Mathematik: Analysis: Grundlagen: Relationen


RelationenBearbeiten

Paarmengen und kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)

Wie allgemein bekannt lässt sich die Lage eines Punktes in der Ebene durch zwei Zahlen beschreiben. Dazu benutzt man ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem mit einer  -Achse und  -Achse, die senkrecht aufeinander stehen. Bezeichnet man beispielsweise mit   den Abstand eines Punktes   von der  -Achse (dieser ist negativ, wenn   links der  -Achse liegt) und mit   man den Abstand eines Punktes   von der  -Achse (dieser ist negativ, wenn   unterhalb der  -Achse liegt), so wird durch das Zahlenpaar   die Lage des Punktes im Koordinatensystem beschrieben. Bei dem Zahlenpaar   ist die Reihenfolge wesentlich. So beschreiben beispielsweise die Zahlenpaare   und   unterschiedliche Punkte im Koordinatensystem, es gilt also  .

Diese Paarbildung wird mit den folgenden Definitionen auf allgemeine Mengen erweitert:


Definition
Seien   und   Mengen und sei   und  
  1. geordnetes Paar:
      heißt geordnetes Paar.
  2. Gleichheit von geordneten Paaren
    Zwei geordnete Paare "  und   sind gleich" ⇔ "  und  "
  3. Paarmenge
    Die Paarmenge (kartesisches Produkt, Kreuzprodukt) von   und   wird wie folgt definiert:
      und  

Normalerweise spricht man nur von Paaren (statt von geordneten Paaren), die Reihenfolge der Elemente ist aber wesentlich.


Die Menge   nennt man auch Rechteckmenge. Man kann die Elemente von   in Form von Rechtecken im kartesischen Koordinatensystem aufschreiben. Hierzu folgendes Beispiel:   und  . Die dazugehörige Rechteckmenge lautet dann:
 
                       
Die Abbildung rechts veranschaulicht diese Rechteckmenge.
 
Rechteckmenge  



 
In vielen mathematischen Sachverhalten stehen Objekte in bestimmten Zusammenhängen z. B. "  ist größer als  ". Der Zusammenhang "  ist größer als  " kann auch in der ungewöhnlichen Weise "  steht in der Relation größer" dargestellt werden. Das Beispiel zeigt aber, wie der Begriff der Relation auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann.


RelationBearbeiten

Definition
  und   seien Mengen.
  heißt eine Relation zwischen   und    ⇔   .
Ist   so ist   eine Relation auf  .
Gilt   dann "erfüllen   und   die Relation  " oder "stehen in der Relation  ". Oft wird hierfür auch " " geschrieben.
Stellt man sich zwei Mengen   und   als Punktmengen in einer Ebene vor, kann man die Relation   durch Verbindungslinien zwischen den in Relation stehenden Punktepaaren kennzeichnen. Ein Pfeil von einem   zu einem   bedeutet  .  
Relation zwischen   und  


Beispiel:
Sei   eine beliebige Menge. Durch   ist eine Relation auf   definiert: die Gleichheitsrelation. Diese lässt sich anschaulich als Diagonale darstellen.
 
Gleichheitsrelation




Beispiel:
  und   und   ist groesser als  
ist eine Relation zwischen   und   und definiert die oben erwähnte "Größer-Relation".

ÄquivalenzrelationBearbeiten

Viele Probleme lassen sich vereinfachen, indem man Objekte, die gewissen gemeinsamen Kriterien genügen, als äquivalent betrachtet, obwohl sie sich hinsichtlich anderen Kriterien unterscheiden können. Hierzu benutzt man in der Mathematik die Äquivalenzrelation.


Definition
Seien   eine Menge und   eine Relation auf  .
Äquivalenzrelation:
  ist eine Äquivalenzrelation auf  , wenn für alle   gilt:
  1. Reflexivität:      
  2. Symmetrie:         ⇒    
  3. Transitivität:       und     ⇒    
Äquivalenzklasse
Sei   eine Äquivalenzrelation auf  . Die Menge der zu   äquivalenten Elemente von  
 
nennt man die Äquivalenzklasse oder Faser von   bezüglich  . Das Element   heißt Repräsentant von  .


Beispiel:
Die oben erwähnte Gleichheitsrelation   ist die "klassische" Äquivalenzrelation. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind die bekannten Eigenschaften der Gleichheit. Außerdem gilt für alle  :  . Die Äquivalenzklassen von   bezüglich   sind also Mengen mit genau einem Element, d.h.  .
In diesem Zusammenhang der Hinweis, dass eine Menge eine "Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte" ist.


Beispiel und Übung:
Etwas spannender ist schon die Entscheidung, ob es sich bei der Relation

  und   oder   um eine Äquivalenzrelation handelt. Es ist also zu prüfen, ob   auf der Menge   reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.


Satz
Sei   eine Äquivalenzrelation auf  , dann gilt
 


Beweis
Sei  . Dann ist   und  , und wegen der Transitivität und der Symetrie gilt daher  . Für jedes   gilt daher   und wegen der Transitivität auch  . Daraus folgt  . Ganz analog zeigt man  . Damit gilt  .
Dass   gilt ist klar.


Bemerkung: Dieser Satz besagt, dass Äquivalenzklassen disjunkt oder gleich sein müssen. D.h. eine Äquivalenzrelation auf der Menge  , bildet eine disjunkte Partition der Menge  .

OrdnungsrelationenBearbeiten

Mengen kann man über die Teilmengenbeziehung " " der Größe nach ordnen. Solche Ordnungen werden durch Eigenschaften wie Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität charakterisiert. Dies führt zu der sehr allgemeinen Definition der Ordnungsrelation.

OrdnungsrelationBearbeiten

Definition
Seien   eine Menge und   eine Relation auf  .
Ordnungsrelation:
  ist eine Ordnungsrelation auf  , wenn für alle   gilt:
  1. Reflexivität:          
  2. Antisymmetrie:       und  
  3. Transitivität:           und  
Ist   eine Ordnungsrelation auf  , so heißt das Paar   eine geordnete Menge und   eine Ordnung auf  . Die Namensgebung ist hier leider nicht sehr einheitlich. Man sagt statt Ordnung auch Halbordnung, Partialordnung oder teilweise Ordnung.
Statt   schreibt man oft  , und auch, wie sicherlich vertraut,   (sprich   kleiner oder gleich  ).
  ist linear (total) geordnet, wenn für alle   gilt:   oder  .

KetteBearbeiten

Definition
Eine nichtleere Teilmenge   einer geordneten Menge   heißt Kette von  , falls   eine total Ordnung ist.


Die vertraute Schreibweise " " könnte zu dem Fehlschluss verleiten, dass die Definition nur "gut bekannte" geordnete Mengen, wie z. B. die natürlichen Zahlen beschreibt. Das ist nicht der Fall, der Begriff ist viel allgemeiner. Das sollen die folgenden Beispiele verdeutlichen:


Beispiel:
Die oben erwähnte Gleichheitsrelation   ist eine Ordnungsrelation auf  . Wie schon gesagt ist   eine Äquivalenzrelation, also ist sie reflexiv und transitiv. Falls   und   folgt aus der Definition der Gleicheitsrelation  , d. h. auch die Antisymmetrie ist erfüllt.


Beispiel und Übung:
Potenzmenge: Sei   eine Menge und   die Potenzmenge von  . Durch   wird eine Ordnungsrelation auf   definiert. Beweisen lässt sich dies mit den Rechenregeln der Teilmengenbeziehung.


Zum Schluss dieses Abschnitts noch eine Übungsaufgabe, bei der vielleicht erst mit dem "zweiten Blick" klar wird, was hier eigentlich definiert wird:


Übungsaufgabe:
Zeige: Sei   eine Menge und   eine Ordnung auf  . Für jede Teilmenge   wird durch   eine Ordnung auf   definiert.   läßt sich also auf Teilmengen   einschränken.

Hinweise:
Es wird vorausgesetzt, dass   eine Menge und   eine geordnete Menge ist. Sei nun   eine Teilmenge von  .   ist dann eine Relation auf  , bei der alle Elemente von   miteinander in Beziehung stehen, d. h. für alle   gilt  . " " steht als Symbol für die vorausgesetzte Ordnungsrelation, d. h. " " symbolisiert eine Relation oder Teilmenge von  , also insbesondere ist " " eine Paarmenge. Aus den beiden Paarmengen   und   wird dann der Durchschnitt " " gebildet. Dieser Durchschnitt ist wieder eine Paarmenge. Und genau für diese Paarmenge soll gezeigt werden, dass sie eine Ordnungsrelation, d. h. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, ist.


Im Folgenden werden ausgezeichnete Elemente geordneter Mengen bezüglich gegebener Teilmengen beschrieben. Diese Begriffe werden in der Analysis und auch vielen anderen Gebieten der Mathematik häufig verwendet.

Maximum - MinimumBearbeiten

Definition
  sei eine geordnete Menge und   eine Teilmenge von  :
  1. "  heißt Maximum oder größtes Element von  " :   "  und   gilt  "
  2. "  heißt Minimum oder kleinstes Element von  " :   "  und   gilt  ".


Satz
Eine Teilmenge einer geordneten Menge besitzt höchstens ein Maximum (Minimum).
Beweis
Seien also   und   Maxima von  . Dann gilt   und   (  ist Maximum) sowie   (  ist Maximum). Daraus folgt wegen der Antisymmetrie der Ordnungsrelation sofort  .


Eine geordnete Menge muss kein Maximum oder Minimum besitzen, z.B. die Menge  , besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum, obwohl sie geordnet ist.


Da Maximum und Minimum einer Teilmenge   eindeutig bestimmt sind (vorausgesetzt sie existieren!) definiert man weiter:


Definition
Sei   eine Teilmenge einer geordneten Menge   und   sei ein Maximum von  , so setzt man:  

Obere Schranke - untere SchrankeBearbeiten

Im Allgemeinen existieren zu einer Teilmenge   einer geordneten Menge   weder Minimum noch Maximum. Für solche Teilmengen   ist die obige Definition nicht anwendbar. Mit der folgenden Definition erweitert man die Menge der "möglichen Elemente" indem man auch Elemente der Menge   zuläßt.


Definition
  sei eine geordnete Menge und   eine Teilmenge von  
  1. "  heißt obere Schranke von  "  :   "  und   gilt  "
  2. "  heißt untere Schranke von  " :   "  und   gilt  "
  3. Sei   ist obere Schranke von  .
    "  heißt nach oben beschränkt" :   "  , d. h.   hat (mindestens) eine obere Schranke"
  4. Sei   ist untere Schranke von  .
    "  heißt nach unten beschränkt " :   "  , d. h. "  hat (mindestens) eine untere Schranke"
  5. "  heißt beschränkt " :   "  ist nach oben und unten beschränkt"


Supremum - InfimumBearbeiten

Falls ein minimales Element der Menge   ist obere Schranke von   existiert, so ist es nach dem oben bewiesenen Satz eindeutig und dieses Element nennt man dann Supremum von  . Die Existenz eines solchen Elementes ist jedoch keinesfalls gesichert und im "Einzelfall" nachzuweisen. Erst nachdem dieser Nachweis geglückt ist, dürfen also die folgende Definitionen benutzt werden:


Definition
  sei eine geordnete Menge und   eine Teilmenge von  
"  heißt Supremum oder kleinste obere Schranke oder sup   von  " :   " " .
"  heißt Infimum oder größte untere Schranke oder inf   von  " :   " "


Satz
  sei eine geordnete Menge,   eine Teilmenge von   und  . Dann gilt:
  1.   und       und  
  2.   und   und  

  muss im Gegensatz zum   nicht zur Teilmenge   gehören. Ein Beispiel hierfür ist die Menge   (  steht für die Menge der reellen Zahlen). Später werden wir solche Beispiele genauer untersuchen.

WohlordnungBearbeiten

Zum Schluss dieses Abschnitts wird noch der Begriff der Wohlordnung eingeführt. Ein Beispiel für eine wohlgeordnete Menge sind die natürlichen Zahlen mit der "natürlichen" Ordnung. Dagegen sind die "normalen" Ordnungen der ganzen oder positiven reellen Zahlen nicht wohlgeordnet.

Definition
Eine Ordnung   auf einer Menge   heißt Wohlordnung :   mit   existiert  .



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