Mathematik: Analysis: Grundlagen: Funktionen


Funktionen (Abbildungen)Bearbeiten

Funktionen sind in der gesamten Mathematik ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Mengen. Anderseits sind aber die Funktionen selbst Gegenstand mathematischer Untersuchungen.

Den Begriff der Funktion kennt sicherlich jeder Leser und kann ihn auch mehr oder weniger präzise definieren. Ein wichtiges Kriterium ist, dass Funktionen für ein gegebenes Argument nur einen einzigen bestimmten Wert liefern. Man kann auch so formulieren: Funktionen sind stets rechtseindeutige Relationen.

Wir werden die Definition von "Funktion" auf die im vorigen Kapitel behandelten Relationen abstützen.


Definition - Funktion
Seien   und   Mengen und   eine Relation zwischen   und  .
Das Tripel   heißt eine Funktion (Abbildung) von   nach   :   Zu jedem   gibt es genau ein   für das gilt:  . Dieses   bezeichnet man mit   (lies:   von  ).
  heißt das Argument und   der Funktionswert von   an der Stelle  .   nennt man den Definitionsbereich,   den Bildbereich und   den Graph der Funktion  .


Die meisten der oben definierten Begriffe sind bekannt. Ein Tripel ist eine geordnete Zusammenstellung von 3 Elementen. Eine Funktion ist ein solches Tripel, das aus den 3 Elementen Definitionsbereich, Graph und Bildbereich besteht. Der Graph ordnet jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Bildbereichs zu.

Eine Relation zwischen   und  , die einem Element des Definitionsbereichs z. B.   Elemente des Bildbereichs zuordnet, kann kein Graph einer Funktion von   nach   sein.

Hinweis: Die Begriffe Abbildung und Funktion werden hier, wie üblich, bedeutungsgleich verwendet.

Die folgenden Beispiele sollen die Definition der Funktion noch einmal verdeutlichen:


     
Es wird keine Funktion definiert; denn   wird kein Element von   zugeordnet. Es wird keine Funktion definiert; denn   werden die Elemente   und   von   zugeordnet. Die hier dargestellte Relation definiert eine Funktion.

Da eine Funktion einem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Bildbereichs zuordnet, schreibt man auch, wie gewohnt:

  statt  , wobei der Graph   die Menge   ist.

Vielleicht fragen Sie sich, warum man nicht gleich fordert, dass der Bildbereich nur aus den Funktionswerten   besteht. Der Grund hierfür ist, dass es im allgemeinen schwierig ist, diese Menge, den Wertebereich von  , explizit anzugeben.

Das folgende Beispiel soll die verschiedenen Schreibweisen nochmals verdeutlichen:


Beispiel
Sei   eine Menge. Durch   wird eine Relation definiert, die Gleichheitsrelation.   oder   definiert eine Funktion; denn zu jedem   gibt es ein   mit  , nämlich   (zeigt die Existenz). Gibt es (noch) ein   mit  , so folgt aus der Gleichheitsrelation  , also auch   (zeigt die Eindeutigkeit).


Da jede Funktion aus Definitionsbereich, Bildbereich und dem Graphen besteht, ist auch klar, wie die Gleichheit von Funktionen definiert wird:


Definition - Gleicheit von Funktionen
Seien  und   zwei Funktionen.
"   und   sind gleich" :   "  und   und  "   "   und   und   für alle  ".
(Beide Definitionen sind äquivalent, was einfach zu zeigen ist.)


Bild, UrbildBearbeiten

In diesem Kapitel sollen nun einige wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen definiert werden.


Definition - Bild, Urbild, Wertebereich
Seien   eine Abbildung sowie   und  .
  1. Für die Teilmenge   definiert man:
      und nennt   das Bild von   (unter  ).
  2. Die Menge   nennt man Wertebereich von   oder Bild von  .
  3. Für die Teilmenge   definiert man:
     
          und nennt   das Urbild von   unter  .
          (sprich:   oben minus   von  ).


Das folgende Beispiel zeigt, dass Bildbereich und Wertebereich einer Funktion unterschiedlich sein können.
(Das Symbol   steht für die Menge der ganzen Zahlen)


Sei  .
Dann gilt:
 
(Der Bildbereich enthält die Elemente   und  . Die Elemente   und   sind jedoch nicht im Bild oder Wertebereich von  .)


Rechenregeln für Bild und Urbild

Es gibt eine Reihe von Rechenregeln für Bild und Urbild, von denen hier einige exemplarisch angegeben werden.


Satz
Seien   eine Abbildung,   und   Teilmengen von  ,   und   Teilmengen von  . Dann gilt:
 
 
 
 
 
 
 


Beweis zu  
Zu zeigen ist: Aus   folgt  
Sei       mit  
    mit   (wegen  )
   
Damit ist gezeigt: Für alle   gilt auch  , also  .


Übung
Beweis der übrigen Behauptungen des Satzes


Injektive, surjektive und bijektive AbbildungenBearbeiten

Für die Abbildung   und das Element   des Bildbereichs kann man die Menge  
untersuchen, d. h. man sucht alle Elemente  , die durch   auf   abgebildet werden (Faser von   in  ). Dabei interessieren folgende Eigenschaften:

Gibt es zu  

  • höchstens ein   mit  
  • mindestens ein   mit  
  • genau ein   mit  ?


Abbildungen, die diese besonderen Eigenschaften erfüllen, erhalten besondere Namen, die nun definiert werden:


Definition - injektiv, surjektiv, bijektiv
Sei   eine Abbildung. Die Abbildung   heißt
  1. injektiv genau dann, wenn für alle   gilt: " ",
  2. surjektiv genau dann, wenn   gilt, und
  3. bijektiv genau dann, wenn   injektiv und surjektiv ist.


Diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe des Urbildes wie folgt formulieren:


  ist   genau dann, wenn für jedes   die Menge   ein Element enthält.


Die folgenden Bilder sollen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv nochmals erklären:


     
Injektiv, da jedes Element des Bildbereichs höchstens ein Urbild hat. Surjektiv, da jedes Element der Bildbereichs mindestens ein Urbild hat. Bijektiv, da sie injektiv und surjektiv ist, also jedes Element des Bildbereichs genau ein Urbild hat.


Beispiel und Übung (kanonische Projektionen)
Seien M und N Mengen. Dann werden durch
  und
 
zwei Abbildungen definiert (kanonische Projektionen),   heißt erste und   zweite Projektion. (Dem aufmerksamen Leser ist sicher aufgefallen, dass obige Schreibweise nicht ganz korrekt ist; genauer wäre z. B.  . Diese Schreibweise ist aber unüblich).
Zu zeigen ist: Die Projektionen sind surjektiv aber im Allgemeinen nicht injektiv.


Übung
Zeigen Sie, dass die Abbildung   bijektiv ist.

Konstruktion neuer AbbildungenBearbeiten

HintereinanderschaltungBearbeiten

Die folgenden Definitionen zeigen Möglichkeiten, aus gegebenen Abbildungen neue zu erzeugen.

Bei der Hintereinanderschaltung wird aus 2 Abbildungen eine neue konstruiert. Für Beschränkungen ("Restriktionen") werden Definitions- oder Bildbereich verändert. Die Umkehrabbildung ist eine neue Funktion, die Elemente aus dem Bildbereich der ursprünglichen Funktion in deren Definitionsbereich abbildet, also gewissermaßen die "Richtung" der Funktion umkehrt.


Definition - Hintereinanderschaltung
Seien   und   zwei Abbildungen, und es gelte  .
Dann heißt die Abbildung  
(lies:   Kringel  ) die Komposition oder Hintereinanderschaltung von   und  .


Die Konstruktion veranschaulicht das folgende Bild.

 
Wichtig ist die Voraussetzung  


Beispiel - Hintereinanderschaltung
Sei  
Wegen   ist   definiert, und es gilt:  
(Die Menge   umfasst die natürlichen Zahlen einschließlich der Null:   )


Vor- und NachbeschränkungBearbeiten

Durch Veränderung von Definitions- oder Bildbereich kann man neue Abbildungen konstruieren, z. B. sie "künstlich" surjektiv oder injektiv zu machen.

Die Abbildung

 

ist nicht injektiv; denn es gilt   Wäre   injektiv, würde   folgen.

Durch Verkleinerung des Definitionsbereiches kann man die Abbildung aber injektiv machen:

 .

Ebenso kann man durch Verkleinerung des Bildbereiches eine Abbildung surjektiv machen. Dies führt zu folgenden Definitionen:


Definition - Vor- und Nachbeschränkung
Sei   eine Abbildung,   mit  .
  1. Für die Teilmenge   heißt die Abbildung:
     
    die Beschränkung (Restriktion) von   auf  .
  2. Für die Teilmenge V heißt die Abbildung:
     
    die Nachbeschränkung von   auf  .

UmkehrabbildungBearbeiten

Ist eine Abbildung injektiv, so gibt es zu jedem Element   des Bildes genau ein Element   des Definitionsbereiches mit  . Man kann daher eine Abbildung definieren, die jedem   des Bildes dieses eine Element   des Definitionsbereiches zuordnet.


Definition Umkehrabbildung
Sei   eine injektive Abbildung. Dann wird die Umkehrabbildung   von   auf   definiert durch:
  für alle   mit  .
  liest man:   "'oben minus   (nicht zu verwechseln mit   ).
Ist   bijektiv, so heisst   kurz Umkehrabbildung von  .



Zur Übung der Begriffe wird nun ein Satz bewiesen. Falls die genaue Bedeutung des Symbols   unklar ist: Weiter oben wurde die auf   identische Abbildung (Identität)   definiert.


Satz
Seien   und   Abbildungen mit  .
Dann ist   injektiv, und es gilt  .


Beweis
Zuerst wird die Injektivität gezeigt.
Seien   so gewählt, dass  . Dann gilt:
 .
Also ist   injektiv.
Definitionsbereich und Bildbereich von   und der Umkehrabbildung von   auf   stimmen offensichtlich überein. Sei  . Dann gibt es ein   mit  . Weiter gilt:  .
Da die Injektivität bereits gezeigt wurde, folgt  , also  .


Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich nun eine Reihe weiterer interessanter Sätze beweisen, z. B. dass die Hintereinanderschaltung (kurz: Verkettung} zweier bijektiver Abbildungen   und   wiederum bijektiv ist, und dass gilt:  

Das AuswahlaxiomBearbeiten

Sie erinnern sich vielleicht noch an die verallgemeinerten Definitionen von Durchschnitt und Vereinigung von Mengen. Dort wurden eine nicht-leere Indexmenge   und für jedes   Mengen   vorausgesetzt. Immer wieder, teilweise an entscheidenden Stellen, tritt in der Mathematik, auch in der Analysis, der Fall auf, dass diese Mengen unendlich viele Elemente haben und zusätzlich noch eine Funktion gesucht wird, die jedem   ein Element   zuordnet. Hier eine echte Funktionsvorschrift anzugeben, ist leider nicht immer möglich, insbesondere dann, wenn für die Indexmenge   keine lineare Ordnung gegeben ist. Das Auswahlaxiom fordert nun einfach, dass eine solche Abbildung existiert.

Der Mengenbegriff wurde in diesem Buch "anschaulich" eingeführt. Leider zeigt sich, dass diese Vorgehensweise zu Widersprüchen führt (Stichwort: Menge aller Mengen). Aus diesem Grund wurde eine axiomatische Mengenlehre geschaffen, und es wurde bewiesen, dass das Auswahlaxiom aus den übrigen Axiomen der axiomatischen Mengenlehre nicht herleitbar ist.


Auswahlaxiom
Sei   eine nicht-leere Menge und   ein System von nicht-leeren Mengen  . Dann existiert eine Funktion  , für die gilt:
 .


Bemerkung: Das Auswahlaxiom ist nicht konstruktiv; daher wird es von einigen Mathematikern strikt abgelehnt. Intiutiv kann man das Auswahlaxiom folgendermaßen verstehen: "In jedem beliebigen System von Mengen kann aus jeder Menge dieses Mengensystems ein Element ("Repräsentant") ausgewählt werden".

Aus dem Auswahlaxiom lassen sich einige interessante Konsequenzen ableiten, z.B. der folgende Satz:


Satz
Seien   Mengen. Eine Funktion   ist surjektiv genau dann, wenn eine Funktion   existiert, für die   gilt.
(D.h.: Jede surjektive Funktion besitzt eine rechtsinverse Abbildung.)


Beweis
Sei   surjektiv. Dann gilt für alle  , dass das Urbild   ist. Da   eine Funktion ist, muss auch   für alle   gelten. D.h. das Mengensystem   bildet eine disjunkte Partition der Menge   (d.h.  ).
Nach dem Auswahlaxiom existiert nun eine Funktion  , für die   gilt.
Für beliebiges   gilt nun nach Konstrukion klarerweise  , da   ist.
Für die Umkehrung nehmen wir nun an, dass eine Rechtsinverse zu   zu   existiert.
Für beliebiges   gilt:
 . Das bedeutet: zu   existiert mindestens ein  , für das   gilt, nämlich  . Daher ist   surjektiv.
Damit ist der Beweis abgeschlossen.


Eine weitere interessante Konsequenz des Auswahlaxioms ist das

Lemma von Zorn
Sei   eine partial geordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke besitzt. Dann besitzt   ein maximales Element.

Bemerkung: Der Beweis benötigt eine so genannte "transfinite Induktion" und wird daher hier ausgelassen. Das Lemma von Zorn ist ein fundamentaler Satz, der den Beweis vieler Existenzaussagen ermöglicht; es ist jedoch wegen seiner Äquivalenz zum Auswahlaxiom unter Mathematikern umstritten.

MächtigkeitBearbeiten

In der Analysis wird u. a. die "Mächtigkeit" der Menge der reellen Zahlen untersucht und gezeigt, dass diese Menge "überabzählbar" ist. Diese Begriffe sind mit Hilfe der natürlichen Zahlen und Abbildungen definiert.


Definition - Gleichmächtigkeit
  und   seien Mengen.
  und   sind gleichmächtig (symbolisch dargestellt durch:  ) genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung   gibt.


Zwei Mengen sind also genau dann gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihnen existiert.


Beispiel
Ist   und  . Eine bijektive Abbildung ist dann gegeben durch   oder auch durch  . Also sind   und   gleichmächtig.


Um die unterschiedliche Mächtigkeiten von Mengen vergleichen zu können, definiert man weiter:


Definition - "höchstens gleiche" bzw. "kleinere" Mächtigkeit
  und   seien Mengen.
  hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie   (symbolisch dargestellt durch:  ) genau dann, wenn es eine injektive Abbildung   gibt.
  hat eine kleinere Mächtigkeit als   (symbolisch dargestellt durch:  ) genau dann, wenn   gilt und   nicht gilt.


Beispiel
Eine Menge   hat eine höchstens gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge  .
Eine injektive Abbildung von   nach   ist  .


Die Mächtigkeit von Mengen wird häufig mit der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen verglichen. Dabei werden folgende Begriffe verwendet:


Definitionen
Sei   eine Menge und  
  1.   heißt endlich genau dann, wenn   oder wenn es ein   gibt mit  .
  2.   heißt unendlich genau dann, wenn   nicht endlich ist.
  3.   heisst abzählbar genau dann, wenn   gilt.
  4.   heißt höchstens abzählbar genau dann, wenn   endlich oder abzählbar ist.
  5.   heißt überabzählbar genau dann, wenn   nicht endlich und nicht abzählbar ist.


►___weiter: Natürliche Zahlen ▲___zum Inhaltsverzeichnis ◄___zurück: Relationen