Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Topologie


Im vorigen Absatz wurde gezeigt, wie über Betragsfunktion, Abstand, Metrik und offene Mengen eine Topologie auf erzeugt werden kann. Das Verfahren lässt sich auf andere metrische Räume anwenden. Eine Topologie wird daher allgemein über offene Teilmengensysteme nichtleerer Mengen definiert.


TopologieBearbeiten

Definition (topologischer Raum)
Sei   eine nichtleere Menge . Eine Topologie   auf   ist eine Teilmenge der Potenzmenge  , d. h.  , für die gilt:
  1.  
  2.  
  3. Seien   für eine beliebige Indexmenge      
Das Paar   heißt topologischer Raum. Die Mengen   heißen offen (in  ). Die Komplemente   der offenen Mengen   heißen abgeschlossen.



Satz (Eigenschaften abgeschlossener Mengen)
  1.   und   sind abgeschlossen.
  2. Vereinigungen endlich vieler angeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
  3. Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.


Beweis
Der Beweis ergibt sich aus den Regeln der Komplement-Bildung und den Eigenschaften offener Mengen.


Eine weitere Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Mengen ist über ihre Beziehung zu bestimmten Punkten möglich. Diese Punkte sind folgendermaßen definiert:


Definition (Berührungspunkt, Häufungspunkt)
Sei  
  1. Ein Punkt   heißt ein Berührungspunkt der Menge  , wenn in jeder Umgebung von   mindestens ein Punkt von   liegt. Die Menge aller Berührungspunkte von   wird mit   bezeichnet.

  2. Ein Punkt   heißt ein Häufungspunkt der Menge  , wenn in jeder Umgebung von   mindestens ein Punkt von   liegt, der von   verschieden ist. Die Menge aller Häufungspunkte von   wird mit   bezeichnet.


Bei anderen Definitionen des Häufungspunktes wird häufig auch verlangt, dass in jeder Umgebung von   unendlich viele Punkte von   liegen müssen. Dies lässt sich aus der obigen Definition aber leicht folgern.


Beispiele
  1.   ist Häufungspunkt.
    Ist U eine Umgebung von  , dann gibt es ein   so, dass:  . Da   archimedisch ist, gibt es ein   mit  . Dann ist   und  . Es liegt also in jeder Umgebung von   ein Punkt von  , der von   verschieden ist, d. h.   Ist ein Häufungspunkt von  .

  2. Die Menge   besitzt als Teilmenge von   keinen Häufungspunkt!


Mit Häufungspunkten lassen sich nun die abgeschlossenen Mengen wie folgt charakterisieren:


Satz (Charakterisierung abgeschlossener Mengen)
Eine Menge   ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkt enthält, wenn also   gilt.


Beweis
  Sei also   eine abgeschlossene Menge. Dann ist   eine offene Menge. Für ein   ist   Umgebung von  . Diese Umgebung enthält keinen Punkt von  . Also kann   kein Berührungspunkt und erst recht kein Häufungspunkt von   sein. Dann muss   aber alle seine Häufungspunkte selbst enthalten.

  Es gelte also  . Sei  .   kann kein Häufungspunkt von   sein, denn   enthält alle seine Häufungspunkte. Es muss also eine Umgebung   von   geben, die höchstens   als Punkt von   enthält. Es wurde aber vorausgesetzt  ., d. h.   und   sind punktfremd. Also ist   und   offen. Dann ist aber   geschlossen.


Dass die Menge der natürlichen Zahlen in   keine Häufungspunkte hat kann man sich leicht "anschaulich" klar machen. Wie sieht aber die Menge   der Häufungspunkte von   aus? Kann es sein, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von   ist, also   gilt? Der folgende Satz schafft Klarheit:


Satz (offenes Intervall enthält rationale Zahl)


Ein nichtleeres, offenes Intervall enthält eine rationale Zahl.


Beweis
Sei   ein beliebiges, nichtleeres und offenes Intervall.
Falls   addiert man zu jedem Element des Intervalls eine natürliche Zahl  , so dass man von   ausgehen kann und die rationalen Zahlen im Intervall erhalten bleiben. Es gilt also ist   und  .
Da   archimedisch ist, gibt es   mit   und  . Dabei sei für   die kleinste natürliche Zahl gewählt, die diese Bedingung erfüllt und nach dem Wohlordnungssatz auch existiert.
  1. Mit dieser Bedingung kann man wie folgt schließen:  .

  2. Mit   folgt weiter  .

Also ist   eine rationale Zahl im Intervall  .


Jedes Intervall lässt sich natürlich in mehrere Intervalle unterteilen und diese lassen sich wieder unterteilen usw. In einem Intervall liegen damit mindestens zwei verschiedene rationale Zahlen. Also ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von  .


Eine Menge   heißt dicht in  , wenn  . Wegen   (Beweisen Sie dies!) lassen sich die gerade gewonnenen Erkenntnisse folgendermaßen festhalten:


Satz (  ist dicht in  )
Jeder Punkt von   ist ein Häufungspunkt von  .

Wegen   ist   dicht in  .


Diese Erkenntnis kommt hier vielleicht in einem etwas "ungewohnten Gewandt" daher. Sie besagt, dass es zu jeder reellen Zahl rationale Zahlen gibt, die dieser reellen Zahl beliebig nahe kommen. Es gibt also zu jeder reellen Zahl   und jedem   rationale Zahlen   mit  . Eine erste wichtige Erkenntnis der Beziehung zwischen   und  .


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