Mathematik: Analysis: Grundlagen: Funktionen

Analysis

Grundlagen

Mengen – Relationen – Funktionen– Natürliche Zahlen – Ganze Zahlen – Rationale Zahlen

Reelle Zahlen

Funktionen (Abbildungen)

Funktionen sind in der gesamten Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Mengen. Anderseits sind aber die Funktionen selbst Gegenstand mathematischer Untersuchungen.

Den Begriff der Funktion kennt sicherlich jeder Leser und kann ihn auch mehr oder weniger präzise definieren. Ein wichtiges Kriterium ist, dass Funktionen für ein gegebenes Argument nur einen einzigen bestimmten Wert liefern. Man kann auch so formulieren: Funktionen sind stets rechtseindeutige Relationen.

Wir werden die Definition von "Funktion" auf die im vorigen Kapitel behandelten Relationen abstützen.

Definition - Funktion

Seien $M$ und $N$ Mengen und $R$ eine Relation zwischen $M$ und $N$.

Das Tripel $f:=(M,R,N)$ heißt eine Funktion (Abbildung) von $M$ nach $N$ : $\ \Leftrightarrow \$ Zu jedem $x\in M$ gibt es genau ein $y\in N$ für das gilt: $(x,y)\in R$. Dieses $y$ bezeichnet man mit $f(x)$ (lies: $f$ von $x$).

$x$ heißt das Argument und $f(x)$ der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$. $M$ nennt man den Definitionsbereich, $N$ den Bildbereich und $R$ den Graph der Funktion $f$.

Die meisten der oben definierten Begriffe sind bekannt. Ein Tripel ist eine geordnete Zusammenstellung von 3 Elementen. Eine Funktion ist ein solches Tripel, das aus den 3 Elementen Definitionsbereich, Graph und Bildbereich besteht. Der Graph ordnet jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Bildbereichs zu.

Eine Relation zwischen $M$ und $N$, die einem Element des Definitionsbereichs z. B. $2$ Elemente des Bildbereichs zuordnet, kann kein Graph einer Funktion von $M$ nach $N$ sein.

Hinweis: Die Begriffe Abbildung und Funktion werden hier, wie üblich, bedeutungsgleich verwendet.

Die folgenden Beispiele sollen die Definition der Funktion noch einmal verdeutlichen:

Es wird keine Funktion definiert; denn $2,4,6\in M$ wird kein Element von $N$ zugeordnet.	Es wird keine Funktion definiert; denn $3\in M$ werden die Elemente $b$ und $c$ von $N$ zugeordnet.	Die hier dargestellte Relation definiert eine Funktion.

Da eine Funktion einem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Bildbereichs zuordnet, schreibt man auch, wie gewohnt:

$f:M\rightarrow N$ statt $f=(M,R,N)$, wobei der Graph $R$ die Menge $\lbrace (x,f(x))\mid x\in M\rbrace$ ist.

Vielleicht fragen Sie sich, warum man nicht gleich fordert, dass der Bildbereich nur aus den Funktionswerten $f(x)$ besteht. Der Grund hierfür ist, dass es im allgemeinen schwierig ist, diese Menge, den Wertebereich von $f$, explizit anzugeben.

Das folgende Beispiel soll die verschiedenen Schreibweisen nochmals verdeutlichen:

Beispiel

Sei $M$ eine Menge. Durch $R:=\lbrace (x,x)\mid x\in M\rbrace$ wird eine Relation definiert, die Gleichheitsrelation. $id_{M}:=(M,R,M)=(M,\lbrace (x,x)\mid x\in M\rbrace ,M)\$ oder $\ id_{M}:=M\rightarrow M,id_{M}(x)=x$ definiert eine Funktion; denn zu jedem $x\in M$ gibt es ein $y\in M$ mit $(x,y)\in R$, nämlich $y=x$ (zeigt die Existenz). Gibt es (noch) ein $z\in M$ mit $(x,z)\in R$, so folgt aus der Gleichheitsrelation $x=z$, also auch $y=z$ (zeigt die Eindeutigkeit).

Da jede Funktion aus Definitionsbereich, Bildbereich und dem Graphen besteht, ist auch klar, wie die Gleichheit von Funktionen definiert wird:

Definition - Gleicheit von Funktionen

Seien$f_{1}:=(M_{1},R_{1},N_{1})$ und $f_{2}:=(M_{2},R_{2},N_{2})$ zwei Funktionen.

" $f_{1}$ und $f_{2}$ sind gleich" : $\ \Leftrightarrow \$ "$M_{1}=M_{2}$ und $R_{1}=R_{2}$ und $N_{1}=N_{2}$" $\ \Leftrightarrow \$ " $M_{1}=M_{2}$ und $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ und $N_{1}=N_{2}$ für alle $x\in M_{1}$".

(Beide Definitionen sind äquivalent, was einfach zu zeigen ist.)

Bild, Urbild

In diesem Kapitel sollen nun einige wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen definiert werden.

Definition - Bild, Urbild, Wertebereich

Seien $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung sowie $M_{1}\subset M$ und $N_{1}\subset N$.

1. Für die Teilmenge $M_{1}$ definiert man:
   $f(M_{1}):=\lbrace f(x)\mid x\in M_{1}\rbrace$ und nennt $f(M_{1})$ das Bild von $M_{1}$ (unter $f$).
2. Die Menge $f(M)$ nennt man Wertebereich von $f$ oder Bild von $f$.
3. Für die Teilmenge $N_{1}$ definiert man:
   ${\stackrel {-1}{f}}(N_{1}):=\lbrace x\in M\mid f(x)\in N_{1}\rbrace$
   

          und nennt $\ {\stackrel {-1}{f}}(N_{1})\$ das Urbild von $N_{1}$ unter $f$.

          (sprich: $f$ oben minus $1$ von $N_{1}$).

Das folgende Beispiel zeigt, dass Bildbereich und Wertebereich einer Funktion unterschiedlich sein können.
(Das Symbol $\mathbb {Z}$ steht für die Menge der ganzen Zahlen)

Sei $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\;f(x):=x^{2}$.

Dann gilt:

${\stackrel {-1}{f}}(\lbrace 3,5,6,9\rbrace )=\lbrace -3,3\rbrace .$

(Der Bildbereich enthält die Elemente $3,5,6$ und $9$. Die Elemente $3,5$ und $6$ sind jedoch nicht im Bild oder Wertebereich von $f$.)

Rechenregeln für Bild und Urbild

Es gibt eine Reihe von Rechenregeln für Bild und Urbild, von denen hier einige exemplarisch angegeben werden.

Satz

Seien $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung, $M_{1}$ und $M_{2}$ Teilmengen von $M$, $N_{1}$ und $N_{2}$ Teilmengen von $N$. Dann gilt:

$M_{1}\subset M_{2}\ \Rightarrow \ f(M_{1})\subset f(M_{2})$

$f(M_{1}\cup M_{2})\ =\ f(M_{1})\cup f(M_{2})$

$f(M_{1}\cap M_{2})\ \subset \ f(M_{1})\cap f(M_{2})$

$N_{1}\subset N_{1}\Rightarrow {\stackrel {-1}{f}}(N_{1})\subset {\stackrel {-1}{f}}(N_{1})$

${\stackrel {-1}{f}}(N_{1}\cup N_{2})={\stackrel {-1}{f}}(N_{1})\cup {\stackrel {-1}{f}}(N_{1})$

${\stackrel {-1}{f}}(N_{1}\cap N_{2})={\stackrel {-1}{f}}(N_{1})\cap {\stackrel {-1}{f}}(N_{1})$

$M_{1}\subset {\stackrel {-1}{f}}(f(M_{1}))$

Beweis zu $M_{1}\subset M_{2}\ \Rightarrow \ f(M_{1})\subset f(M_{2})$

Zu zeigen ist: Aus $y\in f(M_{1})$ folgt $y\in f(M_{2})$

Sei $y\in f(M_{1})$	$\ \Rightarrow \$	$\exists x\in M_{1}$ mit $y=f(x)$
	$\ \Rightarrow \$	$\exists x\in M_{2}$ mit $y=f(x)$ (wegen $M_{1}\subset M_{2}$)
	$\ \Rightarrow \$	$y\in f(M_{2})$

Damit ist gezeigt: Für alle $y\in f(M_{1})$ gilt auch $y\in f(M_{2})$, also $f(M_{1})\subset f(M_{2})$.

Übung

Beweis der übrigen Behauptungen des Satzes

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

Für die Abbildung $f:M\rightarrow N$ und das Element $y\in N$ des Bildbereichs kann man die Menge ${\stackrel {-1}{f}}(\lbrace y\rbrace )=\lbrace x\in M\mid f(x)=y\rbrace$
untersuchen, d. h. man sucht alle Elemente $x\in M$, die durch $f$ auf $y$ abgebildet werden (Faser von $f$ in $y$). Dabei interessieren folgende Eigenschaften:

Gibt es zu $y\in N$

• höchstens ein $x\in M$ mit $f(x)=y$
• mindestens ein $x\in M$ mit $f(x)=y$
• genau ein $x\in M$ mit $f(x)=y$?

Abbildungen, die diese besonderen Eigenschaften erfüllen, erhalten besondere Namen, die nun definiert werden:

Definition - injektiv, surjektiv, bijektiv

Sei $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung. Die Abbildung $f$ heißt

1. injektiv genau dann, wenn für alle $x,y\in M$ gilt: "$f(x)=f(y)\ \Rightarrow \ x=y$",
2. surjektiv genau dann, wenn $f(M)=N$ gilt, und
3. bijektiv genau dann, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.

Diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe des Urbildes wie folgt formulieren:

$f$ ist ${\begin{Bmatrix}{\text{injektiv}}\\{\text{surjektiv}}\\{\text{bijektiv}}\end{Bmatrix}}$ genau dann, wenn für jedes $y\in N$ die Menge ${\stackrel {-1}{f}}(\lbrace y\rbrace ){\begin{Bmatrix}{\text{hoechstens}}\\{\text{mindestens}}\\{\text{genau}}\end{Bmatrix}}$ ein Element enthält.

Die folgenden Bilder sollen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv nochmals erklären:

Injektiv, da jedes Element des Bildbereichs höchstens ein Urbild hat.	Surjektiv, da jedes Element der Bildbereichs mindestens ein Urbild hat.	Bijektiv, da sie injektiv und surjektiv ist, also jedes Element des Bildbereichs genau ein Urbild hat.

Beispiel und Übung (kanonische Projektionen)

Seien M und N Mengen. Dann werden durch

$p_{1}:M\times N\ \rightarrow \ M\ \ p_{1}(x,y)=x$ und

$p_{2}:M\times N\ \rightarrow \ N\ \ p_{2}(x,y)=y$

zwei Abbildungen definiert (kanonische Projektionen), $p_{1}$ heißt erste und $p_{2}$ zweite Projektion. (Dem aufmerksamen Leser ist sicher aufgefallen, dass obige Schreibweise nicht ganz korrekt ist; genauer wäre z. B. $p_{1}((x,y))$. Diese Schreibweise ist aber unüblich).

Zu zeigen ist: Die Projektionen sind surjektiv aber im Allgemeinen nicht injektiv.

Übung

Zeigen Sie, dass die Abbildung $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,f(x):=x+2$ bijektiv ist.

Konstruktion neuer Abbildungen

Hintereinanderschaltung

Die folgenden Definitionen zeigen Möglichkeiten, aus gegebenen Abbildungen neue zu erzeugen.

Bei der Hintereinanderschaltung wird aus 2 Abbildungen eine neue konstruiert. Für Beschränkungen ("Restriktionen") werden Definitions- oder Bildbereich verändert. Die Umkehrabbildung ist eine neue Funktion, die Elemente aus dem Bildbereich der ursprünglichen Funktion in deren Definitionsbereich abbildet, also gewissermaßen die "Richtung" der Funktion umkehrt.

Definition - Hintereinanderschaltung

Seien $f:A\ \rightarrow \ B_{1}$ und $g:B_{2}\ \rightarrow \ C$ zwei Abbildungen, und es gelte $f(A)\subset B_{2}$.

Dann heißt die Abbildung $\ g\circ f:A\ \rightarrow \ C,\ (g\circ f)(x):=g(f(x))$

(lies: $g$ Kringel $f$) die Komposition oder Hintereinanderschaltung von $f$ und $g$.

Die Konstruktion veranschaulicht das folgende Bild.

Wichtig ist die Voraussetzung $f(A)\subset B_{2}$

Beispiel - Hintereinanderschaltung

Sei $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\;f(x):=x^{2}\;{\mbox{und }}\;g:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {N} _{0},\;g(y):=2y.$

Wegen $f(\mathbb {Z} )\subset \mathbb {N} _{0}$ ist $g\circ f$ definiert, und es gilt: $g\circ f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} _{0}\;{\mbox{mit }}\;g(f(x))=2x^{2}.$

(Die Menge $\mathbb {N} _{0}$ umfasst die natürlichen Zahlen einschließlich der Null: $\mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\}.$ )

Vor- und Nachbeschränkung

Durch Veränderung von Definitions- oder Bildbereich kann man neue Abbildungen konstruieren, z. B. sie "künstlich" surjektiv oder injektiv zu machen.

Die Abbildung

$f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\;f(x):=x^{2}$

ist nicht injektiv; denn es gilt $f(3)=f(-3).$ Wäre $f$ injektiv, würde $3=-3$ folgen.

Durch Verkleinerung des Definitionsbereiches kann man die Abbildung aber injektiv machen:

$f:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {Z} ,\;f(x):=x^{2}$.

Ebenso kann man durch Verkleinerung des Bildbereiches eine Abbildung surjektiv machen. Dies führt zu folgenden Definitionen:

Definition - Vor- und Nachbeschränkung

Sei $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung, $U\subset M,\ V\subset N$ mit $f(M)\subset V$.

1. Für die Teilmenge $U$ heißt die Abbildung:
   $f/U:U\ \rightarrow \ N,\ (f/U)(x):=f(x)$
   die Beschränkung (Restriktion) von $f$ auf $U$.
   
2. Für die Teilmenge V heißt die Abbildung:
   $f\backslash V:M\ \rightarrow \ V,\ (f\backslash V)(x):=f(x)$
   die Nachbeschränkung von $f$ auf $V$.

Umkehrabbildung

Ist eine Abbildung injektiv, so gibt es zu jedem Element $y$ des Bildes genau ein Element $x$ des Definitionsbereiches mit $f(x)=y$. Man kann daher eine Abbildung definieren, die jedem $y$ des Bildes dieses eine Element $f(x)$ des Definitionsbereiches zuordnet.

Definition Umkehrabbildung

Sei $f:M\ \rightarrow \ N$ eine injektive Abbildung. Dann wird die Umkehrabbildung ${\stackrel {-1}{f}}:f(M)\to M$ von $f$ auf $f(M)$ definiert durch:

${\stackrel {-1}{f}}(y)=x\$ für alle $y\in f(M)\$ mit $y=f(x)$.

${\stackrel {-1}{f}}$ liest man: $f$ "'oben minus $1$ (nicht zu verwechseln mit $f^{-1}={\frac {1}{f}}$ ).

Ist $f$ bijektiv, so heisst ${\stackrel {-1}{f}}$ kurz Umkehrabbildung von $f$.

Zur Übung der Begriffe wird nun ein Satz bewiesen. Falls die genaue Bedeutung des Symbols $id_{M}$ unklar ist: Weiter oben wurde die auf $M$ identische Abbildung (Identität) $id_{M}$ definiert.

Satz

Seien $f:M\ \rightarrow \ N$ und $g:f(M)\ \rightarrow \ M$ Abbildungen mit $g\circ f=id_{M}$.

Dann ist $f$ injektiv, und es gilt $g={\stackrel {-1}{f}}$.

Beweis

Zuerst wird die Injektivität gezeigt.

Seien $x,y\in M$ so gewählt, dass $f(x)=f(y)$. Dann gilt:

$x=id_{M}(x)=g\circ f(x)=g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y)=id_{M}(y)=y$.

Also ist $f$ injektiv.

Definitionsbereich und Bildbereich von $g$ und der Umkehrabbildung von $f$ auf $f(M)$ stimmen offensichtlich überein. Sei $y\in f(M)$. Dann gibt es ein $x\in M$ mit $f(x)=y$. Weiter gilt: $g(y)=g(f(x))=g\circ f(x)=id_{M}(x)=x$.

Da die Injektivität bereits gezeigt wurde, folgt $x={\stackrel {-1}{f}}(y)$, also $g(y)={\stackrel {-1}{f}}(y)$.

Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich nun eine Reihe weiterer interessanter Sätze beweisen, z. B. dass die Hintereinanderschaltung (kurz: Verkettung} zweier bijektiver Abbildungen $f$ und $g$ wiederum bijektiv ist, und dass gilt: ${\stackrel {-1}{(g\circ f)}}={\stackrel {-1}{f}}\circ {\stackrel {-1}{g}}.$

Das Auswahlaxiom

Sie erinnern sich vielleicht noch an die verallgemeinerten Definitionen von Durchschnitt und Vereinigung von Mengen. Dort wurden eine nicht-leere Indexmenge $I$ und für jedes $i\in I$ Mengen $M_{i}$ vorausgesetzt. Immer wieder, teilweise an entscheidenden Stellen, tritt in der Mathematik, auch in der Analysis, der Fall auf, dass diese Mengen unendlich viele Elemente haben und zusätzlich noch eine Funktion gesucht wird, die jedem $i\in I$ ein Element $x_{i}\in M_{i}$ zuordnet. Hier eine echte Funktionsvorschrift anzugeben, ist leider nicht immer möglich, insbesondere dann, wenn für die Indexmenge $I$ keine lineare Ordnung gegeben ist. Das Auswahlaxiom fordert nun einfach, dass eine solche Abbildung existiert.

Der Mengenbegriff wurde in diesem Buch "anschaulich" eingeführt. Leider zeigt sich, dass diese Vorgehensweise zu Widersprüchen führt (Stichwort: Menge aller Mengen). Aus diesem Grund wurde eine axiomatische Mengenlehre geschaffen, und es wurde bewiesen, dass das Auswahlaxiom aus den übrigen Axiomen der axiomatischen Mengenlehre nicht herleitbar ist.

Auswahlaxiom

Sei $I$ eine nicht-leere Menge und ${\mathfrak {M}}=\{M_{i}|i\in I\}$ ein System von nicht-leeren Mengen $M_{i}$. Dann existiert eine Funktion $f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}M_{i}$, für die gilt:

$f(i)\in M_{i}$.

Bemerkung: Das Auswahlaxiom ist nicht konstruktiv; daher wird es von einigen Mathematikern strikt abgelehnt. Intiutiv kann man das Auswahlaxiom folgendermaßen verstehen: "In jedem beliebigen System von Mengen kann aus jeder Menge dieses Mengensystems ein Element ("Repräsentant") ausgewählt werden".

Aus dem Auswahlaxiom lassen sich einige interessante Konsequenzen ableiten, z.B. der folgende Satz:

Satz

Seien $X,Y$ Mengen. Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ ist surjektiv genau dann, wenn eine Funktion $g:Y\rightarrow X$ existiert, für die $f\circ g=Id_{Y}$ gilt.

(D.h.: Jede surjektive Funktion besitzt eine rechtsinverse Abbildung.)

Beweis

Sei $f$ surjektiv. Dann gilt für alle $y\in Y$, dass das Urbild $f^{-1}(y)\not =\emptyset$ ist. Da $f$ eine Funktion ist, muss auch $f^{-1}(y)\cap f^{-1}(z)=\emptyset$ für alle $y,z\in Y,y\not =z$ gelten. D.h. das Mengensystem $\{f^{-1}(y)|y\in Y\}$ bildet eine disjunkte Partition der Menge $X$ (d.h. $X=\biguplus _{y\in Y}f^{-1}(y)$).

Nach dem Auswahlaxiom existiert nun eine Funktion $g:Y\rightarrow X$, für die $g(y)\in f^{-1}(y)$ gilt.

Für beliebiges $y\in Y$ gilt nun nach Konstrukion klarerweise $f(g(y))=y$, da $g(y)\in f^{-1}(y)$ ist.

Für die Umkehrung nehmen wir nun an, dass eine Rechtsinverse zu $g$ zu $f$ existiert.

Für beliebiges $y\in Y$ gilt:

$y=Id_{Y}(y)=f(g(y))$. Das bedeutet: zu $y\in Y$ existiert mindestens ein $x\in X$, für das $f(x)=y$ gilt, nämlich $g(y)$. Daher ist $f$ surjektiv.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Eine weitere interessante Konsequenz des Auswahlaxioms ist das

Lemma von Zorn

Sei $(M,\leq )$ eine partial geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt. Dann besitzt $M$ ein maximales Element.

Bemerkung: Der Beweis benötigt eine so genannte "transfinite Induktion" und wird daher hier ausgelassen. Das Lemma von Zorn ist ein fundamentaler Satz, der den Beweis vieler Existenzaussagen ermöglicht; es ist jedoch wegen seiner Äquivalenz zum Auswahlaxiom unter Mathematikern umstritten.

Mächtigkeit

In der Analysis wird u. a. die "Mächtigkeit" der Menge der reellen Zahlen untersucht und gezeigt, dass diese Menge "überabzählbar" ist. Diese Begriffe sind mit Hilfe der natürlichen Zahlen und Abbildungen definiert.

Definition - Gleichmächtigkeit

$M$ und $N$ seien Mengen.

$M$ und $N$ sind gleichmächtig (symbolisch dargestellt durch: $M\approx N$) genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung $f:M\ \rightarrow \ N$ gibt.

Zwei Mengen sind also genau dann gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihnen existiert.

Beispiel

Ist $M:=\lbrace 1,3\rbrace$ und $N:=\lbrace 4,6\rbrace$. Eine bijektive Abbildung ist dann gegeben durch $f(x):=x+3$ oder auch durch $g(x):=7-x$. Also sind $M$ und $N$ gleichmächtig.

Um die unterschiedliche Mächtigkeiten von Mengen vergleichen zu können, definiert man weiter:

Definition - "höchstens gleiche" bzw. "kleinere" Mächtigkeit

$M$ und $N$ seien Mengen.

$M$ hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie $N$ (symbolisch dargestellt durch: $M\preccurlyeq N$) genau dann, wenn es eine injektive Abbildung $f:M\ \rightarrow \ N$ gibt.

$M$ hat eine kleinere Mächtigkeit als $N$ (symbolisch dargestellt durch: $M\prec N$) genau dann, wenn $M\preccurlyeq N$ gilt und $M\approx N$ nicht gilt.

Beispiel

Eine Menge $M$ hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge ${\mathfrak {P}}(M)$.

Eine injektive Abbildung von $M$ nach ${\mathfrak {P}}(M)$ ist $f(x):=\lbrace x\rbrace$.

Die Mächtigkeit von Mengen wird häufig mit der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen verglichen. Dabei werden folgende Begriffe verwendet:

Definitionen

Sei $M$ eine Menge und $\mathbb {N} _{n}:=\lbrace 1,2,...,n\rbrace .$

1. $M$ heißt endlich genau dann, wenn $M=\emptyset$ oder wenn es ein $n\in \mathbb {N}$ gibt mit $M\approx \mathbb {N} _{n}$.
2. $M$ heißt unendlich genau dann, wenn $M$ nicht endlich ist.
3. $M$ heisst abzählbar genau dann, wenn $M\approx \mathbb {N}$ gilt.
4. $M$ heißt höchstens abzählbar genau dann, wenn $M$ endlich oder abzählbar ist.
5. $M$ heißt überabzählbar genau dann, wenn $M$ nicht endlich und nicht abzählbar ist.