Mathematik: Analysis: Integralrechnung

Zusammenfassung des ProjektsBearbeiten

  • Zielgruppe: Schülerinnen und Schüler die die Grundlagen des Integrals erlernen wollen
  • Lernziele: Selbstständiges Auflösen von einfachen und komplexeren Integralen
  • Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Bevor ihr etwas schreibt, bitte setzt euch vorher mit mir in Kontakt. Danke -- Miujin 08:55, 23. Sep. 2007 (CEST)
  • Richtlinien für Co-Autoren: Eine einfache, verständliche Sprache für jeden Interessierten wäre ein wichtiges Ziel. Das Buch soll eine Allgemeingültige Definition, aber auch eine Schritt für Schritt Anleitung werden.
  • Themenbeschreibung: Folgt in Kürze
  • Aufbau des Buches: Folgt in Kürze


EinleitungBearbeiten

Die Integralrechnung wird für die Berechnung von Flächen und Volumen und der Gesamtzahl einer zeitlich veränderten Kraft benutzt. Man geht dabei von einer Formel aus, für die man eine Stammfunktion finden muss, dass man anschließend mit einer Eingrenzung der Funktion auf der  -Achse ein bestimmtes Integral bilden kann, dass man berechnen kann.

Grundlegender Gedanke zu IntegralenBearbeiten

 
Erste Annäherung an die Fläche   unter dem Graphen

Zur Veranschaulichung orientieren wir uns am Graph   Gesucht ist hier die Fläche   unter dem Graphen  , der von der  -Achse, der  -Achse und einer Geraden bei   sowie   begrenzt ist.


Definition der StammfunktionBearbeiten


Eine differenzierbare Funktion   heißt Stammfunktion zu einer Funktion  , wenn im gemeinsamen Definitionsbereich gilt: :


  bzw.  


Die Stammfunktion   ergibt also abgeleitet die Funktion  .
Zum Bilden der Stammfunktion benötigt man nun Integrationsregeln (genau so wie es Regeln zur Ableitung gibt).

Definition des unbestimmten IntegralsBearbeiten


Die Operation, die einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion   zuordnet, heißt Integration. Sie ist die Umkehroperation der Differentiation. Unter dem unbestimmten Integral   einer im Intervall   definierten Funktion versteht man die Menge aller Stammfunktionen von   in  .

Man schreibt:


 


  ist der Integrand,   gibt die Variable an, nach der integriert werden soll (wie hier meistens   und   ist die Integrationskonstante (eine beliebige reelle Zahl).


Die grundlegende Regel zur Integration ganzrationaler Funktionen ist die Potenzregel. Sie ist die Umkehrung der Potenzregel der Differentiation:


 


Die Integralfunktion: HauptsatzBearbeiten

Eine Funktion   heißt Stammfunktion von  , wenn   und   . Die Integration ist wesentlich schwieriger als die Differenziation; denn bei der Differenziation geht man nach einer Reihe von Anleitungen vor, wogegen man bei der Integration eher findig sein muss. Es gilt, eine Stammfunktion   von   zu finden; man geht also genau umgekehrt wie bei der Differenziation vor. Um nun   zu finden, wendet man den Hauptsatz der Integralrechnung an:


 


Beispiel
Gesucht ist  . Wir suchen also eine Funktion   mit   für beliebiges   Hier wenden wir die Potenzregel an:


 


Also ist  . Wir nutzen die Identität  . Wenn  , dann ist  . Somit ergibt sich  . Damit hätten wir die Stammfunktion  .
Es ist zu beachten, dass jede Funktion   mit einer beliebigen Konstanten   die Bedingung   ebenfalls erfüllt, da beim Ableiten jede additive Konstante "verloren" geht. Andererseits wirkt sich die Konstante   nicht auf den Wert des bestimmten Integrals aus, denn


 .


Wir erhalten:  


Berechnung von Integralen: Fläche und RauminhaltBearbeiten


Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-AchseBearbeiten


Den Inhalt   der Fläche zwischen dem Graph der Funktion   und der  -Achse zwischen den Grenzen   und  , wobei   und   im Intervall  , berechnet man folgendermaßen:


 


Gilt   im Intervall  , so ist   im Intervall  , und somit hat man jetzt


 


Falls die Funktion   im Intervall   keine Nullstellen hat, berechnet man den Flächeninhalt allgemein so:


 


Beispiel - Berechnung des Volumen einer Kugel
Es sei eine Kugel durch ihren Radius   gegeben. Wir wollen nun die allgemeine Volumenformel herleiten. Dazu stellen wir uns eine unendlich große Fläche vor, die eine Halbkugel mit dem Radius   bei der Stelle   über dem Mittelpunkt schneidet. Man erhält das Volumen dieser Halbkugel, wenn man alle Schnittflächen nacheinander aufaddiert (wobei ein Integral als eine besondere Summe betrachtet werden kann und wird). Gesucht ist also eine Funktion, die den Radius einer solchen Kreisfläche bei   berechnet, die wir   nennen wollen. Der Radius ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:  , wobei   der Radius der induzierten Kreisfläche ist. Wir stellen nach   um und erhalten mit  ,  . Die Flächenformel   lässt sich ebenfalls mit der Integralrechnung herleiten, was jedoch wesentlich schwieriger ist. Wir erhalten schließlich  . Wir erhalten nun:


 


Wir setzen ein:


 


Wir erhalten  . Das entspricht der bekannten Formel.


Zur Übung kann man auch sehr einfach die Volumenformel einer Pyramide   herleiten.

Uneigentliche IntegraleBearbeiten


Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale, welche jedoch als Ergebnis keine rationale Zahl ist. Das Ergebnis eines uneigentlichen Integrals ist ein Grenzwert. Unbestimmte Integrale kann man an Polstellen finden oder bei Funktionen die man bis unendlich integriert. Es gibt uneigentliche Integrale der 1. und 2. Art.

Eigenschaften des Integrals und RechenregelnBearbeiten


Weiterführende IntegralrechungBearbeiten


--> Integration durch Substitution
--> Produktintegration
--> Rotationskörper O