Mathematik: Analysis: Grundlagen: Ganze Zahlen


Ganze ZahlenBearbeiten

Problem der SubtraktionBearbeiten

Jede Addition oder Multiplikation zweier natürlicher Zahlen hat eine Lösung, die wiederum eine natürliche Zahl ist. Dies gilt jedoch nicht für die Subtraktion. Beispiel:

  hat keine Lösung in  .

Um dieses Problem zu lösen, muss   erweitert werden. Das Ergebnis ist die Menge   der ganzen Zahlen.


Lösungsidee und Definition der ganzen ZahlenBearbeiten

Seien   zwei natürliche Zahlen. Die Differenz   zu bilden ist einfach, wenn   gilt. Nach der Definition von   gibt es ein   mit  . Wenn man noch zeigt, dass dieses   eindeutig bestimmt ist, kann es als die Differenz der beiden Zahlen   und   definiert werden.

Wie lässt sich aber die Differenz definieren, wenn   ? Es gibt dann kein Element   mit  . Die Grundidee ist, alle möglichen Differenzen   von natürlichen Zahlen   und   zu einem neuen Element  , einer Äquivalenzklasse zusammenzufassen, wenn sie das gleiche "Differenzergebnis" liefern. Diese Äquivalenzklassen definiert man dann einfach als ganze Zahlen.

Möglich wird dies durch einen kleinen Trick: Die Paare   sollen dann zur gleichen Äquivalenzklasse gehören, wenn
 
gilt, sie also die gleiche "Differenz" haben. Da diese Differenz für "negative Ergebnisse" aber nicht definiert ist, fordert man einfach trickreich
 .


Formal kann man die ganzen Zahlen also wie folgt definieren:


Definition und Satz
  1. Sei   eine Relation auf   definiert durch:

     .

    Für zwei Elemente   gilt also: " "   " ".
    Dann ist   eine Äquivalenzrelation.

  2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen ganze Zahlen, d. h.

      " " und " "  

    Die Klasse   wird mit "Null" bzw. " " bezeichnet.


Beweis
Zu zeigen sind also Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von  .
  1. Reflexivität:
    Da für alle   gilt:   folgt
      und damit die Reflexivität.

  2. Symmetrie:
    Sei  . Dann gilt:
      und damit
     , also
      und das zeigt die Symmetrie.

  3. Transitivität:
    Sei also   und  . Dann gilt:
      und  . Hieraus ergibt sich:
      also
     , d. h.   und das zeigt die Transitivität.

Addition und MultiplikationBearbeiten

Seien   und   zwei ganze Zahlen. Wegen der Rechenregeln

  und
 

ist klar, wie man Addition und Multiplikation definiert:


Definition und Satz
Seien   und   zwei ganze Zahlen. Auf   wird durch
  1.  

     

    eine Abbildung, die Addition  , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.

  2.  

     

    eine Abbildung, die Multiplikation  , definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.


Beweis


Der Beweis wird nur für die Addition skizziert.
Zunächst ist zu zeigen, dass die Addition (in  ) wohldefiniert ist. Das Problem ist hier, dass das Ergebnis einer Addition von der (zufälligen) Auswahl eines Repräsentanten der beteiligten Klassen abhängen könnte, also verschiedene Repräsentanten auch zu verschiedenen Ergebnissen (Funktionswerten) führen könnten. Wenn dies zutreffen würde wäre   keine Funktion und nicht "wohldefiniert".

Seien also mit   jeweils zwei unterschiedliche Repräsentanten gegeben, d. h.
  und  
Zu zeigen ist:  .
Hinweise: bei der Einführung von Äquivalenzrelationen wurde gezeigt, dass Äquivalenzklassen disjunkt oder gleich sein müssen. Dies besagt aber gerade, dass aus
  und   folgt:
  und  .
Hieraus lässt sich nun (unter Anwendung der Addition in  ) einfach zeigen, dass
  gilt. Hieraus folgt dann, wiederum mit dem eben erwähnten Satz, das gewünschte Ergebnis.


Kommutativität (der Beweis für die Assoziativität verläuft ähnlich):
Mit den oben definierten   gilt:
 . Hierbei wurde die Kommutativität in   benutzt.

"Einbettung" der natürlichen in die ganzen ZahlenBearbeiten

Manche Leser stellen sich hier vielleicht die Frage, ob durch diese Definitionen das Rechnen mit den natürlichen Zahlen noch irgend eine Gemeinsamkeit mit den ganzen Zahlen hat oder hier etwas völlig Neues kreiert wurde. Die Frage ist berechtigt. Der folgende Satz zeigt aber, dass man   als Teilmenge von   auffassen kann und dass Addition und Multiplikation in   und   das Gleiche bedeuten.


Satz
Die Abbildung

 
 

ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

  und
 .


Beweis
  1. Injektivität: Es gelte  . Zu zeigen ist  .
    Aus   folgt  . Wie im obigen Beweis gezeigt gilt also:  , also  , woraus   folgt.

  2. Additionserhaltend: Es gilt  .

  3. Multiplikationserhaltend: Es gilt
       .


Man kann also beruhigt statt   und   wieder   und   schreiben und einfach   statt  , was im Folgenden auch getan wird. Allerdings ist noch nicht geklärt, wie mit den "neuen" Elementen, den "negativen" Zahlen umgegangen werden soll. Dies wird im nächsten Abschnitt präzisiert.

Negative ZahlenBearbeiten

Um die gewohnte Schreibweise der negativen Zahlen einzuführen und mit der obigen Definition der ganzen Zahlen in Einklang zu bringen, zeigt man folgenden Satz und kann dann die negativen Zahlen definieren:


Definition und Satz
Sei  . Dann gibt es genau ein   mit  .
Dieses   nennt man auch  .
Für   kürzt man zu   ab und bezeichnet   als die zu   negative Zahl.


Beweis
Sei   gegeben. Setzt man  , so gilt:
 .
Es gibt also zu   mindestens eine negative Zahl   und mit dieser gilt:  .
Für dieses   folgt weiter:
                    =    
  =          (Kommutativität in  )
  =          (Assoziativität in  )
  =    .


Zu zeigen ist noch, dass die Gleichung höchstens eine Lösung hat. Sei also   eine weitere Lösung mit  . Es folgt:
 .

Rechenregeln und weitere EigenschaftenBearbeiten

Mit den obigen Definitionen und Sätzen lassen sich nun leicht die bekannten Rechenregeln und Eigenschaften der ganzen Zahlen definieren und beweisen.

Das sind insbesondere die Assoziativitäts-, Kommutativitäts- und Distributivgesetze sowie die Vorzeichenregeln für das Rechnen, aber auch weitere Eigenschaften wie die Teilbarkeit oder Primfaktoren. Da in der Analysis die reellen Zahlen im Mittelpunkt stehen, wird das hier nicht weiter ausgeführt.



Es gilt also wie gewohnt:

  und

 


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