Mathematik: Analysis: Differentialgleichungen

EinleitungBearbeiten

Als Differentialgleichung (kurz: DGL) bezeichnet man Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion   sowie ihre Ableitungen auftreten also Gleichungen der Form

 .

Differentialgleichungen treten in den verschiedensten Bereichen der Naturwissenschaften auf, z. B. in der Physik, Chemie, Biologie, Elektrotechnik oder anderen. Sie werden benötigt, um das dynamische Verhalten verschiedener Prozesse zu beschreiben und zu untersuchen.

lineare DifferentialgleichungBearbeiten

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gehören zu den einfachsten Typen von Differentialgleichungen. Sie haben die Form

 

Ist  , so nennt man die Gleichung homogen.

Trennung der VeränderlichenBearbeiten

Trennung der Veränderlichen ist eine Methode zur Lösung einfacher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Die Idee hierbei ist, die beiden Veränderlichen von einander zu trennen und anschließend zu integrieren.

Betrachten wir die lineare, homogene DGL 1. Ordnung:

  .

Als erstes werden die beiden Veränderlichen, hier   und  , von einander getrennt. Dazu ordnen wir die Gleichung so um, dass Terme mit   nur auf der linken Seite und Terme mit   nur auf der rechten Seite vorkommen:

  .

Jetzt werden beide Seiten der Gleichung integriert:

  .

Eine Integrationskonstante wird hier nur auf einer Seite eingefügt, da die beiden Integrationskonstanten aus den beiden Integralen zu einer einzigen zusammengefasst werden können. Durch Ableiten und Einsetzen der gefunden Lösung kann man leicht zeigen, dass die gefundene Lösung die DGL erfüllt.

Wie man leicht sieht, existieren unendlich viele Lösungen, da für die Konstante   jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann. Deshalb benötigt man noch eine zusätzliche Bedingung, eine sogenannte Anfangsbedingung. Anfangsbedingungen sind im Allgemeinen durch   gegeben.

Beispielsweise mit der Anfangsbedingung   folgt aus obiger Gleichung:

  .

Damit lautet die Lösung der DGL:

  .

Dieses Ergebnis bestätigt man sofort durch eine Probe:

  .