Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Wichtige Ungleichungen


In diesem Kapitel werden 3 bekannte Ungleichungen eingeführt, die auch immer wieder verwendet werden. Mit einer dieser Ungleichungen lassen sich ganzzahlige Potenzen abschätzen. Bei dieser Ungleichung wird kurz auf die Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten eingegangen.


Mittel-UngleichungBearbeiten

Für nichtnegative Zahlen  ,   und   bezeichnet man   als arithmetisches Mittel und   als geometrisches Mittel dieser Zahlen.
Es gilt:      .
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn  .


Wegen der Rechenregeln für Ungleichungen ist diese Behauptung äquivalent zu
     .
Für den Beweis ist daher die Existenz von Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen keine Voraussetzung.


Beweis
Zu zeigen ist also  .
Subtrahiert man auf beiden Seiten  , so ergibt sich:
 .
Diese Ungleichung ist offensichtlich richtig, das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn  .

Ganzzahlige PotenzenBearbeiten

Mit der Bernoullischen Ungleichung lassen sich Potenzen nach unten abschätzen. An dieser Stelle sollen kurz die ganzzahligen Potenzen und paar Rechenregeln eingeführt werden. Die Eindeutigkeit der  -ten Potenz für positive   wurde schon im Abschnitt über natürliche Zahlen gezeigt.


Definition und Satz


Sei   und  . Definiert man
  1.        ,    ,
  2.       für  :       und
  3.        
so nennt man   den Exponenten und   die Basis der Potenz  .

Seien   und   und bei negativem Exponenten die zugehörige Basis von Null verschieden. Dann gelten folgende Rechenregeln:
  1.        
  2.        
  3.         und
  4.        .


Beweis
Die Beweise können einfach mit vollständiger Induktion über   oder   gezeigt werden. Eine Fallunterscheidung in   und   für   oder   ist in einigen Fällen hilfreich.

Bernoullische UngleichungBearbeiten

Für alle  ,  , und alle   gilt:
       .
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn   oder wenn   und   .


Beweis
Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion über  :
  : ist klar, hier gilt auch für alle   das Gleichheitszeichen.
  :  .
Durch ausmultiplizieren ergibt sich:  .
  : Für   ist auch   also   und das zeigt die Gültigkeit der Ungleichung für  .
  und   : Dann ist  , also  .
Das Gleichheitszeichen kann also höchstens dann auftreten, wenn  . Wenn aber   gilt, rechnet man leicht nach, dass das Gleichheitszeichen für alle   gilt.


Satz
Sei   mit  . Dann gilt für alle  
       


Beweis
Setzt man   in der Bernoullischen Ungleichung, so folgt:    .


Schwarzsche UngleichungBearbeiten

Satz
Sei   und seien  ,   reelle Zahlen. Dann gilt:
       
 
Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen   gibt, so dass für alle  :
       und  


Zunächst wird das Summenzeichen (mit zwei Rechenregeln) definiert und eine äquivalente Schreibweise der Schwarzschen Ungleichung, ohne Wurzeln, angegeben. Die Rechenregeln lassen sich mit vollständiger Induktion zeigen (und bleiben Ihnen zur Übung überlassen).


Definition und Satz;


Seien   und  ,  ,   reelle Zahlen.
  1. Eine Summe sei mit dem Summenzeichen wie folgt definiert:
      sowie

     .         nennt man Summationsindex.

    Dann gilt:
  2.     und

  3.  .


Die Schwarzsche Ungleichung lässt sich jetzt wie folgt darstellen und wird auch in dieser Form bewiesen:


       .


Beweis
1. Hilfssatz
          für   

Beweis des Hilfssatzes
Mit den Rechenregeln für Ungleichungen lässt sich leicht zeigen, dass       für   . Daraus folgt (mit vollständiger Induktion):
 .

Wegen       "  für    " (was sich wiederum leicht mit den Rechenregel für Ungleichungen zeigen lässt) folgt unmittelbar der Hilfssatz.

2. Mit etwas Rechenaufwand wird nun die Schwarzsche Ungleichung direkt bewiesen (zunächst noch nicht für das Gleichheitszeichen):
Seien:  .       Zu zeigen ist (1):  

Es gilt:
 
   
Wählt man nun   so erhält man

        oder mit Ungleichung (1)  

Für     muss auch       für       gelten. Es folgt       und das zeigt die Behauptung.
Mit     folgt      , damit ergibt sich aus obiger Ungleichung (1)       und das zeigt die Behauptung.

3. Nun für das Gleichheitszeichen:

3.1. Es gelte also das Gleichheitszeichen:
Für     muss auch       für       gelten und die reellen Zahlen       erfüllen die die Behauptung (analog für    ).

Sei  . Dann gilt das Gleichheitszeichen auch in allen oben stehenden Ungleichungen. Mit dem Hilfssatz folgt       für   . Mit den oben definierten     ist die Behauptung also erfüllt.

3.2. Es gelte     für    :
Sei     (falls   verfährt man mit   entsprechend).
Es folgt     , also   und das zeigt die Behauptung.


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