Quantenmechanik/ Fock-Darstellung

Teilchenzahl-Darstellung, Erzeuger und Vernichter

Für viele Systeme aus gleichen Teilchen ist eine Teilchenzahl-Darstellung, auch Darstellung im Fock-Raum genannt, praktischer als die Manipulation von Slater-Determinanten und dergleichen. Auf einer solchen Basis kann eine Algebra von Operatoren ausgerollt werden, die kanonisch vertauschen oder antivertauschen und mit denen sich besonders im Heisenberg-Bild die Dynamik gut beschreiben lässt.

Annahme: Die Einteilchen-Zustände haben eine abzählbare orthonormale Basis, die mit Indizes i,k etc. nummeriert wird und die aus den Eigenvektoren einer genügend hochauflösenden Observablen (bzw. einer vollständigen Menge von vertauschenden Observablen) bestehe. Eine Basis des Vielteilchen- Hilbertraums kann dann durchgezählt werden mit endlichen Folgen $|\{n_{i}\}\rangle =|n_{1},n_{2},n_{3}\cdots \rangle$ von nichtnegativen ganzen Teilchenzahlen. Eine Basis von Bosonen-Zuständen wird erzeugt mit allen Teilchenzahl-Folgen, wo jedes $n_{i}$ nichtnegative Werte haben darf und angibt, wie viele Teilchen sich auf dem Einteilchen-Niveau i befinden. Ein Fermion-Raum erlaubt nur die zwei Werte 0,1 für jedes $n_{i}$ seiner Basis.
Diese Vielteilchen-Basen sollen vollständige orthonormale Systeme sein. Der Vielteilchen-Raum, auch Fock-Raum genannt, ist die direkte orthogonale Summe aus allen Hilberträumen zu gegebener Gesamt-Teilchenzahl n. Wie zu erläutern, sind diese n-Teilchen-Teilräume jedoch keine normalen Tensorprodukte vom Einteilchen-Raum, sondern sind modulo Vertauschungs-Symmetrie 'eingedampfte' Produkte davon.

Das System aus vielen ununterscheidbaren Teilchen hat also eine Basis aus Zuständen, die von denen des einzelnen Teilchens abstammen. Nach diesem Schema haben die Teilchen vorerst keine Wechselwirkung miteinander. Eine solche soll danach aufgeschaltet und mit Störungsrechnung ausgehend von einer Fock-Basis behandelt werden. Die Teilchenzahl-Folgen sind die Eigenwerte einer Folge $\{N_{i}\}$ von hermiteschen Teilchenzahl-Operatoren.

Definition Erzeuger-Operatoren und Vernichter-Operatoren:
Ein Operator $A_{i}^{\dagger }$ erzeugt ein Teilchen auf dem Niveau i. Er soll einen Zustand $|X;n_{i}\rangle$ in den Zustand $f\cdot |X;n_{i}+1\rangle$ (herauszufindender Faktor f) überführen. Hier bezeichnet X alle anderen Werte der Zahlenfolge. Sein hermitesch adjungiertes Gegenstück, der Vernichter $A_{i},$ soll $|X;n_{i}+1\rangle$ auf ein $g\cdot |X;n_{i}\rangle$ abbilden. Aus dem Vakuum machen die Vernichter den Nullvektor.

Die Operator-Algebra, die von diesen Mengen von Erzeugern und Vernichtern aufgespannt wird, soll später die Dynamik der Wechselwirkungen erlauben, also vor allem einen Hamilton-Operator kombinieren können.

Analog wie die Zustände des harmonischen Oszillators wird die Vielteilchen-Basis ausgehend von einem Grundzustand mit adjungierten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren aufgebaut. Der Grundzustand $|0,0,0,\cdots \rangle =|\mathbf {0} \rangle$ ist leer von allen Teilchen und heißt das Vakuum. Er ist normiert, nicht mit dem Nullvektor zu verwechseln!

Einteilchen-Zustände sollen mit Faktoren 1 erzeugt und vernichtet werden:

$A_{i}^{\dagger }\;|\mathbf {0} \rangle =|n_{1}=0,n_{2}=0,...,n_{i}=1,...\rangle =:|E_{i}\rangle$

$A_{i}\;|E_{j}\rangle =\delta _{ij}|\mathbf {0} \rangle$

Der Vernichter mit Index i macht alle Zustände zum Nullvektor, die kein Teilchen auf dem Niveau i haben. Das Vakuum wird von allen Vernichtern genullt.

Ein allgemeiner Einteilchen-Zustand $|\Psi \rangle =\sum \nolimits _{k}z_{k}|E_{k}\rangle$ hat die Bornsche Wahrscheinlichkeit $|z_{i}|^{2},$ den Eigenzustand i zu messen. Denn mit $A_{i}|\Psi \rangle =z_{i}|\mathbf {0} \rangle ;\;\langle \Psi |A_{i}^{\dagger }=z_{i}^{*}\langle \mathbf {0} |\;\Rightarrow$

$|z_{i}|^{2}=z_{i}^{*}z_{i}\;\langle \mathbf {0} |\mathbf {0} \rangle =\langle \Psi |A_{i}^{\dagger }A_{i}|\Psi \rangle .$

Basiswechsel der Einteilchen-Zustände. Eine neue Basis $\{F_{j}\}$ sei durch unitäre Matrizen mit der Basis $\{E_{i}\}$ verbunden. Das Vakuum soll invariant bleiben.

$|F_{j}\rangle =\sum \nolimits _{i}|E_{i}\rangle \langle E_{i}|F_{j}\rangle ;\quad |E_{i}\rangle =\sum \nolimits _{j}|F_{j}\rangle \langle F_{j}|E_{i}\rangle$

Dann gelten zwischen alten $\{A_{i}\}$ und neuen Vernichtern $\{B_{j}\}$ folgende Regeln

$A_{i}^{\dagger }=\sum \nolimits _{j}B_{j}^{\dagger }\;\langle F_{j}|E_{i}\rangle ;\quad A_{i}=\sum \nolimits _{j}\langle E_{i}|F_{j}\rangle \;B_{j}$

Denn für Erzeuger kommt so die richtige Aktion auf dem Vakuum heraus:

$A_{i}^{\dagger }|\mathbf {0} \rangle =|E_{i}\rangle =\sum \nolimits _{j}|F_{j}\rangle \langle F_{j}|E_{i}\rangle =\sum \nolimits _{j}B_{j}^{\dagger }|\mathbf {0} \rangle \;\langle F_{j}|E_{i}\rangle .$

Die adungierte Vernichter-Gleichung ist trivial auf dem Vakuum. Und:

$\delta _{ik}|\mathbf {0} \rangle =A_{i}|E_{k}\rangle =\sum \nolimits _{h}A_{i}|F_{h}\rangle \langle F_{h}|E_{k}\rangle =\sum \nolimits _{h}\sum \nolimits _{j}\langle E_{i}|F_{j}\rangle (B_{j}|F_{h}\rangle )\langle F_{h}|E_{k}\rangle$

In der Mitte kommt ein $\delta _{jh}|\mathbf {0} \rangle$ und dann verbleibt dank der unitären Matrix ein $\delta _{ik}.$ Also funktioniert per Linearität die Vernichter-Transformationsregel korrekt auf allen Einteilchen-Zuständen.

Postulat: die Regeln der unitären Operator-Transformation sind auf den ganzen Vielteilchen-Raum fortzusetzen. Es stellt sich heraus, dass nur bestimmte Koeffizienten f,g für allgemeine Zustände durchgehen. Nur für die Bosonen und Fermionen kann eine konsistente Algebra aufgebaut werden. Allgemeinere Systeme, so genannte Anyonen, werden mit dieser Unitaritäts-Regel nicht erfasst.

Werden zwei Erzeuger vertauscht, müssen sie einen Zustand bis auf einen Faktor gleich transformieren: $A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }\Psi =zA_{j}^{\dagger }A_{i}^{\dagger }\Psi .$
Seien $i,j,\Psi$ fixiert, und beliebige unitäre Matrizen werden durchgespielt.

$0=(A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }-zA_{j}^{\dagger }A_{i}^{\dagger }\rangle )\Psi =\sum _{k,l}\langle F_{k}|E_{i}\rangle \langle F_{l}|E_{j}\rangle (B_{k}^{\dagger }B_{l}^{\dagger }-zB_{l}^{\dagger }B_{k}^{\dagger })\Psi .$

Die Koeffizienten vor der letzten Klammer können den ganzen linearen Raum der numerischen Doppelfolgen erzeugen, wenn die unitären Matrizen durchlaufen werden. Weil auch jedes $\Psi$ eingesetzt werden kann, bestehen Operator- Gleichungen, unabhängig von $k,l,\Psi :$

$(B_{k}^{\dagger }B_{l}^{\dagger }-zB_{l}^{\dagger }B_{k}^{\dagger })=0;\quad (B_{l}^{\dagger }B_{k}^{\dagger }-zB_{k}^{\dagger }B_{l}^{\dagger })=0$

Es folgt $z^{2}=1\;\Rightarrow \;z=\pm 1.$
Es gibt zwei Lösungen für die Erzeuger-Algebra:

1. Kommutator-Relation: $\quad A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }-A_{j}^{\dagger }A_{i}^{\dagger }=0\;\forall \;i,j$
2. Antikommutator-Relation: $\quad A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }+A_{j}^{\dagger }A_{i}^{\dagger }=0\;\forall \;i,j$

Adjungieren der Operatoren liefert

1. Kommutator-Relation: $\quad A_{i}A_{j}-A_{j}A_{i}=0\;\forall \;i,j$
2. Antikommutator-Relation: $\quad A_{i}A_{j}+A_{j}A_{i}=0\;\forall \;i,j$

Werden ein Erzeuger und ein Vernichter vertauscht, dann gilt auch mit einen Faktor y für den Zustand $\Psi :\;A_{i}A_{j}^{\dagger }\Psi =yA_{j}^{\dagger }A_{i}\Psi ;\;i\neq j.$
Wie oben folgt mit allen unitären Matrizen

$0=(A_{i}A_{j}^{\dagger }-yA_{j}^{\dagger }A_{i}\rangle )\Psi =\sum _{k,l}\langle E_{i}|F_{k}\rangle \langle F_{l}|E_{j}\rangle (B_{k}B_{l}^{\dagger }-yB_{l}^{\dagger }B_{k})\Psi .$

Hier jedoch greift für k=l die Nebenbedingung der Unitarität: $\sum \nolimits _{k}\langle E_{i}|F_{k}\rangle \langle F_{k}|E_{j}\rangle =0.$ Das heißt, nur solche Doppelfolgen tauchen auf, deren Diagonalsumme Null ist. Es lässt sich vorerst nur bedingt wie oben folgern, für $k\neq l:$

$B_{k}B_{l}^{\dagger }-yB_{l}^{\dagger }B_{k}=0;\;(k\neq l);\quad A_{i}A_{j}^{\dagger }-yA_{j}^{\dagger }A_{i}=0;\;(i\neq j).$

Dann müssen aber auch die Teilsummen {k=l} verschwinden, $i\neq j:$

$0=\sum \nolimits _{k}\langle E_{i}|F_{k}\rangle \langle F_{k}|E_{j}\rangle (B_{k}B_{k}^{\dagger }-yB_{k}^{\dagger }B_{k})\Psi .$

Die Summe der Koeffizienten vor der Klammer ist immer Null (Unitarität), aber sonst streifen sie, ebenso wie der Vektor $\Psi ,$ alle denkbaren Werte. Das wird nun gelöst, wenn die Klammer unabhängig von k derselbe Operator C ist: $B_{k}B_{k}^{\dagger }-yB_{k}^{\dagger }B_{k}=C\;\forall k.$
Durch Anwendung der unitären Transformationen folgt dann für jede andere Basis die Gleichung mit demselben $C:\;A_{i}A_{i}^{\dagger }-yA_{i}^{\dagger }A_{i}=C\;\forall i.$
Beweis:

$A_{i}A_{i}^{\dagger }-y\cdot A_{i}^{\dagger }A_{i}=\sum _{j,k}(\langle E_{i}|F_{j}\rangle B_{j}\langle F_{k}|E_{i}\rangle B_{k}^{\dagger }-y\cdot \langle F_{k}|E_{i}\rangle B_{k}^{\dagger }\langle E_{i}|F_{j}\rangle B_{j})$

Die Operator-Terme sind nach Voraussetzungen $C\delta _{jk}$ und es verbleiben Summen der unitären Matrix, die Eins sind, $\sum \nolimits _{j}\langle E_{i}|F_{j}\rangle \langle F_{j}|E_{i}\rangle .$

Anwendung auf das Vakuum ergibt: $C|\mathbb {0} \rangle =|\mathbb {0} \rangle .$ Deshalb wird $C=\mathbf {1}$ als Einheitsoperator gewählt.

Die Teilchenzahl-Operatoren $N_{i}$ in der Basis $\{E_{i}\}$ und $M_{j}$ in der Basis $\{F_{j}\}$ sollen sich zur gleichen Teilchensumme N addieren, $N=\sum \nolimits _{i}N_{i}=\sum \nolimits _{j}M_{j}.$ Brauchbare Kandidaten sind die Operatoren

$N_{i}=uA_{i}^{\dagger }A_{i}+v\mathbf {1}$ mit reellen Konstanten. Denn deren Summe ist

in der Tat unitär invariant. Weil $N_{i}|\mathbf {0} \rangle =0$ ergeben muss, ist v=0. Auf Einteilchenzuständen ist $A_{i}^{\dagger }A_{i}|E_{j}\rangle =\delta _{ij}|E_{j}\rangle ,$ also u=1.
Mit $N_{i}:=A_{i}^{\dagger }A_{i}$ gelten folgende Gleichungen:

$N_{i}A_{k}-A_{k}N_{i}=A_{i}A_{i}^{\dagger }A_{k}-A_{k}A_{i}A_{i}^{\dagger }=yA_{i}A_{k}A_{i}^{\dagger }-A_{k}A_{i}A_{i}^{\dagger }=$

$(yA_{i}A_{k}-A_{k}A_{i})A_{i}^{\dagger }=0\;{\text{ für }}\;i\neq k.$ Analog herzuleiten:

$N_{i}A_{k}^{\dagger }-A_{k}^{\dagger }N_{i}=0\;{\text{ für }}\;i\neq k$

$N_{i}A_{i}-A_{i}N_{i}=-A_{i}$

$N_{i}A_{i}^{\dagger }-A_{i}^{\dagger }N_{i}=A_{i}^{\dagger }$

$x=1\;\Rightarrow \;(1-y)N_{i}A_{k}=0\;\forall i,k;\;i\neq k$

$x=-1\;\Rightarrow \;(1+y)N_{i}A_{k}=0\;\forall i,k;\;i\neq k$

Es folgt x=y, denn auf Vielteilchen-Zuständen verschwinden die Operator-Produkte nicht.

Zusammengefasst, es gibt zwei Typen von Erzeuger-Vernichter-Algebra:

${\begin{array}{ll}{\text{Bose-Einstein}}&{\text{Fermi-Dirac}}\\A_{k}^{\dagger }A_{l}^{\dagger }-A_{l}^{\dagger }A_{k}^{\dagger }=0&A_{k}^{\dagger }A_{l}^{\dagger }+A_{l}^{\dagger }A_{k}^{\dagger }=0\\A_{k}A_{l}-A_{l}A_{k}=0&A_{k}A_{l}+A_{l}A_{k}=0\\A_{k}A_{l}^{\dagger }-A_{l}^{\dagger }A_{k}=\delta _{kl}&A_{k}A_{l}^{\dagger }+A_{l}^{\dagger }A_{k}=\delta _{kl}\end{array}}$

Aus der relativistischen Quantenfeldtheorie folgt, dass Teilchen mit ganzzahligem Spin im Rudel als Bosonen, solche mit halbzahligem Spin als Fermionen auftreten.

Die Fermion-Erzeuger sind nilpotent, $(A_{k}^{\dagger })^{2}=0,$ daher gibt es keine Zustände mit zwei Partikeln auf demselben Niveau: Pauli-Prinzip.

Für $i\neq k:\;N_{i}N_{k}=A_{i}^{\dagger }A_{i}A_{k}^{\dagger }A_{k}=x^{2}A_{k}^{\dagger }A_{i}^{\dagger }A_{i}A_{k}=x^{4}A_{k}^{\dagger }A_{k}A_{i}^{\dagger }A_{i}=N_{k}N_{i}\quad (x=\pm 1)$

Die Teilchenzahl-Operatoren für verschiedene Zustände kommutieren. Operatoren $N_{i}$ sind positiv definit hermitesch. Sei $|F\rangle$ ein Eigenvektor mit $N_{i}|F\rangle =n|F\rangle ,$ dann ist für Bosonen der Vektor $A_{i}^{\dagger }|F\rangle$ wegen

$N_{i}(A_{i}^{\dagger }|F\rangle )=A_{i}^{\dagger }A_{i}^{2}|F\rangle =(A_{i}+A_{i}A_{i}^{\dagger }A_{i})|F\rangle =(1+n)(A_{i}|F\rangle$

ein Eigenvektor mit Eigenwert (n+1). Es gibt also von Null angefangen Leitern mit allen Teilchenzahlen. Bei Fermionen geht es analog vom Eigenwert 1 auf 0 über, sowie von 0 auf 1. Keine anderen Eigenwerte existieren.

Bestimmung der Faktoren f,g aus der Definition der Erzeuger/Vernichter:

$\langle X,n_{i}|N_{i}|X,n_{i}\rangle =n_{i}=\langle X,n_{i}|A_{i}^{\dagger }A_{i}|X,n_{i}\rangle \;\Rightarrow \;A_{i}|X,n_{i}\rangle =z{\sqrt {n_{i}}}|X,n_{i}-1\rangle$

mit einem Phasenfaktor z. Für Bosonen kann widerspruchsfrei z=1 gewählt werden, und

$A_{i}^{\dagger }|X,n_{i}\rangle ={\sqrt {n_{i}+1}}|X,n_{i}+1\rangle .$

Für Fermionen ist z:= (-1) hoch (Zahl der besetzten Zustände kleiner als i) kompatibel mit allen Vertauschungsregeln.
Jeder Boson-Basiszustand hat dieselbe Operator-Algebra wie der Harmonische Oszillator. Zu jedem Fermion-Basiszustand gehört nur ein Zwei-Niveau-System, also ein zweidimensionaler Vektorraum, dessen Observablen-Menge mit den Paulimatrizen erzeugt werden kann. Jedoch ist der Vielfermion-Raum nicht ein Tensorprodukt aus unabhängigen Räumen der Dimension 2, einer pro Niveau i. Das Pauli- und Superpositions-Prinzip zusammen äußern sich in einer 'Austausch-Wechselwirkung'. Der Einfluss vom Kollektiv der Fermionen erwirkt nämlich, dass der Faktor z bei Anwendung der Operatoren $A_{i},A_{i}^{\dagger }$ von allen anderen Besetzungszahlen $n_{k}\in \{0,1\}$ abhängt,

$z=z(i,\{n_{j}\})=\prod _{\{k:k<i\}}(-1)^{n_{k}}.$

Hamilton-Operatoren

Ein Modell der Dynamik des Vielteilchen-Systems soll aufgestellt werden. Ein additiver Beitrag pro Teilchen wäre analog zum kinetischen Term in der Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung. Ein anziehendes oder abstoßendes Potenzial zwischen Teilchenpaaren käme dazu in Frage für die Hülle aller Elektronen, die einen Atomkern 'umkreisen'.

Kinetischer Einteilchen-Operator : $H_{0}=\sum \nolimits _{i}k_{i}N_{i}=\sum \nolimits _{i}k_{i}(A_{i}^{\dagger }A_{i})$

Verallgemeinerte Bilinearform: $H_{0}=\sum _{i,j}(B_{i}^{\dagger }B_{j})\langle F_{i}|K|F_{j}\rangle$

$H_{0}$ hat eine Matrix von Amplituden zwischen Einteilchen-Zuständen.
Ein Zweiteilchen-Potenzialterm mit einer reellen symmetrischen Matrix [v]:

$H_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j;\;i\neq j}v_{ij}N_{i}N_{j}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i}v_{ii}N_{i}(N_{i}-1)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}v_{ij}(N_{i}N_{j}-N_{i}\delta _{ij})$

Jedes Teilchen auf Niveau i fühlt die $N_{i}-1$ anderen auf demselben Niveau, aber nicht sich selbst.

Sowohl für Fermionen wie Bosonen gelten die Operatoren

$P_{ij}:=N_{i}N_{j}-\delta _{ij}N_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }A_{j}A_{i}\;\Rightarrow \;H_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}v_{ij}\;A_{i}^{\dagger }A_{j}^{\dagger }A_{j}A_{i}$

Die allgemeine Form des Zweiteilchen-Matrixelements in transformierter Basis:

$H_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j,k,l}\langle i,j|V|l,k\rangle B_{i}^{\dagger }B_{j}^{\dagger }B_{k}B_{l}$

Einsetzen von $A_{n}=\sum \nolimits _{j}\langle E_{n}|F_{j}\rangle B_{j};\;A_{m}^{\dagger }=\sum \nolimits _{j}B_{j}^{\dagger }\langle F_{j}|E_{m}\rangle$ ergibt die Umrechnung, mit $v_{mn}$ in der Mitte:

$\langle i,j|V|l,k\rangle =\sum _{m,n}\langle F_{i}|E_{m}\rangle \langle F_{j}|E_{n}\rangle v_{mn}\langle E_{n}|F_{k}\rangle \langle E_{m}|F_{l}\rangle$

Eingang i und Ausgang l docken am Index m an, Eingang j und Ausgang k am Index n. Es gilt die Symmetrie

$\langle i,j|V|l,k\rangle =\langle j,i|V|k,l\rangle .$

Feld-Operatoren oder Operator-Felder

Die Ausgangsbasis soll nun zu einem kontinuierlichen Spektrum wie den Orten im Raum gehören. Die Einteilchenzustände sind uneigentliche Vektoren, als Deltafunktionen dargestellt. Statt $|E_{i}\rangle$ gibt es $|{\vec {x}},s\rangle$ mit Ortsdarstellung als Funktion

$|{\vec {x}},s\rangle \mapsto f_{{\vec {x}},s}({\vec {y}},t)=\delta ({\vec {y}}-{\vec {x}})\delta _{st}.$

Hierin sind s,t zum Beispiel diskrete Spin-indizes. Es gilt $\langle {\vec {x}},s|{\vec {y}},t\rangle =\delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\delta _{st}.$
Um das Vielteilchensystem in dieser Basis zu beschreiben, wird eine kontinuierliche Menge von Erzeuger- und Vernichter-Operatoren eingeführt. Also $A_{s}(x),\;A_{s}^{\dagger }(x)$ -- in diesem Abschnitt lassen wir die Vektorpfeile fallen. Buchstaben x,y,z,w sind Ortsvektoren, p,q,r,s,t sind Spin-Indizes.

Man definiert Mengen von ort- und spin-abhängigen Operatoren, Operator-Felder. Mathematisch exakt sind es nun nicht bloße Funktionen, die den Ortsraum auf die Operator-Algebra abbilden. Sondern es sind (analog zum Deltafunktional) operatorwertige Funktionale/Distributionen, die jeder Testfunktion $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ einen Operator $A(f):{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ zuordnen, distributions-artig geschrieben $A(f)=\int d^{3}x\;A(x)\cdot f(x).$
Partielle Ableitungen von Operatorfeldern etwa wären definiert nur über Matrixelemente zwischen Testzuständen, deren Ortsdarstellung so glatt und stark abfallend ist, dass die Ableitung mit partieller Integration übergewälzt wird. Die 'axiomatische Feldtheorie' versucht, die Dinge präzise in den Griff zu kriegen. Komplikationen gibt es schon, wenn Deltadistributionen am selben Punkt im Ort multipliziert werden sollen. Wie sieht es dann erst mit den punktweisen, nichtkommutativen Operatorprodukten aus! Denn im Gegensatz zum linearen Raum der Zustände hat ein Operator-Raum die komplexere Struktur einer allgemeinen Algebra. Die weiteren Ausführungen hier lassen sich nicht von mathematischen Bedenken aufhalten und schludern einfach.

Postulat der Vertauschungen für Operatorfelder, extrapoliert vom diskreten Schema:

${\begin{array}{ll}{\text{Bosonen-Feld}}&{\text{Fermionen-Feld}}\\A_{s}^{\dagger }(x)A_{t}^{\dagger }(y)-A_{t}^{\dagger }(y)A_{s}^{\dagger }(x)=0&A_{s}^{\dagger }(x)A_{t}^{\dagger }(y)+A_{t}^{\dagger }(y)A_{s}^{\dagger }(s)=0\\A_{s}(x)A_{t}(y)-A_{t}(y)A_{s}(x)=0&A_{s}(x)A_{t}(y)+A_{t}(y)A_{s}(x)=0\\A_{s}(x)A_{t}^{\dagger }(y)-A_{t}^{\dagger }(y)A_{s}(x)=\delta (x-y)\delta _{st}&A_{s}(x)A_{t}^{\dagger }(y)+A_{t}^{\dagger }(y)A_{s}(x)=\delta (x-y)\delta _{st}\end{array}}$

Der Operator $A_{s}^{\dagger }(x)A_{s}(x)$ misst die Teilchendichte am Punkt x mit Orientierung s. Die gesamte Teilchenzahl ist Eigenwert des Operators $N=\sum _{s}\int d^{3}x\;A_{s}^{\dagger }(x)A_{s}(x).$
Kinetische Teile des Hamilton-Operators sind bilinear in Operatorfeldern

$H_{0}=\sum _{s,t}\int d^{3}x\;d^{3}y\;A_{s}^{\dagger }(x)\langle x,s|K|y,t\rangle A_{t}(y),$

aufgebaut aus additiven Einteilchen-Operatoren. Wechselwirkung mit Potenzialen besteht aus additiven Zweiteilchen-Operatoren

$H_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{p,q,r,s}\int d^{3}x\;d^{3}y\;d^{3}z\;d^{3}w\;A_{p}^{\dagger }(x)A_{q}^{\dagger }(y)\langle x,p;y,q|V|w,s;z,r\rangle A_{r}(z)A_{s}(w).$

Ein allgemeiner n-Teilchen-Zustand $|\psi ,n\rangle$ wird mit folgender Formel in seine konventionelle Ortsdarstellung gebracht:

$\psi (x_{1},s_{1};x_{2},s_{2};...;x_{n},s_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle \mathbf {0} |A_{s1}(x_{1})A_{s2}(x_{2})...A_{sn}(x_{n})|\psi ,n\rangle$

Die Kommutator-Relationen der Vernichter sorgen für die korrekte Permutations-Symmetrie bei Bosonen und Fermionen. Der Vorteil einer Fock-Basis ist, dass man nicht per Hand die Symmetrie den Funktionenprodukten aufzwingen muss. Eine Einteilchen-Schrödingerwelle hat die Formel

$\psi (x,s)=\langle \mathbf {0} |A_{s}(x)|\psi ,1\rangle =\langle x,s|\psi ,1\rangle .$

Umkehrformel zur Berechnung eines Fock-Zustands aus der Ortsdarstellung:

$|\psi ,n\rangle =\sum _{s_{1},...s_{n}}\iiint d^{3}x_{1}\;...d^{3}x_{n}\;{\frac {1}{\sqrt {n!}}}\psi (x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n})A_{s1}^{\dagger }(x_{1})\cdots A_{sn}^{\dagger }(x_{n})|\mathbf {0} \rangle .$

Zum Errechnen dieser Gleichung braucht man folgende Vakuum-Erwartungswerte:

$W(n)=\langle \mathbf {0} |A_{s1}(x_{1})\cdots A_{sn}(x_{n})A_{tn}^{\dagger }(y_{n})\cdots A_{t1}^{\dagger }(y_{1})|\mathbf {0} \rangle$

$W(n)=\sum _{p\in Sn}{\text{ sgn}}(p)\;\delta (x_{p1}-y_{1})\cdots \delta (x_{pn}-y_{n})\cdot \delta _{s(p1),t_{1}}\cdots \delta _{s(pn),t_{n}}.$

Darin ist Sn die Menge aller Permutationen p von {1...n}, die 'Symmetrische Grupe'. Eine Permutation wird als {p1...pn} notiert, das Vorzeichen sgn(p) ist 1 für Bosonen, 1 für gerade und -1 für ungerade Fermion-Permutationen. Der Fall W(1) ist trivial, der Beweis von W(n) geht mit Induktion. Skizze: Mit der Beziehung

$A_{s}(x)A_{t}^{\dagger }(y)=\delta (x-y)\delta _{st}+zA_{t}^{\dagger }(y)A_{s}(x);\quad (z^{2}=1)$

wird in W(n) zuerst der Operator $A_{tn}^{\dagger }(y_{n})$ einen Schritt nach links gerückt und ein Summand vom Typ $W(n-1)\delta (x-y)\delta _{st}$ abgespalten. Schrittweise kommt $A_{tn}^{\dagger }(y_{n})$ bis zum Anschlag; jedes Mal kommt ein Term W(n-1) mal Delta-Ausdruck hinzu, der Rest sammelt z-Vorzeichen an. Der letzte Rest vom Typ $\langle \mathbf {0} |A^{\dagger }(...)...\rangle$ ist Null weil das Vakuum zu allen Erzeuger-Wertebereichen orthogonal ist. Entsprechend wandern alle anderen $y_{j}$ durch alle Positionen und alle erzeugten Produkte von n Deltafunktionen durchlaufen die Permutationsgrupe.

Sei nun ein allgemeiner n-Teilchen-Zustand als Superposition gegeben.

$|\psi ,n\rangle =\sum _{s_{1},...s_{n}}\iiint d^{3}x_{1}\;...d^{3}x_{n}\;{\frac {1}{\sqrt {n!}}}\phi (x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n})A_{sn}^{\dagger }(x_{n})\cdots A_{s1}^{\dagger }(x_{1})|\mathbf {0} \rangle .$

Zu berechnen ist das Integral

$\psi (x_{1},s_{1};x_{2},s_{2};...;x_{n},s_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle \mathbf {0} |A_{s1}(x_{1})A_{s2}(x_{2})...A_{sn}(x_{n})|\psi ,n\rangle .$

Die Ortsfunktionen $\phi (\cdot ),\psi (\cdot )$ sollten bitte übereinstimmen. Anwendung der allgemeinen Orthogonalität W(n) liefert tatsächlich

$\psi (x_{1},s_{1},...;x_{n},s_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{p\in Sn}{\text{ sgn}}(p)\;\phi (x_{p1},s_{p1};...;x_{pn},s_{pn}).$

Wie gewünscht liefern diese zwei Ortsfunktionen $\phi (\cdot ),\psi (\cdot ),$ als Koeffizienten der Superposition von Erzeuger-Operatoren, das gleiche Ergebnis, wegen der Vertauschung bzw. Antivertauschung der Erzeuger.

Ist $\{\psi _{k}(x,s)|k\in \mathbb {N} \}$ ein orthonormales System von Funktionen, dann gibt es passend im Fock-Raum die Einteilchenzustände $|\psi ,1,k\rangle =\sum \nolimits _{s}\int d^{3}x\;\psi _{k}(x,s)A_{s}^{\dagger }(x)|\mathbf {0} \rangle .$ Daraus folgt verallgemeinert eine diskrete Familie von Erzeugern $A_{k}^{\dagger }=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}x\;\psi _{k}(x,s)A_{s}^{\dagger }(x).$
Auch die Fourier-Transformation macht nicht Halt vor Operatorfeldern! Man definiert sie wohl so, dass Skalarprodukte erhalten bleiben, $\int d^{3}x\;f^{*}(x)A(x)\simeq \int d^{3}k\;{\hat {f}}^{*}(k){\hat {A}}(k),$ zunächst immer anzuwenden auf glatte, schnell abfallende Testzustände.

Die Norm von Zuständen kann ebenfalls mit den Formeln von W(n) berechnet werden und sieht ganz wie erwartet aus:

$\langle \psi ,n|\psi ,n\rangle =\sum _{s_{1},...,s_{n}}\iiint d^{3}x_{1}\;...d^{3}x_{n}\;|\psi (x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n})|^{2}.$

Der Integrand ist die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig n Teilchen an den (Orten,Spins)=$(x_{i},s_{i});\;i=1...n\;$ zu finden bei solcherart idealisierten Messungen.

Hamilton-Operator aus Feldoperatoren

Folgendermaßen werden Operatoren, wie sie für Schrödinger-Gleichungen in Ortsdarstellung auftreten, in die Sprache der Feldoperatoren umgeschrieben. Ein Einteilchen-Operator $K({\vec {x}},{\vec {p}})=K({\vec {x}},(\hbar /i){\vec {\nabla }})$ kann auf Feldoperatoren losgelassen werden, als wären es Wellenfunktionen.

${\bar {K}}=\sum _{s}\int d^{3}x\;A_{s}^{\dagger }(x)K({\vec {x}},(\hbar /i)\nabla _{x})A_{s}(x).$

(Die Differenzial- und Integralrechnung von Operatorfeldern sei in einer sehr schwachen 'Topologie' definiert, das heißt, zuerst muss das Objekt zwischen ein Paar von ausgewählt gutartigen Bra- und Ket-Zuständen gepackt und eventuell noch dazu mit einer Testfunktion geglättet werden.)
Behauptung. Die Matrixelemente dieses Operator-Integrals sind

$\langle \phi ,n|{\bar {K}}|\psi ,n\rangle =\sum _{j=1}^{n}\sum _{s_{1},...s_{n}}\iiint d^{3}r_{1}\cdots d^{3}x_{n}\;\phi ^{*}(x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n})K({\vec {x}}_{j},(\hbar /i){\vec {\nabla }}_{j})\psi (x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n}).$

Ein lokaler und spin-unabhängiger Potenzialoperator für Teilchenpaare:

$\langle x,p;y,q|V|z,r;w,s\rangle =V(x,y)\delta (x-z)\delta (y-w)\delta _{pr}\delta _{qs};\quad (V(x,y)=V(y,x)),$

${\bar {V}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{p,q,r,s}\int d^{3}x\;d^{3}y\;d^{3}z\;d^{3}w\;A_{p}^{\dagger }(x)A_{q}^{\dagger }(y)\langle x,p;y,q|V|z,r;w,s\rangle A_{s}(w)A_{r}(z).$

${\bar {V}}=\sum _{s,t}\int d^{3}x\;d^{3}y\;A_{s}^{\dagger }(x)A_{t}^{\dagger }(y)V(x,y)A_{t}(y)A_{s}(x)$

hat allgemeine Matrixelemente

$\langle \phi ,n|{\bar {V}}|\psi ,n\rangle =\sum _{i,j;\;i>j}\sum _{s_{1},...,s_{n}}\iiint d^{3}x_{1}\cdots d^{3}x_{n}\;\phi ^{*}(x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n})V(x_{i},x_{j})\psi (x_{1},s_{1};...;x_{n},s_{n}).$

Beweise.
Der Operator-Faktor $K(x,\nabla _{x})$ erscheint etwas nebulös in Umgebung von Operatorfeldern und wird vorsichtig mit folgenden Rechenregeln behandelt:

• Eine Deltafunktion im selben Term nicht über die Variable x integrieren
• K(x,...) vertauscht mit Feldoperatoren, die nicht von x abhängen
• K erst anwenden, wenn keine Operatoren mit Argument x rechts von ihm stehen.

Spin-indizes und Konstanten wie n! und $(\hbar /i)$ unterdrückend, ist auszurechnen:

${\bar {K}}|\psi ,n\rangle ={\Big (}\int d^{3}y\;A^{\dagger }(y)K(y,\nabla _{y})A(y){\Big )}{\Big (}\int d^{3}x_{1}\cdots d^{3}x_{n}\;A^{\dagger }(x_{n})\cdots A^{\dagger }(x_{1})|\mathbf {0} \rangle \psi (x_{1},...,x_{n}){\Big )}$

Zuerst wird benutzt $A(y)A^{\dagger }(x_{n})=(-z)A^{\dagger }(x_{n})A(y)+\delta (y-x_{n})$ und

$A^{\dagger }(y)K()A^{\dagger }(x_{n})=(-z)A^{\dagger }(x_{n})A^{\dagger }(y)K()$ mit demselben Faktor $z=\pm 1.$ Ergibt

$\int d^{3}y\;d^{3}x_{1}\cdots d^{3}x_{n}\;[z^{2}\;A^{\dagger }(x_{n})A^{\dagger }(y)K(y,\nabla _{y})A(y)+A^{\dagger }(y)K(y,\nabla _{y})\delta (y-x_{n})]A^{\dagger }(x_{n-1}\cdots A^{\dagger }(x_{1})|\mathbf {0} \rangle \psi (x_{1},...,x_{n}).$

Im ersten Term ist der ganze Operator ${\bar {K}}$ eine Position nach rechts gewandert. Im zweiten Term kann über $x_{n}$ integriert werden und Operator K kann bis direkt vor die Ortsfunktion $\psi$ springen. Zweiter Term also:

$\int d^{3}y\;d^{3}x_{1}\cdots d^{3}x_{n-1}\;A^{\dagger }(y)A^{\dagger }(x_{n-1}\cdots A^{\dagger }(x_{1})|\mathbf {0} \rangle K(y,\nabla _{y})\psi (x_{1},...,x_{n}-1,y).$

Wird hier die Integrationsvariable y wieder zu $x_{n}$ umgetauft, ist dieser Term genau der Zustand mit der Ortsdarstellung als n-Punkt-Funktion

$\psi '(x_{1},...,x_{n})=[K(x_{n},\nabla _{n})\psi ](x_{1},...,x_{n}).$

Auf dem ersten Term wird der Rechtsruck des Operators wiederholt und es fällt ein Term an von der Form $[K(x_{n-1},\nabla _{n-1})\psi ].$ Am Ende der Iteration bekommt man die Summe der K-Operatoren angewandt auf alle Koordinaten und zuletzt steht ein vakuum-vernichtender Faktor Null am Anschlag: $A(y)|\mathbf {0} \rangle =0.$ Also hat das Ergebnis die Ortsdarstellung

$\psi '(x_{1},...,x_{n})=\sum \nolimits _{j}K(x_{j},\nabla _{j})\psi (x_{1},...,x_{n}).$

Hieraus folgt die Formel für die Matrixelemente von ${\bar {K}}.$

Nun zum Potenzialausdruck. Dafür kann etwa so losgerechnet werden:

Definiere $L(y):=A^{\dagger }(y)A(y);\;M(y,z):=A^{\dagger }(y)A^{\dagger }(z)A(z)A(y)=A^{\dagger }(y)L(z)A(y)$

Regel 1: $L(y)A^{\dagger }(x)=A^{\dagger }(x)L(y)+A^{\dagger }(y)\delta (y-x)=A^{\dagger }(x)[L(y)+\delta (y-x)]$

$M(y,z)=[L(z)A^{\dagger }(y)-\delta (z-y)A^{\dagger }(y)]A(y)=L(z)L(y)-\delta (z-y)L(y)$

$M(y,z)A^{\dagger }(x)=[L(z)-\delta (z-y)]A^{\dagger }(x)[L(y)+\delta (y-x)]$

$=A^{\dagger }(x)[L(z)+\delta (z-x)-\delta (z-y)][L(y)+\delta (y-x)]$

$=A^{\dagger }(x)[L(z)L(y)+L(z)\delta (y-x)+\delta (z-x)L(y)-\delta (z-y)L(z)]$

Regel 2: $M(y,z)A^{\dagger }(x)=A^{\dagger }(x)[M(y,z)+L(z)\delta (y-x)+L(y)\delta (z-x)]$

${\bar {V}}$ hat die Form $\int d^{3}y\;d^{3}z\;V(y,z)M(y,z)A^{\dagger }(x_{n})\cdots A^{\dagger }(x_{1}).$
Im ersten Schritt wird mit Regel 2 $A^{\dagger }(x_{n})$ nach links gezogen. Damit sind zwei L-Terme entstanden. Mit der Regel 1 können die zwei L-Terme über den nächsten $A^{\dagger }(w)$-Faktor geschoben werden und sondern ab: $\delta (y-x)\delta (z-w)+\delta (z-y)\delta (y-w);\quad (w=x_{n-1}).$
Das Operator-Integral ergibt dann $2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot V(x_{n},x_{n-1}).$
Wie im Fall des ${\bar {K}}$-Operators kommen alle Paare (n,j) mit höchstem Argument $x_{n}$ dran.
In nächsten Durchlauf wird M(y,z) einen Schritt weiter verschoben, wieder sondern sich zwei L-Operatoren ab und alle Paare mit Argumenten Nummer (n-1,j) sind an der Reihe. Insgesamt produziert jedes Punktepaar einen Term $V(x_{i},x_{j}),$ was zu der behaupteten Ortsdarstellung führt:

${\bar {V}}:\phi (x_{1},...,x_{n})\mapsto \sum _{i,j;\;i>j}V(x_{i},x_{j})\phi (x_{1},...,x_{n}).$

Zeitentwicklung des Operatorfeldes

Mit Feldoperatoren ist das Heisenberg-Bild interessant. Damit wird die ganze Dynamik durch Operatoren-Familien bestimmt, die Funktionen der vierdimensionalen Raumzeit sind. Der Hamilton-Operator soll im hier diskutierten Modell nicht explizit von der Zeit abhängen.

Zunächst der Fall einer abzählbaren Basis mit dem Hamilton-Operator

$H=\sum _{kl}A_{k}^{\dagger }\langle k|H_{0}|l\rangle A_{l}+{\frac {1}{2}}\sum _{qrsp}A_{q}^{\dagger }A_{r}^{\dagger }\langle qr|V|ps\rangle A_{s}A_{p}$

Im Heisenberg-Bild haben die Operatoren $A_{j}(t)$ Zeitableitungen $\propto [A_{j},H],$ worin folgende Kommutatoren auftreten:

$[A_{j},A_{k}^{\dagger }A_{l}]=A_{l}\delta _{kj}$

$[A_{j},A_{q}^{\dagger }A_{r}^{\dagger }A_{s}A_{p}]=A_{r}^{\dagger }A_{s}A_{p}\delta _{qj}+A_{q}^{\dagger }A_{p}A_{s}\delta _{rj}$

was nicht schwer für Bosonen wie Fermionen nachzurechnen ist. Folglich lautet die Heisenbergsche Bewegungsgleichung

$i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{j}=\sum _{l}\langle j|H_{0}|l\rangle A_{l}+{\frac {1}{2}}\sum _{rsp}A_{r}^{\dagger }A_{s}A_{p}(\langle jr|V|ps\rangle +\langle rj|V|sp\rangle )$

Wegen der Symmetrie $\langle qr|V|ps\rangle =\langle rq|V|sp\rangle$ für Bosonen und Fermionen:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{j}(t)=\sum _{l}\langle j|H_{0}|l\rangle A_{l}(t)+\sum _{qrs}\langle jq|V|sr\rangle A_{q}^{\dagger }(t)A_{r}(t)A_{s}(t)$

Spezialfall mit diagonaler Zweiteilchen-Matrix:

$\langle jq|V|sr\rangle =V_{jq}\delta _{js}\delta _{qr}\;{\text{ und }}\;V_{jq}=V_{qj}\;\Rightarrow \;i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{j}=\sum _{l}\langle j|H_{0}|l\rangle A_{l}+\sum _{q}V_{jq}A_{q}^{\dagger }A_{q}A_{j}.$

Kontinuierlicher Fall mit Operatorfeldern $A_{s}({\vec {x}},t),\;A_{s}^{\dagger }({\vec {x}},t):$
Der kinetische Operator $H_{0}$ soll eine Funktion des Punktes ${\vec {x}}$ und des kanonischen Impulses, also des Gradienten-Operators, sein.

$\langle x,r|H_{0}|y,s\rangle =H_{0}(x,(\hbar /i)\nabla )\delta (x-y)\delta _{rs}$

Der Potenzial-Operator sei gegeben durch die Funktion V(x,y)=V(y,x).

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}A_{s}(x,t)=\sum \nolimits _{r}\int d^{3}y\;\langle x,s|H_{0}|y,r\rangle A_{r}(y,t)+\sum \nolimits _{r}\int d^{3}y\;V(x,y)A_{r}^{\dagger }(y,t)A_{r}(y,t)A_{s}(x,t)=$

$H_{0}(x,(\hbar /i)\nabla )A_{s}(x,t)+\sum \nolimits _{r}\int d^{3}y\;V(x,y)A_{r}^{\dagger }(y,t)A_{r}(y,t)A_{s}(x,t)$

Man definiert einen Pseudopotenzial-Operator am Punkt x, der aussieht, als würden mit dem Teilchendichte-Operator die Paarpotenziale aufsummiert. Dann hat das Operatorfeld der Vernichter praktisch die Schrödinger-Gleichung!

${\tilde {V}}(x,t):=\sum _{r}\int d^{3}y\;V(x,y)A_{r}^{\dagger }(y,t)A_{r}(y,t),$

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}A_{s}(x,t)=H_{0}(x,(\hbar /i)\nabla )A_{s}(x,t)+{\tilde {V}}(x,t)A_{s}(x,t).$

Iteration für selbstkonsistentes gemitteltes Potenzial

Diese Operator-Schrödingergleichung beschreibt Vielteilchensysteme, während die ähnliche Zustandsvektor-Gleichung ein einziges Partikel im Visier hat. Die Original-Schrödingergleichung für Zustände ist streng linear, während ihre Ausweitung auf Feldoperatoren wegen der Rückkopplung durch das gemittelte, effektive Potenzial ${\tilde {V}}$ extrem nichtlinear wird. In manchen Texten wird auch ein Operator-Feld als $\Psi ({\vec {x}},t)$ notiert; hier sollen die Buchstaben A,B... jede Konfusion vermeiden.
Die Struktur suggeriert iterative Näherungsmethoden für selbstkonsistente Lösungen: man stecke die verbesserten Wellenfunktionen als Korrektur in das effektive Potenzial und umgekehrt das erneuerte Potenzial in die Wellengleichung. Operatorfelder im Allgemeinen dürfen also das Superpositions-Dogma brechen, was in der Tat in der Quantenelektrodynamik mit den gekoppelten Dirac- und Maxwellgleichungen passiert, und noch krasser bei den nichtabelschen Eichtheorien der Elementarteilchen. Wie schon gesagt, Operatoren sind mathematisch eine Algebra, Zustände sind nur ein linearer Raum ohne multiplikative Verknüpfung.

Früher war es üblich, die Operator-Schrödingergleichung als die zweite Quantisierung der als klassisch herabgestuften Zustands-Wellengleichung anzupreisen. Man mag sich gestatten, den schlecht definierten Begriff zu vergessen.

Herleitung der n-Teilchen-Wellengleichung aus dem Operator-Formalismus. Sei

$\psi (x_{1},s_{1},...,x_{n},s_{n};t)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle \mathbf {0} |A_{s1}(x_{1},t)\cdots A_{sn}(x_{n},t)|\psi ,n\rangle$

mit konstantem Ket $|\psi ,n\rangle$ im Heisenberg-Bild. Die gesuchte Gleichung für $i\hbar \partial _{t}\psi$ im Konfigurationsraum (Ortsdarstellung) wird dann wieder zum Schrödinger-Bild gehören. Denn die zeitveränderlichen Feldoperatoren enthalten die Information, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung jedes Vielteilchensystems sich verändert.
Behauptung:

$i\hbar \partial _{t}\psi (x_{1},s_{1},...,x_{n},s_{n};t)={\Big [}\sum \nolimits _{j=1}^{n}H_{0}(x_{j},[\hbar /i)\nabla _{j})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j;\;k=1}^{n}V(x_{j},x_{k}){\Big ]}\psi (x_{1},s_{1},...,x_{n},s_{n};t).$

Zum Beweis wird dem Operatorprodukt in der Definition von $\psi$ die Heisenberg-Gleichung gegönnt. Zeitableitung von Operatorprodukten folgt Leibniz, $\partial _{t}(AB)=(\partial _{t}A)B+A(\partial _{t}B).$ Für den $H_{0}$-Term kommt nach der Produktregel eine Summe auf. Für jeden der Operatoren $A_{sj}(x_{j},t)$ ein Faktor $(H_{0}(x_{j},(\hbar /i)\nabla _{j})A_{sj}(x_{j},t)).$
Jedes $H_{0}()$ hierin hat keine Wirkung auf die Feldoperatoren, die links von ihm stehen und kann so ganz vor den Operatorausdruck von $\psi$ gezogen werden. Damit ist der erste Teil der Formel schon gezeigt.
Für den Potenzialteil mutiert jeder Operator in gleichartiger Produktregel-Summe einmal zu (überall gleiches Zeitargument t weglassend, $2\leq k\leq n$):

${\tilde {V}}(x)A_{sk}(x_{k})=\sum _{r}\int d^{3}y\;V(x_{k},y)A_{r}^{\dagger }(y)A_{r}(y)A_{sk}(x_{k},s_{k})$

Nur wenn links davon ein $A_{s(k-1)}(x_{k-1})$ steht, macht der Bra-Vektor des Vakuums das Operatorprodukt nicht zu Null. Mit den Vertauschungsregeln verschiebt sich der Teilchendichte-Operator für Fermionen und Bosonen gleichermaßen:

$A_{s(k-1)}(x_{k-1})A_{r}^{\dagger }(y)A_{r}(y)A_{sk}(x_{k})=A_{r}^{\dagger }(y)A_{r}(y)A_{s(k-1)}(x_{k-1})A_{sk}(x_{k})+\delta (x_{k-1}-y)\delta _{s(k-1),r}A_{r}(y)A_{sk}(x_{k})$

Integral und Summe des Potenzials über den Delta-Term ergeben $V(x_{k},x_{k-1})A_{s(k-1)}(x_{k-1})A_{sk}(x_{k}),$ womit der Beitrag $V(x_{k},x_{k-1})\psi (x_{1},s_{1},...,x_{n},s_{n})$ zur Wellenfunktion zustande kommt.
Nach den Regeln der Kunst kann im anderen Term der Dichteoperator $A_{r}^{\dagger }(y)A_{r}(y)$ einen Schritt weiter nach links gezogen werden und der nächste Beitrag mit dem Faktor $V(x_{k},x_{k-2})$ wird genauso abgesondert. Insgesamt kommen alle Paare $(j,k)\;{\text{ mit }}\;1\leq j<k\leq n$ an die Reihe. Wird nun die Summe über Paare etwas lässiger als Doppelsumme geschrieben und wird berichtigend der Faktor (1/2) gesetzt, kommt die Behauptung raus.

Störungsrechnung erster Ordnung

Gegeben sei ein Vielteilchen-Hamilton-Operator

$H_{0}=\sum _{i}E_{i}A_{i}^{\dagger }A_{i};\quad H=H_{0}+{\frac {1}{2}}\sum _{qrst}A_{q}^{\dagger }A_{r}^{\dagger }A_{s}A_{t}\langle qr|V|ts\rangle$

Der Operator heißt normalgeordnet, weil alle Erzeuger links von den Vernichtern stehen. Mit den Vertauschungsregeln gibt es einen Algorithmus, der jedes Erzeuger-Vernichter-Produkt als Summe normalgeordneter Terme schreibt.
Die Eigenzustände von $H_{0}$ sind $|n_{1},n_{2},...,n_{i},...\rangle ,$ wo jede Besetzungszahl $n_{i}$ ein Eigenwert des Operators $N_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}$ ist. Es sei angenommen, die Eigenwerte von $H_{0}$ sind nicht entartet. Dann hat man als erste Näherung für die stationären Energien

$E(\{n_{i}\})=\sum _{i}n_{i}E_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{qrst}\langle n_{1},n_{2},...|A_{q}^{\dagger }A_{r}^{\dagger }A_{s}A_{t}|n_{1},n_{2},...\rangle \langle qr|V|ts\rangle$

Zustände mit verschiedenen Besetzungsfolgen $\{n_{i}\}$ sind orthogonal. Daher tragen nur folgende Vernichter-Erzeuger-Kombinationen zur V-Matrix bei:

• q=r und (q,r)=(s,t)
• $q\neq r$ und (q,r)=(s,t)
• $q\neq r$ und (q,r)=(t,s)

$E(\{n_{i}\})=\sum _{i}n_{i}E_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{qr;\;q\neq r}n_{q}n_{r}[\langle qr|V|qr\rangle +z\langle qr|V|rq\rangle ]+{\frac {1}{2}}\sum _{q}n_{q}(n_{q}-1)\langle qq|V|qq\rangle$

mit z=1 für Bosonen, z=-1 für Fermionen. Die letzte Summe verschwindet für Fermionen. Terme $\langle qr|V|qr\rangle$ heißen direkte Matrixelemente, die $\langle qr|V|rq\rangle$ heißen Austausch-Terme.