Es geht hier um den Elektromagnetismus im Schrödinger-Bild unter den
Bedingungen, wo die Felder
noch klassisch angenähert werden können.
Nicht nötig, sie zu Photonen zu quantisieren, wenn die Frequenzen niedrig
und die Quanten verschwindend klein sind. Um einen Hamilton-
Operator für beispielsweise Elektronen im -Feld zu bauen, kann man
von der klassischen Lorentz-Kraft ausgehen oder die hier bevorzugte
zweite Methode einsetzen: die Eich-Transformationen studieren.
Das elektrische Feld koppelt nicht direkt an die Schrödinger-Welle eines
geladenen Teilchens, sondern das elektrische Potenzial tut es. Dieses kann
wie in der klassischen Physik mit einer Konstante verschoben werden, ohne
dass beobachtbare Größen sich ändern. Denn
Die phasenverdrehte Wellenfunktion macht die gleichen Vorhersagen.
Auch das magnetische Feld, das klassisch an geladenen Teilchen in Bewegung
angreift, sollte in Form eines Potenzials quantenmechanisch andocken.
Die homogenen Maxwell-Gleichungen
erlauben es, das Paar aus einem Paar
von Potenzialen abzuleiten:
.
Dieses Vierer-Potenzial kann mit dem Vierer-Gradienten einer
beliebigen reellen Funktion verschoben werden, ohne die messbaren
Felder zu ändern. Sprechweise: Die Eichung wird gewechselt.
.
Von der elektromagnetischen Kopplung der Schrödinger-Gleichung verlangen wir,
dass die Physik invariant unter solchen Eichtransformationen bleibt.
Die elektrostatische Kopplung der Wellenfunktion kann gesehen werden als
eine 'verbogene' Zeitableitung: .
Die Kopplung ans Vektorpotenzial wäre analog dazu eine verbogene
Orts-Ableitung, also ein verlängerter Impuls-Operator:
.
Tatsächlich! Man definiert die Eichtransformation der Wellenfunktion als
eine orts- und zeitabhängige Phasenänderung
.
Die Anwendung eichtransformierter
Potenziale auf eichtransformierte Wellen, nach der gerade gemachten Kopplungs-
regel, ergibt dann richtig phasentransformierte Terme. In die messbaren
Werte gehen nur die Betragsquadrate der Wellenfunktion ein. Daher ergibt sich
diese eich-kovariante Schrödinger-Gleichung mit Potenzialen :
.
Der quadratische Operator hat nun vier Terme, proportional zu .
Messbare Raumzeit-Funktionen sind eichinvariant.
Werden zusammen eichtransformiert, erfüllen die transformierten
Wellenfunktionen die selben Differenzialgleichungen, genau dann wenn die Ableitungen
von in einem kovarianten Format
einziehen. Allgemeinere
kovariante Ableitungs-Operatoren mit matrix-wertigen Eichfeldern , die eine
Lie-Algebra darstellen, sind auch erforscht worden. So wie die Photonen die
Quanten des Maxwell-Eichfeldes, sind die Gluonen die Teilchen des Kraftfeldes der
starken Wechselwirkung, die das Proton aus Quarks aufbaut und an Stelle der
ortsabhängigen Phasentransformationen U(1) unter der Eichgruppe SU(3) invariant ist.
Nun kann die Schrödinger-Gleichung im Magnetfeld aufgestellt werden.
Ein homogenes Magnetfeld const hat ein Vektorpotenzial . Dieses ist divergenzfrei. Dazu wird auch
im Folgenden der Term vernachlässigt. Es bleibt nur ein neuer Beitrag
zur Schrödinger-Gleichung
.
Das homogene Magnetfeld zieht ein über das Skalarprodukt mit dem Bahndrehimpuls,
der das magnetische Dipolmoment des geladenen Teilchens verursacht:
.
Ist die Elektron- oder besser Positron-Ladung und m die Elektron-Masse,
dann definiert das Bohr-Magneton. Die Momente
anderer Teilchen in Drehbewegung und auch die ihres eingebauten Spins
werden mit gyromagnetischen Faktoren g bezogen auf dieses
Magneton. Der Spin-Operator ist ein Vektor aus Matrizen auf einer
Mehrkomponenten-Wellenfunktion; sein 'Elementarmagnet' mit gyromagnetischem
Faktor koppelt wie der Bahndrehimpuls an das Magnetfeld. Insgesamt
hat ein Teilchen der Masse M dann
folgenden Term im Hamilton-Operator für die Energie im Feld :
.
Für Elektronen gilt . Aber deren Spin=(1/2) zeigt sich experimentell
mit einer Energie-Aufspaltung im Magnetfeld von .
Woher kommt diese Zwei? Sie ist relativistisch. Die Dirac-Gleichung,
eichgekoppelt an ein Maxwell-Feld, führt automatisch zu diesem magnetischen
Moment der Elektronen und Positronen. Die 'Strahlungs'-Korrekturen
hinterm Komma entspringen der Quantenfeldtheorie, welche nackte Elektronen
einkleidet: sie schwimmen bildlich gesprochen in einer Wolke aus virtuellen
Photonen, Elektronen, Positronen...
Ein weiterer relativistischer Term schleicht sich in den Hamilton-Operator
ein, mit dem die Elektronen sich um ein zentrales Potenzial V(r) herum binden.
Wegen Rotations-Symmetrie kommutiert er mit dem Gesamt-Drehimpuls J und
enthält das Skalarprodukt der Operatoren L und S. Es ist die
Spin-Orbit-Kopplung:
Die Herleitung wird aufs Kapitel zur Dirac-Gleichung verschoben.
Nichtrelativistische Begründungen funktionieren wohl nicht sehr gut.
Anschauliches Argument: Der Spin spürt das Magnetfeld, das von der
eigenen drehenden Bahnbewegung des Elektrons erzeugt wird.
Für Ein-Elektron-Orbitale der Atome ist die Folge, dass die Niveaus mit
Quantenzahl sich in Paare aufspalten, die zu zwei benachbarten Eigenwerten
von gehören. Das Ergebnis ist die Feinstruktur des Energiespektrums.
Beispielsweise spalten die Niveaus 2p des Wasserstoff sich
in und , wo der Index die Quantenzahl angibt.
Aus ungekoppelten Zuständen werden 2 plus 4,
die Eigenvektoren zu sind.
Aus der Dirac-Gleichung im Zentral-Potenzial wird der folgende korrigierte
Hamilton-Operator hergeleitet, der einer Entwicklung nach den Potenzen von
entschlüpft:
Spin-Orbit-Term:
Darwin-Term:
Abgesehen von der relativistischen Ruhemasse gibt es also eine Korrektur zum
relativistischen Impuls. Deren Größenordung ist, mit eV:
meV.
Der Darwin-Term ist fürs Coulomb-Potenzial eine Deltafunktion am Ursprung
und koppelt allein an die Zustände 1s,2s.., deren Radialfunktion bei r=0
nicht verschwinden.
Die geschlossene Lösung der Dirac-Gleichung des Wasserstoffatoms ergibt ein
Energie-Spektrum, das von zwei Quantenzahlen n,j abhängt:
ist die Feinstrukturkonstante
Demnach sind die Wasserstoff-Niveaus und immer noch entartet
zu , aber das Niveau liegt höher.
Nur wurde experimentell
die Lamb-Verschiebung entdeckt -- die Zustände sind
nicht entartet, sondern die p-Energie liegt tiefer mit dem Abstand
MHz. Niveau liegt bei 10969 MHz über .
Warum diese Lamb-Shift? Theoretisch ist die Dirac-Gleichung disqualifiziert
als Einteilchen-Wellengleichung. Relativistisch korrekt gibt es überhaupt
keine Theorie mit wenigen Freiheitsgraden und erhaltenen Teilchenzahlen. Sondern
eine Quantenfeldtheorie, die beliebig viele Teilchen als Feld-Anregungen erzeugt
und vernichtet. Die Quantenelektrodynamik kann das Spektrum extrem genau ausrechnen.
Zurück zur Kopplung vom Bahndrehimpuls mit dem Gesamtspin , in
einem Unterraum der Eigenzustände . (Nicht bei allen Atomen
funktioniert die Feinstruktur mit so einer Kopplung).
Allgemein sind es die Clebsch-Gordan-Matrizen, die von einer Basis der
(2l+1)(2s+1) Tensorprodukt-Zustände umschalten auf Basen der irreduziblen
Darstellungen der Drehgruppe, zu den -Eigenwerten
.
Die Notation ist '' für einen j-Zustand, der
aus einem '' hervorgeht, Beispiel ''.
Für den häufigen Fall s=(1/2) kommt ein Paar von Unterräumen
zu heraus.
Der Operator der Spin-Bahn-Kopplung
kommutiert mit und mit den
, er ist also diagonal in der Standardbasis der -Unterräume. In jedem
davon ist der Energie-Wert doch noch entartet, denn kommutiert mit
.
Mit dem Satz von Wigner-Eckart lässt sich herleiten, dass die Folge der
Eigenwerte von zu gegebenen Quantenzahlen wie folgt
von j abhängt:
Eine Folgerung ist bekannt als Landésche Intervallregel der Feinstruktur:
Die Spektrallinien der Atome, also ihre Energie-Niveaus, spalten sich in
einem Magnetfeld auf. Beim einfachen Zeeman-Effekt oder Paschen-Back-Effekt
können unabhängig voneinander der Bahndrehimpuls-Operator und der
Spin-Operator zum Effekt beitragen. Dies passiert, wenn das Feld so stark ist,
dass man die Spin-Bahn-Kopplung vernachlässigt.
Das Magnetfeld B in z-Richtung addiert zum Hamilton-Operator eines Atoms mit
Spin (1/2) den Term und verschiebt Energien
um die Beträge
.
Insgesamt kann es Niveaus geben. Aber das Experiment sieht nur drei
Spektrallinien, eine ungestörte und zwei Satelliten symmetrisch dazu. Warum?
Weil elektrische Dipolstrahlung mit Auswahlregeln gesendet wird. Der Eigenwert
von bleibt unverändert und der von kann nur die drei
Sprünge +1,0,-1 ausführen. Die Frequenz-Verschiebung beträgt . Sie heißt Larmor-Frequenz und wäre klassisch die Frequenz der
Präzession des Drehimpuls-Vektors um die Achse des Magnetfeldes.
Der Zeeman-Effekt im schwachen Magnetfeld (anomaler Effekt) ist interessanter.
Das Magnetfeld soll so schwach sein, dass sich eine Störungsrechnung in der
Basis der Feinstruktur-Multipletts rechtfertigt. Also der
Zeeman-Effekt sei kleiner als die Feinstruktur. Der Stör-Operator mit
Magnetfeld in Richtung der 3-Achse enthält Total-Bahndrehimp. plus Total-Spin.
. In erster Näherung soll gezeigt werden:
mit dem Landé-Faktor.
Operator vertauscht nicht mit allen Komponenten vom Operator .
Daher wird die Entartung vom Grad 2j+1 der Feinstruktur-Energien aufgehoben.
Jeder Feinstruktur-Term wird zu einem gleichmäßigen Raster aus (2j+1) Niveaus.
Definiere den Sphärischen Tensor-Operator des Vektor-Operators :
Darauf kann der Satz von Wigner-Eckart angewendet werden in der Basis :
wo die Konstante nicht von abhängt.
Analog gilt für den Tensor-Operator zum Gesamt-Drehimpuls-Operator :
Daher folgt als Vektor-Gleichung: :
Mit folgt
Vielfach ist die Feinstruktur aus Gesamt-Bahndrehimpuls und
Summe-aller-Spins bei Atomen zu erklären. Bei gerader Elektronenzahl
liegt der Singulett-Spinzustand s=0 unter dem Triplett s=1. Für
s=0,j=l folgt . Jedes Niveau spaltet in (2l+1) Terme mit Abstand .
Wegen der Auswahlregeln kommen im optischen Spektrum nur (Lorentz-)Tripel vor.
Für ein ungepaartes Elektron
kommen beim Zeeman-Effekt mehr Frequenz-Stufen vor.
.
Das Na-Atom leuchtet mit zwei D-Linien. Kleiner Energie-Unterschied=2,13 meV.
nm
nm
Der Zeeman-Effekt im schwachen Magnetfeld:
Die D1-Linie wird ein Quartett mit Verschiebung
Die D2-Linie ergibt ein Sextett mit .
Der Zeeman-Effekt im starken Feld:
Beide Linien spalten sich nur in Tripel auf.
Messung des Atom-Drehimpulses:
Ein Stern-Gerlach-Apparat kann Atomstrahlen nach dem Eigenwert des
Gesamt-Drehimpulses (Richtung senkrecht zur Flugrichtung) zerlegen.
Dazu wird ein inhomogenes Magnetfeld mit einem Gradienten
angelegt. Da die Energie ist, bedeutet der
Gradient eine Kraft, die von abhängt und daher die Atome in (2j+1)
verschiedene Richtungen ablenkt.
Es soll der Zeeman-Effekt auf die Niveaus 1s,2s,2p und ihre Feinstruktur
losgelassen werden. Speziell der Übergang , das ist die tief
ultraviolette Lyman-Absorptionslinie bei 122 nm, wird qualitativ
behandelt.
Für die Störungsrechnung spaltet man den Hamilton-Operator auf .
Im Operator sollen das Coulomb-Potenzial, die Impulskorrektur und der
Darwin-Term stehen. Er produziert die drei Niveaus 1s,2s,2p, die mit
dem Spin eingerechnet Zustandsräume der Dimensionen 2,2,6 haben.
Der Darwin-Term wirkt auf die Wellen-Amplitude am Zentrum und trennt
deshalb die 2s und 2p Orbitale, die entartet waren im reinen Coulomb-Modell.
Im Operator sind die Spin-Bahn-Kopplung, also die Feinstruktur, plus
die Zeeman-Kopplung ans äußere Magnetfeld vereint. Die Vorschrift ist nun,
die Stör-Matrix von H_1 in den drei Unterräumen der degenerierten Zustände
zu diagonalisieren. In den zweidimensionalen s-Orbitalen ergibt sich eine
einfache lineare Aufspaltung im B-Feld. In den 6 Dimensionen bei 2p kommt
jedoch ein qualitativ verschiedener Effekt, wenn die Feinstruktur oder wenn
die magnetische Energie dominiert. Die Hyperfeinstruktur, siehe nächster
Abschnitt, wird hier noch vernachlässigt.
Das Magnetfeld B längs der 3-Achse koppelt an Operatoren und .
Im Folgenden soll möglichst dimensionslos gerechnet werden.
Mit wird der radiale Term zu , dessen Erwartungswert
mit einem effektiven Radius R parametriert werden soll.
. Mit:
dem Bohr-Radius ,
der Bindungsenergie ,
der Feinstrukturkonstante
lautet der Faktor von :
. Nennen wir F die Feinstruktur-Energie.
Das variable Magnetfeld soll als Bruchteil von
F parametriert werden. Damit schreiben wir einen dimensionslosen Hamilton-Operator
.
Ab hier werden die Balken nicht mehr notiert,
Dimensionsfreiheit alias "" ist unterstellt.
Bei 1s und 2s hat die Basis je zwei Elemente (n=1 oder 2):
.
Es gibt keine Feinstruktur und der Zeeman-Operator ist bereits diagonal.
Die Niveaus werden linear in B verschoben mit .
Der Raum der Zustände 2p hat eine 6-Vektor-Basis :
.
Unitärer Basiswechsel mit den Formeln (Anwendung von Clebsch-Gordan):
Hier ist , + und - bezeichnen die beiden -Eigenwerte und variiert
in 4 Schritten für oder in 2 Schritten für .
In dieser Basis ist diagonal.
.
Operatoren und waren diagonal in der ersten Basis, in der -Basis
ist diagonal nur für die extremen .
Die ähnlichkeitstransformierte Matrix von
hat noch zwei 2x2-Blöcke für jeden der mittleren , wo die Zustände
j=(1/2) und j=(3/2) gemischt werden.
Lästiges Rechnen wurde automatisiert. Das anliegende Skript
beherrscht etwas Bruch/Wurzel/Arithmetik und Clebsch-Gordan-Transformation und
berechnet die Matrix des Operators
in der wie folgt umgeordneten Basis der -Zustände:
.
Offenbar sind die 6 Eigenwerte als Funktion von x leicht auszurechnen, da nur
zwei Diagonal-Elemente und zwei 2x2-Blöcke vorliegen. Das Skript errechnet
einen Graphen 'zeeman.svg' im Intervall x=0...5. Darin sieht man nahe bei x=0
die Feinstruktur und deren Aufspaltung in 4+2 Niveaus mit verschiedenen
Landé-Faktoren bei schwachem Magnetfeld. Im starken Feld sind zwei Tripel da,
jeweils zum Bandrehimpuls l=1. Das eine wird wegen der Spin-Orientierung unter die
Horizontale gezogen, das andere darüber. (Der Spin hat einen doppelt so
großen g-Faktor). Wie schon allgemein erläutert, tendiert die Aufspaltung
zu Niveaus, aber elektromagnetisch ist ein Tripel sichtbar. Wenn das
Magnetfeld stark ist, hat die Feinstruktur nichts mehr zu melden.
Der Kern des Wasserstoff, das Proton, hat einen Spin 1/2 und ein magnetisches
Moment. Spin und Drehimpuls des Elektrons spüren diesen
Magneten im Zentrum. Mit den zwei Dimensionen des Kernspin-Zustands
sollten sich neue Eigenzustände zu einem Gesamt-Drehimpuls F etablieren. Die
Energie-Niveaus der Feinstruktur sollten noch einmal in Paare zerfallen. Das
tun sie! Diese Hyperfeinstruktur sieht experimentell wie folgt aus, mit ihren
Energiedifferenzen als Radiofrequenzen. Feinstruktur und Lamb-Verschiebung
bei der Hauptquantenzahl 2 sind auch angedeutet.
Die zwei unteren Niveaus haben den Abstand MHz oder als
Wellenlänge 21 cm. Der Übergang sendet Mikrowellen und dient in der
Radioastronomie dazu, interstellare Wolken von Wasserstoff zu orten. Er kann
auch mit Wasserstoff-Masern sehr präzise gemessen werden. Die
Hyperfein-Aufspaltung spielt im Bereich von Mikro-Elektronvolt, während zum
Beispiel der Abstand von 2p zu 1s happige 10 eV ausmacht.
Für ein Modell des Phänomens soll das elektromagnetische Potenzial des
Kerns, also ein Viererpotenzial , in Multipol-
Momenten entwickelt werden. Der Hamilton-Operator des Elektrons lautet,
einschließlich eines Terms Kern-Magnetfeld mal Elektronen-Spin:
Ein Potenzial, das außerhalb eines Zentrums die Gleichung
erfüllt, hat in diesem Außenraum die Multipol-Entwicklung
Ist eine Summe (oder ein Integral)
über Coulomb-Terme im Zentrum, geht eine bessere Entwickung in (1/r)-Potenzen:
.
Der Term l=0 ist ein Monopol (nicht existent für Magnetfelder, deren Divergenz
verschwindet). Term l=1 heißt Dipol, l=2 Quadrupol.
Das elektrische Potenzial des Protons hat nur den Monopol. Der Kern des
Deuteriums hat zusätzlich einen Quadrupol-Beitrag.
Die Multipolentwicklungen sind logisch: genau zwei Exponenten lösen die Radialgleichung
.
Das Vektorpotenzial wird vom magnetischen Dipolmoment des Kerns dominiert.
.
Das Proton hat Masse , 2000 mal mehr als das Elektron,
einen Spin mit
Quantenzahl und einen Faktor 5,6. Sein magnetisches
Moment
ist wegen der großen Masse viel kleiner als das des Elektrons.
Der Hamilton-Operator , mit dem das Elektron den Kernspin fühlt, besteht
aus den linearen Termen im Vektorpotenzial. Die quadratischen lassen wir weg.
In der eckigen Klammer ist dann folgender Operator auszuwerten:
ist ein Operator für die Freiheitsgrade des Protons, er
berührt nicht die Elektron-Wellenfunktion und vertauscht
mit und . Daher
mit Elektron-Bahndrehimpuls .
ist ein skalarer Operator bezüglich Drehungen und vertauscht mit
. Daher
.
Der erste Teil der eckigen Klammer bringt nochmal den selben Beitrag:
.
Damit kommt folgender Bahndrehimpuls-Anteil des Hamilton-Operators zusammen:
Er ist physikalisch die Kopplung der zwei Magneten des Kernspins und des
'kreisenden' Elektrons. Bringt der Faktor
nun unendliche Integrale,
wenn Matrixelemente auszuwerten sind? Nein, denn die Elektronenwellen mit
koppeln nicht und die anderen bringen Faktoren
der Wasserstoff-
Eigenfunktionen in die Integrale ein, wenn der Operator zwischen einem Paar
von denen eingebaut wird.
Fürchtet man aber für den Elektronenspin-Anteil, dass das Vektorpotenzial
am Ursprung divergiert? Zuerst wird dazu
ausgewertet für . Es kommt heraus, mit . Dies gilt nur außerhalb des Nullpunkts!
Es ist ein magnetisches Dipolfeld und dafür kann leicht für eine allgemeine
Ausrichtung von die Kopplung aufgeschrieben werden.
Diese Wechselwirkung zweier magnetischer Dipole, Kern und Elektron, hat
endliche Matrixelemente. Denn es gibt rettende Faktoren wie oben
mit .
Warum? Weil in Wirklichkeit beides Vektor-Operatoren
von Spin (1/2) sind. Die Wellen haben Tensorprodukte zweier Spins. Der
Operator ist
ein Tensor-Operator zu einer Darstellung J=2 der Drehungen. Das heißt, T kann
ausgeschrieben werden in Spin-matrizen mal Kugelflächenfunktionen
für die Winkel von .
Die Rechenregeln für deren
Matrixelemente zwischen zwei , also das Integral über
das Produkt dreier Y-Funktionen, zwingen die Integrale auf Null außer für
. Auch verschwindet . Allgemeiner und eleganter
begründet der Satz von Wigner-Eckart derartige Auswahlregeln.
Nun weiter zum ungemütlichen Kontakt-Term, für den man das Kernfeld
am Ursprung regularisieren muss. Das Modell dazu: Innerhalb einer kleinen
Kernkugel ist das Dipolfeld konstant in z-Richtung, .
Die Konstante wird so gesetzt, dass der Fluss durch den Innenkreis
plus der Fluss des Außenfeldes durch die xy-Ebene verschwindet. Als Faktor
des äußeren Flusses kommt heraus:
.
Alle Multiplikanden werden aufgesammelt und das Magnetfeld im Kern
hat den Wert: .
Was bedeutet das für
die Matrixelemente? Das Produkt P zweier Radialfunktionen, mal
wird über die Kernkugel integriert. Im Grenzübergang
ergibt sich ein Faktor
.
Der Kontakt-Operator ist eine Deltafunktion!
Der willkürliche Parameter hebt sich weg.
Mit allen Koeffizienten mal wieder,
.
Nur die s-Wellen verschwinden nicht am Ursprung,
daher kommt der Kontakt-Operator auch nur für Matrixelemente
zum Einsatz.
Der Kopplung vom Elektronenbahn zu Kernspin kann ein Beitrag
dieses Kern-Kugelmodell übrigens nichts zusetzen,
denn das Integral übers Kügelchen würde einen Operator vom
Typ und radiale Potenzen
herbeiführen. Solche Matrixelemente würden
gemittelt über schrumpfende -Kugeln verschwinden.
Endergebnis für den Hyperfeinstruktur-Operator:
Kernspin-Operator ,
Kern-magnetisches Moment
Der Operator agiert in einem Vektorraum, der von den Produkten aus
Elektronspinor, Kernspinor und Funktion der Relativkoordinaten Elektron-Kern
aufgespannt wird. Gerechnet ist im Schwerpunktssystem; der Hamilton-Operator
für den Schwerpunkt wurde von vorne herein abgespalten.
Der Grundzustand 1s des Wasserstoff hat nur ein mögliches und
daher nach Dirac-Gleichung keine Feinstruktur-Aufspaltung. Das System aus
Elektron und Kern mit den Spins der Quantenzahl (1/2) hat eine
Basis aus 4 Zuständen . Welche Matrix
ergibt nun der Operator ? Die Terme mit verschwinden, da l=0.
Der Dipol-Dipol-Term fällt ebenfalls der Kugelsymmetrie zum Opfer!
Bleibt der Kontakt-Term, worin das Betragsquadrat der 1s-Wellenfunktion am
Ursprung auftritt. Die Matrix des Operators ist
mit der Konstanten
Darin kommen vor: die Auswertung der 1s-Radialfunktion am Ursprung,
die Proton-Masse M, die reduzierte Masse der
Relativbewegung, sowie die Feinstrukturkonstante.
Von der Produkt-Basis schalten wir um zur Basis, wo das totale Drehmoment
mit Eigenvektoren zu
aufwartet. In dieser Basis ist diagonal. Mit sind die Eigenwerte
Die Hyperfein-Aufspaltung macht also ein Triplett F=1 bei
Energieverschiebung
und ein Singulett F=0 bei .
Die höheren Feinstruktur-Zustände, alle zu halbzahligen Quantenzahlen J,
ergeben ebenfalls Paare von Hyperfein-Niveaus, zu ganzzahligen Quantenzahlen
.
Zeeman-Effekt
Modell: Ein äußeres Magnetfeld koppelt an drei magnetische Momente des Atoms:
Bahndrehimpuls,
Elektronspin,
Protonspin.
.
Ein diamagnetischer quadratischer Term in B wird vernachlässigt.
Fürs Beispiel Wasserstoff 1s entfällt und die Kopplung
wird auch noch vernachlässigt. Es wird ein
Energiebereich durchlaufen, wo bei schwachem Magnetfeld der Hyperfeinterm
dominiert, bei starkem Feld der Zeeman-. Es geht also darum, die Summe
beider Operatoren zu diagonalisieren. In der Basis ist der erste
diagonal, also bleibt zu untersuchen.
Erinnerung daran, wie Singulett und Triplett aus Eigenzuständen
kombiniert werden:
Operator behält danach Eigenvektoren
zu Eigenwert ,
aber er vertauscht die zwei anderen Vektoren, wobei auch ein Faktor 1/2
vorkommt und wie leicht auszurechnen ist.
Mit den zwei Konstanten sieht dann die
Matrix von wie folgt aus.
Ordnung der Basis:
Die Eigenwerte aus sind:
die Lösungen der Gleichung .
Parameter A steht für die Feinstruktur, Parameter B für das
von Null an wachsende Magnetfeld.
Bei kleinem B gibt es einen Zustand bei -3A und das Triplett um A herum,
wovon je ein Ast linear mit B ansteigt und abfällt.
Bei dagegen
gibt es zwei parallele Paare mit den Steigungen und Abstand 2A.
Das starke Magnetfeld hebt die Hyperfeinstruktur aus Singulett+Triplett auf
und entkoppelt wieder die Operatoren . Die Eigenbasis nähert sich
der ursprünglichen Produkt-Basis.