Quantenmechanik/ Fock-Darstellung

Teilchenzahl-Darstellung, Erzeuger und Vernichter Bearbeiten

Für viele Systeme aus gleichen Teilchen ist eine Teilchenzahl-Darstellung, auch Darstellung im Fock-Raum genannt, praktischer als die Manipulation von Slater-Determinanten und dergleichen. Auf einer solchen Basis kann eine Algebra von Operatoren ausgerollt werden, die kanonisch vertauschen oder antivertauschen und mit denen sich besonders im Heisenberg-Bild die Dynamik gut beschreiben lässt.

Annahme: Die Einteilchen-Zustände haben eine abzählbare orthonormale Basis, die mit Indizes i,k etc. nummeriert wird und die aus den Eigenvektoren einer genügend hochauflösenden Observablen (bzw. einer vollständigen Menge von vertauschenden Observablen) bestehe. Eine Basis des Vielteilchen- Hilbertraums kann dann durchgezählt werden mit endlichen Folgen   von nichtnegativen ganzen Teilchenzahlen. Eine Basis von Bosonen-Zuständen wird erzeugt mit allen Teilchenzahl-Folgen, wo jedes   nichtnegative Werte haben darf und angibt, wie viele Teilchen sich auf dem Einteilchen-Niveau i befinden. Ein Fermion-Raum erlaubt nur die zwei Werte 0,1 für jedes   seiner Basis.
Diese Vielteilchen-Basen sollen vollständige orthonormale Systeme sein. Der Vielteilchen-Raum, auch Fock-Raum genannt, ist die direkte orthogonale Summe aus allen Hilberträumen zu gegebener Gesamt-Teilchenzahl n. Wie zu erläutern, sind diese n-Teilchen-Teilräume jedoch keine normalen Tensorprodukte vom Einteilchen-Raum, sondern sind modulo Vertauschungs-Symmetrie 'eingedampfte' Produkte davon.

Das System aus vielen ununterscheidbaren Teilchen hat also eine Basis aus Zuständen, die von denen des einzelnen Teilchens abstammen. Nach diesem Schema haben die Teilchen vorerst keine Wechselwirkung miteinander. Eine solche soll danach aufgeschaltet und mit Störungsrechnung ausgehend von einer Fock-Basis behandelt werden. Die Teilchenzahl-Folgen sind die Eigenwerte einer Folge   von hermiteschen Teilchenzahl-Operatoren.

Definition Erzeuger-Operatoren und Vernichter-Operatoren:
Ein Operator   erzeugt ein Teilchen auf dem Niveau i. Er soll einen Zustand   in den Zustand   (herauszufindender Faktor f) überführen. Hier bezeichnet X alle anderen Werte der Zahlenfolge. Sein hermitesch adjungiertes Gegenstück, der Vernichter   soll   auf ein   abbilden. Aus dem Vakuum machen die Vernichter den Nullvektor.

Die Operator-Algebra, die von diesen Mengen von Erzeugern und Vernichtern aufgespannt wird, soll später die Dynamik der Wechselwirkungen erlauben, also vor allem einen Hamilton-Operator kombinieren können.

Analog wie die Zustände des harmonischen Oszillators wird die Vielteilchen-Basis ausgehend von einem Grundzustand mit adjungierten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren aufgebaut. Der Grundzustand   ist leer von allen Teilchen und heißt das Vakuum. Er ist normiert, nicht mit dem Nullvektor zu verwechseln!

Einteilchen-Zustände sollen mit Faktoren 1 erzeugt und vernichtet werden:

 
 

Der Vernichter mit Index i macht alle Zustände zum Nullvektor, die kein Teilchen auf dem Niveau i haben. Das Vakuum wird von allen Vernichtern genullt.

Ein allgemeiner Einteilchen-Zustand   hat die Bornsche Wahrscheinlichkeit   den Eigenzustand i zu messen. Denn mit  

 

Basiswechsel der Einteilchen-Zustände. Eine neue Basis   sei durch unitäre Matrizen mit der Basis   verbunden. Das Vakuum soll invariant bleiben.

 

Dann gelten zwischen alten   und neuen Vernichtern   folgende Regeln

 

Denn für Erzeuger kommt so die richtige Aktion auf dem Vakuum heraus:

 

Die adungierte Vernichter-Gleichung ist trivial auf dem Vakuum. Und:

 

In der Mitte kommt ein   und dann verbleibt dank der unitären Matrix ein   Also funktioniert per Linearität die Vernichter-Transformationsregel korrekt auf allen Einteilchen-Zuständen.

Postulat: die Regeln der unitären Operator-Transformation sind auf den ganzen Vielteilchen-Raum fortzusetzen. Es stellt sich heraus, dass nur bestimmte Koeffizienten f,g für allgemeine Zustände durchgehen. Nur für die Bosonen und Fermionen kann eine konsistente Algebra aufgebaut werden. Allgemeinere Systeme, so genannte Anyonen, werden mit dieser Unitaritäts-Regel nicht erfasst.

Werden zwei Erzeuger vertauscht, müssen sie einen Zustand bis auf einen Faktor gleich transformieren:  
Seien   fixiert, und beliebige unitäre Matrizen werden durchgespielt.

 

Die Koeffizienten vor der letzten Klammer können den ganzen linearen Raum der numerischen Doppelfolgen erzeugen, wenn die unitären Matrizen durchlaufen werden. Weil auch jedes   eingesetzt werden kann, bestehen Operator- Gleichungen, unabhängig von  

 

Es folgt  
Es gibt zwei Lösungen für die Erzeuger-Algebra:

  1. Kommutator-Relation:  
  2. Antikommutator-Relation:  

Adjungieren der Operatoren liefert

  1. Kommutator-Relation:  
  2. Antikommutator-Relation:  

Werden ein Erzeuger und ein Vernichter vertauscht, dann gilt auch mit einen Faktor y für den Zustand  
Wie oben folgt mit allen unitären Matrizen

 

Hier jedoch greift für k=l die Nebenbedingung der Unitarität:   Das heißt, nur solche Doppelfolgen tauchen auf, deren Diagonalsumme Null ist. Es lässt sich vorerst nur bedingt wie oben folgern, für  

 

Dann müssen aber auch die Teilsummen {k=l} verschwinden,  

 

Die Summe der Koeffizienten vor der Klammer ist immer Null (Unitarität), aber sonst streifen sie, ebenso wie der Vektor   alle denkbaren Werte. Das wird nun gelöst, wenn die Klammer unabhängig von k derselbe Operator C ist:  
Durch Anwendung der unitären Transformationen folgt dann für jede andere Basis die Gleichung mit demselben  
Beweis:

 

Die Operator-Terme sind nach Voraussetzungen   und es verbleiben Summen der unitären Matrix, die Eins sind,  

Anwendung auf das Vakuum ergibt:   Deshalb wird   als Einheitsoperator gewählt.

Die Teilchenzahl-Operatoren   in der Basis   und   in der Basis   sollen sich zur gleichen Teilchensumme N addieren,   Brauchbare Kandidaten sind die Operatoren

  mit reellen Konstanten. Denn deren Summe ist

in der Tat unitär invariant. Weil   ergeben muss, ist v=0. Auf Einteilchenzuständen ist   also u=1.
Mit   gelten folgende Gleichungen:

 
  Analog herzuleiten:
 
 
 
 
 

Es folgt x=y, denn auf Vielteilchen-Zuständen verschwinden die Operator-Produkte nicht.

Zusammengefasst, es gibt zwei Typen von Erzeuger-Vernichter-Algebra:

 

Aus der relativistischen Quantenfeldtheorie folgt, dass Teilchen mit ganzzahligem Spin im Rudel als Bosonen, solche mit halbzahligem Spin als Fermionen auftreten.

Die Fermion-Erzeuger sind nilpotent,   daher gibt es keine Zustände mit zwei Partikeln auf demselben Niveau: Pauli-Prinzip.

Für  

Die Teilchenzahl-Operatoren für verschiedene Zustände kommutieren. Operatoren   sind positiv definit hermitesch. Sei   ein Eigenvektor mit   dann ist für Bosonen der Vektor   wegen

 

ein Eigenvektor mit Eigenwert (n+1). Es gibt also von Null angefangen Leitern mit allen Teilchenzahlen. Bei Fermionen geht es analog vom Eigenwert 1 auf 0 über, sowie von 0 auf 1. Keine anderen Eigenwerte existieren.

Bestimmung der Faktoren f,g aus der Definition der Erzeuger/Vernichter:

 

mit einem Phasenfaktor z. Für Bosonen kann widerspruchsfrei z=1 gewählt werden, und

 

Für Fermionen ist z:= (-1) hoch (Zahl der besetzten Zustände kleiner als i) kompatibel mit allen Vertauschungsregeln.
Jeder Boson-Basiszustand hat dieselbe Operator-Algebra wie der Harmonische Oszillator. Zu jedem Fermion-Basiszustand gehört nur ein Zwei-Niveau-System, also ein zweidimensionaler Vektorraum, dessen Observablen-Menge mit den Paulimatrizen erzeugt werden kann. Jedoch ist der Vielfermion-Raum nicht ein Tensorprodukt aus unabhängigen Räumen der Dimension 2, einer pro Niveau i. Das Pauli- und Superpositions-Prinzip zusammen äußern sich in einer 'Austausch-Wechselwirkung'. Der Einfluss vom Kollektiv der Fermionen erwirkt nämlich, dass der Faktor z bei Anwendung der Operatoren   von allen anderen Besetzungszahlen   abhängt,

 

Hamilton-Operatoren Bearbeiten

Ein Modell der Dynamik des Vielteilchen-Systems soll aufgestellt werden. Ein additiver Beitrag pro Teilchen wäre analog zum kinetischen Term in der Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung. Ein anziehendes oder abstoßendes Potenzial zwischen Teilchenpaaren käme dazu in Frage für die Hülle aller Elektronen, die einen Atomkern 'umkreisen'.

Kinetischer Einteilchen-Operator :  
Verallgemeinerte Bilinearform:  

  hat eine Matrix von Amplituden zwischen Einteilchen-Zuständen.
Ein Zweiteilchen-Potenzialterm mit einer reellen symmetrischen Matrix [v]:

 

Jedes Teilchen auf Niveau i fühlt die   anderen auf demselben Niveau, aber nicht sich selbst.

Sowohl für Fermionen wie Bosonen gelten die Operatoren

 

Die allgemeine Form des Zweiteilchen-Matrixelements in transformierter Basis:

 

Einsetzen von   ergibt die Umrechnung, mit   in der Mitte:

 

Eingang i und Ausgang l docken am Index m an, Eingang j und Ausgang k am Index n. Es gilt die Symmetrie

 

Feld-Operatoren oder Operator-Felder Bearbeiten

Die Ausgangsbasis soll nun zu einem kontinuierlichen Spektrum wie den Orten im Raum gehören. Die Einteilchenzustände sind uneigentliche Vektoren, als Deltafunktionen dargestellt. Statt   gibt es   mit Ortsdarstellung als Funktion

 

Hierin sind s,t zum Beispiel diskrete Spin-indizes. Es gilt  
Um das Vielteilchensystem in dieser Basis zu beschreiben, wird eine kontinuierliche Menge von Erzeuger- und Vernichter-Operatoren eingeführt. Also   -- in diesem Abschnitt lassen wir die Vektorpfeile fallen. Buchstaben x,y,z,w sind Ortsvektoren, p,q,r,s,t sind Spin-Indizes.

Man definiert Mengen von ort- und spin-abhängigen Operatoren, Operator-Felder. Mathematisch exakt sind es nun nicht bloße Funktionen, die den Ortsraum auf die Operator-Algebra abbilden. Sondern es sind (analog zum Deltafunktional) operatorwertige Funktionale/Distributionen, die jeder Testfunktion   einen Operator   zuordnen, distributions-artig geschrieben  
Partielle Ableitungen von Operatorfeldern etwa wären definiert nur über Matrixelemente zwischen Testzuständen, deren Ortsdarstellung so glatt und stark abfallend ist, dass die Ableitung mit partieller Integration übergewälzt wird. Die 'axiomatische Feldtheorie' versucht, die Dinge präzise in den Griff zu kriegen. Komplikationen gibt es schon, wenn Deltadistributionen am selben Punkt im Ort multipliziert werden sollen. Wie sieht es dann erst mit den punktweisen, nichtkommutativen Operatorprodukten aus! Denn im Gegensatz zum linearen Raum der Zustände hat ein Operator-Raum die komplexere Struktur einer allgemeinen Algebra. Die weiteren Ausführungen hier lassen sich nicht von mathematischen Bedenken aufhalten und schludern einfach.

Postulat der Vertauschungen für Operatorfelder, extrapoliert vom diskreten Schema:

 

Der Operator   misst die Teilchendichte am Punkt x mit Orientierung s. Die gesamte Teilchenzahl ist Eigenwert des Operators  
Kinetische Teile des Hamilton-Operators sind bilinear in Operatorfeldern

 

aufgebaut aus additiven Einteilchen-Operatoren. Wechselwirkung mit Potenzialen besteht aus additiven Zweiteilchen-Operatoren

 

Ein allgemeiner n-Teilchen-Zustand   wird mit folgender Formel in seine konventionelle Ortsdarstellung gebracht:

 

Die Kommutator-Relationen der Vernichter sorgen für die korrekte Permutations-Symmetrie bei Bosonen und Fermionen. Der Vorteil einer Fock-Basis ist, dass man nicht per Hand die Symmetrie den Funktionenprodukten aufzwingen muss. Eine Einteilchen-Schrödingerwelle hat die Formel

 

Umkehrformel zur Berechnung eines Fock-Zustands aus der Ortsdarstellung:

 

Zum Errechnen dieser Gleichung braucht man folgende Vakuum-Erwartungswerte:

 
 

Darin ist Sn die Menge aller Permutationen p von {1...n}, die 'Symmetrische Grupe'. Eine Permutation wird als {p1...pn} notiert, das Vorzeichen sgn(p) ist 1 für Bosonen, 1 für gerade und -1 für ungerade Fermion-Permutationen. Der Fall W(1) ist trivial, der Beweis von W(n) geht mit Induktion. Skizze: Mit der Beziehung

 

wird in W(n) zuerst der Operator   einen Schritt nach links gerückt und ein Summand vom Typ   abgespalten. Schrittweise kommt   bis zum Anschlag; jedes Mal kommt ein Term W(n-1) mal Delta-Ausdruck hinzu, der Rest sammelt z-Vorzeichen an. Der letzte Rest vom Typ   ist Null weil das Vakuum zu allen Erzeuger-Wertebereichen orthogonal ist. Entsprechend wandern alle anderen   durch alle Positionen und alle erzeugten Produkte von n Deltafunktionen durchlaufen die Permutationsgrupe.

Sei nun ein allgemeiner n-Teilchen-Zustand als Superposition gegeben.

 

Zu berechnen ist das Integral

 

Die Ortsfunktionen   sollten bitte übereinstimmen. Anwendung der allgemeinen Orthogonalität W(n) liefert tatsächlich

 

Wie gewünscht liefern diese zwei Ortsfunktionen   als Koeffizienten der Superposition von Erzeuger-Operatoren, das gleiche Ergebnis, wegen der Vertauschung bzw. Antivertauschung der Erzeuger.

Ist   ein orthonormales System von Funktionen, dann gibt es passend im Fock-Raum die Einteilchenzustände   Daraus folgt verallgemeinert eine diskrete Familie von Erzeugern  
Auch die Fourier-Transformation macht nicht Halt vor Operatorfeldern! Man definiert sie wohl so, dass Skalarprodukte erhalten bleiben,   zunächst immer anzuwenden auf glatte, schnell abfallende Testzustände.

Die Norm von Zuständen kann ebenfalls mit den Formeln von W(n) berechnet werden und sieht ganz wie erwartet aus:

 

Der Integrand ist die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig n Teilchen an den (Orten,Spins)=  zu finden bei solcherart idealisierten Messungen.

Hamilton-Operator aus Feldoperatoren Bearbeiten

Folgendermaßen werden Operatoren, wie sie für Schrödinger-Gleichungen in Ortsdarstellung auftreten, in die Sprache der Feldoperatoren umgeschrieben. Ein Einteilchen-Operator   kann auf Feldoperatoren losgelassen werden, als wären es Wellenfunktionen.

 

(Die Differenzial- und Integralrechnung von Operatorfeldern sei in einer sehr schwachen 'Topologie' definiert, das heißt, zuerst muss das Objekt zwischen ein Paar von ausgewählt gutartigen Bra- und Ket-Zuständen gepackt und eventuell noch dazu mit einer Testfunktion geglättet werden.)
Behauptung. Die Matrixelemente dieses Operator-Integrals sind

 

Ein lokaler und spin-unabhängiger Potenzialoperator für Teilchenpaare:

 
 
 

hat allgemeine Matrixelemente

 

Beweise.
Der Operator-Faktor   erscheint etwas nebulös in Umgebung von Operatorfeldern und wird vorsichtig mit folgenden Rechenregeln behandelt:

  • Eine Deltafunktion im selben Term nicht über die Variable x integrieren
  • K(x,...) vertauscht mit Feldoperatoren, die nicht von x abhängen
  • K erst anwenden, wenn keine Operatoren mit Argument x rechts von ihm stehen.

Spin-indizes und Konstanten wie n! und   unterdrückend, ist auszurechnen:

 
Zuerst wird benutzt   und
  mit demselben Faktor   Ergibt
 

Im ersten Term ist der ganze Operator   eine Position nach rechts gewandert. Im zweiten Term kann über   integriert werden und Operator K kann bis direkt vor die Ortsfunktion   springen. Zweiter Term also:

 

Wird hier die Integrationsvariable y wieder zu   umgetauft, ist dieser Term genau der Zustand mit der Ortsdarstellung als n-Punkt-Funktion

 

Auf dem ersten Term wird der Rechtsruck des Operators wiederholt und es fällt ein Term an von der Form   Am Ende der Iteration bekommt man die Summe der K-Operatoren angewandt auf alle Koordinaten und zuletzt steht ein vakuum-vernichtender Faktor Null am Anschlag:   Also hat das Ergebnis die Ortsdarstellung

 

Hieraus folgt die Formel für die Matrixelemente von  

Nun zum Potenzialausdruck. Dafür kann etwa so losgerechnet werden:

Definiere  
Regel 1:  
 
 
 
 
Regel 2:  

  hat die Form  
Im ersten Schritt wird mit Regel 2   nach links gezogen. Damit sind zwei L-Terme entstanden. Mit der Regel 1 können die zwei L-Terme über den nächsten  -Faktor geschoben werden und sondern ab:  
Das Operator-Integral ergibt dann  
Wie im Fall des  -Operators kommen alle Paare (n,j) mit höchstem Argument   dran.
In nächsten Durchlauf wird M(y,z) einen Schritt weiter verschoben, wieder sondern sich zwei L-Operatoren ab und alle Paare mit Argumenten Nummer (n-1,j) sind an der Reihe. Insgesamt produziert jedes Punktepaar einen Term   was zu der behaupteten Ortsdarstellung führt:

 

Zeitentwicklung des Operatorfeldes Bearbeiten

Mit Feldoperatoren ist das Heisenberg-Bild interessant. Damit wird die ganze Dynamik durch Operatoren-Familien bestimmt, die Funktionen der vierdimensionalen Raumzeit sind. Der Hamilton-Operator soll im hier diskutierten Modell nicht explizit von der Zeit abhängen.

Zunächst der Fall einer abzählbaren Basis mit dem Hamilton-Operator

 

Im Heisenberg-Bild haben die Operatoren   Zeitableitungen   worin folgende Kommutatoren auftreten:

 
 

was nicht schwer für Bosonen wie Fermionen nachzurechnen ist. Folglich lautet die Heisenbergsche Bewegungsgleichung

 

Wegen der Symmetrie   für Bosonen und Fermionen:

 

Spezialfall mit diagonaler Zweiteilchen-Matrix:

 

Kontinuierlicher Fall mit Operatorfeldern  
Der kinetische Operator   soll eine Funktion des Punktes   und des kanonischen Impulses, also des Gradienten-Operators, sein.

 

Der Potenzial-Operator sei gegeben durch die Funktion V(x,y)=V(y,x).

 
 

Man definiert einen Pseudopotenzial-Operator am Punkt x, der aussieht, als würden mit dem Teilchendichte-Operator die Paarpotenziale aufsummiert. Dann hat das Operatorfeld der Vernichter praktisch die Schrödinger-Gleichung!

 
 
 
Iteration für selbstkonsistentes gemitteltes Potenzial

Diese Operator-Schrödingergleichung beschreibt Vielteilchensysteme, während die ähnliche Zustandsvektor-Gleichung ein einziges Partikel im Visier hat. Die Original-Schrödingergleichung für Zustände ist streng linear, während ihre Ausweitung auf Feldoperatoren wegen der Rückkopplung durch das gemittelte, effektive Potenzial   extrem nichtlinear wird. In manchen Texten wird auch ein Operator-Feld als   notiert; hier sollen die Buchstaben A,B... jede Konfusion vermeiden.
Die Struktur suggeriert iterative Näherungsmethoden für selbstkonsistente Lösungen: man stecke die verbesserten Wellenfunktionen als Korrektur in das effektive Potenzial und umgekehrt das erneuerte Potenzial in die Wellengleichung. Operatorfelder im Allgemeinen dürfen also das Superpositions-Dogma brechen, was in der Tat in der Quantenelektrodynamik mit den gekoppelten Dirac- und Maxwellgleichungen passiert, und noch krasser bei den nichtabelschen Eichtheorien der Elementarteilchen. Wie schon gesagt, Operatoren sind mathematisch eine Algebra, Zustände sind nur ein linearer Raum ohne multiplikative Verknüpfung.

Früher war es üblich, die Operator-Schrödingergleichung als die zweite Quantisierung der als klassisch herabgestuften Zustands-Wellengleichung anzupreisen. Man mag sich gestatten, den schlecht definierten Begriff zu vergessen.

Herleitung der n-Teilchen-Wellengleichung aus dem Operator-Formalismus. Sei

 

mit konstantem Ket   im Heisenberg-Bild. Die gesuchte Gleichung für   im Konfigurationsraum (Ortsdarstellung) wird dann wieder zum Schrödinger-Bild gehören. Denn die zeitveränderlichen Feldoperatoren enthalten die Information, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung jedes Vielteilchensystems sich verändert.
Behauptung:

 

Zum Beweis wird dem Operatorprodukt in der Definition von   die Heisenberg-Gleichung gegönnt. Zeitableitung von Operatorprodukten folgt Leibniz,   Für den  -Term kommt nach der Produktregel eine Summe auf. Für jeden der Operatoren   ein Faktor  
Jedes   hierin hat keine Wirkung auf die Feldoperatoren, die links von ihm stehen und kann so ganz vor den Operatorausdruck von   gezogen werden. Damit ist der erste Teil der Formel schon gezeigt.
Für den Potenzialteil mutiert jeder Operator in gleichartiger Produktregel-Summe einmal zu (überall gleiches Zeitargument t weglassend,  ):

 

Nur wenn links davon ein   steht, macht der Bra-Vektor des Vakuums das Operatorprodukt nicht zu Null. Mit den Vertauschungsregeln verschiebt sich der Teilchendichte-Operator für Fermionen und Bosonen gleichermaßen:

 

Integral und Summe des Potenzials über den Delta-Term ergeben   womit der Beitrag   zur Wellenfunktion zustande kommt.
Nach den Regeln der Kunst kann im anderen Term der Dichteoperator   einen Schritt weiter nach links gezogen werden und der nächste Beitrag mit dem Faktor   wird genauso abgesondert. Insgesamt kommen alle Paare   an die Reihe. Wird nun die Summe über Paare etwas lässiger als Doppelsumme geschrieben und wird berichtigend der Faktor (1/2) gesetzt, kommt die Behauptung raus.

Störungsrechnung erster Ordnung Bearbeiten

Gegeben sei ein Vielteilchen-Hamilton-Operator

 

Der Operator heißt normalgeordnet, weil alle Erzeuger links von den Vernichtern stehen. Mit den Vertauschungsregeln gibt es einen Algorithmus, der jedes Erzeuger-Vernichter-Produkt als Summe normalgeordneter Terme schreibt.
Die Eigenzustände von   sind   wo jede Besetzungszahl   ein Eigenwert des Operators   ist. Es sei angenommen, die Eigenwerte von   sind nicht entartet. Dann hat man als erste Näherung für die stationären Energien

 

Zustände mit verschiedenen Besetzungsfolgen   sind orthogonal. Daher tragen nur folgende Vernichter-Erzeuger-Kombinationen zur V-Matrix bei:

  • q=r und (q,r)=(s,t)
  •   und (q,r)=(s,t)
  •   und (q,r)=(t,s)
 

mit z=1 für Bosonen, z=-1 für Fermionen. Die letzte Summe verschwindet für Fermionen. Terme   heißen direkte Matrixelemente, die   heißen Austausch-Terme.