Mathematik: Analysis: Grundlagen: Mengen


Logische GrundlagenBearbeiten

Dieser Abschnitt, soll lediglich eine kurze Erklärung der hier verwendeten Symbole geben. Für genaueres sei auf das Buch Logik verwiesen.

Wir verwenden die folgenden Symbole

  • Negation   (lat. non) ("Nicht")
  • der Konjunktor   (lat. et) ("Und")
  • der Disjunktor   (lat. vel) ("Oder")
  • der Subjunktor   (Pfeil) ("Folgt")
  • der Bijunktor   (Doppelpfeil)
  • Implikation  
  • Äquivalenz  

Für das weitere seien   und   zwei Aussagen.

Bemerkung:

Für die Äquivalenz haben sich folgende Ausdrucksweisen eingebürgert, die alle gleichbedeutend sind (also äquivalent sind):
  ist äquivalent mit   oder
  genau dann, wenn   oder
  dann und nur dann, wenn   oder
  ist gleichbedeutend mit  
und in mathematische Schreibweise  .

Für eine Menge   und eine Eigenschaft (Prädikat)   für ein Element   aus   werden folgende Symbole verwendet:

Definition
  :         genau dann wenn   Für alle   gilt  
          genau dann wenn   Es gibt (mindestens) ein  , für das   gilt.

MengenBearbeiten

Der Begründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor, hat eine Menge wie folgt definiert:

"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."

Diese Definition ist etwas vage und wirft eine Reihe von Fragen auf, auf die hier aber nicht eingegangen wird, da im Folgenden nur die Mengenterminologie zur exakten Beschreibung von Sachverhalten genutzt wird.

Es muss allerdings eindeutig entscheidbar sein, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht.


Beschreibungen von MengenBearbeiten

  1. Beschreibung durch Aufzählung der Elemente:
    Die Elemente stehen in einer geschweiften Klammer und sind durch Komma getrennt.
    Beispiel:  .
  2. Beschreibung durch eine Eigenschaft:
    Die Elemente werden durch ein Zeichen (meist ein Buchstabe) repräsentiert, nach einem Längsstrich wird die Eigenschaft angegeben:   hat die Eigenschaft  .
    Beispiel:   ist ein Wikibook  .
  3. Ob Elemente zur Menge gehören oder nicht, wird wie folgt ausgedrückt:
      anstelle von   ist Element von  .
      x ∉ M anstelle von   ist nicht Element von  .
  4. Gleichheit von Mengen:
    Die Mengen   und   sind genau dann gleich,  , wenn sie die gleichen Elemente haben.
        ⇔    :   und  
    Der Doppelpfeil besagt, dass die vor und nach ihm angegebenen Aussagen äquivalent sind, d. h. sich gegenseitig implizieren (   steht also für: aus    als auch aus  ).


TeilmengenBearbeiten

Definition
  ist Teilmenge (Untermenge) der Menge       :   .
Man nennt   dann eine Obermenge von  .
Symbolisch wird dies durch   bzw.   ausgedrückt.


Rechenregeln
Seien   und   Mengen. Dann gilt:
  1.  
  2.   und     ⇒    
  3.   und     ⇒    


Beispiel - Beweis zu 2:
Vorausgesetzt sei   und  . Aus der obigen Definition von "Teilmenge" folgt sofort:
Falls  , so gilt wegen   auch   und
falls  , so gilt wegen   auch  . Zusammengefasst bedeutet dies :
"Wenn  , so auch  " und "wenn   so auch  ". Damit ist gezeigt:
"  genau dann, wenn  ". Dies ist aber genau die Definition der Gleichheit von Mengen.

Vereinigung und Durchschnitt von MengenBearbeiten

Definitionen
  und   heißt Durchschnitt der Mengen   und  .
  oder   heißt Vereinigung der Mengen   und  .

Das "Oder" wird bei der Vereinigung im Sinne eines nicht ausschließenden Oder (lat.: vel - daher auch das Zeichen  ) gebraucht, d. h. es muss mindestens eine der beiden Aussagen zutreffen, evtl. können auch beide zutreffen.

Beispiel:  .

Vielleicht ist ihnen das Zeichen " " aufgefallen. Es soll bedeuten, dass hier die Gleichheit nach Definition gilt und nicht etwa errechnet oder bewiesen wurde.

Leere Mengen, disjunkte MengenBearbeiten

Definition
Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge. Symbol:  .

In der Mathematik betrachtet man formal auch die "Zusammenfassung von nichts" als Menge! Das mag seltsam anmuten, hat aber etwas damit zu tun, wie in der Logik Subjunktion bzw. Implikation festgelegt sind. Danach hat man jetzt   für alle Mengen  .

Definition
Zwei Mengen   und  , für die gilt  , heißen disjunkt (punktfremd)

Verallgemeinerte Definition von Vereinigung und DurchschnittBearbeiten

Um Durchschnitt und Vereinigung einer größeren Anzahl (sogar unendlich vieler) Mengen darstellen zu können, lässt man in den folgenden Definitionen beliebige Mengen als Indexmengen zu:

Definitionen
  sei eine nichtleere Menge, und für jedes   sei eine Menge   gegeben. Dann ist
a) der (verallgemeinerte) Durchschnitt der Mengen   über alle   definiert als

          .
b) die (verallgemeinerte) Vereinigung der Mengen   über alle   definiert als

          .


Mit diesen so definierten Verallgemeinerungen lassen sich jetzt z. B. folgende Sachverhalte prägnant darstellen:

Für alle   sei  . Dann gilt:      und      .


An dieser Stelle wird erstmals in diesem Buch das Symbol   für die Menge der natürlichen Zahlen verwendet. Diese Zahlen werden später im Kapitel Natürliche Zahlen ausführlich besprochen.

Differenz von Mengen, KomplementBearbeiten

Eine andere Möglichkeit, neue Mengen zu erzeugen, bietet die Wegnahme von Elementen aus einer Menge.

Definition
  und  
heißt die Differenz der Mengen   und  .


Falls   gegeben ist, so liegt damit automatisch eine weitere Menge fest, nämlich die Menge derjenigen Elemente von  , die nicht zu   gehören. Hierzu folgende


Definition
Ist  , so heißt   das Komplement von   bezüglich  . Für das Komplement hat sich folgende Schreibweise etabliert:  .

PotenzmengeBearbeiten

Man kann auch Mengen wieder als Elemente auffassen und sie zu einer neuen "Menge von Mengen" zusammenfassen. Diese erhält dann einen eigenen Namen.

Definition
Es sei   eine Menge. Dann nennt man

  die Potenzmenge von  .


Zwei Beispiele sollen die Definition verdeutlichen:

    ; die Potenzmenge einer Menge ist also stets nichtleer! Sie enthält ja mindestens die leere Menge als Element.

  .


Eine Teilmenge einer Potenzmenge nennt man auch Mengensystem oder Mengenfamilie.


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