Quantenmechanik/ Darstellungen

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Ortsdarstellung und Ortsoperator

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators bilden die Basis des Raums der Zustände.

Basis: $|{\vec {r}}\rangle$ ist die 'Funktion' $|{\vec {r}}\rangle ({\vec {s}})=\delta ^{3}({\vec {s}}-{\vec {r}})$
Ortsoperator: $({\vec {X}})|{\vec {r}}\rangle ={\vec {r}}|{\vec {r}}\rangle$
Entwicklung: $\psi \rangle =\int d^{3}{\vec {r}}\;|{\vec {r}}\rangle \langle {\vec {r}}|\psi \rangle ;\;\langle {\vec {r}}|\psi \rangle =\psi ({\vec {r}})$
Orthonormalität: $\int d^{3}{\vec {r}}\;\langle {\vec {r}}|{\vec {s}}\rangle =\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {s}})$
Zerlegung der Eins: $\mathbf {1} =\int d^{3}{\vec {r}}\;|{\vec {r}}\rangle \langle {\vec {r}}|$

Aus diesen Regeln lassen sich Operator-Matrixelemente herleiten, Beispiel

$\langle \psi |f({\vec {r}})|\phi \rangle =\int d^{3}{\vec {r}}\;\psi ^{*}({\vec {r}})f({\vec {r}})\phi (r)$

Verschiebe-Operator

Die unitären Darstellungen von Translationen oder Verschiebungen im Ortsraum werden erzeugt von den Wellenvektor-Operatoren, nach de Broglie also mit den Impuls-Operatoren zu identifizieren. Das soll jetzt am eindimensionalen Fall erklärt werden. Die Begriffe 'Erzeuger einer Transformation' und 'infinitesimale Transformation' werden synonym verwendet.

Orts-Operator: $X|x\rangle =x|x\rangle \Rightarrow (X\psi )(x)=x\psi (x)$
Verschiebe-Operator: $D_{y}|x\rangle =|x+y\rangle ;D_{y}D_{z}=D_{y+z}$
Die unitären Operatoren $\{D_{y}\}$ bilden eine kommutative Gruppe.

$\langle x|D_{y}|z\rangle =\langle x|z+y\rangle =\delta (x-z-y)$

Darstellung der Infinitesimalen Verschiebung auf Wellenfunktionen:

$\psi =\int dx|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x)$

$D_{y}\psi =\int dx|x+y\rangle \psi (x)=\int dx|x\rangle \psi (x-y)$

$(D_{y}\psi )(x)=\psi (x-y)$

${\frac {d}{dy}}|_{y=0}(D_{y}\psi )(x)=-\psi '(x)$

Gewünscht wird ein hermitescher Erzeuger K der Translation. Das heißt, als Operator-Exponentialreihe soll gelten $D_{y}=\exp(-iyK)$. Daraus folgt

${\frac {d}{dy}}|_{y=0}D_{y}=-iK$

Vergleich mit der expliziten Rechnung: $(K\psi )(x)=(1/i)\psi '(x)$
Die infinitesimale Verschiebung ist der hermitesche Wellenvektor-Operator $K={\frac {1}{i}}{\frac {d}{dx}}.$
Der Kommutator von K mit dem Ortsoperator: $XK-KX=i\mathbf {1} .$
Eigenvektoren von $K:K(g_{k}\exp(ikx))=k\;g_{k}\exp(ikx)$ sind ebene Wellen.
Bezeichnen wir die Eigenvektoren als $|k\rangle$ und verlangen Orthonormierung:

$\langle k|k'\rangle =\delta (k-k')=\int dx\;g^{*}(k)\exp(-ikx)g(k')\exp(ik'x)$

$=g^{*}(k)g(k')\int dx\;\exp(i(k'-k)x)=2\pi |g(k)|^{2}\delta (k'-k)$

Daraus folgt die Normierung mit Phasenwahl=1 : $g(k)=(2\pi )^{-1/2}.$

$\langle x|k\rangle =g(k)\exp(ikx);\;\langle k|x\rangle =g(k)\exp(-ikx)$

$\langle k|\psi \rangle =\int dx\;\langle k|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx\;g(k)\exp(-ik)\psi (x)=:{\hat {\psi }}(k)$

$\psi =\int dk\;|k\rangle \langle k|\psi \rangle =\int dk\;|k\rangle {\hat {\psi }}(k)\quad \Rightarrow$

$\psi (x)=\int dk\;g(k)\exp(ikx){\hat {\psi }}(k)$

Der Basiswechsel hin und zurück zwischen $\{|x\rangle \}$ und $\{|k\rangle \}$ ist also genau die Fourier-Transformation. In der Wellenvektor-Basis sind Matrixelemente von Operatoren im Ortsraum solche Fourierintegrale:

$\langle k|V(x)|k'\rangle =(2\pi )^{-1}\int dx\;\exp(ix(k'-k))\;V(x)$

Impulsdarstellung und Impulsoperator

Hier als Wellenvektor-Darstellung in drei Dimensionen. Die Basis besteht aus den Eigenfunktionen zum Impuls bzw. Wellenvektor.

Basis: $|{\vec {k}}\rangle$ ist die Funktion $|{\vec {k}}\rangle ({\vec {r}})=(2\pi )^{-3/2}\exp(i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})).$
Wellenvektor-Operator: $({\vec {K}})|{\vec {k}}\rangle ={\vec {k}}|{\vec {k}}\rangle$
Entwicklung: $\psi \rangle =\int d^{3}{\vec {k}}\;|{\vec {k}}\rangle \langle {\vec {k}}|\psi \rangle ;\;\langle {\vec {k}}|\psi \rangle ={\hat {\psi }}({\vec {k}})$
Orthonormalität: $\int d^{3}{\vec {k}}\;\langle {\vec {k}}|{\vec {k}}'\rangle =\delta ^{3}({\vec {k}}-{\vec {k}}')$
Zerlegung der Eins: $\mathbf {1} =\int d^{3}{\vec {k}}\;|{\vec {k}}\rangle \langle {\vec {k}}|$

Frage. Existiert eine Vorzugs-Basis?
Es gibt Argumente dafür, dass die Ortsdarstellung eine Sonderrolle spielt. Demnach herrscht keine totale Symmetrie zwischen Ort und Impuls. Die Störungen, die eine Schrödingerwelle durch die Umwelt erfährt, greifen vorwiegend mit dem Ortsoperator an. Nach der Dekohärenztheorie sind bei diesen Zufallsprozessen die stabilsten Wellenfunktionen solche, die um einen Ort herum konzentriert sind, also mehr oder weniger lokalisierte. Je weniger mikroskopisch das Objekt, um so strenger ist es ortsgebunden um eine klassische Bahnkurve herum.

Der Impulsoperator

Es gibt wohl zwei Methoden, um den Impuls in der Wellenmechanik einzuführen. Erstens, man nimmt de Broglies Korrespondenz mit dem Wellenvektor und findet den Operator, der aus den ebenen Wellen genau den Impuls als Eigenwert herausholt. Danach zeigt man die Formel von Ehrenfest, nämlich dass die Erwartungswerte die Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik erfüllen. Zweitens, man geht umgekehrt von der klassischen Gleichung aus und leitet den Impuls-Operator daraus ab. Dieser Weg soll hier mal durchgerechnet werden.

Die klassische Mechanik soll als Grenzfall in der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik enthalten sein. Daher definieren wir den Erwartungswert des Impulses in der Ortsdarstellung, welche ja normalerweise auch in der klassischen Mechanik verwendet wird, als:

$\langle {\vec {p}}\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle {\vec {r}}\rangle$

Dieser Ausdruck lässt sich weiter auswerten, was schließlich auf den Impulsoperator führen wird:

${\frac {1}{m}}\langle {\vec {p}}\rangle ={\frac {d}{dt}}\int d^{3}r\psi ^{*}({\vec {r}},t){\vec {r}}\psi ({\vec {r}},t)=\int d^{3}r\psi ^{*}({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {d}{dt}}\psi ({\vec {r}},t)+\psi ({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {d}{dt}}\psi ^{*}({\vec {r}},t)$

Nun lässt sich die Schrödinger-Gleichung einsetzen, wobei zu beachten ist, dass $H^{*}=H$:

$=\int d^{3}r\psi ^{*}({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {1}{i\hbar }}H\psi ({\vec {r}},t)+\psi ({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {1}{-i\hbar }}H\psi ^{*}({\vec {r}},t)$

Da das Potential reell ist und mit der Wellenfunktion vertauscht, bleibt:

$=\int d^{3}r\psi ^{*}({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {-\hbar }{2mi}}\Delta \psi ({\vec {r}},t)+\psi ({\vec {r}},t){\vec {r}}{\frac {+\hbar }{2mi}}\Delta \psi ^{*}({\vec {r}},t)$

Nun benutzen wir, dass ${\vec {\nabla }}\left(\psi ^{*}{\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi -\psi {\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right)=\psi ^{*}{\vec {r}}\Delta \psi -\psi {\vec {r}}\Delta \psi ^{*}+\left({\vec {\nabla }}\psi ^{*}{\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi -\left({\vec {\nabla }}\psi {\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi ^{*}$ und den Gaußschen Satz: $\int _{V}d^{3}r{\vec {\nabla }}\phi =\int _{\partial V}d{\vec {f}}\phi$:

$={\frac {\hbar }{2mi}}\left[-\int {\vec {f}}\left(\psi ^{*}{\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi -\psi {\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right)+\int d^{3}r\left({\vec {\nabla }}\psi ^{*}{\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi -\int d^{3}r\left({\vec {\nabla }}\psi {\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right]$

Da aber die Wellenfunktion quadratintegrabel sein soll, muss sie im Unendlichen auf 0 fallen, daher verschwindet das Oberflächenintegral.

$={\frac {\hbar }{2mi}}\int d^{3}r\left[\left({\vec {\nabla }}\psi ^{*}{\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi -\left({\vec {\nabla }}\psi {\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right]$

$={\frac {\hbar }{2mi}}\int d^{3}r\left[\left({\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi ^{*}+\psi ^{*}{\vec {\nabla }}{\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi -\left({\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi +\psi {\vec {\nabla }}{\vec {r}}\right){\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right]$

$={\frac {\hbar }{2mi}}\int d^{3}r\left[\psi ^{*}{\vec {\nabla }}{\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi -\psi {\vec {\nabla }}{\vec {r}}{\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right]$

$={\frac {\hbar }{2mi}}\int d^{3}r\left[-{\vec {\nabla }}\left(\psi ^{*}\psi \right)+2\psi ^{*}{\vec {\nabla }}\psi \right]$

Der Ausdruck links kann wieder mit dem Gaußschem Satz aufgelöst und mit 0 interpretiert werden. Damit erhalten wir schließlich:

$\langle {\vec {p}}\rangle =\int d^{3}r\psi ^{*}({\vec {r}},t){\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}\psi ({\vec {r}},t)$

Dieser Ausdruck hat wieder genau die Form eines Erwartungswertes! Allerdings ist der Ausdruck, dessen Erwartungswert berechnet wird, ein Operator. Dies ist der Impulsoperator:

${\hat {\vec {p}}}={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}$

Phasenraum-Darstellung

Die Wigner-Verteilungsfunktion W(x,k) im Phasenraum ist eine in Ort und Wellenzahl symmetrische Darstellung, aus der sich die Wahrscheinlichkeits- Verteilungen in der Orts- oder Impuls-Darstellung per Integral ergeben. Nur das Prinzip in einer Dimension wird hier erläutert, $\hbar =1$ gesetzt. W(x,k) ist quadratisch in den Wellenfunktionen und entält nicht mehr deren frei wählbaren Phasenfaktor.

$\int \int dx\;dk\;W(x,k)=1;\quad W(x,k)\in \mathbb {R}$

$\phi (x)=(2\pi )^{-1/2}\int dk\;{\hat {\phi }}(k)e^{ikx}$

${\hat {\phi }}(k)=(2\pi )^{-1/2}\int dx\;\phi (x)e^{-ikx}$

$W(x,k)=(2\pi )^{-1}\int dy\;\phi ^{*}(x-{\frac {y}{2}})\phi (x+{\frac {y}{2}})e^{-iky}$

$W(x,k)=(2\pi )^{-1}\int dh\;{\hat {\phi }}^{*}(k-{\frac {h}{2}}){\hat {\phi }}(k+{\frac {h}{2}})e^{ihx}$

$W_{x}(x)=\phi ^{*}(x)\phi (x)=\int dk\;W(x,k)$

$W_{k}(k)={\hat {\phi }}^{*}(k){\hat {\phi }}(k)=\int dx\;W(x,k)$

Das Problem ist, dass es quantenmechanisch kein nichtnegatives W(x,k) gibt, vom Ausnahmefall der Gausskurven abgesehen. Man erhält die korrekten Orts- und Impuls-Wahrscheinlichkeiten einer Wellenfunktion als Randverteilungen von W. Aber W hat negative Wellen und geht im Grenzfall $\hbar \to 0$ auch nicht in eine klassische Verteilung im Phasenraum über. Die Interferenzen der Wellenmechanik spielen auf. Die Regel 'Erst Überlagerungsprinzip, dann Betragsquadrate' kriegt keine klassischen Wahrscheinlichkeiten raus.

Operatoren R haben Wigner-Darstellungen und Erwartungswerte:

$R(x,k)=\int dy\;\phi ^{*}(x-{\frac {y}{2}})(R\phi )(x+{\frac {y}{2}})e^{-iky}$

$\langle R\rangle =\int \int dx\;dk\;W(x,k)\;R(x,k)$

Beispiel, Gauss-Wellenpaket:

$\psi (x)=(2\pi a^{2})^{-1/4}\exp(-x^{2}/4a^{2})$

$W(x,k)={\frac {\exp(-x^{2}/2a^{2})}{2\pi (2\pi a^{2})^{1/2}}}\int dy\;\exp {\big (}iky-{\frac {y^{2}}{8a^{2}}}{\big )}={\frac {1}{\pi }}\exp({\frac {-x^{2}}{2a^{2}}})\exp(-2k^{2}a^{2})=$

${\frac {1}{\pi }}\exp {\big (}{\frac {-x^{2}}{2(\Delta x)^{2}}}{\big )}\exp {\big (}{\frac {-k^{2}}{2(\Delta k)^{2}}}{\big )};\quad (\Delta x)=a;\quad (\Delta k)=(2a)^{-1}.$

Einige Rechenschritte: nachliefern!

Oszillator-Darstellung

Diese Darstellung bezieht sich auf eine Basis aus Eigenfunktionen des folgenden hermiteschen, positiv definiten Operators:

$K:=(x^{2}+p^{2})/2{\text{ wo }}p:=-i{\frac {d}{dx}}$ gesetzt wird und hermitesch ist.

K ist der stilisierte Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators. Die Gausskurve $f(x)=\exp(-ax^{2})$ ist die einfachste Eigenfunktion zu K, falls $a=(1/2)$ gewählt wird:

$p^{2}f=-f''=((2ax)f)'=2af-4a^{2}x^{2}f;\quad Kf=(x^{2}/2-2a^{2}x^{2})f+af.$

Eigenschaften: $f'=-xf;\;f''=x^{2}f-f;\;x^{2}f-f''=f;\;Kf=(1/2)f.$

Ansatz für mehr Eigenfunktionen: man multipliziere f(x) mit Polynomen q(x).

Eigenwert b gesucht: $b(qf)=(2K)(qf)=x^{2}qf-q''f-2q'(-xf)-q(x^{2}-1)f=(-q''+2xq'+q)f$

$(b-1)q-2xq'+q''=0$

Hätte man f(x) mit einem anderen 'a' angesetzt, würde man es spätestens hier zu (1/2) machen, um das Quadrat in x auszuwischen. Versuch, mit Polynom $q=\sum _{k=0}^{g}q_{k}x^{k}$ vom Grad g zu lösen:

$\sum q_{k}(b-1-2k)x^{k}+\sum q_{j}j(j-1)x^{j-2}=0;\;j-2=k;\;j=k+2$

$\sum x^{k}[q_{k}(b-1-2k)+q_{k+2}(k+2)(k+1)]=0$

Die eckige Klammer muss für alle k verschwinden. Angenommen, der Index g sei der höchste mit Koeffizient $q_{g}\neq 0.$ Dann muss gelten: $b-1-2g=0{\text{ und }}q_{g-1}=0.$ Man wähle $q_{g}=1;\;b=2g+1.$
Absteigend können dann alle $q_{i}$ berechnet werden von i=g-2 bis hinab zu 0.

Die Parabel als Potenzialtopf enthält eine Leiter von Niveaus bei N+(1/2) mal Grundzustand, Wellenfunktionen haben N Nullstellen.

Ergebnis: Für jeden Grad g gibt es ein Polynom q, so dass $(q\cdot f)$ ein Eigenvektor von K ist mit dem Eigenwert $g+(1/2);\;g=0,1,2,\cdots .$
Die Polynome sind entweder gerade (ungerade Potenzen verschwinden) oder ungerade (gerade Potenzen Null). Diese Leiter von Eigenfunktionen $(q\cdot f)$ bildet nach Normierung ein Orthonormalsystem. Weil nach der allgemeinen Theorie die Eigenvektoren des hermiteschen K orthogonal sein müssen. Die Menge ist vollständig als Basis für den Raum der Funktionen, die nach Unendlich steil abfallen, weil sie einen dichten Teilraum aufspannt -- alle Polynome mal Gausskurve.

Die Polynomreihe kommt an dieser Stelle nicht weiter unter die Lupe. Sie besteht aus den Hermite-Polynomen $H_{g}$ und es genügt zu wissen, dass es sie gibt. Anders als die uneigentlichen Basen der Orts- und Impulsdarstellung sind die Oszillator-Eigenfunktionen eine klassisch eigentliche, abzählbare Basis des Hilbertraums $L_{2}(\mathbb {R} ).$ Zur Darstellung allgemeiner Vektoren kommen Summen statt Integrale zum Einsatz.

Die normierte Form der reellen Eigenfunktion $Q_{g},\;KQ_{g}=(g+{\tfrac {1}{2}})Q_{g}$ zum Polynomgrad g sieht so aus:

$(H_{g}\cdot f)(x)=Q_{g}(x)=2^{-(g/2)}(g!)^{-1/2}(\pi )^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)\;H_{g}(x).$

$|\psi \rangle =\sum _{k}|Q_{k}\rangle \langle Q_{k}|\psi \rangle ;\;\psi (x)=\sum c_{k}Q_{k}(x);\;c_{k}=\int dx\;Q_{k}(x)\psi (x)$

$\langle Q_{g}|Q_{k}\rangle =\int dx\;Q_{g}(x)Q_{k}(x)=\delta _{gk}$

$\sum _{g}Q_{g}(x)Q_{g}(y)=\delta (x-y)$

Anhang: einige Hermite-Polynome

Folgendes Skript macht Hermite-Polynome 0 bis 10 nach dem Rezept im Text. Die Koeffizienten des Polynoms $H_{n}$ sind ganzzahlig, wenn man den der höchsten Potenz $x^{n}$ als $2^{n}$ festlegt.
Ausgabe:
${\begin{array}{l}H_{0}=1\\H_{1}=2x\\H_{2}=4x^{2}-2\\H_{3}=8x^{3}-12x\\H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12\\H_{5}=32x^{5}-160x^{3}+120x\\H_{6}=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\\H_{7}=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\\H_{8}=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\\H_{9}=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\\H_{10}=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\\\end{array}}$

Listing:

def div(p,q) : return int(p/q)

def hermitecoeffs(g) : # leading coeff 2^g
  hc=[0]*(g+1); f=1
  for k in range(g) : f= 2*f
  hc[g]=f; ok=True 
  if g>0 : hc[g-1]=0
  for j in range(g-1) :
    k=g-2-j; p=hc[k+2]; r=p*(k+2)*(k+1); s=-2*(g-k) 
    ok= ok and ((abs(r) % abs(s))==0)
    hc[k]= div(r,s)
  if not ok : print('BUG!')
  else : pass # print(str(hc))
  return(hc)

def hermitedump(hc) :
  n=len(hc)
  print('<math>\\begin{array}{l}')
  for i in range(n) :
    s='H_{'+str(i)+'}='; m=len(hc[i]); k=m-1; t=''
    while k>=0 :
      z=hc[i][k]; v='-' if (z<0) else '+'
      if z!=0 : u=v+str(abs(z))
      if k>0 : u+='x'
      if k>1 : u+='^{'+str(k)+'}'
      if z!=0 : t+= u
      k -=1
    print(s+t[1:]+' \\\\')
  print('\\end{array}</math>')

def hermitelist(n) :
  hc=[[]]*(n+1)
  for i in range(n+1) : hc[i]= hermitecoeffs(i)
  hermitedump(hc)

hermitelist(10)

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