Mathematik: Analysis: Grundlagen: Natürliche Zahlen


EinleitungBearbeiten

Jeder kommt bereits in frühester Kindheit mit Zahlen in Berührung und hat, zumindest von den natürlichen Zahlen, eine sehr genaue Vorstellung. Für mathematische Zwecke ist es aber erforderlich, die Struktur von Zahlenmengen eindeutig festzulegen. Dies beantwortet leider nicht die Frage was Zahlen sind, beschreibt aber ihre typischen Merkmale. Diese mathematischen Merkmale müssen natürlich in Übereinstimmung mit den intuitiven Vorstellungen sein. Andererseits muss die Beschreibung so genau sein, dass es eben nur eine Zahlenmenge mit genau diesen Eigenschaften gibt, d. h. die Charakterisierung muss in diesem Sinne vollständig sein.

Natürliche ZahlenBearbeiten

Der italienische Mathematiker G. Peano hat eine solche formale Beschreibung für die natürlichen Zahlen aufgestellt, die sich an dem Vorgang des Zählens orientiert und davon ausgeht, dass es einen Zählanfang gibt und eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl einen Nachfolger zuordnet und dass diese beiden Eigenschaften die natürlichen Zahlen vollständig beschreiben. Formal lässt sich das Axiomensystem wie folgt angeben:


Axiomensystem von PeanoBearbeiten

(N0)   ist eine Menge
(N1)  
(N2) Es gibt eine injektive Abbildung  , für die gilt:  
(N3) (Induktionsaxiom)
Gelten für eine Teilmenge   die beiden Eigenschaften:
  1.   und
  2.   gilt: Aus   folgt  
dann folgt  


Die Abbildung   ordnet zwei verschiedenen natürlichen Zahlen auch zwei verschiedene Nachfolger (  ist injektiv) zu und diese Nachfolger können nicht die   sein.


Definition
  heißt der Nachfolger von   und   nennt man den Vorgänger von  .


Als ein Beispiel für die Anwendung des Induktionsaxioms soll nun folgender Satz gezeigt werden:


Satz
  für jedes  


Beweis
Sei  . Dann gilt:
  denn: dann falls   würde gelten   also  , was ein Widerspruch wäre.
Aus   folgt   denn: Falls für ein   gelten würde, folgt  , also wegen der Injektivität von  , was aber nach Voraussetzung ein Widerspruch ist.
Aus dem Induktionsaxiom folgt   und das beweist den Satz!


Schreibweisen
Für die Menge der natürlichen Zahlen sind folgende Schreibweisen üblich:  .
Die Menge der natürlichen Zahlen ist hier ohne die NULL definiert worden und wird im Folgenden auch so verwendet.
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der "Null"  


Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine ideale Indexmenge und wird für Abzählbarkeitsaussagen (s. Mächtigkeit) verwendet.

Vollständige InduktionBearbeiten

Satz
Sei   eine Eigenschaft, die auf natürliche Zahlen zutrifft oder auch nicht, d. h es gilt " " oder "nicht  " für alle  .
Wenn
  1. Induktionsanfang:   und
  2. Induktionsschritt:   gilt:  ,
so gilt   für alle  .
Beweis
Man wendet einfach das obige Induktionsaxiom auf die Menge   an.


Beweise über Eigenschaften von natürlichen Zahlen erfolgen häufig mit Hilfe der gerade besprochenen vollständigen Induktion. Diese Beweisführung ist Ihnen wahrscheinlich bekannt. Sie erfolgt in zwei Schritten.

  1. Induktionsanfang: Es wird gezeigt, dass die behauptete Eigenschaft für   gilt.
  2. Induktionsschritt: Es wird die Gültigkeit der Eigenschaft für   vorausgesetzt. Mit Hilfe dieser Voraussetzung zeigt man, dass auch sie auch für   gilt.

Der Satz über die vollständige Induktion sagt nun gerade, dass diese Eigenschaft dann für die Menge   gilt.

Addition und MultiplikationBearbeiten

Multiplikation und Addition werden nun als Abbildung von einer " Relation auf   " nach   rekursiv (oder durch vollständige Induktion) definiert. Es werden also Bedingungen definiert, wie man schrittweise die Summe oder das Produkt zu bilden hat.

Genau genommen ist es nicht nur eine Definition sondern ein Satz, denn die Existenz dieser Abbildungen kann nicht einfach vorausgesetzt werden, sondern ist nachzuweisen. In einem zweiten Schritt ist dann noch zu zeigen, dass es, wie allgemein im Alltagsleben unterstellt, jeweils nur genau eine Abbildung für Addition und Multiplikation gibt.


Definition und Satz
Sei   und für alle   gelte:
 
  1.   und
  2.  
 
und sei   und für alle   gelte:
  mit
  1.   und
  2.  
 
Es gibt genau eine Abbildung   (genannt Addition) und genau eine Abbildung   (genannt Multiplikation) mit diesen Eigenschaften.


Beweis
Der Beweis dieses "selbstverständlichen" Satzes ist nicht besonders trival. Er wird hier beispielhaft für die Addition gezeigt. Der Beweis für die Multiplikation verläuft genauso und wird dem Leser zur Übung empfohlen.
Es sind zwei Dinge zu zeigen: die Existenz der Addition und die Eindeutigkeit. Die Eindeutigkeitsaussage wird für den Beweis der Existenz benötigt und daher zuerst gezeigt.
 
1. Eindeutigkeit der Addition
Hilfssatz
Zu einem   gibt es höchstens eine Abbildung   für die gilt:
  mit   und  
 
Der Beweis dieses Hilfssatzes erfolgt über das Induktionsaxiom:
Sei   eine Abbildung für die gilt:   und  .
Zu beweisen ist, dass   gilt.
Definition- und Bildbereich von   und   sind gleich.
Sei  .
Dann gilt:
  also  .
Sei  . Dann gilt   und es folgt:
  also gilt auch  .
Mit dem Induktionsaxiom gilt  , d. h.   für alle  , daraus folgt   was die Eindeutigkeit zeigt.
 
Mit diesem Hilfssatz ist es einfach zu zeigen, dass es höchstens eine Möglichkeit gibt die Addition wie oben zu definieren. Sei also die oben definierte Addition gegeben und sei   eine beliebige Zahl. Dann definiert
  mit   eine Abbildung für die gilt:
  und  .
Mit dem Hilfssatz folgt, dass es für jedes   höchstens eine solche Abbildung   gibt. Und dies zeigt, dass die oben definierte Addition eindeutig ist, wenn es sie geben sollte.
 
2. Existenz der Addition
Zunächst zeigt man mit Hilfe des Induktionsaxioms, dass für jedes   genau eine Abbildung mit:
  mit
  und   existiert.
Mit den Funktionen   lässt sich die Addition wie folgt definieren:
  für alle  , denn für alle   gilt:   und  .
 
Hilfssatz
Für jedes   gibt es genau eine Abbildung mit
  mit   und  
 
Der Beweis erfolgt wieder mit Hilfe des Induktionsaxioms:
 
Für   definiert man   mit  .
Dann gilt:   und  
Diese Abbildung   existiert und erfüllt die o. g. Bedingungen. Der Hilfssatz bei der Eindeutigkeitsaussage zeigt weiter, dass es höchstens eine solche Abbildung gibt mit  .
 
Sei also ein   vorgegeben für das gilt:   und  .
Für eine Funktion   gilt:
  (da nach Voraussetzung  ) und
 .
Nach dem Hilfssatz beim Beweis der Eindeutigkeit   gibt es höchstens eine Abbildung   und da nach Voraussetzung   existiert, also genau eine Abbildung. Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit der Abbildung auch für   bewiesen und nach dem Induktionsaxiom für alle  .


RechenregelnBearbeiten

Satz
Für alle   gilt:
1.       (Assoziativität)
2.       (Kommutativität)
3.       (Assoziativität)
4.       (Distributivität)


Beweis
Die Beweise lassen sich mit Hilfe des Induktionsaxioms führen.


Beispiel  -te PotenzBearbeiten

Durch vollständige Induktion lässt sich folgender Satz leicht zeigen:


Satz
Sei   eine Menge,   eine Abbildung und   ein Element von  . Dann gibt es genau eine Abbildung   mit
  1.   und
  2.   für alle  


Mit diesem Satz lassen sich nun einfach die Existenz und Eindeutigkeit der  -ten Potenz nachweisen:

Setzt man (  ist die Menge der reellen Zahlen)

  und für
  die Abbildung
 , für   ein,
so liefert obiger Satz eine Abbildung   mit
  1.  
  2.  
  3.  
  4.   für alle  .


OrdnungBearbeiten

Mit Hilfe der Addition lässt sich nun sehr einfach eine weitere Struktur auf den natürlichen Zahlen nachweisen:


Definition - "natürliche" Ordnung
Für alle   definiert man:
  1.   (lies:   kleiner  ) oder
      (lies:   größer  )
    wenn es ein   gibt mit  
     
  2.   (lies:   kleiner-gleich  ) oder
      (lies:   größer-gleich  )
    wenn   oder  .


Satz
  1. Die Relation  , d. h.   ist eine Ordnungsrelation auf  
  2.   ist linear geordnet
  3. Für alle   git:
      und
     .
    Die Ordnungsrelation ist also verträglich mit der Addition und Multiplikation.


Hinweise zum Beweis
Reflexivität und Antisymmetrie sind durch Rechnungen einfach nachzuweisen.
Die übrigen Beweise verwenden wieder das Induktionsaxiom. Beispielsweise kann man für den Beweis der linearen Ordnung (zu 2.) für ein vorgegebenes   eine Menge
  oder   definieren und zeigen, dass   gilt. Beim Nachweis der Antisymmetrie unterstützt folgender Hilfssatz:  , der ebenfalls über das Induktionsaxiom bewiesen werden kann. Die Ausführung der Beweise ist Ihnen zur Übung überlassen.


Wohlordnungssatz
  ist mit der natürlichen Ordnung wohlgeordnet.


Dieser Satz besagt, dass jede nichtleere Teilmenge   von   ein kleinstes Element,  , enthält. Dieser Satz mag Ihnen reichlich überflüssig vorkommen. Bedenken Sie aber, dass für allgemeine Mengen die Aussagen Zornsches Lemma, Wohlordnungssatz und Auswahlaxiom äquivalent und von großer Tragweite sind.


Hinweise zum Beweis
Wieder wird das Induktionsaxiom verwendet, diesmal wird aber folgende Eigenschaft induktiv nachgewiesen:
"Jede Teilmenge   von  , die die Zahl   enthält, besitzt ein kleinstes Element".
Für   ist die Behauptung sicher richtig, da  .
Die Behauptung gelte nun für ein  .
Zu zeigen ist, dass "jede Teilmenge   von   ein kleinstes Element besitzt". Man unterscheidet zwei Fälle:
1. Fall: Für alle   gilt   und
2. Fall: Es gibt ein   mit  .
Der erste Fall ist klar, für den Beweis des zweiten Falls verwendet man die Injektivität von   und die Induktionsvoraussetzung.
Da jede nichtleere Teilmenge von   ein   enthält ist der Satz bewiesen.


PrimzahlenBearbeiten

Eine wichtige Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Primzahlen sind alle natürliche Zahlen mit genau zwei Teilern.  



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