Quantenmechanik/ Unschärferelation

Klassische und Quantenstochastik

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Die Quantenmechanik ist nicht in der Lage, deterministische Vorhersagen zu treffen. Ein Messvorgang oder eine Beobachtung wird in drei Schritten modelliert:

  1. Am Eingang gibt es einen Zustand und eine Observable. Beide zusammen definieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Werte.
  2. Die Natur würfelt willkürlich einen Messwert gemäß der Verteilung aus.
  3. Am Ausgang werden geliefert die Messung (Eigenwert) und ein neuer Zustand (Eigenvektor).

Welcher Unterschied besteht nun zur gewöhnlichen Wahrscheinlickeitsrechnung? Kann durch geschickte Wahl von Variablen der Zufall auf die Methoden der Statistischen Mechanik zurückgeführt werden? Eine Theorie, die fundamentaler wäre, könnte das Würfeln der Natur genauer analysieren und dann im Grunde den Determinismus retten, oder? Leute wie Einstein sind an einem solchen Projekt gescheitert. Es geht nicht.

Die komplementären Variablen Ort und Impuls sind wie ein Klumpen Knetgummi. Drückt man in einer Richtung zusammen, geht es in der anderen auseinander. Heisenberg fand, dass sie bei Messungen nicht vertauscht werden können und dass deshalb mathematisch nicht-kommutative Objekte her müssen. Zuerst waren es Matrizen, dann verallgemeinert zu Operatoren. Der Fehler bei der Vertauschung, sprich der nicht verschwindende Kommutator [X,P]=XP-PX, bewirkt, dass beide keine gemeinsame Basis von Eigenvektoren haben. Sei der Eigenwert von X auf ein kleines Intervall festgenagelt. Die Eigenvektoren können entwickelt werden in der dazu schief liegenden Eigenbasis des anderen Operators P. Und dann verstreuen sich leider die angesprochenen P-Werte möglicherweise breit über das Eigenwert-Spektrum von P.

Heisenberg lieferte eine allgemeine Beziehung, was die Streubreiten solcher Spektralwerte bei Unvertauschbarkeit angeht.

Herleitung der Unschärfe

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Die berühmte Ungleichung soll zuerst einigermaßen streng hergeleitet werden. Das geht mit reiner Operator-Gymnastik. Sowas wie Schrödingergleichungen hat Heisenberg nicht gebraucht. Die Eingabe ist nur eine Kommutator-Beziehung.

Das Skalarprodukt auf dem Raum   hat die Eigenschaft Hermitiziät :   Ein Operator  , der brav genug ist, hat einen hermitesch konjugierten Partner  , der die Gleichung erfüllt:

 .

Ein Operator  , der zu sich selbst konjugiert ist, heißt hermitesch.

 .

Hat er eine Matrix-Darstellung  , dann gilt  .

Die Eigenwerte   eines hermiteschen Operators   sind reell. Seine Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

Ein hermitescher Operator hat ein vollständiges orthonormales System (oder auch orthonormale Basis) von Eigenvektoren. In dieser Basis ist seine Matrixdarstellung diagonal. Zwei hermitesche Operatoren haben eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren dann und nur dann, wenn sie vertauschen.

Ein Operator   heißt positiv definit, wenn  .

Der Einheitsoperator   ist positiv-definit und hermitesch.

Seien   hermitesche Operatoren. Sei   der Kommutator,   der Antikommutator. Dann sind   (nicht   !) und   auch hermitesch.

Das Quadrat eines hermiteschen Operators ist positiv-definit hermitesch. Quadrat   heißt, einen Operator   zweimal anzuwenden.

Ein Operatorprodukt kann auftreten als Kommutator plus Antikommutator:  

Sei   ein positiv-definiter hermitescher Operator und seien   zwei Hilbertvektoren mit positiven Werten   zwei Zahlen.

 

Einsetzen:  .

Wegen Hermitizität ist   reell und  .

 
 

Resultat: Für positiv definite Operatoren   gilt

 

Mit   folgt die Schwarzsche Ungleichung.

 

Sei nun ein Hilbertvektor oder Quantenzustand   gegeben. Er verleiht den Operatoren   und   Erwartungswerte und Varianzen. Diese sind reell wegen der Hermitizität.

 
 

Physikalisch entsprechen sie den Statistiken, die sich ergeben, wenn Messreihen der Observablen   und   an immer gleichen Zuständen   vorgenommen werden. Zur Erinnerung, gemäß der Postulate würfelt die Natur im Hintergrund und unser Experiment hat nicht die volle Kontrolle. Von wegen wir können die Fehler beliebig drücken mit Eins-durch-Wurzel der Wiederholungen.

Die Kommutatoren   und   sind gleich; einfache Verschiebung mit Zahlen-mal-Einheitsoperator.

  wegen Hermitizität.

Man wendet jetzt die Schwarzsche Ungleichung an auf  .

 

Der Antikommutator   ist hermitesch.

Operatorprodukt :   mit  

Es folgt mit Einsetzen von   und mit Hermitizität, sowie   und  , die beide reell sind:

 

Die Größe   ist die Quantenversion der Korrelation der beiden Zufallsvariablen   und  . Es taucht der Antikommutator auf,  .

Folgerung: Für jeden Zustandsvektor   und jedes Paar   von hermiteschen Operatoren gilt mit obigen Definitionen:

  wobei  .

Nun kommt endlich die Anwendung auf die Operatoren   von Ort und Impuls.

 , folglich   mit dem Identitätsoperator.

  • Konsequenz:  .

Dies ist die Heisenberg-Unschärferelation.

  • Konventionelle Schreibart:  .

In Worten: Will man wiederholt am gleichen Quantensystem die Orte und die Impulse messen, dann hat die Genauigkeit eine untere Schranke. Das Unterfangen endet immer mit einem Produkt der Streubreiten von der Grö«enordung des Planck-Quantums. Dies gilt für alle Paare von Observablen, die derartige kanonische "Vertauschungsfehler" haben.

Wie gesagt, am gleichen, nicht am selben Quantensystem. Denn bei einer Messung vernichtet der vielbeschworene Kollaps der Wellenfunktion den Eingangszustand  . Das Experiment muss also noch als Werkzeug einen Vorbereitungs-Operator haben, der wiederholt gleichartige Zustände   aus dem Vorrat seiner Eigenvektoren zur Verfügung stellt.

Wenn am selben System zuerst   genau gemessen wird, dann ist   maximal unbestimmt. Wird jetzt   gemessen, ist wiederum jede Information zum vorigen   völlig zerstört. Es gibt keine passiven Beobachtungen, die nichts am System verändern. Außer wenn das System schon im bekannten Eigenzustand des Operators ist -- dann bringt die Messung keinen Informationsgewinn.

Minimale Unschärfe

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Die Schwarzsche Ungleichung wird zur Gleichung, genau wenn beide Vektoren darin proportional sind. Suchen wir also nach minimaler Unschärfe im obigen System  .

Mit einer Konstanten z soll zuerst gelten:   Es folgt für die zwei Varianzen:

 
 

Außerdem soll der Wert   verschwinden. Der ist gerade die halbe Summe der beiden vorigen Zeilen. Es folgt,  . Die Differenz derselben zwei Zeilen ergibt  .

Daher:  .

Anwendung auf   und die Schrödinger-Wellenfunktion.

 

Seien die drei Werte   vorgegeben. Es folgt die lineare Differenzialgleichung

 .

Sie hat Terme proportional zu f, f' und xf. Mit dem Ansatz exp(Q(x)), worin Q ein quadratisches Polynom ist, findet man eine Lösung. Es ist eine Welle  , multipliziert mit einer Gaussglocke  . Für dieses minimal-unscharfe Wellenpaket gilt die Gleichung:  . Die Gauss-modulierten Wellenpakete haben das kleinstmögliche Produkt der Varianzen. Man kann durch Fouriertransformation prüfen, dass auch im Impulsraum die Gauss-Form auftritt, mit genau der komplementären Breite.

Es ist interessant zu sehen, wie diese Pakete sich unter der potenzialfreien Schrödingergleichung und unter der des harmonischen Oszillators verhalten. Mit dem imaginären   ist die definierende Differentialgleichung eine Eigenwertgleichung des nicht-hermitischen Operators  . Der Grundzustand des Oszillators ist eine Eigenfunktion desselben, zum Eigenwert 0.

Um es vorweg zu nehmen. Die freie Schrödingerwelle läuft unweigerlich auseinander! Die Aufenthalts-Verteilung eines freifliegenden Teilchens wird mit der Zeit immer diffuser; keinerlei Bahnkurve kann eingegrenzt werden. Dagegen gibt es beim Oszillator formstabile Gauss-Pakete, die genau nach der Bahngleichung des klassischen Oszillators hin und her pendeln. Es sind also quasiklassische Lösungen möglich, die beinahe zu gut sind um wahr zu sein.

Frequenz-Zeit-Unschärfe

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Zunächst kommt eine völlig klassische Signalanalyse. Es wird eine endlich ausgedehnte Wellenform   auf der Zeit-Achse angenommen,  
In Folgenden bezeichnen   Variablen für die Zeit,   reelle Variablen vom Typ (Kreis-)Frequenz,   sind Transformationen der Welle  
Die Wellenform sei normiert:  
Mit der Fourier-Analyse hat   eine Frequenz-Darstellung:

 

Sei vorausgesetzt, dass   für   schnell abfallen. Nun soll eine Beziehung zwischen der Streuung oder Ausdehnung im Zeitbereich und derjenigen im Frequenzbereich gefunden werden.

Definition der Mittelwerte und Streuungen:

 
 

Neue Variablen:  

 

Die Translation wird eine Phasendrehung, und es gilt

 

Neue Variablen:  

 
Damit:  

Zwischenergebnis 1: in den Variablen   sind die Streuungen einfache quadratische Momente, die Mittelwerte verschwinden durch Translation.

Nun kommt die Fourier-Transformation der Ableitung ins Spiel.

 

Die Fourier-Transformierte von   ist  
Die Fourier-Transformation ist ein unitärer Operator:  
Anwendung:

 

Die Transformationen vom ursprünglichen   nach   sind auch unitär.
Zwischenergebnis 2:

 

Fürs abschließende Argument vergessen wir momentan die komplexen Zahlen und schreiben zweidimensional-reelle Skalarprodukte   Mit den gutartigen Wellen ist folgende partielle Integration erlaubt:

 

Alles ist bereit, um folgende reelle Cauchy-Schwarz-Ungleichung anzuwenden:

 

Setze   und es folgt fürs normierte  :

 

Anders geschrieben, hier das Resultat für das Produkt der Varianzen:

 

Die gleiche Berechnung gilt für Wellen im Raum; man ersetzt die Zeit durch Ortskoordinaten und die Kreisfrequenz durch Wellenvektor-Komponenten. Die Operator-orientierten Unschärferelationen sind abstrakter und allgemeiner als diese Fourier-Version.

Energie-Zeit-Unschärfe

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Die Schrödingerwellen sind in der Zeit-Koordinate die Superpositionen von gewöhnlichen Schwingungen   wo die Kreisfrequenz nach de Broglie mit der Energie von Teilchen zu tun hat,   In obiger klassischer Berechnung war die Variable   mit f oder g bezeichnet worden. De Broglie führt unmittelbar auf die Energie-Zeit-Unschärfe:

 

Zum Beispiel können Photonen, die von angeregten Zuständen mit kurzer Halbwertszeit abgeschickt werden, keine scharf definierte Frequenz oder Energie haben. Die Emissionslinie ist verbreitert, so wie es die Unschärferelation vorschreibt. Elementarteilchen, die nur extrem kurz überleben, wie das Tauon oder gar die W-, Z- und Higgs-Bosonen, haben wegen   eine sehr verwaschene Definition ihrer Masse, weil   sich als   manifestiert.

Die angeregten Atome, die sichtbares Licht aussenden, können Lebensdauern von 10 Nanosekunden haben. Die Photonen hätten dann kohärente Wellenpakete, die meterlang sind. In der Tat kann man Interferenzversuche machen, wo makroskopische Köhärenzlängen herauskommen. Andererseits kann man die Photonen mit Detektoren auffangen bei einer Zeitauflösung weit unter der Nanosekunde. Der Dualismus Welle-Korpuskel zeigt sich darin, dass beides im selben Experiment nicht geht: kurze Zeitauflösung und lange Interferenzen.

Im Schrödinger-Modell der Quantenmechanik ist die Zeit ein unabhängiger Parameter in den Gleichungen   ist ein Operator, der aus Operatoren für Ort, Impuls, Spin und anderen aufgebaut ist. Die Lösungen   bewegen sich mit einer Ein-Parameter-Gruppe von unitären Operatoren   -- angenommen dass H nicht explizit von der Zeit abhängt. Obwohl die Zeit kein Operator ist, gibt es eine Unschärfebeziehung   als Zugabe zu der Unbestimmtheit der Paare Ort und Impuls,  

Naiv war das aus der Eigenschaft der Fourier-Transformationen abzulesen. Hier noch ein physikalisch einsichtigeres Argument zu dieser Unschärfe. Man definiert für einen Schrödinger-Zustand   die Korrelations- Funktion   und möchte wissen, wie sie mit wachsendem Zeitabstand abfällt. Der Zustand wird nach Energie-Eigenvektoren entwickelt,

 
 
 

Die Amplitude   soll nun eine Spitze um den Wert   herum haben,

 

Der Phasenfaktor im Integranden oszilliert stark, wenn die Energiedifferenz mal die Zeit größer als   sind. Dadurch wird das Integral   in die Knie gezwungen. Die Korrelation verblasst, sobald die Spreizung der Energien   mal Zeitabstand   den Wert   übersteigt. Nach einer Zeitspanne   verliert ein Zustand seine ursprüngliche Form.

Bemerkung. In der relativistischen Physik können Zeit und Raum nicht mehr unsymmetrisch behandelt werden. Da werden sowohl Ort wie Zeit zu einfachen Parametern. Die dynamischen Größen, also Operatoren, sind Teilchenzahlen und diverse Felder, die aus Erzeugern und Vernichtern für die Vielfalt der Teilchen zusammengesetzt sind. Die Zustände haben auch keine Eigenbewegung mehr; die Quantenfeldtheorie verallgemeinert vielmehr das Heisenberg-Bild. Relativistische Wellenfunktionen sind überhaupt keine Zustände, sondern sie werden interpretiert als Felder von Operatoren.

Zerfließende Wellenpakete

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Es wurde schon erwähnt, dass freie Wellenpakete nicht ihre Form bewahren, sondern mit der Zeit auseinander fließen. Wie dramatisch ist dieser Effekt? Immerhin wird am Ende ein so gut wie punktförmiges Teilchen detektiert. Das war der Anlass für die Wahrscheinlichkeits-Interpretation der Wellen und die Freiheit, sie nach dem Kollaps wegzuwerfen.

Eine Funktion   beschreibt eine Startwelle   die sich unverändert mit Geschwindigkeit v bewegt. Schrödingerwellen sind aber Summen von Anteilen   wo jedes k einer freien Welle zum Beispiel eine andere Geschwindigkeit hat, denn   Es besteht eine Dispersion. So eine Welle kann nicht formstabil wandern. Eine nichtlineare Funktion   ist eine Dispersionsbeziehung.
Man nennt   die Phasengeschwindigkeit und   die Gruppengeschwindigkeit. Bei der ebenen Welle des freien Teilchens entspricht die Gruppengeschwindigkeit der klassischen Geschwindigkeit   die Phasengeschwindigkeit ist halb so groß.

Wiederholt wird folgende Integralrechnung gebraucht:

  gilt stark verallgemeinert:
 

Die Quadratwurzel von   hierin ist die mit positivem Realteil.

Die Zeitentwicklung eines Gauss-Pakets wird mit Fourieranalysis verfolgt. Die freie Wellengleichung   wird provisorisch vereinfacht:

 

und der Balken der neuen x-Variablen wird unterdrückt.

Fourier-Transformation für ein Gauss-Paket, das bei t=0 mit Wellenvektor c startet, dessen Maximum bei b liegt und dessen Ausdehnung gleich a ist:

 

Parameter a,b haben die gleiche Dimension wie x (Balken hinzudenken). Parameter c hat auch einen gedachten Balken und die inverse Dimension von x.

 

Der negative Exponent im letzten Integranden voll ausgeschrieben:

 
Daher  

Eine Fourierkomponente   hat folgende Zeitentwicklung:

 

Damit kann ausgerechnet werden, wie f sich entwickelt.

 

Der Exponent insgesamt:  
In Z muss ein Term   quadratisch ergänzt werden. Das p gibt dem k-Integral den komplexen Faktor   der kein x enthält und zunächst hier vergessen wird. Denn im Eiltempo sollen die Normierung der Welle und ihre Phasen-Entwicklung beiseite gelassen werden. Im Exponenten Z können also Terme, die nicht von k oder x abhängen, unter den Teppich gefegt bzw. beliebig neu erfunden werden. Aus   ist ersichtlich, dass nach der k-Integration alle x-Abhängigkeit in   steckt.   ist linear in x. Also wird die Form der Welle wieder vom Typ Gauss sein. Der Nenner   wird die Welle mit der Zeit ausdehnen. Nur das Betragsquadrat der Wellenform interessiert. Im Exponenten bedeutet das, man berechne die Summe

 
Ergebnis:  
 

Das Amplitudenquadrat beschreibt eine Gausskurve, deren Zentrum bei   liegt und deren Ausdehnung wie folgt wächst:

 

Das Zentrum folgt der klassischen Bahn. Für großes t verbreitert die Kurve sich linear mit dem Faktor   Denn   ist nach der Unschärfe- Relation die Breite im Impulsraum, also auch die Dispersion der Geschwindigkeit.

Zurück zu physikalischen Einheiten. Die Parameter   der Schnellberechnung sind eigentlich Balken-Gößen   c dortselbst ist eine reziproke Länge   wo c die wirklich physikalische Wellenzahl ist.
Einsetzen der Physik-Parameter liefert dann die Wellenform:

 

Die physikalische Gruppengeschwindigkeit ist richtig:  

Beispiel für Größenordnungen. Angenommen, man habe eine Kanone für Elektronen von 1000 eV bei einer Energie-Genauigkeit von einem Millionstel. Dann bekommt nach   das minimale Wellenpaket die Ausdehnung von etwa 12 µm. Nach 1 m Wegstrecke bleibt diese kaum verändert, nach 1 km Weg 250 µm, verursacht von der Geschwindigkeits-Streuung. Für ein Proton mit 100 keV Energie, selbe fiktive Energie-Genauigkeit: Startpaket 30 nm, nach 1 m Weg 250 nm, nach 1 km Weg 250 µm.

Gauss-Wellen des Harmonischen Oszillators

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Dieses System wird später gründlich mit Operator-Methoden behandelt. Hier im Vorgriff ein paar Lösungen mit Gauss-Paketen drin.

 

Man geht besser schleunigst zu einer dimensionslosen Form über:

 
 

Im weiteren Verlauf werden die Balken unterdrückt. Es ist ein dimensionsloser Oszillator mit der Kreisrequenz 1, der Masse 1, der Planckzahl 1.

Ansatz:  
 

  (Normierung unterschlagen)

Eine Gausskurve konstanter Amplitude, deren Phase mit Frequenz (1/2) rotiert.   bringt die stehende Welle für den Grundzustand.

Eine animierte Lösung, die sich auf einer Bahnkurve   bewegt, aber dieselbe Form beibehält, wird man nach Herumprobieren wie folgt anrühren:

 

Ansatz mit zwei reellen Funktionen   falls solche existieren. Der Imaginärteil von g bestimmt die Phase, der Realteil die Amplitude der Wellenfunkton  

Es muss die Gleichung   ausgewertet werden. So wie der Ansatz gebaut ist, wird   rausfliegen und es gibt Koeffizientenvergleiche für die 4 Terme   um die Gleichungen für   zu erhalten. Ausrechnung:
 
 
Die Koeffizienten von   beider Seiten werden gleichgesetzt:
 
 
 
  (redundant)

Es folgt   was bekanntlich alle klassischen Lösungen des Oszillators auswirft:   Funktion   ist die Geschwindigkeit und k ist durch die Amplitude der Schwingung bestimmt.

Ergebnis: Die Schrödinger-Gleichung des Oszillators hat als spezielle Lösungen Gauss-Pakete, die auf den klassischen Bahnkurven hin und her pendeln. Sie werden als kohärente Zustände bezeichnet. Natürlich sind es keine Eigenzustände zur Energie, weil der Zeitverlauf der Phasen einen seltsamen Term   mit sich schleppt.