Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen: Metrik

Analysis

Reelle Zahlen

Eigenschaften reeller Zahlen – Ungleichungen (Eigenschaften) – Wichtige Ungleichungen – Metrik –     Topologie – Sätze v. Bolzano-Weierstraß u. Heine-Borel

Folgen und Reihen

In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der reellen Zahlen beschrieben, die sich unter dem Begriff Topologie zusammenfassen lassen. Topologie ist die Lehre von "Lage und Anordnung der Dinge im Raum". Nach Einführung des absoluten Betrages wird der Abstand zweier Punkte (reeller Zahlen) definiert. Dies führt zum Begriff des metrischen Raumes. Die Untersuchung bestimmter Teilmengen von $\mathbb {R}$ zeigt dann, dass durch die Metrik (den Abstand) die reellen Zahlen auch eine topologische Struktur tragen.

Absoluter Betrag

Bisher haben wir uns hauptsächlich mit der Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$ beschäftigt. Mit Hilfe dieser Ordnungsstruktur lässt sich eine metrische Struktur auf $\mathbb {R}$ einführen wenn man den Abstand zwischen 2 Elementen von $\mathbb {R}$ definiert. Über die Folgen ergibt sich dadurch später auch eine Verbindung zur Vollständigkeit.

Definition - Absoluter Betrag

Für eine reelle Zahl $x$ heißt:

$|x|={\begin{cases}\ \;\,x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\geq 0\\-x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x<0\end{cases}}$

der absolute Betrag von $x$.

Rechenregeln und Eigenschaften

Für $\ n\in \mathbb {N} ,\ a_{n},\ x,\ y\in \mathbb {R}$ gilt:

1. $|x|\geq 0$
2. $|x|=0\Leftrightarrow x=0$
3. $|xy|=|x|\cdot |y|$
4. $\left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}}\$ für $y\neq 0$
5. $|x|\geq x,\ \ |x|\geq -x,\ \ |x|=|-x|$
   
   
6. $||x|-|y||\ \leq \ |x\pm y|\ \leq \ |x|\ +\ |y|$   (Dreiecksungleichung)
   
   
7. $|x|\leq y\ \Leftrightarrow \ -y\leq x\leq y$
   
   
8. $\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|$

Der Name Dreiecksungleichung kommt aus der Geometrie und besagt anschaulich, dass eine Gerade Strecke die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist. Man bezeichnet eine reelle Zahl in diesem Zusammenhang auch oft als Punkt.

Beweis

Die Behauptungen lassen sich durch Fallunterscheidung (< 0, > 0 und = 0) und vollständige Induktion leicht zeigen.

Die Dreiecksungleichung lässt sich wie folgt zeigen:

Aus         $x\leq |x|$   und   $y\leq |y|$         bzw.         $-x\leq |x|$   und   $-y\leq |y|$

folgt         $x+y\leq |x|+|y|$               bzw.         $-(x+y)\leq |x|+|y|$.

Wählt man die Gleichung, bei der die linke Seite nicht negativ ist (also $|x+y|$ steht), so folgt die eigentliche Dreiecksungleichung.

Der andere Teil folgt mit der eben bewiesenen Ungleichung:

        $|x|=|x+y-y|\leq |x+y|+|y|$       ⇒     $|x|-|y|\leq |x+y|$

        $|y|=|y+x-x|\leq |x+y|+|x|$       ⇒     $|y|-|x|\leq |x+y|$.

Wählt man die Gleichung, bei der die linke Seite nicht negativ ist so folgt wieder die Behauptung.

Metrischer Raum

Bei den folgenden Betrachtungen der Topologie von $\mathbb {R}$ sollen Eigenschaften bestimmter Untermengen von $\mathbb {R}$ gezeigt werden. Hierzu wird zunächst der Begriff des Abstandes zweier Punkte mit Hilfe des absoluten Betrages definiert:

Definition (Abstand)

Für $x,\ y\in \mathbb {R}$ heißt $d(x,y):=|x-y|\;\,$ der Abstand der Punkte $x$ und $y$.

Diese Definition entspricht sehr anschaulich der Länge einer Strecke. Es lassen sich auch Eigenschaften zeigen, die von Strecken zu erwarten sind:

Satz

Für alle $x,\ y,\ z\in \mathbb {R}$ gilt:

1. $d(x,y)=0\ \Leftrightarrow \ x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x)\;\,$
3. $d(x,y)\ \leq \ d(x,z)+d(z,y)$

Übersetzt in Umgangssprache bedeuten die drei Eigenschaften: Zwei Punkte haben genau dann den Abstand Null, wenn sie aufeinander liegen. Es ist unerheblich für den Abstand, ob ich den Abstand von $x$ nach $y$ messe oder umgekehrt. Fahre ich von $x$ nach $y$ und besuche dazwischen noch einen weiteren Punkt $z$, so kann der Gesamtabstand dadurch nicht kleiner werden. Letztere Eigenschaft ist als Dreiecksungleichung bekannt.

Dreiecksungleichung

Beweis

Die Beweise ergeben sich unmittelbar aus den Eigenschaften und Rechenregeln des Absoluten Betrages.

Mit geeigneten Abstandsdefinitionen lassen sich die drei Eigenschaften auch für andere Mengen, beispielsweise die komplexen Zahlen, nachweisen. Mengen, die diese Struktur aufweisen, sind von allgemeinem Interesse, man hat ihnen den Namen metrischer Raum gegeben.

Definition (Metrischer Raum)

Sei $X$ eine Menge, und $d:\,X\times X\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ eine Funktion, dann heißt das Tupel $(X,d)$ genau dann Metrischer Raum falls für alle $x,y,z,\in X$ gilt:

1. $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x)$
3. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Intervalle

Die folgenden Untersuchungen der reellen Zahlen betreffen bestimmte Teilmengen von ihnen, die offenen und abgeschlossenen Mengen. Um diese Begriffe einführen zu können werden zunächst offene und abgeschlossene Intervalle von $\mathbb {R}$ definiert.

Für die Definition von unendlichen Intervallen muss zuvor noch geklärt werden, welche Bedeutung das Zeichen $\infty$ hat, da unendlich keine reelle Zahl ist. Charakteristisch für die reellen Zahlen war ja, dass genau jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen ein Supremum in $\mathbb {R}$ besitzt und gleiches gilt sinngemäß auch für das Infimum. Die Existenz von Supremum und Infimum nicht beschränkter Mengen wird deshalb durch folgende Definition "erzwungen":

Definitionen $(\infty ,\ -\infty )$

Für eine nichtleere Teilmenge $M$ von $\mathbb {R}$ wird definiert:

$sup\ M\ :=\ \infty$	$\Leftrightarrow$	$M$ ist nicht nach oben beschränkt
$inf\ M\ :=\ -\infty$	$\Leftrightarrow$	$M$ ist nicht nach unten beschränkt

Mit diesen Definitionen lassen sich jetzt eine ganze Reihe unterschiedlicher Intervalle festlegen:

Definitionen (Intervalle)

Für $a,\ b\in \mathbb {R}$ heißen:

$]a,b[\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a<x<b\ \rbrace }$	offenes Intervall
$]a,b]\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a<x\leq b\ \rbrace }$	links halboffenes Intervall
$[a,b[\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a\leq x<b\ \rbrace }$	rechts halboffenes Intervall
$[a,b]\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a\leq x\leq b\ \rbrace }$	abgeschlossenes Intervall
$]-\infty ,a[\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ x<a\ \rbrace }$	unendliches Intervall
$]-\infty ,a]\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a<x\ \rbrace }$	unendliches Intervall
$]a,\infty [\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a<x\ \rbrace }$	unendliches Intervall
$[a,\infty [\$	$\ :=\!\,$	${\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ a\leq x\ \rbrace }$	unendliches Intervall
$]-\infty ,\infty [\$	$\ :=\!\,$	${\mathbb {R} }$	unendliches Intervall

Die Punkte $a$ und $b$ nennt man Randpunkte des Intervalls.

Intervalle sind also zusammenhängende Teilstrecken der Zahlengeraden und können auch leer (eine leere Menge) sein. Wenn die Randpunkte dazugehören, heißen sie geschlossen, sonst offen.

Umgebung

Mit Hilfe der offenen Intervalle wird jetzt der grundlegende Begriff der Umgebung einer reellen Zahl, der in den folgenden Abschnitten dann exzessiv benutzt wird, eingeführt:

Definition (Umgebung) Für   $a,\ \varepsilon \in \mathbb {R} ,\ \varepsilon >0$   heißt $U_{\varepsilon }(a):=\lbrace x|x\in \mathbb {R} ,\ d(x,a)<\varepsilon \rbrace \ =\ ]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$       ε-Umgebung von $a$. Eine Menge $U\subset \mathbb {R}$ heißt Umgebung von $a\in \mathbb {R}$ wenn es ein   $\varepsilon >0$   mit $U_{\varepsilon }(a)\subset U$ gibt.
	Umgebung in einer Zahlenebene

Auf Intervalle und Umgebungen lassen sich natürlich Mengenoperationen wie Vereinigung und Durchschnitt anwenden. Das Ergebnis soll dann möglichst wieder eine Umgebung sein. Dies ist bei Intervallen im Allgemeinen nicht der Fall und bei der Durchschnittsbildung von Umgebungen nur mit Einschränkungen für die Anzahl der beteiligten Umgebungen.

Satz (Vereinigung , Durchschnitt von Umgebungen)

Sei $U$ eine Umgebung von $x_{0}\in \mathbb {R}$. Dann gilt:

1. Jede Obermenge von $U$ ist eine Umgebung des Punktes $x_{0}$, d. h. die Vereinigung von (beliebig vielen) Umgebungen des Punktes $x_{0}$ ist eine Umgebung von $x_{0}$.
2. Der Durchschnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes $x_{0}$ ist wieder eine Umgebung von $x_{0}$.

Beweis

1. Der Beweis ist einfach: Sei $M$ eine Obermenge der Umgebung $U$ von $x_{0}$. Also gibt es ein ε > 0 mit $U_{\varepsilon }(x_{0})\subset U$. Da $M$ eine Obermenge von $U$ ist, folgt: $U_{\varepsilon }(x_{0})\subset U\subset M$. Die Vereinigung von Mengen ist stets eine Obermenge aller zu vereinigenden Mengen. Daraus folgt die zweite Behauptung.
   
   
2. Für $i=1,...,n$ seien $\ U_{i}\!\,\$ die endlich vielen Umgebungen von $x_{0}$ mit $U_{\varepsilon _{i}}(x_{0})\subset U_{i}$. Dann gibt es ein ε mit $\varepsilon :=min\lbrace \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\rbrace$.
   
   Wegen
   $U_{\varepsilon }(x_{0})\subset U_{\varepsilon _{i}}(x_{0})\subset U_{i}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ i=1,...,n\ gilt:\ } U_{\varepsilon }(x_{0})\subset \bigcap _{i=1}^{n}U_{\varepsilon _{i}}(x_{0})=:U$
   ist auch $U$ eine Umgebung von $x_{0}$.
   
   

Wie das folgende Beispiel zeigt kann bei der Durchschnittsbildung beliebig vieler Umgebungen nur noch ein Punkt übrig bleiben, der dann aber keine Umgebung seiner selbst ist, da das ε bei Umgebungen positiv sein muss.

Beispiel

Sei   $U_{n}:=U_{\frac {1}{n}}(0)\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ } n\in \mathbb {N}$.   Dann gilt:   $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }U_{n}=\lbrace 0\rbrace$.

$\mathbb {R} \!\,$   ist archimedisch. Es gibt also zu jedem   $x\in \mathbb {R} \!\,$   ein   $n\in \mathbb {N} \!\,$  , so dass   $n>\left|{\frac {1}{x}}\right|$   bzw.   $|x|>{\frac {1}{n}}$  .

Für $x$ und dieses $n$ folgt:

$x\notin U_{\frac {1}{n}}(0){\text{ , also }}x\notin \bigcap _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$  .

Der Nullpunkt ist aber in allen Umgebungen enthalten, wie man leicht durch vollständige Induktion zeigen kann.

Der folgende Trennungssatz ist an dieser Stelle selbstverständlich. Er besagt, dass es zu zwei verschiedenen Punkten disjunkte, also punktfremde, Umgebungen gibt.

Satz (Trennungssatz)

Seien   $a,\ b\in \mathbb {R}$   mit   $a\neq b$. Dann gibt es Umgebungen   $U(a),\ V(b)\!\,$   mit   $U(a)\cap V(b)=\emptyset$.

Beweis (Trennungssatz)

Wegen $a\neq b$ ist $r:=d(a,b)>0$. Sei $0<\varepsilon <r/2$, $U=U_{\varepsilon }(a)$ und $V=V_{\varepsilon }(b)$.

Annahme: $z\in U\cap V$. Dann gilt wegen der Dreiecksungleichung: $d(a,b)\leq d(a,z)+d(z,b)<2\varepsilon <r$. Das ist aber ein Widerspruch. Also ist die Annahme falsch und damit die Behauptung gezeigt.

Offene Mengen

Wenn eine Teilmenge der reellen Zahlen für jedes ihrer Element eine Umgebung ist, nennt man diese Teilmenge eine offene Menge. Die offenen Intervalle sind solche Mengen, denn für alle Elemente des Intervalls, auch für die fast am Rand liegenden, lassen sich Umgebungen ausschließlich aus Intervallelementen konstruieren.

Definition (offene Menge)

Eine Menge $M\subset \mathbb {R} \!\,$ heißt offen, falls es zu jedem $x\in M$ ein $\varepsilon >0$ gibt, so daß $U_{\varepsilon }(x)\subset M$ ist.

Eine offene Menge ist also Umgebung jedes ihrer Punkte.

Beispiele für offene Mengen:

• Natürlich ist $\emptyset$ offen, da sie keine Punkte enthält und damit "leicht" Umgebung ihrer Punkte sein kann.
  
  
• Auch $\mathbb {R} \!\,$ ist offen, da es zu jedem $x$ ein $\varepsilon >0$ gibt mit $U_{\varepsilon }(x)\subset \mathbb {R}$

Satz (Eigenschaften offener Mengen)

1. $\emptyset$ und $\mathbb {R} \!\,$ sind offen.
   
2. Vereinigungen beliebig vieler offener Mengen sind offen.
   
3. Durchschnitte endlich vieler offener Mengen sind offen.
   
4. Jede ε-Umgebung ist eine offene Menge.

Mit Hilfe von 4. ist es nun einfach zu zeigen, dass ein offenes Intervall auch eine offene Menge ist.

Beweis

1. ist trivial, siehe Beispiele weiter oben.
2. Es sei $I\!\,$ eine Indexmenge, ${\mathcal {M}}={\lbrace M_{i}\ |\ i\in I\rbrace }$ eine Familie von offenen Mengen, $M=\bigcup _{i\in I}M_{i}$ deren Vereinigung und $x\in M$. Dann gibt es ein $i\in I\!\,$ mit $x\in M_{i}$. Da $M_{i}\!\,$ offen ist, folgt die Existenz eines $\varepsilon >0\!\,$, so daß $U_{\varepsilon }(x)\subset M_{i}$. Dann gilt aber auch $U_{\varepsilon }(x)\subset {\mathcal {M}}$.
   
   
3. Sei $n\in \mathbb {N}$ und $M_{1},\ldots ,M_{n}$ eine endliche Anzahl offener Mengen. Sei weiter $M:=M_{1}\cap \ldots \cap M_{n}$ und $x_{0}\in M$. Da die Mengen $M_{1},\ldots ,M_{n}$ Umgebung von $x_{0}$ sind, ist nach dem obigen Satz auch deren Durchschnitt eine Umgebung von $x_{0}$.
   
   
4. Sei $U_{\varepsilon }(x_{0})$ eine ε-Umgebung von $x_{0}$ und $y\in U_{\varepsilon }(x_{0})$. Gesucht ist ein δ für das gilt: $U_{\delta }(y)\subset U_{\varepsilon }(x_{0})$.
   Sei $r:=d(y,x_{0})$. Dann ist $0\leq r<\varepsilon$ also $0<(\varepsilon -r)$.
   Sei $\delta :=(\varepsilon -r)/2$.
   Für $x\in U_{\delta }(y)$ gilt dann $d(x,y)<\delta$. Damit ergibt sich $d(x,x_{0})\leq d(x,y)+d(y,x_{0})<\delta +r<(\varepsilon -r)+r=\varepsilon$. Das zeigt wie gewünscht: $U_{\delta }(y)\subset U_{\varepsilon }(x_{0})$.

Die offenen Mengen von $\mathbb {R} \!\,$ sind eine Teilmenge der Potenzmengen ${\mathfrak {P}}(\mathbb {R} )\!\,$. Teilmengen ${\mathfrak {T}}$ der Potenzmengen ${\mathfrak {P}}(M)$, die die obigen Eigenschaften 1, 2 und 3 für offene Mengen aufweisen, sind von allgemeinem mathematischen Interesse. Man hat ihnen den Namen Topologie gegeben.