Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen


Reelle ZahlenBearbeiten

EinleitungBearbeiten

Im letzten Kapitel wurden die rationalen Zahlen definiert. Auf diese lassen sich bereits die vier Grundrechenarten anwenden.

Leider bleiben viele mathematische Wünsche offen. So lässt sich beispielsweise die simple Gleichung   in   nicht lösen.

Dies kann man durch einen indirekten Beweis leicht zeigen:


Beweis
Angenommen, es existieren   so dass   anders formuliert: Nach Annahme soll zu   eine Lösung   existieren. (Dann wäre auch   eine weitere Lösung wegen  . Man darf sich also auf die Frage nach der Existenz einer positiven Lösung beschränken.) Weiter darf man annehmen, dass   und   nicht beide zugleich gerade Zahlen sind, da man anderenfalls den gemeinsamen Faktor   herauskürzen könnte.
Wegen   folgt:    
Also ist   eine gerade Zahl. Dann ist aber auch   eine gerade Zahl (Auch die Behauptung:   ist gerade natürliche Zahl ⇒   ist gerade natürliche Zahl lässt sich leicht indirekt beweisen.) Es gibt also ein   mit  . Weiter folgt:
     
     .
Dies bedeutet aber gerade, dass auch   eine gerade Zahl ist und widerspricht der eingangs gemachten Annahme, dass   und   nicht beide gerade Zahlen sind. Also muss die Annahme, dass es in   eine Lösung für   gibt, falsch sein.


Der vorstehende Beweis zeigt, dass   keine Lösung in   hat. Bezeichnet man - unabhängig von der Frage der Existenz - eine Lösung von   mit   (eine weitere Lösung wäre dann  ), so weiß man bis jetzt nur, dass jedenfalls   gilt.


Ein weiteres, in   nicht lösbares Problem sind Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises. Hierzu ist die irrationale Zahl   (Pi) erforderlich. Es wird sich bei der Untersuchung der reellen Zahlen zeigen, dass diese Zahl   von ganz anderer "Qualität" als   ist. Dabei stellt sich heraus, dass die Menge der reellen Zahlen fast nur aus Elementen dieser Qualität besteht und durch diese Elemente überabzählbar wird.


Formal lassen sich die reellen Zahlen beispielsweise über Cauchy-Folgen oder dedekindsche Schnitte definieren. Die Definition über Cauchy-Folgen soll später in diesem Buch gezeigt werden. Sie gehört eigentlich in dieses Kapitel über reelle Zahlen, wird aber auf später verschoben, da die notwendigen "Werkzeuge" für Folgen noch fehlen. Dabei ist aufzupassen, dass keine "Zirkelschlüsse" entstehen. An kritischen Stellen wird darauf hingewiesen.


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