Die Quantenmechanik ist nicht in der Lage, deterministische Vorhersagen zu
treffen. Ein Messvorgang oder eine Beobachtung wird in drei Schritten modelliert:
Am Eingang gibt es einen Zustand und eine Observable. Beide zusammen definieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Werte.
Die Natur würfelt willkürlich einen Messwert gemäß der Verteilung aus.
Am Ausgang werden geliefert die Messung (Eigenwert) und ein neuer Zustand (Eigenvektor).
Welcher Unterschied besteht nun zur gewöhnlichen Wahrscheinlickeitsrechnung?
Kann durch geschickte Wahl von Variablen der Zufall auf die Methoden
der Statistischen Mechanik zurückgeführt werden? Eine Theorie, die
fundamentaler wäre, könnte das Würfeln der Natur genauer analysieren
und dann im Grunde den Determinismus retten, oder? Leute wie Einstein
sind an einem solchen Projekt gescheitert. Es geht nicht.
Die komplementären Variablen Ort und Impuls sind wie ein Klumpen Knetgummi.
Drückt man in einer Richtung zusammen, geht es in der anderen auseinander.
Heisenberg fand, dass sie bei Messungen nicht vertauscht werden können und
dass deshalb mathematisch nicht-kommutative Objekte her müssen. Zuerst waren
es Matrizen, dann verallgemeinert zu Operatoren. Der Fehler bei der
Vertauschung, sprich der nicht verschwindende Kommutator [X,P]=XP-PX, bewirkt,
dass beide keine gemeinsame Basis von Eigenvektoren haben. Sei der
Eigenwert von X auf ein kleines Intervall festgenagelt. Die Eigenvektoren
können entwickelt werden in der dazu schief liegenden Eigenbasis des anderen
Operators P. Und dann verstreuen sich leider die angesprochenen P-Werte
möglicherweise breit über das Eigenwert-Spektrum von P.
Heisenberg lieferte eine allgemeine Beziehung, was die Streubreiten solcher
Spektralwerte bei Unvertauschbarkeit angeht.
Die berühmte Ungleichung soll zuerst einigermaßen streng hergeleitet werden.
Das geht mit reiner Operator-Gymnastik. Sowas wie Schrödingergleichungen
hat Heisenberg nicht gebraucht. Die Eingabe ist nur eine Kommutator-Beziehung.
Das Skalarprodukt auf dem Raum hat die Eigenschaft
Hermitiziät :
Ein Operator , der brav genug ist, hat einen hermitesch konjugierten
Partner , der die Gleichung erfüllt:
.
Ein Operator ,
der zu sich selbst konjugiert ist, heißt hermitesch.
.
Hat er eine Matrix-Darstellung ,
dann gilt .
Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators
sind reell.
Seine Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Ein hermitescher Operator hat ein vollständiges orthonormales System
(oder auch orthonormale Basis) von Eigenvektoren. In dieser Basis ist seine
Matrixdarstellung diagonal. Zwei hermitesche Operatoren haben eine
gemeinsame Basis von Eigenvektoren dann und nur dann, wenn sie vertauschen.
Ein Operator heißt positiv definit, wenn
.
Der Einheitsoperator
ist positiv-definit und hermitesch.
Seien hermitesche Operatoren.
Sei der Kommutator, der Antikommutator.
Dann sind (nicht !) und auch hermitesch.
Das Quadrat eines hermiteschen Operators ist positiv-definit hermitesch.
Quadrat heißt, einen Operator zweimal anzuwenden.
Ein Operatorprodukt kann auftreten als Kommutator plus Antikommutator:
Sei ein positiv-definiter hermitescher Operator und
seien zwei Hilbertvektoren mit positiven Werten
zwei Zahlen.
Einsetzen: .
Wegen Hermitizität ist reell und .
Resultat: Für positiv definite Operatoren gilt
Mit folgt die Schwarzsche Ungleichung.
Sei nun ein Hilbertvektor oder Quantenzustand gegeben.
Er verleiht den Operatoren und Erwartungswerte und Varianzen.
Diese sind reell wegen der Hermitizität.
Physikalisch entsprechen sie den Statistiken, die sich ergeben, wenn
Messreihen der Observablen und an immer gleichen Zuständen
vorgenommen werden.
Zur Erinnerung, gemäß der Postulate würfelt die Natur im Hintergrund
und unser Experiment hat nicht die volle Kontrolle. Von wegen wir
können die Fehler beliebig drücken mit Eins-durch-Wurzel der Wiederholungen.
Die Kommutatoren und sind gleich;
einfache Verschiebung mit Zahlen-mal-Einheitsoperator.
wegen Hermitizität.
Man wendet jetzt die Schwarzsche Ungleichung an auf
.
Der Antikommutator
ist hermitesch.
Operatorprodukt :
mit
Es folgt mit Einsetzen von und mit Hermitizität, sowie
und , die beide reell sind:
Die Größe ist
die Quantenversion der Korrelation der beiden Zufallsvariablen
und . Es taucht der Antikommutator auf, .
Folgerung: Für jeden Zustandsvektor und jedes Paar von
hermiteschen Operatoren gilt mit obigen Definitionen:
wobei .
Nun kommt endlich die Anwendung auf die Operatoren von Ort und Impuls.
, folglich
mit dem Identitätsoperator.
Konsequenz: .
Dies ist die Heisenberg-Unschärferelation.
Konventionelle Schreibart: .
In Worten: Will man wiederholt am gleichen Quantensystem die Orte und die
Impulse messen, dann hat die Genauigkeit eine untere Schranke. Das Unterfangen
endet immer mit einem Produkt der Streubreiten von der Grö«enordung des
Planck-Quantums. Dies gilt für alle Paare von Observablen, die derartige
kanonische "Vertauschungsfehler" haben.
Wie gesagt, am gleichen, nicht am selben Quantensystem. Denn bei einer
Messung vernichtet der vielbeschworene Kollaps der Wellenfunktion den
Eingangszustand . Das Experiment muss also noch als Werkzeug einen
Vorbereitungs-Operator haben, der wiederholt gleichartige Zustände
aus dem Vorrat seiner Eigenvektoren zur Verfügung stellt.
Wenn am selben System zuerst genau gemessen wird, dann ist maximal
unbestimmt. Wird jetzt gemessen, ist wiederum jede Information zum vorigen
völlig zerstört. Es gibt keine passiven Beobachtungen, die nichts am
System verändern. Außer wenn das System schon im bekannten Eigenzustand des
Operators ist -- dann bringt die Messung keinen Informationsgewinn.
Die Schwarzsche Ungleichung wird zur Gleichung, genau wenn beide Vektoren
darin proportional sind. Suchen wir also nach minimaler
Unschärfe im obigen System .
Mit einer Konstanten z soll zuerst gelten:
Es folgt für die zwei Varianzen:
Außerdem soll der Wert verschwinden. Der ist gerade die halbe Summe der
beiden vorigen Zeilen. Es folgt, .
Die Differenz derselben zwei Zeilen ergibt
.
Daher: .
Anwendung auf und die Schrödinger-Wellenfunktion.
Seien die drei Werte vorgegeben.
Es folgt die lineare Differenzialgleichung
.
Sie hat Terme proportional zu f, f' und xf. Mit dem Ansatz exp(Q(x)), worin
Q ein quadratisches Polynom ist, findet man eine Lösung. Es ist eine
Welle , multipliziert mit einer Gaussglocke
. Für dieses minimal-unscharfe Wellenpaket
gilt die Gleichung: .
Die Gauss-modulierten Wellenpakete haben das kleinstmögliche Produkt der
Varianzen. Man kann durch Fouriertransformation prüfen, dass auch im Impulsraum
die Gauss-Form auftritt, mit genau der komplementären Breite.
Es ist interessant zu sehen, wie diese Pakete sich unter der potenzialfreien
Schrödingergleichung und unter der des harmonischen Oszillators verhalten.
Mit dem imaginären ist die
definierende Differentialgleichung eine
Eigenwertgleichung des nicht-hermitischen Operators . Der Grundzustand
des Oszillators ist eine Eigenfunktion desselben, zum Eigenwert 0.
Um es vorweg zu nehmen. Die freie Schrödingerwelle läuft unweigerlich
auseinander! Die Aufenthalts-Verteilung eines freifliegenden Teilchens wird
mit der Zeit immer diffuser; keinerlei Bahnkurve kann eingegrenzt werden.
Dagegen gibt es beim Oszillator formstabile Gauss-Pakete, die genau nach der
Bahngleichung des klassischen Oszillators hin und her pendeln. Es sind also
quasiklassische Lösungen möglich, die beinahe zu gut sind um wahr zu sein.
Zunächst kommt eine völlig klassische Signalanalyse.
Es wird eine endlich ausgedehnte Wellenform auf der Zeit-Achse
angenommen,
In Folgenden bezeichnen Variablen für die Zeit,
reelle Variablen
vom Typ (Kreis-)Frequenz,
sind Transformationen der Welle
Die Wellenform sei normiert:
Mit der Fourier-Analyse hat eine Frequenz-Darstellung:
Sei vorausgesetzt, dass für schnell abfallen.
Nun soll eine Beziehung zwischen der Streuung oder Ausdehnung im
Zeitbereich und derjenigen im Frequenzbereich gefunden werden.
Definition der Mittelwerte und Streuungen:
Neue Variablen:
Die Translation wird eine Phasendrehung, und es gilt
Neue Variablen:
Damit:
Zwischenergebnis 1: in den Variablen sind die Streuungen
einfache quadratische Momente, die Mittelwerte verschwinden durch Translation.
Nun kommt die Fourier-Transformation der Ableitung ins Spiel.
Die Fourier-Transformierte von ist
Die Fourier-Transformation ist ein unitärer Operator:
Anwendung:
Die Transformationen vom ursprünglichen nach sind
auch unitär.
Zwischenergebnis 2:
Fürs abschließende Argument vergessen wir momentan die komplexen Zahlen und
schreiben zweidimensional-reelle Skalarprodukte
Mit den gutartigen Wellen ist folgende partielle Integration erlaubt:
Alles ist bereit, um folgende reelle Cauchy-Schwarz-Ungleichung anzuwenden:
Setze
und es folgt fürs normierte :
Anders geschrieben, hier das Resultat für das Produkt der Varianzen:
Die gleiche Berechnung gilt für Wellen im Raum; man ersetzt die Zeit durch
Ortskoordinaten und die Kreisfrequenz durch Wellenvektor-Komponenten.
Die Operator-orientierten Unschärferelationen sind abstrakter und allgemeiner
als diese Fourier-Version.
Die Schrödingerwellen sind in der Zeit-Koordinate die Superpositionen von
gewöhnlichen Schwingungen wo die Kreisfrequenz nach de Broglie
mit der Energie von Teilchen zu tun hat, In obiger klassischer
Berechnung war die Variable mit f oder g bezeichnet worden.
De Broglie führt unmittelbar auf die Energie-Zeit-Unschärfe:
Zum Beispiel können Photonen, die von angeregten Zuständen mit kurzer
Halbwertszeit abgeschickt werden, keine scharf definierte Frequenz oder Energie
haben. Die Emissionslinie ist verbreitert, so wie es die Unschärferelation
vorschreibt. Elementarteilchen, die nur extrem kurz überleben, wie das Tauon
oder gar die W-, Z- und Higgs-Bosonen, haben wegen eine sehr
verwaschene Definition
ihrer Masse, weil sich als manifestiert.
Die angeregten Atome, die sichtbares Licht aussenden, können Lebensdauern
von 10 Nanosekunden haben. Die Photonen hätten dann kohärente Wellenpakete,
die meterlang sind. In der Tat kann man Interferenzversuche machen, wo
makroskopische Köhärenzlängen herauskommen. Andererseits kann man die
Photonen mit Detektoren auffangen bei einer Zeitauflösung weit unter der
Nanosekunde. Der Dualismus Welle-Korpuskel zeigt sich darin, dass beides
im selben Experiment nicht geht: kurze Zeitauflösung und lange Interferenzen.
Im Schrödinger-Modell der Quantenmechanik ist die Zeit ein unabhängiger
Parameter in den Gleichungen ist ein
Operator, der aus Operatoren für Ort, Impuls, Spin und anderen aufgebaut ist.
Die Lösungen
bewegen sich mit
einer Ein-Parameter-Gruppe von unitären Operatoren --
angenommen dass H nicht explizit von der Zeit abhängt.
Obwohl die Zeit kein Operator ist, gibt es eine Unschärfebeziehung
als Zugabe zu der Unbestimmtheit
der Paare Ort und Impuls,
Naiv war das aus der Eigenschaft der Fourier-Transformationen abzulesen.
Hier noch ein physikalisch einsichtigeres Argument zu dieser Unschärfe.
Man definiert für einen Schrödinger-Zustand die Korrelations-
Funktion und möchte wissen, wie sie mit
wachsendem Zeitabstand abfällt. Der Zustand wird nach Energie-Eigenvektoren
entwickelt,
Die Amplitude soll nun eine
Spitze um den Wert herum haben,
Der Phasenfaktor im Integranden oszilliert stark, wenn die Energiedifferenz
mal die Zeit größer als sind. Dadurch wird das Integral in die
Knie gezwungen. Die Korrelation verblasst, sobald die Spreizung der
Energien mal Zeitabstand den Wert
übersteigt.
Nach einer Zeitspanne verliert ein
Zustand seine ursprüngliche Form.
Bemerkung. In der relativistischen Physik können Zeit und Raum nicht mehr
unsymmetrisch behandelt werden. Da werden sowohl Ort wie Zeit zu einfachen
Parametern. Die dynamischen Größen, also Operatoren, sind Teilchenzahlen
und diverse Felder, die aus Erzeugern und Vernichtern für die Vielfalt der
Teilchen zusammengesetzt sind. Die Zustände haben auch keine Eigenbewegung
mehr; die Quantenfeldtheorie verallgemeinert vielmehr das Heisenberg-Bild.
Relativistische Wellenfunktionen sind überhaupt keine Zustände,
sondern sie werden interpretiert als Felder von Operatoren.
Es wurde schon erwähnt, dass freie Wellenpakete nicht ihre Form bewahren,
sondern mit der Zeit auseinander fließen. Wie dramatisch ist dieser
Effekt? Immerhin wird am Ende ein so gut wie punktförmiges Teilchen
detektiert. Das war der Anlass für die Wahrscheinlichkeits-Interpretation
der Wellen und die Freiheit, sie nach dem Kollaps wegzuwerfen.
Eine Funktion beschreibt eine Startwelle die sich
unverändert mit Geschwindigkeit v bewegt. Schrödingerwellen sind aber Summen
von Anteilen wo jedes k einer freien Welle zum Beispiel
eine andere Geschwindigkeit hat, denn Es besteht
eine Dispersion. So eine Welle kann nicht formstabil wandern.
Eine nichtlineare Funktion ist eine Dispersionsbeziehung.
Man nennt die Phasengeschwindigkeit und
die Gruppengeschwindigkeit. Bei der ebenen Welle des freien Teilchens
entspricht die Gruppengeschwindigkeit der klassischen Geschwindigkeit
die Phasengeschwindigkeit ist halb so groß.
Wiederholt wird folgende Integralrechnung gebraucht:
gilt stark verallgemeinert:
Die Quadratwurzel von hierin ist die mit positivem Realteil.
Die Zeitentwicklung eines Gauss-Pakets wird mit Fourieranalysis verfolgt.
Die freie Wellengleichung wird
provisorisch vereinfacht:
und der Balken der neuen x-Variablen wird unterdrückt.
Fourier-Transformation für ein Gauss-Paket, das bei t=0 mit Wellenvektor
c startet, dessen Maximum bei b liegt und dessen Ausdehnung gleich a ist:
Parameter a,b haben die gleiche Dimension wie x (Balken hinzudenken).
Parameter c hat auch einen gedachten Balken und die inverse Dimension von x.
Der negative Exponent im letzten Integranden voll ausgeschrieben:
Daher
Eine Fourierkomponente hat folgende Zeitentwicklung:
Damit kann ausgerechnet werden, wie f sich entwickelt.
Der Exponent insgesamt:
In Z muss ein Term quadratisch ergänzt werden.
Das p gibt dem k-Integral den komplexen Faktor der kein x enthält
und zunächst hier vergessen wird. Denn im Eiltempo sollen
die Normierung der Welle und ihre Phasen-Entwicklung
beiseite gelassen werden. Im Exponenten Z können also Terme, die nicht
von k oder x abhängen, unter den Teppich gefegt bzw. beliebig
neu erfunden werden. Aus ist
ersichtlich, dass nach der k-Integration alle x-Abhängigkeit in
steckt.
ist linear in x. Also wird die Form der Welle wieder
vom Typ Gauss sein. Der Nenner wird die Welle mit der Zeit
ausdehnen. Nur das Betragsquadrat der Wellenform interessiert. Im Exponenten
bedeutet das, man berechne die Summe
Ergebnis:
Das Amplitudenquadrat beschreibt eine Gausskurve, deren Zentrum bei
liegt und deren Ausdehnung wie folgt wächst:
Das Zentrum folgt der klassischen Bahn. Für großes t verbreitert die
Kurve sich linear mit dem Faktor Denn ist nach der Unschärfe-
Relation die Breite im Impulsraum, also auch die Dispersion der Geschwindigkeit.
Zurück zu physikalischen Einheiten. Die Parameter der Schnellberechnung
sind eigentlich Balken-Gößen
c dortselbst ist eine reziproke Länge wo
c die wirklich physikalische Wellenzahl ist.
Einsetzen der Physik-Parameter liefert dann die Wellenform:
Die physikalische Gruppengeschwindigkeit ist richtig:
Beispiel für Größenordnungen.
Angenommen, man habe eine Kanone für Elektronen von 1000 eV bei einer
Energie-Genauigkeit von einem Millionstel. Dann bekommt nach
das minimale Wellenpaket die
Ausdehnung von etwa 12 µm. Nach 1 m Wegstrecke bleibt diese kaum verändert,
nach 1 km Weg 250 µm, verursacht von der Geschwindigkeits-Streuung.
Für ein Proton mit 100 keV Energie, selbe fiktive Energie-Genauigkeit:
Startpaket 30 nm, nach 1 m Weg 250 nm, nach 1 km Weg 250 µm.
Dieses System wird später gründlich mit Operator-Methoden behandelt.
Hier im Vorgriff ein paar Lösungen mit Gauss-Paketen drin.
Man geht besser schleunigst zu einer dimensionslosen Form über:
Im weiteren Verlauf werden die Balken unterdrückt. Es ist ein dimensionsloser
Oszillator mit der Kreisrequenz 1, der Masse 1, der Planckzahl 1.
Ansatz:
(Normierung unterschlagen)
Eine Gausskurve konstanter Amplitude, deren Phase mit Frequenz (1/2) rotiert.
bringt die stehende Welle für den Grundzustand.
Eine animierte Lösung, die sich auf einer Bahnkurve bewegt, aber
dieselbe Form beibehält, wird man nach Herumprobieren wie folgt anrühren:
Ansatz mit zwei reellen Funktionen falls solche existieren.
Der Imaginärteil von g bestimmt die Phase, der Realteil
die Amplitude der Wellenfunkton
Es muss die Gleichung ausgewertet werden. So wie der
Ansatz gebaut ist, wird rausfliegen und es gibt Koeffizientenvergleiche
für die 4 Terme um die Gleichungen für zu erhalten.
Ausrechnung:
Die Koeffizienten von beider Seiten werden gleichgesetzt: (redundant)
Es folgt was bekanntlich alle klassischen Lösungen des
Oszillators auswirft: Funktion ist die
Geschwindigkeit und k ist durch die Amplitude der Schwingung bestimmt.
Ergebnis: Die Schrödinger-Gleichung des Oszillators hat als spezielle
Lösungen Gauss-Pakete, die auf den klassischen Bahnkurven hin und her
pendeln. Sie werden als kohärente Zustände bezeichnet. Natürlich sind
es keine Eigenzustände zur Energie, weil der Zeitverlauf der Phasen
einen seltsamen Term mit sich schleppt.