Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen

FolgenBearbeiten

Sei   eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge   ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von  . Man kann sie auch als Abbildung von   nach   interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus   zugeordnet). Eine Folge   heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion   existiert mit   für alle  .

BeispieleBearbeiten

Wichtige Beispiele sind

  •  . Hier sind die Folgenglieder gegeben durch  
  •  
  •  



Konvergenz und BeschränktheitBearbeiten

Oft interessiert das Verhalten einer Folge   wenn   sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt   zulaufen. Dieser Punkt   wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das Ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.


Definition - Konvergenz

Eine Folge   reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert   genau dann, wenn gilt:
Für jedes   mit   existiert ein  , so dass für alle  


In dieser Definition hängt   von   ab. Je kleiner   wird, um so größer muss   gewählt werden. Man kann dies auch so formulieren: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder  -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge   gegen den Grenzwert  , so schreibt man

  oder - wenn   klar ist - kurz  .

Eine Folge mit dem Grenzwert   nennt man auch Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.


Beispiele
  1. Die konstante Folge   konvergiert gegen  .

  2. Die schon bekannte Folge   ist eine Nullfolge: denn für jedes   existiert ein   mit  . Damit ist
     .
    Also ist  .

  3. Die Folge  ,  , divergiert. Wäre sie konvergent, müsste es nach der Definition der Konvergenz zu   ein   geben, so dass für alle  :  .
    Hieraus folgte aber mittels der Dreiecksungleichung
     
     
     .
    Aus der angenommenen Konvergenz erhielten wir somit die zu 1 = 1 widersprechende Aussage  . Damit ist die Divergenz der Folge bewiesen.


Satz (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Sei   eine Folge, die sowohl gegen   als auch gegen   konvergiert. Dann gilt  .

Beweis
Wir schließen indirekt und nehmen   an. Sei   gewählt. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz zwei natürliche Zahlen   mit
  für   und   für  .
Für   gilt dann sowohl   als auch  . Durch Anwendung der Dreiecksungleichung folgt jetzt
 .
Die Aussage   ist aber falsch. Daher muss auch unsere Annahme falsch gewesen sein. Also gilt  , wie behauptet.


Definition (Beschränktheit)
Sei   eine Folge reeller Zahlen.   heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein   gibt mit
  ( )  .
  heißt beschränkt, wenn für  
 .


Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis
Sei  . Dann gibt es nach Definition zu   ein   mit
  für alle  .
Es folgt
 
Also sind alle Folgenglieder ab   durch   beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge   beschränkt ist:   enthält aber nur endlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge   ist somit durch   beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge  . Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

Cauchy-FolgenBearbeiten

Definition (Cauchy-Folge)
Eine Folge   heißt Cauchy-Folge, falls für alle   ein   existiert, so dass   für alle   gilt.
Satz
Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.
Beweis
Sei   eine konvergente Folge. Dann gibt es ein   ein   mit
  für alle  
Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung
  für alle  .

TeilfolgenBearbeiten

Definition (Teilfolge)
Sei   eine Folge reeller Zahlen und
 
eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt
 
Teilfolge von  .


Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis
Sei   eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge   sei eine Hilfsmenge   wie folgt definiert:

 .

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge  

Wenn gezeigt werden kann, dass   eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von  .

  Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei   eine solche untere Schranke. Dann ist

       

Da die leere Menge endlich ist, ist   ein Element von H. Also ist   nicht leer.



      
nach oben
beschränkt
Da   beschränkt ist, existiert eine obere Schranke   von  .

Sei  . Dann ist     eine unendliche Menge, da   eine unendliche Menge ist.

Es folgt  . Dann ist aber   aber auch eine obere Schranke von  .

Die Vollständigkeit von   liefert die Existenz eines Supremums  .


2. Das Supremum   ist ein Häufungspunkt von  

Sei  . Zu zeigen ist:   enthält mindestens einen von   verschiedenen Punkt von  .

  1. Es gibt ein   mit  , da sonst   eine obere Schranke von   wäre. Das kann aber nicht sein, da   als kleinste obere Schranke von   definiert wurde. Mit   folgt aus der Definition von  , dass es nur endlich viele   geben kann mit  , denn sonst wäre   nicht endlich.

  2. Andererseits folgt wegen   (  ist   und  ), dass es unendlich viele   geben muss mit  .

  3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele   geben muss mit   (denn zieht man von den unendlich vielen   aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele   übrig).
Also gibt es unendlich viele   mit  . Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von   verschiedenen Punkt zu finden.

Metrische RäumeBearbeiten

Ist   kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke   bzw.   durch   bzw.   ersetzt, wobei   die Metrik auf   ist.