Quantenmechanik/ Drehimpuls-Kopplung

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Tensorprodukte

In der Quantenmechanik werden größere Systeme aus kleineren zusammengebaut, imdem man vorerst annimmt, sie würden sich nicht beeinflussen. Wie vereint man die kleinen Zustände zu einem größeren? Etwa so wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen a und b mit Maßen $W_{a}\,da$ und $W_{b}\,db$ zusammenkommen: Man nehme das Produkt davon, $W(a,b)\,da\,db=W_{a}(a)W_{b}(b)\,da\,db$. Weil die Betragsquadrate von Wellenfunktionen auch solche Wahrscheinlichkeiten sind, liegt es nahe, dass die vereinte Wellenfunktion $F(x_{a},x_{b})=F^{a}(x_{a})F^{b}(x_{b})$ ihr Produkt ist. Sie hängt von den zwei Ortskoordinaten gleichzeitig ab.

Mit einer Basis für jedes der zwei Teilsysteme, $\{F_{n}^{a}\}$ und $\{F_{m}^{b}\}$ wird dann die Menge aller Produkte $\{F_{n}^{a}(x_{a})F_{m}^{b}(x_{b})\}$ eine Basis für das binäre System. Und da schlägt das Superpositionsprinzip hart zu. Nicht nur diese Produkte, alle Linearkombinationen von ihnen sind zulässige Quantensysteme. Die reinen Produkte sind die entkoppelten Zustände, während die dreckigen Kombinationen wie $(F_{1}^{a}F_{3}^{b}-F_{2}^{a}F_{7}^{b})$ die verschrænkten Zustände darstellen.

Mathematisch ist der Vektorraum des gekoppelten Systems das Tensorprodukt der zwei Komponenten-Räume. Für Funktionenräume und Räume aus Tupeln ist dies intuitiv der Raum der linear aufgespannt wird von allen Produkten des Typs $(x\otimes y)_{ik}:=x_{i}y_{k}$ oder $(f\otimes g)(x,y):=f(x)g(y)$, wobei sich die eingelieferten Argumente und Indizes zu einer längeren Liste verketten.

Die reine Mathematik macht Klimmzüge über die Dualräume um das Tensorprodukt ultimativ sauber und allgemein zu definieren.

Gegeben zwei Vektorräme A und B, notieren wir ihr Tensorprodukt als $A\otimes B$. Ein Operator auf $A,\;P:A\to A$ wird ausgeweitet auf das Produkt, indem er die Identität ist für alles was aus B kommt. Notation $P\otimes \mathbf {1}$ für die Portierung auf $A\otimes B$. Entsprechend für Operatoren, die aus B stammen. Sei zum Beispiel $J_{1}$ ein Drehimpuls-Operator auf A, und $J_{2}$ ein Drehimpuls-Operator auf B. Dann ist die Summe von beiden definiert auf dem Produktraum:

$J=J_{1}+J_{2}:=J_{1}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes J_{2}:A\otimes B\to A\otimes B$. Es ist der Gesamt-Drehimpuls. Der erste Teil

macht partielle Ableitungen nach den $x_{a}$ Koordinaten, der zweite nach den $x_{b}$ Koordinaten.

Die typische Situation: Der Hamilton-Operator vertauscht mit dem Gesamt-Drehimpuls $J$. Wir kennen die Quantenzahlen der Teilsysteme mit $J_{1}$ und $J_{2}$, beispielsweise seien es Darstellungen der Dimensionen $2j_{1}+1$ und $2j_{2}+1$. Aber die gesuchten stationären Zustände sind Eigenräume zu $J$. Welche Werte von $2j+1$ sind also möglich und wie kombiniert man sie aus den eingebrachten Drehimpulsen zusammen?

Die erwünschte Technik ist das Ausreduzieren von einem Tensorprodukt in irreduzible Komponenten. Eingeliefert wurden zwei Vektorräume, irreduzibel under der Drehgruppe mit Quantenzahl $j_{1}/math>bzw.<math>j_{2}$. Symbolisch $[j_{1}]\otimes [j_{2}]$.

Am Ende will man den Produktraum in irreduzible Komponenten spalten, ihn zerlegen in die direkte Summe von Teilräumen mit definierten Drehimpulsen. Symbolisch :

$[j_{1}]\otimes [j_{2}]=[j_{3}]\oplus [j_{4}]\oplus ...\oplus [j_{n}]$.

Die Teile gehören zu verschiedenen Eigenwerten von $J^{2}$ und sind orthogonal.

Addition der Drehimpulse

Der Produktraum hat Dimension $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$. Die Operatoren $J_{1}^{2}$ und $J_{2}^{2}$ vertauschen miteinander und mit den drei Komponenten $J=J_{1}+J_{2}$.

Sei $|j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}\rangle :=|j_{1};m_{1}\rangle \otimes |j_{2};m_{2}\rangle$ das Tensorprodukt aus zwei Komponent-Eigenvektoren. Er ist Eigenvektor zu $J_{3}$ mit Eigenwert $m_{1}+m_{2}$, denn nach Definition der Operator-Ausweitung holt $J_{1.3}$ den Faktor $m_{1}$ und $J_{2.3}$ den Faktor $m_{2}$ aus dem Produkt ab. Er ist nicht Eigenvektor zu $J^{2}$. Für diesen Operator wünschen wir eine Eigenvektorbasis.

Seien Quantenzahlen $j_{1}$ und $j_{2}$ vorgegeben, und bezeichne $j$ die eines irreduziblen Teilraums, also Eigenraum zu $J^{2}$, enthalten im Tensorprodukt. Wie oft kann ein gegebenes $j$ in $[j_{1}]\otimes [j_{2}]$ vorkommen? Sei $K(j)$ diese unbekannte Zahl. Eine Gleichung verbindet $K(j)$ mit einer anderen Unbekannten, $N(m)$, Zahl der entarteten Eigenvektoren von $J_{3}$ zum Wert $m=m_{1}+m_{2}$. $m$ kann nicht vorkommen, wenn ein $j$ kleiner als $|m|$ ist. Daher

$N(m)=\sum _{j';j'\geq |m|}K(j')$. Speziell für m=j und m=j+1 :

$N(j)=\sum _{j';j'\geq j}K(j');\quad N(j+1)=\sum _{j';j'\geq (j+1)}K(j')$

Die Differenz beider Gleichungen ergibt: $K(j)=N(j)-N(j+1)$

Auf dem rechteckigen Raster der Paare

$\{(m_{1},m_{2})|-j_{1}\leq m_{1}\leq j_{1};\;-j_{2}\leq m_{2}\leq j_{2}\}$ im Schritt 1

ist nachzuzählen, wie viele Fälle $m_{1}+m_{2}=m$ vorkommen. Das ergibt $N(m)$ und ist die Zahl der Punkte auf einer Diagonalen des Gitters.

Wenn $|m|>(j_{1}+j_{2}):N(m)=0$. Sei nun $j_{1}>=j_{2}$.

Wenn $(j_{1}+j_{2})\geq |m|\geq |j_{1}-j_{2}|:N(m)=j_{1}+j_{2}-1-|m|$

Wenn $|j1-j2|\geq |m|\geq 0:N(m)=2j_{2}+1$

Speziell die Differenz $K(j)=N(j)-N(j+1)$ ist genau dann 1, wenn $j$ zwischen $|j_{1}-j_{2}|$ und $(j_{1}+j_{2})$ mit Schritt 1 liegt. Alle anderen $K(j)$ verschwinden.

Ergebnis ist das Additionsprinzip für Drehimpulse:

Die möglichen Werte der Quantenzahl $j$ im Tensorprodukt sind $|j_{1}-j_{2}|\leq j\leq (j_{1}+j_{2})$ mit Schrittweite 1. Zu jedem Wert von $j$ gibt es genau einen Darstellungsraum in der Zerlegung.

Zwei Teilchen mit Spin=1/2 geben im Produkt Zustände mit Drehimpuls $j=0$, ein Singlett, und solche mit $j=1$, ein Triplett.

Ein Spin=1/2 kombiniert mit Bahndrehimpulsen $l>0$ zu zwei Komponenten $j=l-{\tfrac {1}{2}}$ und $j=l+{\tfrac {1}{2}}$. Bloß zu $l=0$ gibt es nur eine Kombination $j={\tfrac {1}{2}}$.

Zwei Objekte mit Drehimpuls 1 ergeben gekoppelt einen Produktraum der Dimension 9, der in Drehimpuls-Eigenräume der Dimensionen 1+3+5 zerfällt,

$[1]\otimes [1]=[0]\oplus [1]\oplus [2]$.

Basis der Produktzerlegung, Clebsch-Gordan Matrix

Zu jedem erlaubten Paar $j,m$ im Produktraum $[j_{1}]\otimes [j_{2}]$ hat die Zerlegung einen Eigenvektor, genannt $|(j_{1};j_{2})\;j;m\rangle$. Diese Eigenvektoren zusammen sind eine orthonormale Basis des Produkts. Eine andere orthonormale Basis sind natürlich die Tensorprodukte aus den Basen der Faktoren, wir notieren

$|j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}\rangle :=|j_{1};m_{1}\rangle \otimes |j_{2};m_{2}\rangle$

Es gibt eine unitäre Matrix, die die neue Eigenbasis als Linearkombinationen der ungekoppelten Produkte ausdrückt, die C-G-Matrix:

$|(j_{1};j_{2})\;j;m\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1};j_{2}\;m_{1};m_{2}\rangle \langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}|(j_{1};j_{2})\;j;m\rangle$

Die irreduziblen Teilräume sowie die 2 Faktoren werden mit den Standard-Matrizen und Basen beschrieben, wie im Drehimpuls-Kapitel besprochen. Das ist immer möglich. Dann ist die C-G-Matrix bis auf Phasen eindeutig festgelegt. Die Notation sei vereinfacht: $\langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}|j;m\rangle$.

$|j;m\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}\rangle \langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}|j;m\rangle$

In Worten: die gesuchten Eigenvektoren werden entwickelt in der Basis der (ungekoppelten) Produktzustände.

Um weiter rechnen zu können, legt man eine Phasenkonvention fest: Wenn $m_{1}=j_{1}$ und $m=j$, dann sei der C-G Koeffizient reell und positiv:

$\langle j_{1};j_{2};j_{1};m_{2}|j;j\rangle$ reell $\geq 0$.

Wegen der Auswahlregeln $m=m_{1}+m_{2}$ ist in diesem Matrixelement $m_{2}=j-j_{1}$.

Es gibt Rekursionen für alle anderen Eintragungen, mit reellen Zahlen. Alle Elemente der Matrix werden reell. Diese ist nicht nur unitär, sondern sogar orthogonal. Alle Spalten stehen senkrecht aufeinander, alle Zeilen auch.

Algorithmus zum Aufbau der C-G Matrix

Sei $j=j_{1}+j_{2}$ maximal und $m=j$. Dann kommt nur ein Produktvektor in der Zerlegung in Frage: $|j;m\rangle =|j1;j2;j1;j2\rangle$, womit eine Spalte der Matrix steht. Anwenden von $J_{1.-}+J_{2.-}$ auf beide Seiten ergibt alle $|j;m\rangle ;\;m=j...m=-j;\;j=j1+j2$. Danach wird $|j=j_{1}+j_{2}-1;m=j\rangle$ gesucht, rell und positiv nach Phasenkonvention. Man nutzt seine Orthogonalität zu $|j=j_{1}+j_{2};m=j_{1}+j_{2}-1\rangle$. Wiederhole den Algorithmus bis die Matrix ganz gefüllt ist.

Rekursionen innerhalb der m-Eigenwerte für ein gegebenes j:

Setze $M(j,m):={\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}};\quad P(j,m):={\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}$

$M(j,m)\langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}|j;m\rangle =M(j_{1},m_{1})\langle j_{1};j_{2};m_{1}-1;m_{2}|j;m-1\rangle +M(j_{2},m_{2})\langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}-1|j;m-1\rangle$

$P(j,m)\langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}|j;m\rangle =P(j_{1},m_{1})\langle j_{1};j_{2};m_{1}+1;m_{2}|j;m+1\rangle +P(j_{2},m_{2})\langle j_{1};j_{2};m_{1};m_{2}+1|j;m+1\rangle$

Einfachstes Beispiel, die Abbildung zweier Spin-1/2 auf Singlett und Triplett.

Die angelieferte Produktbasis wird schöner mit Spin-Up/Down Symbolen:

$\{|{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}\rangle ,|{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\rangle ,|{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}\rangle ,|{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\rangle \}=\{|\uparrow \uparrow \rangle ,|\uparrow \downarrow \rangle ,|\downarrow \uparrow \rangle ,|\downarrow \downarrow \rangle \}$.

Das Triplett und das Singlett werden in dieser Basis ausgedrückt.

$|j=1;m=1\rangle =|\uparrow \uparrow \rangle$

$|j=1;m=0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \downarrow \rangle +|\downarrow \uparrow \rangle )$

$|j=1;m=-1\rangle =|\downarrow \downarrow \rangle$

$|j=0;m=0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \downarrow \rangle -|\downarrow \uparrow \rangle )$

Auf der Unterseite: Clebsch-Gordan-Skript
wird ein Skript besprochen, das Clebsch-Gordan-Matrizen ausrechnet.

Irreduzible Tensor-Operatoren

Beispiel: Reduzible Tensoren

Die Multilinearformen von n $\mathbb {R} ^{3}$-Vektoren sind Objekte, die bei Drehungen unter sich bleiben. Ihr Vektorraum ist das Tensorprodukt von n Kopien des Dualraums zum $\mathbb {R} ^{3}$. Zu einer Form $M({\vec {x}}_{1},...{\vec {x}}_{n})$ soll die gedrehte Form $(D(R)M)$ einfach so definiert werden, dass alle Auswertungen Skalare sind. R sei eine Rotations-Matrix:

$M({\vec {x}}_{1},\cdots ,{\vec {x}}_{n})=(D(R)M)(R{\vec {x}}_{1},\cdots ,R{\vec {x}}_{n})$.

Die homogenen Polynome vom Grad n sind auch drehinvariante Vektorräume. Diese Polynome sind der Teilraum der total symmetrischen Multilinearformen. Zum Beispiel sind symmetrische Bilinearformen eindeutig durch ihre quadratische Form gegeben: $S(x,y)=[S(x+y,x+y)-S(x,x)-S(y,y)]/2$.

Bilineare Formen, $({\vec {x}},{\vec {y}})\mapsto x^{T}By$ haben eine Basis aus den 9 Monomen $x_{i}y_{k}$. Eine Form B ist als 3x3-Matrix dargestellt. Der Teilraum der symmetrischen Bilinearformen sind die quadratischen Formen. Wegen $A^{T}=A^{-1}$ für Drehmatrizen transformiert sich eine Form $x^{T}By$ als invarianter Skalar,

$(Ax)^{T}(B')(Ay)=x^{T}(A^{-1}B'A)y\Rightarrow B'=ABA^{-1}$.

Die bilinearen Formen zerfallen in 3 dreh-invariante Teilräume:

1. Dimension 1: Standard-Skalarprodukt, Basis $\{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\}$

2. Dimension 3: Antisymmetrische Matrizen, Basis ist das Vektorprodukt $\{x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\}$

3. Dimension 5: Spurfreie symmetrische Matrizen, Basis als quadratische Monome

$\{x_{1}x_{2},\;x_{2}x_{3},\;x_{3}x_{1},\;x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{3}^{2}\}$

Symbolisch ist die Zerlegung $D_{3}\times D_{3}=D_{1}+D_{3}+D_{5}$; Summe der Dimensionen 1+3+5=9. Das Tensorprodukt von zwei Dreiervektoren ist also zerlegbar in die drei irreduziblen Teile: Skalar, Vektor, Tensor. Sie entsprechen den irreduziblen Darstellungen zu Drehimpulsen 0,1 und 2. Die ganzzahligen Darstellungen der Drehgruppe sind reell, obwohl sie sich quantenmechanisch lieber als komplexe hermitesche Matrizen verkleiden. Die Kugel(flächen)funktionen sind Standardbasen dieser Darstellungen.

Die spurfreien Quadratformen lassen sich in den 5 Kugelfunktionen $Y_{2m}$ ausdrücken. Diese sind nämlich folgende Polynome in den Variablen $u=x_{1}+ix_{2},\;v=x_{1}-ix_{2},\;w=x_{3}\;$ (Normierung verschludert. Länge $|{\vec {x}}|=1$).
Den drei Linearformen $\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ entsprechen die 3 Kugelfunktionen $Y_{1m}$.

${\begin{array}{ll}Y_{22}\simeq u^{2}\\Y_{21}\simeq uw&Y_{11}\simeq u\\Y_{20}\simeq uv-2w^{2}&Y_{10}\simeq w\\Y_{2,-1}\simeq vw&Y_{1,-1}\simeq v\\Y_{2,-2}\simeq v^{2}\\\end{array}}$

Skalare, Vektor-, Tensor-Operatoren

Observable der Quantenmechanik sind Operatoren. Es gibt darunter Skalare wie z.B. den Hamilton-Operator, Vektoren wie Ortsvektor, Impuls oder Drehimpuls, sowie Tensoren. Bei Drehungen um einen zentralen Punkt ändert sich ein Skalar S nicht. Als Operator gesehen, vertauscht S mit den Operatoren, welche die Drehungen erzeugen, also mit $J_{1},J_{2},J_{3},J_{+},J_{-}$. Ein Vektor-Operator hat mehrere Komponenten $V_{i}$, die bei Drehungen mit einer Darstellungsmatrix R transformiert werden müssen, so wie auch die Ortskoordinaten $x_{i}$ von Punkten umgerechnet werden. Ein Tensor ist ein Objekt höherer Ordnung mit beispielsweise drei Indizes $T_{ijk}$ und er transformiert seine Komponenten mit dem Tensorprodukt aus drei Kopien einer Darstellungsmatrix. Physikalisch tauchen Tensoroperatoren beliebig hoher Ordnung auf etwa bei der Entwicklung eines Potenzials in eine Reihe von Multipolen.

Aus den Mengen der Hilbert-Vektoren, die die Zustände eines Quantensystems abbilden, kann man Teilräume abspalten, die sich irreduzibel under der Drehgruppe transformieren und isomorph sind zu genau einem der Darstellungräume mit einer Basis $|J,J_{3}\rangle$ der Dimension (2j+1). Aus den indexierten Mengen von Vektor-und Tensor-Operatoren kann man genauso die kleinstmöglichen unzerlegbaren linearen Teilräume isolieren. Auch die gehören dann zu einer irreduziblen Darstellung (2j'+1) der Drehgruppe.
Worum es in diesem Abschnitt geht, ist das Zusammenspiel in Matrixelementen von den Hilbertvektoren und den Operatoren, etwa $\langle u|A|v\rangle$. Welche Vorhersagen lassen sich treffen, wenn u,A und v zu drei irreduziblen Darstellungsräumen mit verschiedenen Drehimpulsen $J_{u},J_{A},J_{v}$ gehören?

Skalarer Operator.
Vorbemerkung: In diesem und folgenden Abschnitten wird mit dimensionslosen Dreh-Generatoren gerechnet, also ${\vec {J}}\equiv {\hat {J}}={\vec {J}}/\hbar$ wo das rechte ${\vec {J}}$ der physikalische Drehimpuls ist.
Ein Operator S habe mit einem Paar von irreduziblen Basen $\{|uJM\rangle \},\{|vJ'M'\rangle \}$ die Matrix $\langle uJM|S|vJ'M'\rangle$. Hier seien u,v andere Quantenzahlen als die der Drehimpulse. Sie wählen einen Unterraum von Zuständen und seine Standardbasis aus. Aus $[S,J_{3}]=0$ folgt, dass die Matrixelemente verschwinden, wenn Eigenwerte $M\neq M'$ sind. Aus $[S,J^{2}]=0$ folgt, dass auch ungleiche Eigenwerte $J\neq J'$ Null ergeben. Es gibt also nur Matrixelemente vom Typ $s=\langle uJM|S|vJM\rangle$. Weil S auch noch mit den zwei adjungierten Leiteroperatoren $J_{+},J_{-}$ vertauscht, die mit gleichen Multiplikatoren die Basis durchlaufen, folgt weiter

$s=\langle uJM|S|vJM\rangle =\langle uJ(M\pm 1)|S|vJ(M\pm 1)\rangle$. Denn:

$J_{+}|wJ(M-1)\rangle =f|wJM\rangle ;\;J_{-}|wJM\rangle =f|wJ(M-1)\rangle ;\;w\in \{u,v\};\;f={\sqrt {J(J+1)-M(M-1)}}\quad \Rightarrow$

$\langle uJM|S|vJM\rangle =(1/f)\langle uJM|SJ_{+}|vJ(M-1)\rangle =(1/f)\langle uJM|J_{+}S|vJ(M-1)\rangle =$

$=(1/f)\langle (J_{-})uJM|S|vJ(M-1)\rangle =\langle uJ(M-1)|S|vJ(M-1)\rangle .$

Also ist das Matrixelement von der Quantenzahl M unabhängig. Operator S ist mit einem einzigen reduzierten Matrixelement s(u,v) auf irreduziblen Teilräumen vollständig charakterisiert.

Auf dem Hilbertraum der Zustände sei eine Darstellung D der Drehgruppe SO(3) vorhanden. Es gibt invariante Teilräume, deren Basis $|j,m\rangle$ sich mit den Standardmatrizen $D^{(j)}$ einer irreduziblen Darstellung transformiert:

$D(R)|jm\rangle =\sum _{m'}|jm'\rangle D_{m'm}^{(j)}(R)$.

Die Standarddarstellung ist über ihre Erzeuger, die Drehimpulse $J_{1},J_{2},J_{3}$, eindeutig definiert:

${\vec {J}}^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ;\;J_{3}|jm\rangle =m|jm\rangle$.

Man beachte die Konvention, dass bei Basistransformationen -- im Gegensatz zu Komponenten-Transformationen bei gleicher Basis -- die Matrix hinter die linearkombinierten Objekte gestellt wird. Auf den Raum der Operatoren wird die Darstellung D so losgelassen, dass

$({\tilde {D}}A)(Du)=D(Au)$ gilt, also $({\tilde {D}}A)=DAD^{-1}$.

Physikalisch relevante Darstellungen sind unitär, so dass die Matrixelement von A erhalten bleiben: $\langle Du|{\tilde {D}}A|Dv\rangle =\langle Du|D(Av)\rangle =<u|Av>$.

Es ist also ${\tilde {D}}$ die induzierte Darstellung auf dem Raum der Operatoren. Daher ist es logisch, auch dort wie im Zustandsraum die kleinsten irreduziblen Tupel oder Teilmengen von Objekten zu isolieren.

Definition Irreduzibler Tensoroperator:
Man definiert einen irreduziblen Tensoroperator $T_{kq}$ als eine Sammlung von (2k+1) Operatoren, Index q von (-k) bis (k), die sich exakt wie die irreduzible Darstellung zum Drehimpuls k transformieren:

${\tilde {D}}(R)(T_{kq})=\sum _{q'}T_{kq'}D_{q'q}^{(k)}(R)$

Das Kriterium lässt sich äquivalent mit den Erzeugern formulieren. Ein Erzeuger $J$ mit $D(t)\propto \exp(tJ)$ agiert auf Operatoren als Kommutator, denn: ${\frac {d}{dt}}|_{t=0}(D(t)\,A\,D(-t))=JA-AJ=[J,A]$.

• Aktion von D, Element einer Lie-Gruppe auf Vektoren v, Operatoren A:

$v\mapsto Dv;\;A\mapsto {\tilde {D}}(A)=DAD^{-1}$

• Aktion von L aus einer Lie-Algebra $(D=\exp(tL))$ auf (v,A):

$v\mapsto Lv;\;A\mapsto {\tilde {L}}(A)=[L,A]$.

Ein irreduziber Tensoroperator hat folgende Regeln mit Drehimpulsoperatoren:

$[J_{3},T_{kq}]=qT_{kq};\quad (-k\leq q\leq k)$

$[J_{\pm },T_{kq}]=[k(k+1)-q(q\pm 1)]^{1/2}T_{k,q\pm 1}$

Dies genau definiert eine Standardbasis der Darstellung $D^{(k)}$ mit Dimension (2k+1).

Die hermitesch adjugierten Operatoren zu $T_{kq}$ formen auch eine irreduzible Menge zur selben Darstellung, wenn sie folgendermaßen gruppiert werden:

$S_{kq}=(-1)^{q}(T_{k,-q})^{\dagger }$.

Skalare Operatoren sind irreduzible Tensoroperatoren der Ordnung Null. Vektor-Operatoren ${\vec {A}}$, die häufigste Kategorie in diesem Zusammenhang, werden zu Tensoroperatoren vom Drehimpuls 1 mittels Linearkombinationen.
So nämlich kann ein Vektor-Operator $(A_{1},A_{2},A_{3})$ umgeschrieben werden als Tensoroperator zum Drehimpuls 1:

$(T_{11},T_{10},T_{1,-1})=(-(A_{1}+iA_{2})/{\sqrt {2}},\;A_{3},\;(A_{1}-iA_{2})/{\sqrt {2}})$.

Zum Nachweis wird ausgerechnet, dass die Lie-Algebra der Drehgruppe, welche in Form von $\{L_{3},L_{\pm }\}$ auf den $T_{1i}$ die Standardabbildung liefert, umgerechnet auf Vektorkomponenten die Raumdrehungen erzeugt. Mit $L_{+}=L_{1}+iL_{2};\;L_{-}=L_{1}-iL_{2}$ errechnete äquivalente Tabelle für $A_{k}$:

${\begin{array}{lccc}{\text{Element}}&{\tilde {L}}_{3}&{\tilde {L}}_{+}&{\tilde {L}}_{-}\\T_{11}&1\cdot T_{11}&0&{\sqrt {2}}\,T_{10}\\T_{10}&0\cdot T_{10}&{\sqrt {2}}\,T_{11}&{\sqrt {2}}\,T_{1,-1}\\T_{1,-1}&-1\cdot T_{1,-1}&{\sqrt {2}}\,T_{10}&0\end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{lccc}{\text{Element}}&{\tilde {L}}_{1}&{\tilde {L}}_{2}&{\tilde {L}}_{3}\\A_{1}&0&-iA_{3}&iA_{2}\\A_{2}&iA_{3}&0&-iA_{1}\\A_{3}&-iA_{2}&iA_{1}&0\end{array}}$

Es sind dies tatsächlich die infinitesimalen Drehungen um die drei Achsen. Versehen mit dem konventionellen Faktor i, weil die PhysikerInnen unbedingt hermitesche Operatoren wollen.

Die (2k+1) Kugelflächenfunktionen $Y_{kq}(\theta ,\phi )$ werden verwendet als multiplikative Operatoren etwa in einer Multipolentwicklung des Potenzials. Sie sind eine Folge von irreduzible Tensoroperatoren zu jeder Zahl k.

Satz von Wigner-Eckart

Gegeben seien drei Dinge, im Rahmen einer unitären Darstellung $D(R)$:

• Ein Operator-Tupel $T_{kq}$ als irreduzibler Tensoroperator vom Typ $D^{(k)}$
• Eine erste Unterraum-Basis $|ujm\rangle$ zur irreduziblen Darstellung $D^{(j)}$
• Eine zweite Basis $|vj'm'\rangle$ zur irreduziblen Darstellung $D^{(j')}$

u,v sind irgendwelche Quantenzahlen, die die Unterräume auswählen.

Behauptung: Die Matrixelemente der Operatoren T können geschrieben werden als eine einzige Zahl, die nicht von $(q,m,m')$ abhängt, mal einem Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Genauer, mit einem konventionellen Faktor gilt:

$\langle ujm|T_{kq}|vj'm'\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}\langle uj\|T_{k}\|vj'\rangle \cdot \langle j',k;m',q|jm\rangle$.

Der Ausdruck mit den Doppel-Betragsbalken heißt das reduzierte Matrixelement.

Korollar. Die Matrixelemente $\langle ujm|T_{kq}|vj'm'\rangle$ sind nur dann von Null verschieden, wenn $q=(m-m')$ und $|j-j'|\leq k\leq (j+j')$. Diese Eigenschaft der CG-Koeffizienten wird gerne so als Auswahlregel formuliert:
Die Matrixelemente jeder Linearkombination des Tensoroperators $T_{k}$ verschwinden zwischen zwei Drehimpulsen $j,j'$, außer wenn $|j-j'|\leq k\leq (j+j')$.

Beweis. Es gibt die $(2k+1)(2j'+1)$ Vektoren $T_{kq}|vj'm'\rangle$ indiziert mit $q,m'$. Man kombiniert sie mit der Clebsch-Gordan-Matrix zu neuen Drehimpulsen:

$|wj''m''\rangle =\sum _{m',q}T_{kq}|vj'm'\rangle \langle j'k;m'q|j''m''\rangle$

Umkehrformel wegen der Orthogonalität der CG-Matrix:

$T_{kq}|vj'm'\rangle =\sum _{j'',m''}|wj''m''\rangle \langle j'k;m'q|j''m''\rangle$

Nichts garantiert, dass die neuen $|wj''m''\rangle$ linear unabhängig sind. Es wird jedoch mit Hilfe aller bekannten Rechenregeln für Standardbasen und CG-Matrix gezeigt, dass nichtverschwindende Teilmengen, falls sie existieren, Standard-Eigensysteme mit den Drehimpulsen $j''$ bilden.

Abkürzungen: $\;A(j,m):={\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}};\;B(j,m):=A(j,m-1)={\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}$

$J_{+}T_{kq}|vj'm'\rangle =[J_{+},T_{kq}]|vj'm'\rangle +T_{kq}J_{+}|vj'm'\rangle =A(k,q)T_{k,q+1}|vj'm'\rangle +A(j',m')T_{kq}|vj',m'+1\rangle \quad \Rightarrow$

$J_{+}|wj''m''\rangle =\sum _{m',q}T_{kq}|vj'm'\rangle \{B(k,q)\langle j(k;m',q-1|j''m''\rangle +B(j',m')\langle j'k;m'-1,q|j''m''\}$

Wegen der aufsteigenden Rekursion der CG-Matrix ist die geschweifte Klammer

$\{\cdots \}=A(j'',m'')\langle j'k,m'q|j'',m''+1\rangle \quad \Rightarrow$

• $J_{+}|wj''m''\rangle =A(j'',m'')|wj'',m''+1\rangle$

Nach dem selben Ritus erhält man noch folgende Eigenschaften:

• $J_{-}|wj''m''\rangle =B(j'',m'')|wj'',m''-1\rangle$
• $J_{3}|wj''m''\rangle =m''|wj''m''\rangle$

Folgerung: Für jeden Wert $j''$ sind die Vektoren $|wj''m''\rangle$ entweder alle Null oder sie spannen eine irreduzible Darstellung zur Quantenzahl $j''$ auf. Alle ihre Skalarprodukte mit den Bras $\langle ujm|$ sind entweder Null, oder aber $j=j''$ und die Skalarprodukte sind $=C\cdot \delta _{m,m''}$ mit einer Konstanten. Denn Eigenvektoren von $J^{2}$ oder $J_{3}$ zu verschiedenen Werten sind orthogonal. Ähnlich wie oben beim skalaren Operator folgt mit den Auf/Absteige-Operatoren, dass die Produkte $\langle umj|wmj\rangle$ für alle m gleich sind.
(Es gibt ein ganz allgemeines Lemma von Schur, wonach unitäre irreduzible Darstellungen sich auf keine andere Weise überlappen können, wenn sie Unterräume desselben Hilbertraums sind.)
Es folgt nun mit der zuletzt hingeschriebenen Umkehrformel:

$\langle ujm|T_{kq}|vj'm'\rangle =\sum _{j'',m''}C\delta _{j,j''}\delta _{m,m''}\langle j'k;m'q|j''m''\rangle$.

Und dies ergibt die behauptete Wigner-Eckart-Formel.

Ein Vektoroperator hat die Auswahlregeln: $(m-m')\in \{-1,0,1\};\;(j-j')\in \{-1,0,1\}$ und $j=j'=0$ ist nicht erlaubt.

Anwendung

Multipolmomente
der Atomkerne helfen dabei, die Prozesse zu analysieren, bei denen Gammastrahlung ausgesendet wird. Elektrische Multipole ($2^{l}$-Pole) sind irreduzible Tensoroperatoren $Q^{(l)}$ von der Ordnung l mit Parität $(-1)^{l}$. Magnetische $2^{l}$-Pole $M^{(l)}$ sind solche mit der anderen Parität $(-1)^{l+1}$. Wenn ein derartiger Multipol als Operator im Rahmen einer Störungsrechnung zwischen Zuständen auftaucht, $\langle jm|M^{(l)}|j'm'\rangle$, dann können nur Übergänge mitspielen, die in den Grenzen $|j-j'|\leq l\leq (j+j')$ liegen. Für jedes erlaubte Tripel $(j,l,j')$ sind die Amplituden als Funktion der $(m,m')$ gemäß Wigner-Eckart mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten vorherzusagen.
Außerhalb einer zentralen Ladungsverteilung kann ein Potenzial, das die Laplace-Gleichung löst, in Kugelfunktionen entwickelt werden:

$V({\vec {x}})=\sum _{k}\sum _{m=-k}^{+k}a_{km}\,Y_{km}(\theta ,\phi )(r^{k};\,r^{-k-1}(?))$

Für jedes k bilden die $(2k+1)\;Y_{km}$ als Faktoren einen irreduziblen sphärischen Tensoroperator im Sinne von Wigner-Eckart. Seine Koeffizienten definieren das elektrische $2^{k}$-Pol-Moment.

Drehimpuls und andere Vektoroperatoren
Der Drehimpuls ${\vec {J}}$ vom Vektor-Operator zum sphärischen Tensor umgeformt:

$(T_{1},T_{0},T_{-1})=(-(J_{1}+iJ_{2})/{\sqrt {2}},J_{3},(J_{1}-iJ_{2})/{\sqrt {2}})$

Zwischen zwei Eigenvektoren zum Drehimpuls j und zu $J_{3}=j$ nach Wigner-Eckart:

$j\delta _{uv}=\langle ujj|J_{3}|vjj\rangle =\langle j1;j0|jj\rangle \langle uj\|J\|vj\rangle$.

Es gibt nun folgende Formeln für spezielle Clebsch-Gordan-Werte:

$\langle j1;j0|jj\rangle ={\sqrt {\frac {j}{j+1}}};\quad \langle j2;j0|jj\rangle ={\sqrt {\frac {j(2j-1}{(j+1)(2j+3)}}}$

Damit kommt hier heraus:

$\langle uj'\|J\|vj\rangle ={\sqrt {j(j+1)}}\delta _{jj'}\delta _{uv}$.

Wigner-Eckart kann die Matrizen jedes Vektoroperators A relativ zu J ausdrücken:

$\langle uj'm'|A_{q}|vjm\rangle ={\frac {\langle uj'\|A\|vj\rangle }{\langle uj'\|J\|vj\rangle }}\langle uj'm'|T_{q}|vjm\rangle$

Für den skalaren Operator $({\vec {J}}\cdot {\vec {A}})$ und $j=j'$ folgt daraus

$\langle ujm'|({\vec {J}}\cdot {\vec {A}})|vjm\rangle =c\langle uj\|A\|vj\rangle$

Die Konstante c hängt nicht von u,v oder den Eigenschaften von ${\vec {A}}$ ab. Daher wird c ausgewertet mit ${\vec {A}}={\vec {J}},{\text{ wo }}\langle <uj\|J\|uj\rangle ={\sqrt {j(j+1)}}$. Damit folgt

$c={\sqrt {j(j+1)}}\delta _{mm'}\quad \Rightarrow \langle uj\|A\|vj\rangle ={\frac {\langle ujm|({\vec {J}}\cdot {\vec {A}})|vjm\rangle }{\sqrt {j(j+1)}}}$.

Einsetzen liefert die Matrix von ${\vec {A}}$ mit Eigenvektoren vom Drehimpuls j:

• $\langle ujm'|T_{q}|vjm\rangle ={\frac {\langle ujm|({\vec {J}}\cdot {\vec {A}})|vjm\rangle }{j(j+1)}}\langle jm'|J_{q}|jm\rangle$

Die Matrix ist auf Konstanten und eine Diagonale in m mit dem skalaren Operator $({\vec {J}}\cdot {\vec {A}})$ eingedampft worden.

Magnetisches Moment eines Atoms.
Das magnetische Moment ist ein Vektoroperator, der aus einem Bahndrehimpuls ${\vec {L}}$ und einem Gesamtspin ${\vec {S}}$ linearkombiniert wird: ${\vec {m}}={\frac {-e}{2mc}}(g_{L}{\vec {L}}+g_{S}{\vec {S}})$. Der totale Drehimpuls ist der Vektoroperator ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$. Als magnetisches Moment im Zustand j definieren wir den maximalen Erwartungswert

$m:=\langle ujj|m_{3}|ujj\rangle =\langle j1;j0|jj\rangle \langle uj\|{\vec {m}}\|uj\rangle ={\sqrt {\frac {j}{j+1}}}\langle uj\|{\vec {m}}\|uj\rangle$

Die Formel zur Reduktion aufs Skalarprodukt $({\vec {J}}\cdot {\vec {M}})$ wird angewandt.

$m={\frac {-e}{2m\hbar c(j+1)}}\langle ujj|g_{L}({\vec {L}}\cdot {\vec {J}})+g_{S}({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})|ujj\rangle$.

Mit ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}\quad \Rightarrow ({\vec {L}}\cdot {\vec {J}})={\tfrac {1}{2}}(J^{2}+L^{2}-S^{2});\;({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})={\tfrac {1}{2}}(J^{2}+S^{2}-L^{2})\quad \Rightarrow$

$m={\frac {-e}{4m\hbar c(j+1)}}\langle ujj|(g_{L}+g_{S})J^{2}+(g_{L}-g_{S})(L^{2}-S^{2})|ujj\rangle$

In einer gängigen Approximation wird ein Atom-Grundzustand mit einer LS-Kopplung beschrieben. $|ujj\rangle$ ist ein Eigenzustand zu $L^{2}$ und $S^{2}$ mit Drehimpulsen l und s, und die g-Faktoren sind $g_{L}=1;\;g_{S}=2$. Damit folgt schließlich

• $m={\frac {-e\hbar j}{2mc}}\left[1+{\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right]$.

Der Ausdruck in eckigen Klammern heißt der Landé-g-Faktor für LS-Kopplung.

Spin-Spin-Operator.
Phänomenologisch wird die Kraft zwischen zwei Nukleonen mit einem Hamilton-Operator angenähert, der sich aus dreh-invarianten Termen aufbaut. Die Bausteine sind vier Vektor-Operatoren: ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}$ der relative Ort, ${\vec {p}}={\tfrac {1}{2}}({\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{2})$ der relative Impuls, ${\vec {S}}_{1}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{1};\;{\vec {S}}_{2}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{2}$ die zwei Spins. Daraus zusammengesetzt sind die Operatoren Bahndrehmoment $L={\vec {r}}\times {\vec {p}}$, Gesamtspin ${\vec {S}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}$, Gesamt-Drehmoment ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$.
Der Modell-Hamiltonoperator ist rotationssymmetrisch um den Schwerpunkt herum:

$H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V_{1}(r)+V_{2}(r)({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{2})+V_{3}(r)({\vec {L}}\cdot {\vec {S}})+V_{4}(r)\left[3{\frac {({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {r}})({\vec {S}}_{2}\cdot {\vec {r}})}{r^{2}}}-({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{2})\right]$

Alternativer Ausdruck: $({\vec {L}}\cdot {\vec {S}})={\tfrac {1}{2}}(J^{2}-L^{2}-S^{2})$.

Und: $({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{2})={\tfrac {1}{2}}(S^{2}-S_{1}^{2}-S_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(S^{2}-{\tfrac {3}{2}})$

weil beide Spins den Eigenwert $S_{i}^{2}={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {1}{2}}+1)$ haben.

Auch: $({\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {r}})^{2}=r^{2}/4$ für jede Richtung von ${\vec {r}}$.

Also: $({\vec {S}}\cdot {\vec {r}})^{2}=(({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {r}})+({\vec {S}}_{2}\cdot {\vec {r}}))^{2}=r^{2}/2+2({\vec {S}}_{1}\cdot {\vec {r}})({\vec {S}}_{2}\cdot {\vec {r}})$.

Damit lässt sich der Term mit $V_{4}$ verpacken als:

${\frac {V_{4}}{2}}\left[{\frac {3({\vec {S}}\cdot {\vec {r}})^{2}}{r^{2}}}-S^{2}\right]$.

Dem Operator hier gab man genau diese Form mit der Zahl 3 drin, weil er damit eine Kontraktion von zwei irreduziblen Tensor-Operatoren der Dimension 5 (der Drehimpuls-Quantenzahl 2) ist. Man rechnet nämlich aus, dass das Polynom $P=(3(Sr)^{2}-S^{2}r^{2})$ sich aus den 5-Tupeln $(x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},x_{3}x_{1},x_{1}^{2}-x_{2}^{2},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{3}^{2});\;x\in \{S,r\}$ aufbaut.
Als Operatoren vertauschen alle Paare $(S_{i},r_{k})$ und $(r_{i},r_{k})$, aber Achtung, nicht alle Paare $(S_{i},S_{k})$. Besser würde der folgende Ausdruck mit voll symmetrischen Termen geschrieben -- es wären die Antikommutatoren ${\tfrac {1}{2}}\{S_{i},S_{k}\}$ einzusetzen.

$P=3\sum _{i,k}S_{i}S_{k}r_{i}r_{k}-(\sum _{i}S_{i}^{2})(\sum _{k}r_{k}^{2})=3\sum _{i,k;i\neq k}(S_{i}S_{k})(r_{i}r_{k})+3\sum _{i}S_{i}^{2}r_{i}^{2}-\sum _{i,k}S_{i}^{2}r_{k}^{2}$.

Der Teil mit den Quadraten gerät ganz wie gewünscht:

$\cdots ={\tfrac {3}{2}}(S_{1}^{2}-S_{2}^{2})(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})+{\tfrac {1}{2}}(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{3}^{2})(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{2}^{2})$

und damit ist P bilinear in den zwei spurfreien symmetrischen Quadratformen. Der Teil $V_{4}$ der Wechselwirkung zwischen Spins heißt auch die Tensorkraft.

Bahndrehimpuls und Spin

Zur Addition der Operatoren von Bahndrehimpuls ${\vec {L}}$ und Spin ${\vec {S}}$ (pingelig: von ${\bar {L}}={\vec {L}}/\hbar ...)$ mit Eigenwerten $L^{2}\to l(l+1);\;S^{2}\to s(s+1);\quad s=(1/2)$.
Dies ist ein Spezialfall der Clebsch-Gordan-Matrix, explizit ausgerechnet. Bei den Normierungen im Folgenden hilft die Gleichung $j(j+1)-m(m-1)=(j+m)(j-m+1)$.
Sei $(X^{2},X_{3})$ eines der Operator-Paare $(L^{2},L_{3});\;(S^{2},S_{3});\;(J^{2},J_{3})$ mit Eigenwerten $(x(x+1),y)$ und Eigenvektoren $|x,y\rangle$. Der Absteige-Operator ist $X_{-}:|x,y\rangle \mapsto {\sqrt {x(x+1)-y(y-1)}}\cdot |x,y-1\rangle$

Orthonormale Vektoren sind die Tensorprodukte von (2l+1) Eigenvektoren zu $L_{3}$, also $\{|l;\;m\rangle ;\;m=-l,(-l+1)...l\}\quad (l=1,2,3...)$, mit einem Spinorpaar $\{|s;\downarrow \rangle ,|s;\uparrow \rangle \}$. Die Produktvektoren werden notiert als $|m,\uparrow \rangle ;\;|m,\downarrow \rangle$. Gesucht sind Eigenvektoren zum Operator $J^{2};\;J=L+S$, und seiner Komponente $J_{3}$, Notation hier: $|j,j3=...\rangle$.
j kann die 2 Werte $(l\pm {\tfrac {1}{2}})$ haben.

Der Vektor $|m=l,\uparrow \rangle$ ist bereits ein normierter Eigenvektor zu $J^{2},J_{3}$ mit Werten $|j,j3=M,M\rangle ,\;M=l+{\tfrac {1}{2}}$.
Wertebereich von j3 ist $-l-{\tfrac {1}{2}}...l+{\tfrac {1}{2}}$ mit Schritt 1.

Wiederholte Anwendung des Operators $J_{-}=L_{-}+S_{-}$ .

$|j,j3=M,M-1\rangle =(1/{\sqrt {2l+1}})(L_{-}+S_{-})|l,\uparrow \rangle =(1/{\sqrt {2l+1)}})[{\sqrt {2l}}\,|l-1,\uparrow \rangle +|l,\downarrow \rangle ]=$

${\sqrt {l2/(2l+1)}}\,|l-1,\uparrow \rangle +(1/{\sqrt {2l+1}})\,|l,\downarrow \rangle$

$|M,M-2\rangle =(1/{\sqrt {2l+1}})[{\sqrt {2l-1}}\,|l-2,\uparrow \rangle +{\sqrt {2}}\,|l-1,\downarrow \rangle ]$

Allgemein ergeben sich Vektoren $|j,j3=M,K\rangle$ als Paarkombinationen aus ${|l-k,\uparrow \rangle ,|l-k+1,\downarrow \rangle }$. Durch vollständige Induktion mit Anwenden des Absteigers $J_{-}$ zeigt man für $K=M,(M-1)...-M,K$ halbzahlig:

$|M,K\rangle =(1/{\sqrt {2l+1}})\left[{\sqrt {l+K+{\tfrac {1}{2}}}}\,|K-{\tfrac {1}{2}},\uparrow \rangle +{\sqrt {l-K+{\tfrac {1}{2}}}}\,|K+{\tfrac {1}{2}},\downarrow \rangle \right]$

Der zweite $J^{2}$-Unterraum des Tensorprodukts gehört zu j=M-1. Es beginnt mit einer Linearkombination aus $\{|l-1,\uparrow \rangle ,|l,\downarrow \rangle \}$, die orthogonal zu $|j,j3=M,M-1\rangle$ sein muss. Mit reellen, positiven Koeffizienten findet man

$|j,j3=M-1,M-1\rangle =(1/{\sqrt {2l+1}})[{\sqrt {2l}}\,|l,\downarrow \rangle -|l-1,\uparrow \rangle ]$.

Allgemein muss $|j,j3=M-1,K\rangle$ orthogonal sein zu $|j,j3=M,K\rangle$ und man erhält diese Paarkombination, die ebenfalls durch Induktion mit dem Absteige-Operator bewiesen wird:

$|M-1,K\rangle =(1/{\sqrt {2l+1}})\left[{\sqrt {l+K+{\tfrac {1}{2}}}}\,|K+{\tfrac {1}{2}},\downarrow \rangle -{\sqrt {l-K+{\tfrac {1}{2}}}}\,|K-{\tfrac {1}{2}},\uparrow \rangle \right]$

Die skalaren Wellenfunktionen $R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ des Wasserstoff- Atoms müssen zu zweikomponentigen Spinoren aufgewertet werden.

$|n,j,j3=n,l+{\tfrac {1}{2}},K\rangle ={\frac {R_{nl}}{\sqrt {2l+1}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {l+K+{\tfrac {1}{2}}}}\;Y_{l,K-(1/2)}\\{\sqrt {l-K+{\tfrac {1}{2}}}}\;Y_{l,K+(1/2)}\end{pmatrix}}$

$|n,j,j3=n,l-{\tfrac {1}{2}},K\rangle ={\frac {R_{nl}}{\sqrt {2l+1}}}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {l-K+{\tfrac {1}{2}}}}\;Y_{l,K-(1/2)}\\{\sqrt {l+K+{\tfrac {1}{2}}}}\;Y_{l,K+(1/2)}\end{pmatrix}}$

Die Eigenzustände zu $J^{2}$ bekommen den halbzahligen Eigenwert (j) als Index angehängt an die Standard-Bezeichnung des Wasserstoff-Niveaus, von dem sie abstammen. Zum Beispiel gibt es $2s_{1/2};\;2p_{1/2};\;2p_{3/2}$. Diese sind Zustands-Räume der Dimensionen (2j+1) = 2;2;4. Wie später drankommt, macht der genauere Hamilton-Operator es nötig, mit spin-behafteten Orbitalen zu rechnen.

Beispiele

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