Quantenmechanik/ Drehimpuls-Kopplung

Tensorprodukte

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In der Quantenmechanik werden größere Systeme aus kleineren zusammengebaut, imdem man vorerst annimmt, sie würden sich nicht beeinflussen. Wie vereint man die kleinen Zustände zu einem größeren? Etwa so wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen a und b mit Maßen   und   zusammenkommen: Man nehme das Produkt davon,  . Weil die Betragsquadrate von Wellenfunktionen auch solche Wahrscheinlichkeiten sind, liegt es nahe, dass die vereinte Wellenfunktion   ihr Produkt ist. Sie hängt von den zwei Ortskoordinaten gleichzeitig ab.

Mit einer Basis für jedes der zwei Teilsysteme,   und   wird dann die Menge aller Produkte   eine Basis für das binäre System. Und da schlägt das Superpositionsprinzip hart zu. Nicht nur diese Produkte, alle Linearkombinationen von ihnen sind zulässige Quantensysteme. Die reinen Produkte sind die entkoppelten Zustände, während die dreckigen Kombinationen wie   die verschrænkten Zustände darstellen.

Mathematisch ist der Vektorraum des gekoppelten Systems das Tensorprodukt der zwei Komponenten-Räume. Für Funktionenräume und Räume aus Tupeln ist dies intuitiv der Raum der linear aufgespannt wird von allen Produkten des Typs   oder  , wobei sich die eingelieferten Argumente und Indizes zu einer längeren Liste verketten.

Die reine Mathematik macht Klimmzüge über die Dualräume um das Tensorprodukt ultimativ sauber und allgemein zu definieren.

Gegeben zwei Vektorräme A und B, notieren wir ihr Tensorprodukt als  . Ein Operator auf   wird ausgeweitet auf das Produkt, indem er die Identität ist für alles was aus B kommt. Notation   für die Portierung auf  . Entsprechend für Operatoren, die aus B stammen. Sei zum Beispiel   ein Drehimpuls-Operator auf A, und   ein Drehimpuls-Operator auf B. Dann ist die Summe von beiden definiert auf dem Produktraum:

 . Es ist der Gesamt-Drehimpuls. Der erste Teil

macht partielle Ableitungen nach den   Koordinaten, der zweite nach den   Koordinaten.

Die typische Situation: Der Hamilton-Operator vertauscht mit dem Gesamt-Drehimpuls  . Wir kennen die Quantenzahlen der Teilsysteme mit   und  , beispielsweise seien es Darstellungen der Dimensionen   und  . Aber die gesuchten stationären Zustände sind Eigenräume zu  . Welche Werte von   sind also möglich und wie kombiniert man sie aus den eingebrachten Drehimpulsen zusammen?

Die erwünschte Technik ist das Ausreduzieren von einem Tensorprodukt in irreduzible Komponenten. Eingeliefert wurden zwei Vektorräume, irreduzibel under der Drehgruppe mit Quantenzahl  . Symbolisch  .

Am Ende will man den Produktraum in irreduzible Komponenten spalten, ihn zerlegen in die direkte Summe von Teilräumen mit definierten Drehimpulsen. Symbolisch :

 .

Die Teile gehören zu verschiedenen Eigenwerten von   und sind orthogonal.

Addition der Drehimpulse

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Der Produktraum hat Dimension  . Die Operatoren   und   vertauschen miteinander und mit den drei Komponenten  .

Sei   das Tensorprodukt aus zwei Komponent-Eigenvektoren. Er ist Eigenvektor zu   mit Eigenwert  , denn nach Definition der Operator-Ausweitung holt   den Faktor   und   den Faktor   aus dem Produkt ab. Er ist nicht Eigenvektor zu  . Für diesen Operator wünschen wir eine Eigenvektorbasis.

Seien Quantenzahlen   und   vorgegeben, und bezeichne   die eines irreduziblen Teilraums, also Eigenraum zu  , enthalten im Tensorprodukt. Wie oft kann ein gegebenes   in   vorkommen? Sei   diese unbekannte Zahl. Eine Gleichung verbindet   mit einer anderen Unbekannten,  , Zahl der entarteten Eigenvektoren von   zum Wert  .   kann nicht vorkommen, wenn ein   kleiner als   ist. Daher

 . Speziell für m=j und m=j+1 :
 
Die Differenz beider Gleichungen ergibt:  

Auf dem rechteckigen Raster der Paare

  im Schritt 1

ist nachzuzählen, wie viele Fälle   vorkommen. Das ergibt   und ist die Zahl der Punkte auf einer Diagonalen des Gitters.

Wenn  . Sei nun  .
Wenn  
Wenn  

Speziell die Differenz   ist genau dann 1, wenn   zwischen   und   mit Schritt 1 liegt. Alle anderen   verschwinden.

Ergebnis ist das Additionsprinzip für Drehimpulse:

Die möglichen Werte der Quantenzahl   im Tensorprodukt sind   mit Schrittweite 1. Zu jedem Wert von   gibt es genau einen Darstellungsraum in der Zerlegung.

Zwei Teilchen mit Spin=1/2 geben im Produkt Zustände mit Drehimpuls  , ein Singlett, und solche mit  , ein Triplett.

Ein Spin=1/2 kombiniert mit Bahndrehimpulsen   zu zwei Komponenten   und  . Bloß zu   gibt es nur eine Kombination  .

Zwei Objekte mit Drehimpuls 1 ergeben gekoppelt einen Produktraum der Dimension 9, der in Drehimpuls-Eigenräume der Dimensionen 1+3+5 zerfällt,

 .

Basis der Produktzerlegung, Clebsch-Gordan Matrix

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Zu jedem erlaubten Paar   im Produktraum   hat die Zerlegung einen Eigenvektor, genannt  . Diese Eigenvektoren zusammen sind eine orthonormale Basis des Produkts. Eine andere orthonormale Basis sind natürlich die Tensorprodukte aus den Basen der Faktoren, wir notieren

 

Es gibt eine unitäre Matrix, die die neue Eigenbasis als Linearkombinationen der ungekoppelten Produkte ausdrückt, die C-G-Matrix:

 

Die irreduziblen Teilräume sowie die 2 Faktoren werden mit den Standard-Matrizen und Basen beschrieben, wie im Drehimpuls-Kapitel besprochen. Das ist immer möglich. Dann ist die C-G-Matrix bis auf Phasen eindeutig festgelegt. Die Notation sei vereinfacht:  .

 

In Worten: die gesuchten Eigenvektoren werden entwickelt in der Basis der (ungekoppelten) Produktzustände.

Um weiter rechnen zu können, legt man eine Phasenkonvention fest: Wenn   und  , dann sei der C-G Koeffizient reell und positiv:

  reell  .

Wegen der Auswahlregeln   ist in diesem Matrixelement  .

Es gibt Rekursionen für alle anderen Eintragungen, mit reellen Zahlen. Alle Elemente der Matrix werden reell. Diese ist nicht nur unitär, sondern sogar orthogonal. Alle Spalten stehen senkrecht aufeinander, alle Zeilen auch.

Algorithmus zum Aufbau der C-G Matrix

Sei   maximal und  . Dann kommt nur ein Produktvektor in der Zerlegung in Frage:  , womit eine Spalte der Matrix steht. Anwenden von   auf beide Seiten ergibt alle  . Danach wird   gesucht, rell und positiv nach Phasenkonvention. Man nutzt seine Orthogonalität zu  . Wiederhole den Algorithmus bis die Matrix ganz gefüllt ist.

Rekursionen innerhalb der m-Eigenwerte für ein gegebenes j:

Setze  

 
 

Einfachstes Beispiel, die Abbildung zweier Spin-1/2 auf Singlett und Triplett.

Die angelieferte Produktbasis wird schöner mit Spin-Up/Down Symbolen:

 .

Das Triplett und das Singlett werden in dieser Basis ausgedrückt.

 
 
 
 

Auf der Unterseite: Clebsch-Gordan-Skript
wird ein Skript besprochen, das Clebsch-Gordan-Matrizen ausrechnet.

Spin-Bahn-Kopplung

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Irreduzible Tensor-Operatoren

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Beispiel: Reduzible Tensoren

Die Multilinearformen von n  -Vektoren sind Objekte, die bei Drehungen unter sich bleiben. Ihr Vektorraum ist das Tensorprodukt von n Kopien des Dualraums zum  . Zu einer Form   soll die gedrehte Form   einfach so definiert werden, dass alle Auswertungen Skalare sind. R sei eine Rotations-Matrix:

 .

Die homogenen Polynome vom Grad n sind auch drehinvariante Vektorräume. Diese Polynome sind der Teilraum der total symmetrischen Multilinearformen. Zum Beispiel sind symmetrische Bilinearformen eindeutig durch ihre quadratische Form gegeben:  .

Bilineare Formen,   haben eine Basis aus den 9 Monomen  . Eine Form B ist als 3x3-Matrix dargestellt. Der Teilraum der symmetrischen Bilinearformen sind die quadratischen Formen. Wegen   für Drehmatrizen transformiert sich eine Form   als invarianter Skalar,

 .

Die bilinearen Formen zerfallen in 3 dreh-invariante Teilräume:

1. Dimension 1: Standard-Skalarprodukt, Basis  
2. Dimension 3: Antisymmetrische Matrizen, Basis ist das Vektorprodukt  
3. Dimension 5: Spurfreie symmetrische Matrizen, Basis als quadratische Monome
 

Symbolisch ist die Zerlegung  ; Summe der Dimensionen 1+3+5=9. Das Tensorprodukt von zwei Dreiervektoren ist also zerlegbar in die drei irreduziblen Teile: Skalar, Vektor, Tensor. Sie entsprechen den irreduziblen Darstellungen zu Drehimpulsen 0,1 und 2. Die ganzzahligen Darstellungen der Drehgruppe sind reell, obwohl sie sich quantenmechanisch lieber als komplexe hermitesche Matrizen verkleiden. Die Kugel(flächen)funktionen sind Standardbasen dieser Darstellungen.

Die spurfreien Quadratformen lassen sich in den 5 Kugelfunktionen   ausdrücken. Diese sind nämlich folgende Polynome in den Variablen   (Normierung verschludert. Länge  ).
Den drei Linearformen   entsprechen die 3 Kugelfunktionen  .

 

Skalare, Vektor-, Tensor-Operatoren

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Observable der Quantenmechanik sind Operatoren. Es gibt darunter Skalare wie z.B. den Hamilton-Operator, Vektoren wie Ortsvektor, Impuls oder Drehimpuls, sowie Tensoren. Bei Drehungen um einen zentralen Punkt ändert sich ein Skalar S nicht. Als Operator gesehen, vertauscht S mit den Operatoren, welche die Drehungen erzeugen, also mit  . Ein Vektor-Operator hat mehrere Komponenten  , die bei Drehungen mit einer Darstellungsmatrix R transformiert werden müssen, so wie auch die Ortskoordinaten   von Punkten umgerechnet werden. Ein Tensor ist ein Objekt höherer Ordnung mit beispielsweise drei Indizes   und er transformiert seine Komponenten mit dem Tensorprodukt aus drei Kopien einer Darstellungsmatrix. Physikalisch tauchen Tensoroperatoren beliebig hoher Ordnung auf etwa bei der Entwicklung eines Potenzials in eine Reihe von Multipolen.

Aus den Mengen der Hilbert-Vektoren, die die Zustände eines Quantensystems abbilden, kann man Teilräume abspalten, die sich irreduzibel under der Drehgruppe transformieren und isomorph sind zu genau einem der Darstellungräume mit einer Basis   der Dimension (2j+1). Aus den indexierten Mengen von Vektor-und Tensor-Operatoren kann man genauso die kleinstmöglichen unzerlegbaren linearen Teilräume isolieren. Auch die gehören dann zu einer irreduziblen Darstellung (2j'+1) der Drehgruppe.
Worum es in diesem Abschnitt geht, ist das Zusammenspiel in Matrixelementen von den Hilbertvektoren und den Operatoren, etwa  . Welche Vorhersagen lassen sich treffen, wenn u,A und v zu drei irreduziblen Darstellungsräumen mit verschiedenen Drehimpulsen   gehören?

Skalarer Operator.
Vorbemerkung: In diesem und folgenden Abschnitten wird mit dimensionslosen Dreh-Generatoren gerechnet, also   wo das rechte   der physikalische Drehimpuls ist.
Ein Operator S habe mit einem Paar von irreduziblen Basen   die Matrix  . Hier seien u,v andere Quantenzahlen als die der Drehimpulse. Sie wählen einen Unterraum von Zuständen und seine Standardbasis aus. Aus   folgt, dass die Matrixelemente verschwinden, wenn Eigenwerte   sind. Aus   folgt, dass auch ungleiche Eigenwerte   Null ergeben. Es gibt also nur Matrixelemente vom Typ  . Weil S auch noch mit den zwei adjungierten Leiteroperatoren   vertauscht, die mit gleichen Multiplikatoren die Basis durchlaufen, folgt weiter

 . Denn:
 
 
 

Also ist das Matrixelement von der Quantenzahl M unabhängig. Operator S ist mit einem einzigen reduzierten Matrixelement s(u,v) auf irreduziblen Teilräumen vollständig charakterisiert.

Auf dem Hilbertraum der Zustände sei eine Darstellung D der Drehgruppe SO(3) vorhanden. Es gibt invariante Teilräume, deren Basis   sich mit den Standardmatrizen   einer irreduziblen Darstellung transformiert:

 .

Die Standarddarstellung ist über ihre Erzeuger, die Drehimpulse  , eindeutig definiert:

 .

Man beachte die Konvention, dass bei Basistransformationen -- im Gegensatz zu Komponenten-Transformationen bei gleicher Basis -- die Matrix hinter die linearkombinierten Objekte gestellt wird. Auf den Raum der Operatoren wird die Darstellung D so losgelassen, dass

  gilt, also  .

Physikalisch relevante Darstellungen sind unitär, so dass die Matrixelement von A erhalten bleiben:  .

Es ist also   die induzierte Darstellung auf dem Raum der Operatoren. Daher ist es logisch, auch dort wie im Zustandsraum die kleinsten irreduziblen Tupel oder Teilmengen von Objekten zu isolieren.

Definition Irreduzibler Tensoroperator:
Man definiert einen irreduziblen Tensoroperator   als eine Sammlung von (2k+1) Operatoren, Index q von (-k) bis (k), die sich exakt wie die irreduzible Darstellung zum Drehimpuls k transformieren:

 

Das Kriterium lässt sich äquivalent mit den Erzeugern formulieren. Ein Erzeuger   mit   agiert auf Operatoren als Kommutator, denn:  .

  • Aktion von D, Element einer Lie-Gruppe auf Vektoren v, Operatoren A:
 
  • Aktion von L aus einer Lie-Algebra   auf (v,A):
 .

Ein irreduziber Tensoroperator hat folgende Regeln mit Drehimpulsoperatoren:

 
 

Dies genau definiert eine Standardbasis der Darstellung   mit Dimension (2k+1).

Die hermitesch adjugierten Operatoren zu   formen auch eine irreduzible Menge zur selben Darstellung, wenn sie folgendermaßen gruppiert werden:

 .

Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoroperatoren der Ordnung Null. Vektor-Operatoren  , die häufigste Kategorie in diesem Zusammenhang, werden zu Tensoroperatoren vom Drehimpuls 1 mittels Linearkombinationen.
So nämlich kann ein Vektor-Operator   umgeschrieben werden als Tensoroperator zum Drehimpuls 1:

 .

Zum Nachweis wird ausgerechnet, dass die Lie-Algebra der Drehgruppe, welche in Form von   auf den   die Standardabbildung liefert, umgerechnet auf Vektorkomponenten die Raumdrehungen erzeugt. Mit   errechnete äquivalente Tabelle für  :

 

Es sind dies tatsächlich die infinitesimalen Drehungen um die drei Achsen. Versehen mit dem konventionellen Faktor i, weil die PhysikerInnen unbedingt hermitesche Operatoren wollen.

Die (2k+1) Kugelflächenfunktionen   werden verwendet als multiplikative Operatoren etwa in einer Multipolentwicklung des Potenzials. Sie sind eine Folge von irreduzible Tensoroperatoren zu jeder Zahl k.

Satz von Wigner-Eckart

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Gegeben seien drei Dinge, im Rahmen einer unitären Darstellung  :

  • Ein Operator-Tupel   als irreduzibler Tensoroperator vom Typ  
  • Eine erste Unterraum-Basis   zur irreduziblen Darstellung  
  • Eine zweite Basis   zur irreduziblen Darstellung  

u,v sind irgendwelche Quantenzahlen, die die Unterräume auswählen.

Behauptung: Die Matrixelemente der Operatoren T können geschrieben werden als eine einzige Zahl, die nicht von   abhängt, mal einem Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Genauer, mit einem konventionellen Faktor gilt:

 .

Der Ausdruck mit den Doppel-Betragsbalken heißt das reduzierte Matrixelement.

Korollar. Die Matrixelemente   sind nur dann von Null verschieden, wenn   und  . Diese Eigenschaft der CG-Koeffizienten wird gerne so als Auswahlregel formuliert:
Die Matrixelemente jeder Linearkombination des Tensoroperators   verschwinden zwischen zwei Drehimpulsen  , außer wenn  .

Beweis. Es gibt die   Vektoren   indiziert mit  . Man kombiniert sie mit der Clebsch-Gordan-Matrix zu neuen Drehimpulsen:

 

Umkehrformel wegen der Orthogonalität der CG-Matrix:

 

Nichts garantiert, dass die neuen   linear unabhängig sind. Es wird jedoch mit Hilfe aller bekannten Rechenregeln für Standardbasen und CG-Matrix gezeigt, dass nichtverschwindende Teilmengen, falls sie existieren, Standard-Eigensysteme mit den Drehimpulsen   bilden.

Abkürzungen:  
 
 

Wegen der aufsteigenden Rekursion der CG-Matrix ist die geschweifte Klammer

 
  •  

Nach dem selben Ritus erhält man noch folgende Eigenschaften:

  •  
  •  

Folgerung: Für jeden Wert   sind die Vektoren   entweder alle Null oder sie spannen eine irreduzible Darstellung zur Quantenzahl   auf. Alle ihre Skalarprodukte mit den Bras   sind entweder Null, oder aber   und die Skalarprodukte sind   mit einer Konstanten. Denn Eigenvektoren von   oder   zu verschiedenen Werten sind orthogonal. Ähnlich wie oben beim skalaren Operator folgt mit den Auf/Absteige-Operatoren, dass die Produkte   für alle m gleich sind.
(Es gibt ein ganz allgemeines Lemma von Schur, wonach unitäre irreduzible Darstellungen sich auf keine andere Weise überlappen können, wenn sie Unterräume desselben Hilbertraums sind.)
Es folgt nun mit der zuletzt hingeschriebenen Umkehrformel:

 .

Und dies ergibt die behauptete Wigner-Eckart-Formel.

Ein Vektoroperator hat die Auswahlregeln:   und   ist nicht erlaubt.

Anwendung

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Multipolmomente
der Atomkerne helfen dabei, die Prozesse zu analysieren, bei denen Gammastrahlung ausgesendet wird. Elektrische Multipole ( -Pole) sind irreduzible Tensoroperatoren   von der Ordnung l mit Parität  . Magnetische  -Pole   sind solche mit der anderen Parität  . Wenn ein derartiger Multipol als Operator im Rahmen einer Störungsrechnung zwischen Zuständen auftaucht,  , dann können nur Übergänge mitspielen, die in den Grenzen   liegen. Für jedes erlaubte Tripel   sind die Amplituden als Funktion der   gemäß Wigner-Eckart mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten vorherzusagen.
Außerhalb einer zentralen Ladungsverteilung kann ein Potenzial, das die Laplace-Gleichung löst, in Kugelfunktionen entwickelt werden:

 

Für jedes k bilden die   als Faktoren einen irreduziblen sphärischen Tensoroperator im Sinne von Wigner-Eckart. Seine Koeffizienten definieren das elektrische  -Pol-Moment.

Drehimpuls und andere Vektoroperatoren
Der Drehimpuls   vom Vektor-Operator zum sphärischen Tensor umgeformt:

 

Zwischen zwei Eigenvektoren zum Drehimpuls j und zu   nach Wigner-Eckart:

 .

Es gibt nun folgende Formeln für spezielle Clebsch-Gordan-Werte:

 

Damit kommt hier heraus:

 .

Wigner-Eckart kann die Matrizen jedes Vektoroperators A relativ zu J ausdrücken:

 

Für den skalaren Operator   und   folgt daraus

 

Die Konstante c hängt nicht von u,v oder den Eigenschaften von   ab. Daher wird c ausgewertet mit  . Damit folgt

 .

Einsetzen liefert die Matrix von   mit Eigenvektoren vom Drehimpuls j:

  •  

Die Matrix ist auf Konstanten und eine Diagonale in m mit dem skalaren Operator   eingedampft worden.

Magnetisches Moment eines Atoms.
Das magnetische Moment ist ein Vektoroperator, der aus einem Bahndrehimpuls   und einem Gesamtspin   linearkombiniert wird:  . Der totale Drehimpuls ist der Vektoroperator  . Als magnetisches Moment im Zustand j definieren wir den maximalen Erwartungswert

 

Die Formel zur Reduktion aufs Skalarprodukt   wird angewandt.

 .
Mit  
 

In einer gängigen Approximation wird ein Atom-Grundzustand mit einer LS-Kopplung beschrieben.   ist ein Eigenzustand zu   und   mit Drehimpulsen l und s, und die g-Faktoren sind  . Damit folgt schließlich

  •  .

Der Ausdruck in eckigen Klammern heißt der Landé-g-Faktor für LS-Kopplung.

Spin-Spin-Operator.
Phänomenologisch wird die Kraft zwischen zwei Nukleonen mit einem Hamilton-Operator angenähert, der sich aus dreh-invarianten Termen aufbaut. Die Bausteine sind vier Vektor-Operatoren:   der relative Ort,   der relative Impuls,   die zwei Spins. Daraus zusammengesetzt sind die Operatoren Bahndrehmoment  , Gesamtspin  , Gesamt-Drehmoment  .
Der Modell-Hamiltonoperator ist rotationssymmetrisch um den Schwerpunkt herum:

 
Alternativer Ausdruck:  .
Und:  
weil beide Spins den Eigenwert   haben.
Auch:   für jede Richtung von  .
Also:  .

Damit lässt sich der Term mit   verpacken als:

 .

Dem Operator hier gab man genau diese Form mit der Zahl 3 drin, weil er damit eine Kontraktion von zwei irreduziblen Tensor-Operatoren der Dimension 5 (der Drehimpuls-Quantenzahl 2) ist. Man rechnet nämlich aus, dass das Polynom   sich aus den 5-Tupeln   aufbaut.
Als Operatoren vertauschen alle Paare   und  , aber Achtung, nicht alle Paare  . Besser würde der folgende Ausdruck mit voll symmetrischen Termen geschrieben -- es wären die Antikommutatoren   einzusetzen.

 .

Der Teil mit den Quadraten gerät ganz wie gewünscht:

 

und damit ist P bilinear in den zwei spurfreien symmetrischen Quadratformen. Der Teil   der Wechselwirkung zwischen Spins heißt auch die Tensorkraft.

Bahndrehimpuls und Spin

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Zur Addition der Operatoren von Bahndrehimpuls   und Spin   (pingelig: von   mit Eigenwerten  .
Dies ist ein Spezialfall der Clebsch-Gordan-Matrix, explizit ausgerechnet. Bei den Normierungen im Folgenden hilft die Gleichung  .
Sei   eines der Operator-Paare   mit Eigenwerten   und Eigenvektoren  . Der Absteige-Operator ist  

Orthonormale Vektoren sind die Tensorprodukte von (2l+1) Eigenvektoren zu  , also  , mit einem Spinorpaar  . Die Produktvektoren werden notiert als  . Gesucht sind Eigenvektoren zum Operator  , und seiner Komponente  , Notation hier:  .
j kann die 2 Werte   haben.

Der Vektor   ist bereits ein normierter Eigenvektor zu   mit Werten  .
Wertebereich von j3 ist   mit Schritt 1.

Wiederholte Anwendung des Operators   .

 
 
 

Allgemein ergeben sich Vektoren   als Paarkombinationen aus  . Durch vollständige Induktion mit Anwenden des Absteigers   zeigt man für   halbzahlig:

 

Der zweite  -Unterraum des Tensorprodukts gehört zu j=M-1. Es beginnt mit einer Linearkombination aus  , die orthogonal zu   sein muss. Mit reellen, positiven Koeffizienten findet man

 .

Allgemein muss   orthogonal sein zu   und man erhält diese Paarkombination, die ebenfalls durch Induktion mit dem Absteige-Operator bewiesen wird:

 

Die skalaren Wellenfunktionen   des Wasserstoff- Atoms müssen zu zweikomponentigen Spinoren aufgewertet werden.

 
 

Die Eigenzustände zu   bekommen den halbzahligen Eigenwert (j) als Index angehängt an die Standard-Bezeichnung des Wasserstoff-Niveaus, von dem sie abstammen. Zum Beispiel gibt es  . Diese sind Zustands-Räume der Dimensionen (2j+1) = 2;2;4. Wie später drankommt, macht der genauere Hamilton-Operator es nötig, mit spin-behafteten Orbitalen zu rechnen.

Beispiele

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