Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen

Analysis
Einleitung

A: Grundlagen

B: Reelle Zahlen

C: Folgen und Reihen

D: Stetigkeit

E: Differentialrechnung

F: Integralrechnung

G: Differentialgleichungen

Folgen

Sei $\mathbb {X}$ eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge $a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von $\mathbb {X}$. Man kann sie auch als Abbildung von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {X}$ interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus $\mathbb {X}$ zugeordnet). Eine Folge $b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion $\varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ existiert mit $a_{\varphi (n)}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Beispiele

Wichtige Beispiele sind

• $a_{n}:={\frac {1}{n}}$. Hier sind die Folgenglieder gegeben durch $1,~{\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},\ldots$
• $a_{n}:={\frac {1}{n^{2}}}$
• $a_{n}:={\frac {(-1)^{n}}{n}}$

Konvergenz und Beschränktheit

Oft interessiert das Verhalten einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ wenn $n$ sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt $a$ zulaufen. Dieser Punkt $a$ wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das Ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.

Definition - Konvergenz

Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert $a\in \mathbb {R}$ genau dann, wenn gilt:

Für jedes $\varepsilon \in \mathbb {R}$ mit $\varepsilon >0$ existiert ein $k\in \mathbb {N}$, so dass für alle $n\in \mathbb {N} :\;n>k\;\Rightarrow \;\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon .$

In dieser Definition hängt $k$ von $\varepsilon$ ab. Je kleiner $\varepsilon$ wird, um so größer muss $k$ gewählt werden. Man kann dies auch so formulieren: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder $\varepsilon$-Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den Grenzwert $a$, so schreibt man

$\lim _{n\to \infty }(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=a$ oder - wenn $n\to \infty$ klar ist - kurz $\lim(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=a$.

Eine Folge mit dem Grenzwert $0$ nennt man auch Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.

Beispiele

1. Die konstante Folge $a_{n}=a$ konvergiert gegen $a$.
   
   
2. Die schon bekannte Folge $a_{n}={\frac {1}{n}}$ ist eine Nullfolge: denn für jedes $\varepsilon \in \mathbb {R}$ existiert ein $N\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{N}}<\varepsilon$. Damit ist
   $\left\vert {\frac {1}{n}}-0\right\vert ={\frac {1}{n}}<\varepsilon \,\ \forall n\geq N$.
   Also ist $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=0$.
   
   
3. Die Folge $a_{n}:=n$, $n\in \mathbb {N}$, divergiert. Wäre sie konvergent, müsste es nach der Definition der Konvergenz zu $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ ein $N\in \mathbb {N}$ geben, so dass für alle $n\geq N$: $\vert a_{n}-a\vert <\varepsilon$.
   Hieraus folgte aber mittels der Dreiecksungleichung
   $1=\vert a_{n+1}-a_{n}\vert =\vert (a_{n+1}-a)+(a-a_{n})\vert$
   $\ \ \ \leq \vert a_{n+1}-a\vert +\vert a-a_{n}\vert$
   $\ \ \ <{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1$.
   Aus der angenommenen Konvergenz erhielten wir somit die zu 1 = 1 widersprechende Aussage $1<1$. Damit ist die Divergenz der Folge bewiesen.

Satz (Eindeutigkeit des Grenzwertes)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die sowohl gegen $a$ als auch gegen $b$ konvergiert. Dann gilt $a=b$.

Beweis

Wir schließen indirekt und nehmen $a\neq b$ an. Sei $\varepsilon =\vert a-b\vert /2$ gewählt. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz zwei natürliche Zahlen $N_{1},N_{2}\in \mathbb {N}$ mit

$\vert a_{n}-a\vert <\varepsilon$ für $n\geq N_{1}$ und $\vert a_{n}-b\vert <\varepsilon$ für $n\geq N_{2}$.

Für $n:=\max(N_{1},N_{2})$ gilt dann sowohl $\vert a_{n}-a\vert <\varepsilon$ als auch $\vert a_{n}-b\vert <\varepsilon$. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung folgt jetzt

$\vert a-b\vert =\vert a-a_{n}+a_{n}-b\vert \leq \vert a-a_{n}\vert +\vert a_{n}-b\vert <2\varepsilon =\vert a-b\vert$.

Die Aussage $\vert a-b\vert <\vert a-b\vert$ ist aber falsch. Daher muss auch unsere Annahme falsch gewesen sein. Also gilt $a=b$, wie behauptet.

Definition (Beschränktheit)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen. $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein $C\in \mathbb {R}$ gibt mit

$a_{n}\leq C$ ($a_{n}\geq C$) $\ \forall n\in \mathbb {N}$.

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn für $0<C\in \mathbb {R}$

$\vert a_{n}\vert \leq C$.

Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=a$. Dann gibt es nach Definition zu $\varepsilon =1$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit

$\vert a_{n}-a\vert <1$ für alle $n\geq N$.

Es folgt

$\vert a_{n}\vert =\vert a+a_{n}-a\vert \leq \vert a\vert +\vert a_{n}-a\vert <\vert a\vert +1$

Also sind alle Folgenglieder ab $a_{N}$ durch $\vert a\vert +1$ beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge $M:=\{a_{i}:i<N\}$ beschränkt ist: $M$ enthält aber nur endlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist somit durch $\max(M\cup \{\vert a\vert +1\})$ beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge $a_{n}=(-1)^{n}$. Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

Cauchy-Folgen

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ existiert, so dass $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ für alle $n,m\geq N$ gilt.

Satz

Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge. Dann gibt es ein $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit

$\vert a_{n}-a\vert <{\frac {\varepsilon }{2}}$ für alle $n\geq N$

Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung

$\vert a_{n}-a_{m}\vert \leq \vert a_{n}-a\vert +\vert a-a_{m}\vert <\varepsilon$ für alle $n,m\geq N$.

Teilfolgen

Definition (Teilfolge)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen und

$n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots$

eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt

$(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$

Teilfolge von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß)

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis

Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge $M\!\,$ sei eine Hilfsmenge $H\!\,$ wie folgt definiert:

$H:=\lbrace x\ |\ x\in \mathbb {R} ,\ ]-\infty ,x[\ \cap \ M{\mbox{ ist endlich }}\rbrace$.

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge $H$

Wenn gezeigt werden kann, dass $H\!\,$ eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von $H\!\,$.

	$H\neq \emptyset$	Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei $u\!\,$ eine solche untere Schranke. Dann ist       $]-\infty ,u[\ \cap \ M\ =\emptyset$ Da die leere Menge endlich ist, ist $u\!\,$ ein Element von H. Also ist $H\!\,$ nicht leer.
	$H\!\,$ nach oben beschränkt	Da $M\!\,$ beschränkt ist, existiert eine obere Schranke $s\!\,$ von $M\!\,$. Sei $s_{1}\!\,>s$. Dann ist   $]-\infty ,s_{1}[\ \cap \ M\ =M\$ eine unendliche Menge, da $M\!\,$ eine unendliche Menge ist. Es folgt $s_{1}\notin H$. Dann ist aber $s\!\,$ aber auch eine obere Schranke von $H\!\,$.

Die Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ liefert die Existenz eines Supremums $s:=sup\ H\!\,$.

2. Das Supremum $s:=\sup H$ ist ein Häufungspunkt von $M$

Sei $\varepsilon >0$. Zu zeigen ist: $U_{\varepsilon }(s)\ =\ ]s-\varepsilon ,s+\varepsilon [$ enthält mindestens einen von $s$ verschiedenen Punkt von $M$.

1. Es gibt ein $h\in H$ mit $h\in \ ]s-\varepsilon ,s+\varepsilon [$, da sonst $s-\varepsilon$ eine obere Schranke von $H$ wäre. Das kann aber nicht sein, da $s$ als kleinste obere Schranke von $H$ definiert wurde. Mit $h\in H$ folgt aus der Definition von $H$, dass es nur endlich viele $x\in M$ geben kann mit $x<h$, denn sonst wäre $H$ nicht endlich.
   
   
2. Andererseits folgt wegen $s+\varepsilon$ ($s$ ist $\sup H$ und $\varepsilon >0$), dass es unendlich viele $x\in M$ geben muss mit $x<h+\varepsilon$.
   
   
3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele $x\in M$ geben muss mit $h\leq x<h+\varepsilon$ (denn zieht man von den unendlich vielen $x$ aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele $x$ übrig).

Also gibt es unendlich viele $x\in M$ mit $x\in U_{\varepsilon }(s)$. Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von $s$ verschiedenen Punkt zu finden.

Metrische Räume

Ist $\mathbb {X}$ kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke $|a_{n}-a_{0}|$ bzw. $|a_{n}-a_{m}|$ durch $d(a_{n},a_{0})$ bzw. $d(a_{n},a_{m})$ ersetzt, wobei $d$ die Metrik auf $\mathbb {X}$ ist.