Mathematik: Analysis: Integralrechnung

Analysis
Einleitung

A: Grundlagen

B: Reelle Zahlen

C: Folgen und Reihen

D: Stetigkeit

E: Differentialrechnung

F: Integralrechnung

G: Differentialgleichungen

Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe: Schülerinnen und Schüler die die Grundlagen des Integrals erlernen wollen

• Lernziele: Selbstständiges Auflösen von einfachen und komplexeren Integralen

• Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Bevor ihr etwas schreibt, bitte setzt euch vorher mit mir in Kontakt. Danke -- Miujin 08:55, 23. Sep. 2007 (CEST)

• Richtlinien für Co-Autoren: Eine einfache, verständliche Sprache für jeden Interessierten wäre ein wichtiges Ziel. Das Buch soll eine Allgemeingültige Definition, aber auch eine Schritt für Schritt Anleitung werden.
• Themenbeschreibung: Folgt in Kürze

• Aufbau des Buches: Folgt in Kürze

Einleitung

Die Integralrechnung wird für die Berechnung von Flächen und Volumen und der Gesamtzahl einer zeitlich veränderten Kraft benutzt. Man geht dabei von einer Formel aus, für die man eine Stammfunktion finden muss, dass man anschließend mit einer Eingrenzung der Funktion auf der $x$-Achse ein bestimmtes Integral bilden kann, dass man berechnen kann.

Grundlegender Gedanke zu Integralen

Erste Annäherung an die Fläche $A$ unter dem Graphen

Zur Veranschaulichung orientieren wir uns am Graph $G_{f}:f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+1$ Gesucht ist hier die Fläche $A$ unter dem Graphen $G_{f}$, der von der $x$-Achse, der $y$-Achse und einer Geraden bei $x=2$ sowie $G_{f}$ begrenzt ist.

Definition der Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion $F$ heißt Stammfunktion zu einer Funktion $f$, wenn im gemeinsamen Definitionsbereich gilt: :

$F^{'}(x)=f(x)$ bzw. $F'=f$

Die Stammfunktion $F$ ergibt also abgeleitet die Funktion $f$.
Zum Bilden der Stammfunktion benötigt man nun Integrationsregeln (genau so wie es Regeln zur Ableitung gibt).

Definition des unbestimmten Integrals

Die Operation, die einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion $F$ zuordnet, heißt Integration. Sie ist die Umkehroperation der Differentiation. Unter dem unbestimmten Integral $\int f(x)\operatorname {d} x$ einer im Intervall $I$ definierten Funktion versteht man die Menge aller Stammfunktionen von $f$ in $I$.

Man schreibt:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

$f(x)$ ist der Integrand, $dx$ gibt die Variable an, nach der integriert werden soll (wie hier meistens $x$ und $C$ ist die Integrationskonstante (eine beliebige reelle Zahl).

Die grundlegende Regel zur Integration ganzrationaler Funktionen ist die Potenzregel. Sie ist die Umkehrung der Potenzregel der Differentiation:

$\int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}\cdot x^{n+1}+C$

Die Integralfunktion: Hauptsatz

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'=f$ und $D_{F}=D_{f}$ . Die Integration ist wesentlich schwieriger als die Differenziation; denn bei der Differenziation geht man nach einer Reihe von Anleitungen vor, wogegen man bei der Integration eher findig sein muss. Es gilt, eine Stammfunktion $F$ von $f$ zu finden; man geht also genau umgekehrt wie bei der Differenziation vor. Um nun $\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x$ zu finden, wendet man den Hauptsatz der Integralrechnung an:

$\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=F(x){\Big |}_{x=a}^{b}=F(b)-F(a)$

Beispiel

Gesucht ist $\int _{a}^{b}{\sqrt {x}}\ \mathrm {d} x$. Wir suchen also eine Funktion $F(x)$ mit $F'(x)=f(x)={\sqrt {x}}$ für beliebiges $x\in \mathbb {R} ,\;x\geq 0.$ Hier wenden wir die Potenzregel an:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{a}\right)=a\cdot x^{a-1}$

Also ist $b\cdot ax^{a-1}={\sqrt {x}}$. Wir nutzen die Identität ${\sqrt {x}}=x^{1/2}$. Wenn $a-1={\frac {1}{2}}$, dann ist $a={\frac {3}{2}}$. Somit ergibt sich $b=\left({\frac {3}{2}}\right)^{-1}={\frac {2}{3}}$. Damit hätten wir die Stammfunktion $F(x)={\frac {2}{3}}\cdot x^{3/2}$.

Es ist zu beachten, dass jede Funktion $g(x)={\frac {2}{3}}\cdot x^{3/2}+C$ mit einer beliebigen Konstanten $C$ die Bedingung $g'(x)=f(x)$ ebenfalls erfüllt, da beim Ableiten jede additive Konstante "verloren" geht. Andererseits wirkt sich die Konstante $C$ nicht auf den Wert des bestimmten Integrals aus, denn

$g(x){\Big |}_{x=a}^{b}=(g(b)+C)-(g(a)+C)=g(b)-g(a)$.

Wir erhalten: $\int _{a}^{b}{\sqrt {x}}\ \mathrm {d} x=F(b)-F(a)={\frac {2}{3}}\cdot \left(b^{3/2}-a^{3/2}\right)$

Berechnung von Integralen: Fläche und Rauminhalt

Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse

Den Inhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graph der Funktion $f$ und der $a$-Achse zwischen den Grenzen $a$ und $b$, wobei $a<b$ und $f(x)\geq 0$ im Intervall $[a,b]$, berechnet man folgendermaßen:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

Gilt $f(x)<0$ im Intervall $[a,b]$, so ist $-f(x)\geq 0$ im Intervall $[a,b]$, und somit hat man jetzt

$A=\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

Falls die Funktion $f$ im Intervall $[a,b]$ keine Nullstellen hat, berechnet man den Flächeninhalt allgemein so:

$A=\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|.$

Beispiel - Berechnung des Volumen einer Kugel

Es sei eine Kugel durch ihren Radius $r$ gegeben. Wir wollen nun die allgemeine Volumenformel herleiten. Dazu stellen wir uns eine unendlich große Fläche vor, die eine Halbkugel mit dem Radius $r$ bei der Stelle $x$ über dem Mittelpunkt schneidet. Man erhält das Volumen dieser Halbkugel, wenn man alle Schnittflächen nacheinander aufaddiert (wobei ein Integral als eine besondere Summe betrachtet werden kann und wird). Gesucht ist also eine Funktion, die den Radius einer solchen Kreisfläche bei $x$ berechnet, die wir $A(x)$ nennen wollen. Der Radius ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: $r^{2}=x^{2}+R^{2}$, wobei $R$ der Radius der induzierten Kreisfläche ist. Wir stellen nach $R$ um und erhalten mit $r^{2}\geq x^{2}$, $R={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$. Die Flächenformel $A=\pi R^{2}$ lässt sich ebenfalls mit der Integralrechnung herleiten, was jedoch wesentlich schwieriger ist. Wir erhalten schließlich $A(x)=\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)$. Wir erhalten nun:

$V_{\mathrm {K} }=\int _{-r}^{r}A(x)\,\mathrm {d} x$

Wir setzen ein:

$V_{\mathrm {K} }=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \cdot \left[xr^{2}-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}$

Wir erhalten $V_{\mathrm {K} }=2\cdot \left(\pi r^{3}-{\frac {\pi }{3}}r^{3}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$. Das entspricht der bekannten Formel.

Zur Übung kann man auch sehr einfach die Volumenformel einer Pyramide $V={\frac {1}{3}}A_{\mathrm {G} }h$ herleiten.

Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale, welche jedoch als Ergebnis keine rationale Zahl ist. Das Ergebnis eines uneigentlichen Integrals ist ein Grenzwert. Unbestimmte Integrale kann man an Polstellen finden oder bei Funktionen die man bis unendlich integriert. Es gibt uneigentliche Integrale der 1. und 2. Art.

Weiterführende Integralrechung

--> Integration durch Substitution
--> Produktintegration
--> Rotationskörper O

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