Mathematik: Analysis: Grundlagen: Rationale Zahlen


Rationale ZahlenBearbeiten

Die Entdeckung der rationalen Zahlen ergab sich aus dem Wunsch, Brüche auch dann darstellen zu können, wenn der Quotient keine ganze Zahl ist. Nicht nur die Zielsetzung für die Konstruktion von   aus   ist analog zur Konstruktion von   aus  , auch eine analoge Vorgehensweise ist möglich, da für Brüche gilt:

 

Aus diesem Grund werden die Definitionen und Sätze hier ohne weitere Ausführungen angegeben.


Definition der rationalen ZahlenBearbeiten

Definition und Satz
  1. Sei   eine Relation auf   definiert durch

     .

    Für zwei Elemente   gilt also:

    " "   " ".

    Dann ist   eine Äquivalenzrelation.

  2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen rationale Zahlen, d. h.

      " " und " "  .

    Die Klasse   wird mit "Null" bzw. "0" bezeichnet.


Addition und MultiplikationBearbeiten

Definition und Satz
Seien   und   zwei rationale Zahlen. Auf   wird durch
  1.  

     

    eine Abbildung, die Addition  , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.

  1.  

     

    eine Abbildung, die Multiplikation  , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.


Hinweis
Für Addition und Multiplikation wurden die Regeln       und       verwendet.


"Einbettung" der ganzen in die rationalen ZahlenBearbeiten

Satz
Die Abbildung

 
 

ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

  und
 .


Hinweis
Hier wurde die Regel     verwendet.


QuotientenBearbeiten

Definition und Satz
Sei  . Dann gibt es genau ein   mit  .
Dieses   schreibt man auch       und nennt es den Quotienten von   und  .



Die rationalen Zahlen lassen sich also als Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen darstellen:


 

Der Fall   ist per Definition ausgeschlossen.



Mächtigkeit der rationalen ZahlenBearbeiten

Satz
  und   sind gleichmächtig , d. h.   ist abzählbar.


Beweis
Eine Beweisidee beruht auf dem Cantorschen Diagonalverfahren. Details hierzu enthält der Wiki-Artikel Cantors erstes Diagonalargument.

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