Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Ungleichungen

UngleichungenBearbeiten

In den folgenden Kapiteln über Folgen und Reihen werden, z. B. um die Konvergenz nachzuweisen, immer wieder Ungleichungen verwendet. Die wichtigsten Regeln sind hier zusammengestellt und werden teilweise auch bewiesen. Im Anschluss werden noch drei bekannte und wichtige Ungleichungen eingeführt:

  • Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittelwert
  • Bernoullische Ungleichung und die
  • Schwarzsche Ungleichung.


Rechenregeln für UngleichungenBearbeiten

Zur besseren Übersichtlich werden zwei Ungleichungen manchmal zusammengefasst:

  und     ⇔    

und auch die übliche Sprechweise negativ und positiv benutzt:

  ist positiv   ⇔         und       ist negativ   ⇔    


Satz
Für alle   gilt:
  1.     ⇒    
    (Verträglichkeit von < mit der Addition)

  2.   und     ⇒     und
      und     ⇒    
    (Ungleichungen, die gleichgerichtet sind, kann man addieren)

  3.   und     ⇒    
      und     ⇒    
    (Verträglichkeit von < mit der Multiplikation)

  4.   und     ⇒     und
      und     ⇒    
    (Ungleichungen nichtnegativer Zahlen, die gleichgerichtet sind, kann man multiplizieren)

  5.   und     ⇒     und
      und     ⇒    
    (Die Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt die Ungleichung um.)

  6.   für alle  
    (Die natürlichen Zahlen sind positiv)

  7.     ⇒    

  8. für   und   gilt:
        ⇔     und
        ⇔    


Beweis
Die Behauptungen lassen sich aus den Eigenschaften der linearen Ordnung von   beweisen. Die Beweise werden hier allerdings nur zu einigen Punkten gezeigt und die übrigen Ihnen zur Übung empfohlen.


zu 1. Widerspruchsbeweis
Wenn     ⇔     oder   gilt, ergibt sich wegen der Verträglichkeit der linearen
Ordnung mit der Addition:  .
Da aus   ebenfalls   folgen würde, entsteht ein Widerspruch zur Voraussetzung.


zu 6. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.
Induktionsanfang
Annahme:  
Addiert man   auf beiden Seiten (Verträglichkeit mit der Addition) so folgt:  
Die beiden Ungleichungen lassen sich (Verträglichkeit mit der Multiplikation) kombinieren zu:
  d. h.  
Aus   und   folgt wegen der Antisymmetrie der Ordnung     und daraus (Verträglichkeit mit der Addition)  .
  muss als Körper mindestens zwei Elemente enthalten, also neben der   noch mindestens ein weiteres Element   mit  . Mit diesem Element   folgt weiter:
 . Dies ist aber ein Widerspruch zu  .
Also muss die Annahme   falsch sein. Dann kann aber nur   gelten und das zeigt den Induktionsanfang.

Induktionsschritt
Aus   folgt mit 1.:  .
Mit   und wegen der Transitivität der Ordnung folgt weiter:  .


zu 7.
Da   gibt es ein Inverses bezüglich der Multiplikation, nämlich  .
  kann nicht negativ sein, denn dann würde mit 3. folgen:
 , das bedeutet aber   und das ist ein Widerspruch zu 6.
Ist nun  , so folgt aus dem gerade bewiesenen (  ist wegen 4. auch positiv):
 .
Wegen   und   folgt mit 3.:   also
 

Die reellen Zahlen sind archimedisch geordnetBearbeiten

Satz
Zu jedem   gibt es ein   mit  .


Wegen dieser Eigenschaft heißt   ein archimedisch geordneter Körper.


Beweis
  wurde als Obermenge von   konstruiert.
Wenn   nicht nach oben beschränkt wäre, kann es kein   geben, das eine obere Schranke von   ist. (Wäre   obere Schranke würde gelten   für alle  . Wenn es nicht gilt, muss es also mindestens ein   geben mit  ).
Der Satz ist daher bewiesen, wenn gezeigt werden kann, dass,   nicht beschränkt ist.

Annahme:   ist nach oben beschränkt.
Da die reellen Zahlen vollständig sind gibt es ein Supremum   von   mit
  für alle  . Wegen der Verträglichkeit von Ungleichungen mit der Addition folgt:
 . Setzt man jetzt   für alle   so folgt weiter:
  für alle  , also ist auch   eine obere Schranke von  .
wegen   folgt mit den Rechenregeln von Ungleichungen:
 . Also ist   keine obere Schranke. Wegen dieses Widerspruches muss aber die Annahme, dass   nach oben beschränkt ist, falsch sein.


Mit der Eigenschaft, dass   ein archimedisch geordneter Körper ist, lässt sich bereits so etwas wie ein erster Grenzwert zeigen.


Satz
Sei  ,   und   für alle  . Dann folgt:  .


Beweis

Der Beweis erfolgt durch Fallunterscheidung:   und  

  1.  : Mit den Rechenregeln für Ungleichungen gilt:   für alle  . Es gilt also   und   für alle  . Für   ist der Satz damit erfüllt.
  1.  : Der Beweis erfolgt hier durch Widerspruch.
    Annahme: Es gibt ein   mit   für alle  .
    Wegen   gilt auch  . Multipliziert man   mit den beiden positiven Zahlen   und  , so erhält man:
                  ⇒               für alle  .
    Dann wäre   aber kein archimedisch geordneter Körper . Also kann es kein solches   geben.





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