Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Bolzano-Weierstraß Heine-Borel

Die Aussagen im letzten Abschnitt über die Topologie von wurden aus der Metrik hergeleitet, die Vollständigkeit von wurde nicht vorausgesetzt. In diesem Abschnitt sollen nun 2 Sätze gezeigt werden, die an entscheidenden Punkten die Eigenschaft der Vollständigkeit benutzen.

Der erste Satz ist nach den Mathematikern Bernard Bolzano und Karl Weierstraß benannt. Er beweist die Existenz von Häufungspunkten in beschränkten unendlichen Teilmengen von . Bildlich gesprochen bedeutet dies, dass sich diese unendlich vielen Punkte in einem beschränkten Intervall irgendwo häufen müssen.

Satz von Bolzano-WeierstraßBearbeiten

Jede beschränkte unendliche Menge hat mindestens einen Häufungspunkt.

Dieser Häufungspunkt muss kein Element aus dieser beschränkten unendlichen Menge sein. Da sich die Punkte irgendwo häufen, sind sicherlich die Eigenschaften beschränkte Menge und unendliche Menge wichtige Voraussetzungen. Der Satz sagt etwas über die Existenz mindestens eines Häufungspunktes aus, nichts über die Anzahl oder die "Lage" solcher Häufungspunkte. Anschaulich erscheint der Satz nach diesen Ausführungen fast wie eine Selbstverständlichkeit. Er ist es nicht, da die Vollständigkeit für den Beweis benötigt wird. Dieser Satz sichert, dass an dem Punkt, an dem sich die Elemente dieser beschränkten unendlichen Menge häufen, auch wirklich ein Häufungspunkt aus   liegt. Dort könnte ja auch eine "Lücke" in   sein.

Wie bei jedem Beweis steht am Anfang die Beweisidee. Diese ist wie folgt:

Um die Eigenschaft der Vollständigkeit von    (jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum in   zu zeigen, wird zu einer beschränkten unendlichen Menge   eine Hilfsmenge  konstruiert, deren Supremum sich als der gesuchte Häufungspunkt erweisen soll. Der Beweis besteht also aus 2 Hauptteilen:

  1. Nachweis der Existenz eines Supremums für eine Hilfsmenge   und
  2. Nachweis, dass dieses Supremum ein Häufungspunkt der beschränkten unendlichen Menge   ist.
Beweis (Satz von Bolzano-Weierstraß)
Sei   eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge   sei eine Hilfsmenge   wie folgt definiert:

  ist endlich.
1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge  

Wenn gezeigt werden kann, dass   eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von  .
  Da die Menge   beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei   eine solche untere Schranke. Dann ist

       .

Es ist   per Definition ein Element von  , jedoch enthält  , wie gezeigt, die leere Menge { }. Also ist   nicht leer.



      
nach oben
beschränkt
Da   beschränkt ist, existiert eine obere Schranke   von  .

Sei  . Dann ist     eine unendliche Menge, da   eine unendliche Menge ist.

Es folgt  . Dann ist   aber auch eine obere Schranke von  .

Die Vollständigkeit von   liefert die Existenz eines Supremums  .
2. Das Supremum   := sup   ist ein Häufungspunkt von  
Sei ε > 0. Zu zeigen ist:  ε( )  =  ]  -ε,  +ε [ enthält mindestens einen von   verschiedenen Punkt von  .
  1. Es gibt ein    mit   ∈ ]  ,  +ε [, da sonst  - ε eine obere Schranke von   wäre. Das kann aber nicht sein, da   als kleinste obere Schranke von   definiert wurde. Mit    folgt aus der Definition von  , dass es nur endlich viele    geben kann mit  , denn sonst wäre   nicht endlich.
  2. Andererseits folgt wegen  +ε (  = sup  und ε>0), dass es unendlich viele    geben muss mit   <  
  3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele    geben muss mit    <  + ε (denn zieht man von den unendlich vielen   aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele  übrig).
Also gibt es unendlich viele    mit    ε( ). Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von   verschiedenen Punkt zu finden.

Kompakte TeilmengenBearbeiten

Die abgeschlossenen Teilmengen von   wurden als Komplemente der offenen Teilmengen von   definiert. Unter den abgeschlossenen Teilmengen spielen die beschränkten eine besondere Rolle. Dies ist Inhalt des Satzes von Heine-Borel.

Wie schon häufig ist es auch hier wieder erforderlich zuerst einige Begriffe zu definieren:

Definition (offene Überdeckung, kompakt):

  1. Es sei   und   eine Menge offener Teilmengen von  .   heißt eine offene Überdeckung von   , wenn
               .
  2. Eine Menge   heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung   von   durch eine endlich Überdeckung ersetzt werden kann, wenn es also ein
                und   gibt mit    .


Wesentlich an der Definition der kompakten Menge ist, dass jede offene Überdeckung durch eine endliche Überdeckung ersetzt werden kann. Hierzu ein Beispiel:

Sei   folgendes Mengensystem:  . Offenbar ist   eine offene Überdeckung von  . Diese lässt sich aber nicht auf eine endliche Überdeckung reduzieren (was einfach zu zeigen ist, da   archimedisch ist). Im Gegensatz dazu läßt sich natürlich leicht eine endliche Überdeckung für das Mengensystem   angeben. Dieses Beispiel zeigt:

Satz
  ist nicht kompakt.

Die kompakten Teilmengen von   lassen sich, ohne die Eigenschaft der Vollständigkeit von   zu verwenden, durch den folgenden Satz charakterisieren.

Satz
Eine kompakte Teilmenge von   ist beschränkt und abgeschlossen.
Beweis
Die Beweisidee ist, spezielle offene Überdeckungen von kompakten Teilmengen zu konstruieren, diese offenen Überdeckungen dann auf endliche zu reduzieren und aus der reduzierten offenen Überdeckung die gewünschte Eigenschaft (hier die Beschränktheit und Abgeschlossenheit) zu zeigen.
Sei also   eine kompakte Teilmenge von  . Zu zeigen ist, dass   beschränkt und abgeschlossen ist.
  ist beschränkt Das Mengensystem   ist offensichtlich eine offene Überdeckung von  . Da   kompakt ist lässt sich diese offene Überdeckung auf eine endliche reduzieren.

Es gibt also   und  , so dass gilt:  .
Jedes   muss also in mindestens einer der Umgebungen   liegen.

Sei   und   eine 1-Umgebung, die   enthält. Für dieses i gilt:
 .

Für ein beliebiges    folgt daraus:  . Und das zeigt die Beschränktheit von  .


 ist abgeschlossen Sei  . Zu zeigen ist, dass   kein Häufungspunkt von   ist.
Hierzu konstruiert man eine ε-Umgebung von  , die keinen Punkt aus   enthält.

Da   kein Element von   ist gilt    für alle   . Also ist das Mengensystem   eine offene Überdeckung von   . Da  kompakt ist lässt sich diese offene Überdeckung auf eine endliche reduzieren.
Es gibt also   und  , so dass gilt:  .
Sei  . Da die Überdeckung endlich ist gilt ε > 0.

Für ein beliebiges    sei   eine geeignete Umgebung, die   enthält. Für dieses i gilt dann:
 .
Also ist    . Dann kann aber   kein Häufungspunkt von  sein. Also ist   abgeschlossen.

Der Satz von Heine-Borel zeigt, dass auch die umgekehrte Richtung für den vorstehenden Satz gilt: Eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von   ist kompakt. Der Beweis in dieser Richtung benutzt die Eigenschaft der Vollständigkeit und ist aufwendig. Um ihn etwas zu vereinfachen wird der folgende Hilfssatz benutzt:

Hilfssatz
Sei   eine nichtleere, nach oben (unten) beschränkte Teilmenge von  . Dann ist das Supremum (Infimum) von   ein Berührungspunkt von  . Ist   zudem abgeschlossen, ist das Supremum (Infimum) ein Element von  , d. h. max   (min  ) existiert.
Beweis
Für das Supremum ergibt sich die Aussage wie folgt:
Da   vollständig und   nichtleer und nach oben beschränkt ist, existiert   := sup  .
  ist Berühungspunkt Um zu zeigen, dass   ein Berührungspunkt ist, muss nachgewiesen werden, dass in jeder Umgebung von   ein Punkt aus   liegt.
Dies lässt sich durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Annahme: Es gibt ein ε> 0, so dass  ε( ) ∩   = ∅
Wegen ε> 0 folgt  -ε<  . Da kein Punkt von   in  ε( ) liegt, kann   keine kleinste obere Schranke von   sein und das ist ein Widerspruch. Also muss die Annahme falsch sein und   ist ein Berührungspunkt von  .
   Sei   zudem abgeschlossen. Dann enthält   alle seine Häufungspunkte. Man kann 2 Fälle unterscheiden:
1. Fall: Jede Umgebung von   enthält einen von   verschiedenen Punkt aus  . Dann ist   ein Häufungspunkt und in   enthalten.
2. Fall: Es gibt eine Umgebung von  , die keinen Punkt aus   enthält. (  ist also ein isolierter Punkt von  ). Da   ein Berührungspunkt von   ist und kein weiteres Element von   in der Umgebung vorhanden ist, muss   ein Element aus   sein.
Die Aussage über das Infimum läßt sich gleichermaßen zeigen.
Satz von Heine-Borel
Jede Teilmenge von   ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Die abgeschlossenen Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten. Da dies auf die abgeschlossenen und beschränkten Intervalle [  ,  ] zutrifft, erweisen sich diese als erste Beispiele für kompakte Mengen.

Beweis (Satz von Heine-Borel)
Dass eine kompakte Teilmenge von   beschränkt und abgeschlossen ist wurde weiter oben gezeigt. Sei also   eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von  . Zu zeigen ist, dass   kompakt ist.
folgt ...

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