzentriert ist, so gut es Heisenberg erlaubt. Es hat die Geschwindigkeit ${\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}/m$, die Frequenz $\hbar \omega =m{\vec {v}}^{2}/2$, die Amplitude ${\hat {\phi }}({\vec {k}})$ im Impulsraum. Das Zerfließen der freien Welle sei vernachlässigt, also gehorche $\phi$ den Formeln:

$\phi ({\vec {x}},0)=\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp[i{\vec {k}}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})]$

$\phi ({\vec {x}}+{\vec {v}}t,t)=\phi ({\vec {x}},0)\exp(-i\omega t)$

$\phi ({\vec {x}},t)=\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp[i{\vec {k}}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}-{\vec {v}}t)-i\omega t]$

Die Streu-Amplitude $f_{\vec {k}}(x)$ definiert die Abbildung von elementaren ebenen Wellen auf Streuwellen, Notation $k=|{\vec {k}}|$ und $r=|{\vec {x}}|$:

$\psi _{\vec {k}}({\vec {x}})=(2\pi )^{-3/2}\left[\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})+f_{\vec {k}}({\hat {x}}){\frac {\exp(ikr)}{r}}\right]$

Nach dem Superpositionsprinzip ergibt sich ein zeitabhängiges Wellenpaket mit Streuwelle $\psi ({\vec {x}},t)$ dadurch, dass in $\phi ({\vec {x}},t)$ alle Komponenten $\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})$ durch $\psi _{\vec {k}}(x)$ ersetzt werden:

$\psi ({\vec {x}},t)=\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp[-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}t)-i\omega t]\psi _{\vec {k}}({\vec {x}})$

Approximation: $f_{k}=f_{k_{0}}$ wird aus dem Integral gezogen.

$\psi ({\vec {x}},t)e^{i\omega t}=\psi ({\vec {x}}-{\vec {v}}t,0)+(2\pi )^{-3/2}{\frac {f_{k_{0}}({\hat {x}})}{r}}\int d{\vec {k}}\;{\hat {\phi }}({\vec {k}})\exp[i(kr-{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}t)]$

Im Exponenten wird mit ${\vec {k}}$ nahe bei ${\vec {k}}_{0}$ gesetzt: $k={\vec {k}}\cdot {\hat {k}}_{0}$. Damit:

$\psi ({\vec {x}},t)e^{i\omega t}=\psi ({\vec {x}}-{\vec {v}}t,0)+(f_{k_{0}}({\hat {r}})/r)\psi (r{\hat {k}}_{0}-{\vec {v}}t,0)$

Der erste Term ist das einlaufende Paket, das von Zeit 0 bis t mit Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ wandert. Der zweite Term ist die gestreute Kugelwelle, losgetreten mit Zeitverzug vom einlaufenden Paket.

Die Intensität des Teilchenstrahls $I_{0}$ sei die Zahl der einkommenden Teilchen pro Fläche senkrecht zum Strahl, pro Zeit. Sie kann auch als Teilchenzahl pro Volumen mal Strahlgeschwindigkeit ausgedrückt werden. Der differentielle Wirkungquerschnitt ist die Zahl der gestreuten Teilchen, die im Raumwinkelsegment $d\Omega =(d\phi \;\sin(\theta )\;d\theta )$ ankommen, geteilt durch die Zahl der einkommenden Teilchen:

$d\sigma /d\Omega =I(\theta ,\phi )/I_{0}$.

Das Beispiel in diesem Abschnitt ist die elastische Potentialstreuung von einfachen spinlosen Teilchen. Es gibt also keine zusätzlichen Größen (Energien, Spins) am Ausgang zu vermessen, so dass die Winkelverteilung das volle Ergebnis des Experiments ist.

Wie der Name es andeutet, hat der Wirkungsquerschnitt die Dimension einer Fläche. $I(\theta ,\phi )$ ist die Teilchenzahl pro Zeiteinheit pro dimensionslosem Raumwinkel, aber $I_{0}$ die Teilchenzahl pro Zeiteinheit pro Fläche.

Die Teilchendichte im Quantenmodell ist das Betragsquadrat der Schrödinger-Welle. Die gestreute Welle hat also am Abstand r in Richtung ${\hat {x}}$ vom Streuzentrum die Dichte $D={\frac {|f_{k}({\hat {x}})|^{2}}{r^{2}}}|\psi (r{\hat {k}}-{\vec {v}}t,0)|^{2}$, wo ${\vec {k}}_{0}$ zu ${\vec {k}}$ vereinfacht wurde. Auch sei ab hier notiert: $\psi ({\vec {x}}_{0})=\psi ({\vec {x}})$. Die Zahl der Teilchen im Zeitintervall dt und im Winkelelement $d\Omega$ bei Strahlgeschwindigkeit v ist $N(\theta ,\phi )=vr^{2}D\;d\Omega$.

Es soll über die Zeit integriert werden, in der das Paket aktiv ist. In $\psi$ steht die Zeit als Argument $r{\hat {k}}-{\vec {v}}t=[r-vt]{\hat {k}}$. Mit der neuen Variablen $z=vt,\;dz=v\;dt,$ in den Grenzen z von minus bis plus Unendlich,

$N(\theta ,\phi )=|f_{\vec {k}}({\hat {x}})|^{2}d\Omega \int v\;dt\;|\psi ((r-vt){\hat {k}})|^{2}=|f_{\vec {k}}({\hat {x}})|^{2}d\Omega \int dz\;|\psi (z{\hat {k}})|^{2}$

Die Zahl der einfallenden Teilchen ergibt sich in gleicher Manier als

$N_{0}=\int dz\;|\psi (z{\hat {k}})|^{2}$.

Kommen M Wellenpakete $\psi _{i}$, dann müssen entsprechend viele Terme $N(\theta ,\phi )$ und $N_{0}$ aufsummiert werden. Nun hat $N(\theta ,\phi )$ bei allen den gleichen Faktor $|f_{\vec {k}}({\hat {x}})|^{2}$.

Schließlich das wichtige Ergebnis: Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist das Betragsquadrat der Streuamplitude,

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {N(\theta ,\phi )}{N_{0}}}=|f_{\vec {k}}({\hat {x}})|^{2}$.

Bornsche Näherung

In der Amplitude für elastische Streuung am Potenzial U,

$f_{\vec {k}}({\hat {x}})=-{\frac {1}{4\pi }}\int d{\vec {y}}\;\exp(-ik{\hat {x}}{\vec {y}})U({\vec {y}})\psi _{\vec {k}}({\vec {y}})$

wird das unbekannte $\psi$ durch die ebene einlaufende Welle $\exp(i{\vec {k}}{\vec {y}})$ ersetzt. Mit $U=2mV/\hbar ^{2}$ wird dann angenähert:

$f_{\vec {k}}({\hat {x}})=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d{\vec {y}}\;\exp(-ik{\hat {x}}{\vec {y}})V({\vec {y}})\exp(i{\vec {k}}{\vec {y}})$.

Das ist das Matrixelement des Streupotentials zwischen zwei ebenen Wellen, die die gleiche Wellenlänge 1/k haben. Statt ${\hat {x}}$ kann die ausgehende Richtung auch ${\vec {k}}'$ benannt werden mit dem Wellenvektor ${\vec {k}}'=k{\hat {x}}$.

Ganz grobe Abschätzung des Born-Terms für ein zentralsymmetrisches $U(|y|)$, von kurzer Reichweite $|y|$. Setze ${\vec {x}}=0$ für maximale Integranden und definiere $|{\vec {y}}|=s$.

${\frac {-1}{4\pi }}\int d{\vec {y}}\;{\frac {\exp(iks)}{s}}U(s){\frac {\exp(i{\vec {k}}{\vec {y}})}{(2\pi )^{3/2}}}=-(2\pi )^{-3/2}\int _{0}^{\infty }ds\;U(s){\frac {\exp(iks)}{s}}{\frac {\sin(ks)}{ks}}s^{2}$.

Dies sollte erheblich kleiner ausfallen als 1, die Referenz-Amplitude der ebenen Welle, was in etwa folgendes bedeutet: k mal ein Integral über den Betrag von V(s) ist viel kleiner als die kinetische Energie des Teilchens. Die Born-Näherung geht durch für schwache, kurzreichweitige Potentiale und ausreichend hohe Energien.

Die Näherung wird nun ausgewertet für das kurzreichweitige Yukawa-Potential $V(r)=Q\exp(-ar)/r$. Grenzwert a=0 ist das Coulomb-Potenzial, für das von der Born-Näherung nichts Gutes zu erwarten ist. Zuerst das relevante Integral in $f_{\vec {k}}({\vec {k}}')$, wo $k=|{\vec {k}}|=|{\vec {k}}'|,\;s=|{\vec {y}}|,\;t=|{\vec {k}}-{\vec {k}}'|\;$ gesetzt werden.

$I=\int d{\vec {y}}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}')\cdot {\vec {y}})\exp(-as)/s$

Die Integration über die Winkel $\theta ,\phi$ von ${\vec {y}}$ mit $({\vec {k}}-{\vec {k}}')$ ist vom Typ $2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \;d\theta \;\exp(its\cos \theta )$, sie ergibt $4\pi \sin(ts)/(ts)$. Daher bleibt als Radialintegral mit $s^{2}\;ds$:

$I={\frac {4\pi }{t}}\int _{0}^{\infty }ds\;\sin(ts)\exp(-as)$

Für dieses s-Integral A kommt nach zweimaliger partieller Integration diese Gleichung an: $A(t^{2}+a^{2})/a^{2}=t/a^{2};$ schließlich $I=4\pi /(t^{2}+a^{2})$.

Die Streuamplitude:

$f_{\vec {k}}({\vec {k}}')=-{\frac {1}{4\pi }}Q{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}I={\frac {-2mQ}{\hbar ^{2}(t^{2}+a^{2})}}={\frac {-2mQ}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4k^{2}\sin ^{2}(\alpha /2)+a^{2}}}$.

Denn wegen $k=|{\vec {k}}|=|{\vec {k}}'|$ ist $t=2k\sin(\alpha /2)$, wo $\alpha$ den Ablenkungs-Winkel bei der Steuung meint.

Der Wirkungsquerschnitt ist das Quadrat der Amplitude. Im Coulomb-Grenzfall a=0 ist $Q={\frac {ZZ'e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}$ und die Amplitude wird mit Hilfe der Energie $E=\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ ausgedrückt.

$f=-{\frac {Q}{4E\sin ^{2}(\alpha /2)}}\quad \Rightarrow {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {Q^{2}}{16E^{2}\sin ^{4}(\alpha /2)}}$.

Diese Winkelverteilung ist verdächtig die selbe wie die Rutherford-Formel aus der klassischen Mechanik und enthält keinerlei Quanten-Faktor $\hbar$. War die Born-Näherung hier so unzulässig, dass sie die Quantenmechanik rauswirft? Nein, das Coulomb-Potenzial wirkt Wunder mit versteckten Symmetrien. Sogar eine exakte quantenmechanische Analyse der Coulomb-Streuung ergibt den Rutherford-Querschnitt.

Der totale Wirkungsquerschnitt ist das Integral über die Raumwinkel des differentiellen, also für das Beispiel-Potenzial hat man auszurechnen: $2\pi \int _{0}^{\pi }d\alpha \;\sin(\alpha )/[a^{2}+4k^{2}\sin ^{2}(\alpha /2)]^{2}$.

Zunächst ist $\sin ^{2}(\alpha /2)=(1-\cos(\alpha ))/2$. Dann wird tranformiert zu

$z=\cos(\alpha );\;\int _{0}^{\pi }d\alpha \;\sin(\alpha )f(\cos(\alpha ))=\int _{-1}^{1}dz\;f(z)$.

Der Integrand hier vom Typ $f(z)=(p+qz)^{-2}$ hat die Stammfunktion $-1/(q(p+qz))$. Einsetzen vom allem bringt das Ergebnis:

$\sigma =\left({\frac {2mQ}{\hbar ^{2}}}\right)^{2}{\frac {4\pi }{a^{2}(a^{2}+4k^{2})}}$

Hier existiert der Grenzwert a=0 nicht. Der totale Wirkungsquerschnitt der Coulomb-Streuung wird Unendlich. Wegen seiner unbegrenzten Reichweite hat das Potenzial $\propto 1/r$ einen Einfluss auch auf Teilchen, die weit vom Streuzentrum weg bleiben. Im praktischen Leben ist natürlich eine Ladung immer irgendwo abgeschirmt und gehorcht nicht der idealen Theorie.

Noch mal eine Abschätzung des Kriteriums

$k\cdot |\int _{0}^{\infty }ds\;e^{iks}\sin(ks)V(s)|\ll E$,

mit $E=\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$, das eine Born-Näherung rechtfertigen soll. Mit dem Yukawa-Potenzial ist zu berechnen:

$I=\int _{0}^{\infty }ds\;(\exp(2iks)-1){\frac {e^{-as}}{s}}$

Darauf passen genau folgende Formeln aus der Integralrechnung

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)\sin(bx)}{x}}\;dx=\arctan(b/a);\quad \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)(1-\cos(bx))}{x}}\;dx=\ln({\sqrt {1+(b/a)^{2}}})$.

$I=-\ln({\sqrt {1+(2k/a)^{2}}})+i\arctan(2k/a)$

$|I|={\sqrt {\left(\ln({\sqrt {1+(4k^{2}/a^{2})}})\right)^{2}+(\arctan(2k/a))^{2}}}$

Für $(k/a)\ll 1$ ist die Wurzel kleiner als $2(k/a)$. Also soll $2mQ/(\hbar ^{2}a)$ viel kleiner als 1 werden. Die Reichweite des Potenzials ist $w=1/a$. Die Wellenlänge eines Teilchens mit kinetischer Energie $(Qa)$ wäre

$\lambda ^{2}\sim \hbar ^{2}/(2maQ)$, also wird gefordert: $(w^{2}/\lambda ^{2})$

sei sehr klein. Das heißt, die für dieses Potenzial typische Wellenlänge soll zu groß werden, um einen gebundenen Zustand im Potentialtopf erzeugen. Daher die Idee, dass das Potential wenig ausgedehnt und nicht zu tief sein muss, damit die Näherung erlaubt ist.

Sphärische Bessel- und Neumann-Funktionen

Zur Vorbereitung auf die Partialwellen-Analyse einige spezielle Funktionen.

Es geht hier um freie Wellenfunktionen mit radialem Wellenvektor k. Gleichung: $(\Delta +k^{2})f({\vec {x}})=0$.

Kugelwellen-Ansatz: $f(r,\theta ,\phi )=R_{l,k}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$.

Die potentialfreie Radialgleichung für R zum positiven Eigenwert $k^{2}$ ist

$[-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}(r^{2}{\frac {d/dr}{+}}{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}-k^{2}]R(r)=0$.

Für $l=0:\;(kr)^{2}R+(d/dr)(r^{2}(d/dr))R\;=l(l+1)R=0$ gelingt ein Ansatz mit trigonometrischen Funktionen $R=\{\sin ,\cos \}(kr)/(kr)$. Mit Variablen $z=kr;\;(d/dr)=k(d/dz)$ liest sich die Gleichung leichter, befreit von $k:\;[z^{2}+(d/dz)(z^{2}(d/dz))-l(l+1)]R=0$.

$R1=\sin(z)/z;R_{2}=\cos(z)/z;l=0$

$z^{2}(d/dz)(\sin(z)/z)=z^{2}(\cos(z)/z-\sin(z)/z^{2})=z\cos(z)-\sin(z)$,

$(d/dz)(z\cos(z)-\sin(z))=\cos(z)-z\sin(z)-\cos(z)=-z^{2}R_{1}$.

$z^{2}(d/dz)(\cos(z)/z)=z^{2}(-\sin(z)/z-\cos(z)/z^{2})=-z\sin(z)-\cos(z)$,

$(d/dz)(-z\sin(z)-\cos(z))=-\sin(z)-z\cos(z)+\sin(z)=-z^{2}R_{2}$.

$R_{2}$ divergiert bei z=0, $R_{1}$ ist regulär mit Wert 1.

Von diesen zwei unabhängigen Lösungen der homogenen Gleichung zweiter Ordnung ist jede andere Lösung zu l=0 eine Linearkombination.

Die folgenden Rekursionen und äquivalenten Definitionen plustern tatsächlich diese zwei einfachen Funktionen auf zu einer vollständigen Reihe von Lösungen für alle ganzen $l>0$.

$j_{0}(z):=\sin(z)/z;\quad j_{l+1}(z)=(l/z)j_{l}(z)-j_{l}'(z);\quad j_{l}(z)=(-z)^{l}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{l}j_{0}(z)$

$n_{0}(z):=-\cos(z)/z;\quad n_{l+1}(z)=(l/z)n_{l}(z)-n_{l}'(z);\quad n_{l}(z)=(-z)^{l}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{l}n_{0}(z)$

Die Reihen {$j_{l}$} bzw. {$n_{l}$} sind die sphärischen Bessel- bzw. Neumann-Funktionen.

• Die Reihe $j_{l}$ besteht aus reellen stationären Wellen, regulär bei z=0.
• Die Reihe $n_{l}$ besteht aus reellen stationären Wellen, divergent bei z=0.
• Die Reihe $h_{l}^{1}=j_{l}+in_{l}$ besteht aus auslaufenden Radialwellen $\propto e^{iz}$.
• Die Reihe $h_{l}^{2}=j_{l}-in_{l}$ besteht aus einkommenden Radialwellen $\propto e^{-iz}$.

Die Reihen {$h_{l}$} sind die sphärischen Hankel-Funktionen.

${\begin{array}{l}j_{0}(z)=\;+1{\frac {\sin z}{z}}\\j_{1}(z)=\;+1{\frac {\sin z}{z^{2}}}-1{\frac {\cos z}{z}}\\j_{2}(z)=\;+3{\frac {\sin z}{z^{3}}}-3{\frac {\cos z}{z^{2}}}-1{\frac {\sin z}{z}}\\j_{3}(z)=\;+15{\frac {\sin z}{z^{4}}}-15{\frac {\cos z}{z^{3}}}-6{\frac {\sin z}{z^{2}}}+1{\frac {\cos z}{z}}\\j_{4}(z)=\;+105{\frac {\sin z}{z^{5}}}-105{\frac {\cos z}{z^{4}}}-45{\frac {\sin z}{z^{3}}}+10{\frac {\cos z}{z^{2}}}+1{\frac {\sin z}{z}}\\j_{5}(z)=\;+945{\frac {\sin z}{z^{6}}}-945{\frac {\cos z}{z^{5}}}-420{\frac {\sin z}{z^{4}}}+105{\frac {\cos z}{z^{3}}}+15{\frac {\sin z}{z^{2}}}-1{\frac {\cos z}{z}}\\\end{array}}$

${\begin{array}{l}n_{0}(z)=\;-1{\frac {\cos z}{z}}\\n_{1}(z)=\;-1{\frac {\cos z}{z^{2}}}-1{\frac {\sin z}{z}}\\n_{2}(z)=\;-3{\frac {\cos z}{z^{3}}}-3{\frac {\sin z}{z^{2}}}+1{\frac {\cos z}{z}}\\n_{3}(z)=\;-15{\frac {\cos z}{z^{4}}}-15{\frac {\sin z}{z^{3}}}+6{\frac {\cos z}{z^{2}}}+1{\frac {\sin z}{z}}\\n_{4}(z)=\;-105{\frac {\cos z}{z^{5}}}-105{\frac {\sin z}{z^{4}}}+45{\frac {\cos z}{z^{3}}}+10{\frac {\sin z}{z^{2}}}-1{\frac {\cos z}{z}}\\n_{5}(z)=\;-945{\frac {\cos z}{z^{6}}}-945{\frac {\sin z}{z^{5}}}+420{\frac {\cos z}{z^{4}}}+105{\frac {\sin z}{z^{3}}}-15{\frac {\cos z}{z^{2}}}-1{\frac {\sin z}{z}}\\\end{array}}$

Die Listen hier wurden vom anhängenden Python-Skript ausgegeben. Es scheint so, als seien alle Funktionen am Nullpunkt singulär. Ganz im Gegenteil ist aber $j_{l}$ von der Ordnung $z^{l}$ um z=0 und nur die $n_{l}$ divergieren wie $z^{-l-1}$.

Warnung. Diese trigonometrischen Formeln von $j_{l}$ haben eine katastrophale Numerik nahe bei z=0, vom Typ Null-durch-Null. Rundungsfehler schaukeln sich gigantisch auf.

Es gelten angenehmere asymptotische Formeln, wo für ungerades $n,\;(n!!):=n(n-2)(n-4)...1$:

$j_{l}(z)\to \ z^{l}/(2l+1)!!\;{\text{für}}\;z\to 0;\quad j_{l}(z)\to \sin[z-l\pi /2]/z\;{\text{für}}\;z\to \infty$

$n_{l}(z)\to \ -(2l-1)!!/z^{l+1}\;{\text{für}}\;z\to 0;\quad n_{l}(z)\to -\cos[z-l\pi /2]/z\;{\text{für}}\;z\to \infty$

Etwas bessere asymptotische Formeln für $j_{l},\,n_{l}$:

$z\to 0:\;j_{l}(z)\approx {\frac {z^{l}}{(2l+1)!!}}[1-{\frac {z^{2}}{2(2l+3)}}];\;n_{l}(z)\approx {\frac {-(2l-1)!!}{z^{l+1}}}[1+{\frac {z^{2}}{2l-1}}]$

$z\to \infty :\;u:=z-l\pi /2;\;j_{l}(z)\approx (1/z)[\sin u+{\frac {l(l+1)}{2z}}\cos u];\;n_{l}(z)\approx (1/z)[-\cos u+{\frac {l(l+1)}{2z}}\sin u]$

Bemerkung: Das Vorzeichen von $n_{l}$ ist nicht einheitlich in der Literatur.

Weitere Rekursionsformeln für $f_{l}=j_{l}$ und $f_{l}=n_{l}$:

$zf_{l+1}(z)=(2l+1)f_{l}(z)-zf_{l-1}(z)$

$(2l+1)(d/dz)f_{l}(z)=lf_{l-1}(z)-(l+1)f_{l+1}(z)$

Nachtrag zum Induktionsbeweis, dass die Folgen richtig erfunden wurden. Behauptung: Ist R eine radiale Lösung zur Quantenzahl l, dann ist $S=(-z^{l+1})({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}})[(-z)^{-l})R])$ eine zur Quantenzahl l+1.

$S\propto z^{l}(d/dz)(z^{-l}R)=R'-(l/z)R$

Voraussetzung: $\quad (d/dz)[z^{2}(d/dz)]R=z^{2}R''+2zR'=[l(l+1)-z^{2}]R$

Zu zeigen: $\quad (d/dz)[z^{2}(d/dz)]S=z^{2}S''+2zS'=[(l+1)(l+2)-z^{2}]S$

Das Ausrechnen geht geradlinig.

$S'=lz^{-2}R-lz{^{-}1}R'+R''$

$z^{2}S''=(-2l/z)R+2lR'-zlR''+z^{2}R'''$

Den Term $z^{2}R'''$ wird man los durch Ableiten der Gleichung $G:=z^{2}R''=((l(l+1)-z^{2})R-2zR'$ und Einsetzen. Danach wird $z^{2}S''+2zS'$ ausgeschrieben, überall wird darin $R''$ mit $G$ eliminiert. Wenn man dann den Faktor von $R'$ und den von $(-l/z)R$ einsammelt, sind diese tatsächlich gleich, nämlich wie gewünscht $=(l+1)(l+2)-z^{2}$.

Die $j_{l}$ sind regulär mit dem Verhalten $z^{l}$ um z=0. Dies zeigt folgendes Induktions-Argument. $j_{l}$ hat definierte Parität, $j_{l}(-z)=(-1)^{l}j_{l}(z)$. Sei nämlich

$R(-z)=\pm R(z);\;S(z)=R'(z)-(k/z)R(z)\quad \Rightarrow S(-z)=\mp S(z)$.

Die Potenzreihe von $R(z)$ habe daher die Form $R(z)=az^{k}+bz^{k+2}+O(z^{k+4})$ mit Potenzen zwangsläufig im Abstand zwei, der Parität zuliebe. Dann: $S(z)=akz^{k-1}+b(k+2)z^{k+1}-kaz^{k-1}+\dots$. Die Taylor-Reihe von S hat also die erste Potenz $k+1$, eine höher als R.

Kummer-Funktionen

Die Kummer-Funktionen, auch die Konfluenten Hypergeometrischen Reihen genannt, werden bisweilen mit befremdlicher Präfix-Suffix-Notation ${}_{1}F_{1}(*)$ dargeboten. Sie wurden darauf zugeschnitten, unvermeidlich wiederkehrende Differenzialgleichungen zu lösen. Es handelt sich um folgende Funktionen-Familie:

$z\mapsto F(a,b;\,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\cdot {\frac {a(a+1)\cdots (a+n-1)}{b(b+1)\cdots (b+n-1)}}=1+{\frac {za}{b}}+{\frac {z^{2}\,a(a+1)}{2\,b(b+1)}}+\cdots$

Diese sehen aus wie etwas verzierte Exponentialreihen. Ist a eine negative ganze Zahl, endet F als ein Polynom in z. Ist b eine negative ganze Zahl oder 0, dann ist F nicht definiert. Eine Schreibweise mit Gammafunktionen:

$F(a,b;\,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b+n)}}\cdot {\frac {z^{n}}{n!}}$.

Die F() sind die Familie, die folgende homogene Differenzialgleichung löst:

$zf''(z)+(b-z)f'(z)-af(z)=0\quad$ (Gleichung vom Laplace-Typ).

Sind (-a) und b natürliche Zahlen, dann gibt es speziell als Lösungen die zugeordneten Laguerre-Polynome $L_{a}^{b-1}(z)$. Für lineare Gleichungen zweiter Ordung erwartet man ein Funktionenpaar als Basis. In der Tat löst ein Paar, falls beide existieren, die selbe Laplace-Gleichung (aber $z^{1-b}$ divergiert eventuell bei z=0):

$F(a,b;\,z)\quad {\text{und}}\quad z^{1-b}F(a-b+1,2-b;\,z)$.

Es besteht auch die Symmetrie: $F(a,b;\,z)=e^{z}F(b-a,b;\,-z)$.

Wenn F existiert, ist F auf der ganzen z-Ebene analytisch.

Die Rekursion für die Reihe $F(a,b;\,z)=\sum c_{n}x^{n}$ ist offenbar

$c_{n}=c_{n-1}{\frac {a+n-1}{n(b+n-1)}};\quad n(b+n-1)c_{n}-(a+n-1)c_{n-1}=0$

Leicht zu zeigen, dass damit die definierende Differenzialgleichung aufgeht.

$0=\sum [c_{n}n(n-1)z^{n-1}+(b-z)nc_{n}z^{n-1}-ac_{n}z^{n}]$

$=\sum [(-a-n)]c_{n}z^{n}+\sum [n(n-1)+bn]c_{n}z^{n-1}\quad$ mit n=m-1 im ersten Teil

$=-\sum (a+m-1)c_{m-1}z^{m-1}+\sum [n(n-1)+bn]c_{n}z^{n-1}$

Aus Koeffizientenvergleich folgt $\;n(b+n-1)c_{n}-(a+n-1)c_{n-1}=0$.

Für große Argumente |z| gibt es asymptotische Reihen in (1/z), denn wie Exponentialfunktionen verschwinden die F() gegen Unendlich in gewissen Richtungen der komplexen z-Ebene.

$|z|\to \infty :\;F(a,b;\,z)\approx W_{1}(a,b;\,z)+W_{2}(a,b;\,z)$

$W_{1}={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (b-a)}}(-z)^{-a}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a)}{\Gamma (a)}}{\frac {\Gamma (n+a-b+1}{\Gamma (a-b+1)}}{\frac {(-z)^{-n}}{n!}}$

$W_{2}={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}e^{z}z^{a-b}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1-a)}{\Gamma (1-a)}}{\frac {\Gamma (n+b-a}{\Gamma (b-a)}}{\frac {z^{-n}}{n!}}$

Diese Formeln haben unstetige Schnitte auf der positiven bzw negativen reellen Halbachse und werden dorthin wahlweise von 'oben oder unten' fortgesetzt.

Die korrekten Streu-Lösungen der Schrödinger-Gleichung im Coulombpotenzial haben es mit Kummer-Funktionen und ihrer Asymptotik zu tun.

Es gibt noch eine Drei-Parameter-Familie von hypergeometrischen Funktionen $F(a,b,c;\;z)$, welche diese homogene Differenzialgleichung lösen:

$z(1-z)F''(z)+[c-(a+b+1)z]F'(z)-abF(z)=0$

$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}{\frac {a(a+1)\cdots (a+n-1)\cdot b(b+1)\cdots (b+n-1)}{c(c+1)\cdots (c+n-1)}}=1+{\frac {zab}{c}}+\dots$

Eine zweite unabhängige Lösung der Differenzialgleichung erhält man so:

${\tilde {F}}(z)=z^{1-c}F(b-c+1,a-c+1,2-c;\;z)$

Noch komplexere derartige Gebilde haben ein k-Tupel von Parametern wie a,b in Zähler und ein j-Tupel in Nenner. Die definierenden Differenzialgleichungen entziehen sich der Kenntnis des Autors.

Python-Skript jl-nl

# dump spherical bessel and neumann expressions
from math import sin,cos

def deriv(s) : # 1/r (d/dr)
  # j0 = sin(r)/r = [[1,1,1]] # coeff, sin,cos=(0,1), power n for r^(-n)
  # d(s/r^n)= (c/r^n-ns/r(n+1)); d(c/r^n)= (-s/r^n-nc/r^(n+1))
  m=len(s); ds=[[]]*(2*m)
  for i in range(m) :
    a,t,n= tuple(s[i]); j=2*i; u=1-t
    if t==0:  ds[j]=[a,u,n+1]; ds[j+1]=[-n*a,t,n+2]
    if t==1:  ds[j]=[-a,u,n+1]; ds[j+1]=[-n*a,t,n+2]
  for i in range(2*m-1) : 
    ai,ti,ni= tuple(ds[i])
    for k in range(i+1,2*m) :
      ak,tk,nk= tuple(ds[k])
      if (ti==tk)and(ni==nk) : ds[i][0] += ak; ds[k][0]=0
  k=0
  for i in range(2*m) :
    if ds[i][0]!=0 : ds[k]=ds[i]; k+=1 
  return ds[:k]

def show(s,noisy) :
  m=len(s); u=''; v=''
  for i in range(m) :
    a,t,n= tuple(s[i]); sa=str(abs(a)); sign='-' if (a<0) else '+'
    sc='s' if (t==0) else 'c'; u+= sign+sa+sc+'/r^'+str(n)
    sc='sin' if (t==0) else 'cos'; xp= ('^{'+str(n)+'}') if (n>1) else ''
    v+=sign+sa+'\\frac{\\'+sc+' z}{z'+xp+'}'
  if noisy : print(u) 
  return v

def tobessel(s,i) : # multiply with (-r)^i, reverse order 
  sign= 1 if((i%2)==0) else (-1); m=len(s); u=[[]]*m
  for k in range(m) :  a,t,n= tuple(s[k]); u[m-k-1]=[sign*a,t,n-i]
  return u

def getspherical(mode,max,noisy) : # mode=0 start sine, mode=1 start -cosine
  jn= 'j' if (mode==0) else 'n'; uu='\\begin{array}{l}\n'; u=[[]]*max
  for i in range(max) : 
    if i==0 : s=[[1-2*mode,mode,1]]
    else : s= deriv(s)
    u[i]=tobessel(s,i); v= show(u[i],noisy) 
    w=jn+'_{'+str(i)+'}(z)=\\;'+v; uu += w+'\\\\\n'
  if noisy : print(uu) 
  return u,uu+'\\end{array}\n'

def test() :
  max=6
  bess,jl= getspherical(0,max,False)
  neum,nl= getspherical(1,max,False)
  print('<math>\n'+jl+'\n'+nl+'</math>\n')

test()

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