Plattenbeulen/ drittes Rechenbeispiel/ Variation der Geometrie

Mehr Tragfähigkeit durch dünnere Längssteifen

Reduziert man die Stegdicke von Längssteifen, so steigt nach dem Eurocode seltsamerweise die Tragfähigkeit. Die Ursache dafür liegt in dieser Formel

$\sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl}}}\cdot {\frac {\sqrt {I_{sl}\cdot t^{3}\cdot b}}{b_{1}\cdot b_{2}}}$(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4)

Diese Formel berechnet die ideale Beulspannung. A_sl und I_sl sind Fläche und Trägheitsmoment der Längssteifen mit den wirksamen Breiten. Die Fläche geht im Nenner ein, das Flächenträgheitsmoment nur mit der Wurzel im Zähler. Steigt die Dicke des Steifensteges, so steigern sich Fläche und Trägheitsmoment in etwa gleich. Da die Trägheit mit der Wurzel schwächer ist, als die Fläche im Nenner, dominiert die Fläche. Eine kleine Zahl im Nenner bedeutet ein großer Wert. Mathematisch lässt sich das so ausdrücken:

As ~ I
$f(A)=a\cdot {\frac {\sqrt {I}}{A_{s}}}$	a,b und c sind Konstanten. Die Proportionalität wird eingesetzt.
$f(A)=b\cdot {\frac {\sqrt {c\cdot A_{s}}}{A_{s}}}$	As wird gekürzt und die Konstanten zusammengefasst
$f(A)={\frac {b\cdot 1}{\sqrt {A_{s}}}}$	$\lim _{A_{s}\to 0}$
f(A)= ∞

Weiterhin wechselwirkt die Steifenfläche in dieser Gleichung

${\overline {\lambda }}_{p}={\sqrt {\frac {\beta _{Ac}\cdot f_{yk}}{\sigma _{c{,}rc}}}}$mit $\beta _{A{,}c}={\frac {A_{c{,}eff{,}loc}}{A_{c}}}$ (Eurocode Gleichung 4.7) Beulen

${\overline {\lambda }}_{c}={\sqrt {\frac {\beta _{A{,}c}\cdot f_{y}}{\sigma _{cr{,}c}}}}$mit $\beta _{A{,}c}={\frac {A_{sl{,}eff}}{A_{sl}}}$ (Eurocode Gleichung 4.11) Knicken

Wichtig dabei ist der Faktor ß. Beim Beulen ist die zusammengeführte Steife maßgebend, während beim Knicken die untere verwendet wird. So unterscheiden sich auch die Flächen im Bruch. Die Fläche der zusammengeführten Steife ist etwa doppelt so groß. Kürzt man die 2, so lässt sich aus beiden Gleichungen eine machen.

$\beta _{A{,}c}={\frac {A_{c{,}eff{,}loc}}{A_{c}}}={\frac {A_{sl{,}eff}}{A_{sl}}}$

A_c ≈ 2∙A_sl und A_c,eff,loc ≈ 2∙A_sl,eff

Setzt man in die Formel ein, so erhält man:

$\beta _{A{,}c}={\frac {A_{sl{,}eff}}{A_{sl}}}$

A_sl,eff ist immer kleiner als A_sl, weil in A_sl,eff wirksame Breiten enthalten sind. Sowohl in A_sl und A_sl,eff steckt die volle Steifenfläche A_s drin. Die zusätzlichen Breiten in der Fläche sind von der Steifenfläche unabhängig. Das bedeutet:

$\beta _{A{,}c}=f(A_{s})={\frac {a+A_{s}}{b+A_{s}}}$mit a < b

$\beta _{A{,}c}=f(A_{s})={\frac {a}{b}}f{\ddot {u}}r\lim _{A_{s}\to 0}$

Diese Hyperbel ist monoton wachsend. Je kleiner die Steifenfläche A_s wird, desto kleiner wird ß_A,c.

Eine reduzierte Steifenfläche wirkt sich also zweimal steigernd auf die ideale Beulspannung aus.

Eine kleinere Steifenfläche erhöht die ideale Beulspannung.

Eine kleinere Steifenfläche und größere ideale Beulspannung reduzieren die Schlankheit.

Eine reduzierte Schlankheit erhöht den Abminderungsfaktor.

Ein großer Abminderungsfaktor bringt mehr Tragfähigkeit.

Eigentlich müsste die Tragfähigkeit sinken, wenn das Beulfeld weniger ausgesteift wird.

Beulfeld mit mikroskopischen Steifen

winzige Steifchen

Untersucht wird ein Beulfeld mit kleinen Längssteifchen. Die Steifchen haben diese Maße:

Steifensteglänge b_sl= 30Å

Steifenflanschlänge h_sl= 24Å

Steifenstegdicke t_sl= 4Å

Steifenflanschdicke t_sl2= 3Å

Nach dem Eurocode werden zuerst wirksame Breiten errechnet und dann eine wirksame Dicke. Logisch ist, dass eine Dicke von 0 herauskommen muss. Stattdessen kommt ein viel größerer Wert raus.

Die Ursache liegt wieder in dieser Formel:

$\sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl}}}\cdot {\frac {\sqrt {I_{sl}\cdot t^{3}\cdot b}}{b_{1}\cdot b_{2}}}$(Eurocode Gleichung A.4)

In A_sl und I_sl stecken nur die wirksamen Breiten. Das bedeutet, dass sich diese Querschnitte aus einem Rechteck zusammensetzen.

A_sl= t∙b_bmit b_b= t_sl + b_o1 + b_u2 Bruttobreiten

I_sl= t³∙b_b/12

$I_{sl}={\frac {A_{sl}\cdot t^{2}}{12}}={\frac {A_{sl^{2}}\cdot t}{12\cdot b_{b}}}$

Setzt man I_sl in die Gleichung A.4 ein so entsteht:

$\sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl}}}\cdot {\frac {\sqrt {A_{sl}^{2}\cdot t^{4}\cdot b}}{{\sqrt {12\cdot b_{b}}}\cdot b_{1}\cdot b_{2}}}$

Man kann die Wurzel ziehen und A_sl kürzen:

$\sigma _{cr{,}sl}=1{,}05\cdot E\cdot {\frac {t^{2}\cdot {\sqrt {b}}}{{\sqrt {12\cdot b_{b}}}\cdot b_{1}\cdot b_{2}}}$

σ_cr,p= σ_cr,sl

Damit ist eine Gleichung entstanden, die unabhängig von den Steifen ist.

Setzt man in die Gleichung ein

$\sigma _{cr{,}sl}=1{,}05\cdot 210\cdot 10^{9}\cdot {\frac {0{,}003^{2}\cdot {\sqrt {0{,}6}}}{{\sqrt {12\cdot (0{,}1466+0{,}1248)}}\cdot 0{,}1895\cdot 0{,}4105}}$

$\sigma _{cr{,}sl}=2{,}205\cdot 10^{11}\cdot {\frac {6{,}97\cdot 10^{-6}}{0{,}1403}}$

σ_cr,sl= 10,95N/mm²

$\sigma _{cr{,}p{,}lumped}={\frac {\sigma _{cr{,}sl{,}lumped}\cdot S}{S-h_{w2}}}$

$\sigma _{cr{,}p{,}lumped}={\frac {10{,}95\cdot 0{,}4}{0{,}4-0{,}1895}}$

σ_cr,p,lumped = 20,67N/mm²

Rechnet man damit weiter:

A_c = 814,3mm²

A_c,eff,loc = 712,3mm²

ß_pA,c = 0,8747

${\overline {\lambda }}_{p}=3{,}87$

ρ = 0,24883

Zusammenfassend bedeutet das, dass Breiten mittragen, obwohl keine richtigen Längssteifen vorhanden sind. Für den Fall in diesem Rechenbeispiel tragen 25% der Breiten mit. Dennoch ist die Tragfähigkeit geringer, als wenn keine Längssteifen vorhanden sind. Dies liegt daran, dass für keine Längssteifen eine andere Formel verwendet wird.

Auswirkung der Längssteifengröße auf die Tragfähigkeit

Es wird der Abminderungsfaktor ρ_c in Abhängigkeit von der Größe der Längssteife untersucht. Dabei sind alle untersuchten Steifen geometrisch ähnlich. Die Steifen haben diese Maße:

Steifensteglänge b_sl= 30mm ∙ x

Steifenflanschlänge h_sl= 24mm ∙ x

Steifenstegdicke t_sl= 4mm ∙ x

Steifenflanschdicke t_sl2= 3mm ∙ x

Die Maße im Rechenbeispiel sind für x=1.

Der Abminderungsfaktor wird in Abhängigkeit von x aufgetragen.

Einfluss der Steifengröße auf dem Abminderungsfaktor

Bei x=3,3 wird im Eurocode knickstabähnliches Verhalten aktiv und in der DIN beginnt es bei x=3,7. Dadurch sinkt die Tragfähigkeit je größer die Steifen werden. Erst bei Steifen mit unsinnigen Maßen beginnt der Abminderungsfaktor wieder zu steigen. Nach beiden Normen gibt es bei übermäßig riesigen Steifen kein reines Knicken. Es ist in beiden Wichtungsfaktoren noch ein Restbeulen vorhanden (bei x=60 verschwindet es in der DIN).

Variation der Belastung

Die Einzellast wird entfernt. Der Träger steht unter Normalkraft oder Streckenlast. Untersucht wird, wie viel Streckenlast er unter einer bestimmten Normalkraft tragen kann. Die Geometrie ändert sich nicht und die Steifen bleiben an Ort und Stelle. Das Stützmoment kann nicht verwendet werden, weil der Eurocode bestimmte Abminderungen erlaubt.

Maximale Momententragfähigkeit in Abhängigkeit von der Normalkraft nach allen Rechenmodellen

	EuroB		DINS		EuroS		DINB
N in kN	q in kN/m	Nachweis	q	Nachweis	q	Nachweis	q	Nachweis
100	37,6	I	18,1	I	32	I	22,2	3
50	38	I S	17,1	I	30,4	I	22,2	3
0	38,2	S I	16,1	I	28,8	I	22,2	3
-100	36,4	S u	13,9	I	25,4	I	22	1 3
-150	34,7	u S	12,7	I	22,5	I	21	1 3
-200	32,5	u S	11,6	I	19,8	I	19,9	1
-250	30,3	u S 1	4,8	I 1	16,6	I	18,6	1
-300	27,6	1 u S	2,3	I 1	13,3	I 1	17,1	1
-350	24,3	1 u S			2,9	I 1	15,4	1
-400	20,6	1 S					13,7	1
-450	16,6	1					11,8	1
-500	12,7	1					9,7	1
-550	8,9	1					7,4	1
-600	4,9	1 #wert					4,9	1
-650	0	1 #wert					0	1

Die Abkürzungen haben folgende Bedeutungen

EuroB = Eurocode 1993-1-5 Kapitel 4-7 Modell der wirksamen Breiten

DINS= DIN 18800-3 Modell der wirksamen Spannungen

EuroS= Eurocode 1993-1-5 Kapitel 10 Modell der wirksamen Spannungen

DINB= DIN 18800-2 Modell der wirksamen Breiten

In der Spalte „Nachweis“ sind die maßgebenden Nachweise angegeben. Ein Nachweis ist maßgebend, wenn er größer als 0,95 ist. Die Abkürzungen haben dabei folgende Bedeutung

1: Nachweis η₁ ist maßgebend.

3: Nachweis η₃ ist maßgebend.

I: Der Interaktionsnachweis ist maßgebend.

S: Der semiplastische Querschnittsnachweis ist maßgebend.

u: Der untere Querschnittsnachweis ist maßgebend.

#wert: Einige Nachweise enthalten unsinnige Werte

Im Modell der wirksamen Spannungen kann nur der Interaktionsnachweis maßgebend werden. In der DIN nach dem Modell der wirksamen Spannungen sind nur die Nachweise η₁ und η₃ maßgebend. Der Nachweis der oberen Randspannung wird nicht maßgebend, weil vorher die Schubtragfähigkeit erreicht wird. Im Eurocode können alle Nachweise maßgebend werden.

Im Diagramm ist aufgetragen, wie groß die Streckenlast bei einer bestimmten Normalkraft sein darf, bei der noch alle Nachweise erfüllt sind.
Nach dem Eurocode können große Streckenlasten aufgenommen werden, während beim Modell der wirksamen Breiten große Normalkräfte aufgenommen werden können.

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Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen

Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie