Plattenbeulen/ Begriffe und Zahlen/ Zahlensystem

Die Zahlen, die in dem Lehrbuch verwendet werden haben neben dem Wert eine zusätzliche Bedeutung. Die zusätzliche Information hängt davon ab, wie die Zahlen dargestellt werden. Das verwendete Zahlensystem ist so, wie wenn man eine Excelzelle auf Standard formatiert. Dieses Zahlensystem wird hier Standardzahlensystem genannt.
Die Zahlen werden in 3 Gruppen eingeteilt, für die bestimmte Regeln gelten, bzw. erkennbar sein müssen. Es gibt ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen. Die rationalen Zahlen unterteilen sich in gebrochene Zahlen und (endliche) Dezimalbrüche.

Das hier verwendete Zahlensystem ist für diese Diplomarbeit gut geeignet. Seine Stärken liegen auf Nachvollziehbarkeit und Verständlichkeit. Ein weiterer Vorteil des Standardzahlensystems ist, dass es kaum Rundungsfehler produziert. Am effektivsten ist dieses Zahlensystem, wenn wenig reelle Zahlen vorkommen.
Die Verständlichkeit beruht darauf, dass die Komplexizität einer Zahl mit jeder Rechenoperation wahrscheinlich zunimmt. Somit durchwandert eine Zahl diese Reihenfolge:
ganze Zahl (Eingabewerte) => gebrochene Zahl (Zwischenwerte) => reelle Zahl(Ergebnis)
Der umgekehrte Weg ist selten und benötigt besondere Zufälle. Diese Zufälle sind bei der Addition, dass das Ergebnis anstelle einiger großer Primfaktoren viele kleine bekommt, und bei der Division heben sich einige Primfaktoren auf. Bei Reellen Zahlen ist der Vorgang irreversibel und alle weiteren Ergebnisse sind reell. Durch Zufall können allerdings Zahlen entstehen, die leicht gerundet einem einfacheren Zahlentypen ähneln. Für neue Exceltabellen lassen sich leich testen, weil jeder Zahlentyp vorkommt und die Menge der Berechnungen in einem Wert ersichtlich ist.

Die einzig wahre und universell richtige Darstellung von Zahlen gibt es nicht. Es gibt alternative Zahlensysteme mit anderen Zielen als der Nachvollziehbarkeit des Rechenweges. Im Bauingenieurwesen wird häufig ein Zahlensystem für Messwerte verwendet. Dabei wird die Zahl auf eine bestimmt Anzahl an Nachkommastellen gerundet. Diese zeigen dem Leser mit jeder Zahl, welches das ungenaueste Messergebnis ist. Für Dokumente ohne Messwerte (wie z.B. Hausaufgaben, Belegarbeiten) sind solche Zahlensysteme völlig ungeeignet, weil Rechenwege nur mit größeren Problemen zurück verfolgt werden können. Wenn man die Messgenauigkeit nicht kennt, dann sollte man kein Zahlensystem für Messwerte verwenden.

Rechnen mit ganzen Zahlen

Ganze Zahlen unterstützen keine Nachkommastellen und besitzen kein Komma. Ganze Zahlen sind z.B. 12; 600; 0; 1; 2387465; -1; -45. Hat die Zahl zusätzlich kein negatives Vorzeichen, so ist dies auch eine natürliche Zahl.
Zählbare Größen haben von Natur aus eine natürliche Zahl.
Ganze Zahlen besitzen folgende Eigenschaften:

Primfaktoren
gerade oder ungerade
Vorzeichen
Länge
letzte Ziffer

Es gelten folgende Regeln für ganze Zahlen:Es müssen folgende Regeln für ganze Zahlen erkennbar sein:

Jede (ganze) Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen. Z.B 63 = 3•3•7.
Zur Verkürzung des Textes wird mit dem Wort Zahl immer ein solcher Zahlentyp bezeichnet, von dem in der Überschrift die Rede ist.
Das Produkt zweier Zahlen beinhaltet alle Primfaktoren der Faktoren.
Z.B. 24•36 = 864; (2•2•2•3)•(2•2•3•3)= 2•2•2•3•2•2•3•3.
Wird eine Zahl durch eine teilerfremde Zahl dividiert, so ändert sich der Zahlentyp in eine gebrochene Zahl.
Die Addition ändert die Primfaktoren.
Ist die letzte Ziffer einer mindestens zweistelligen Zahl eine 2;4;5;6;8 oder 0, so ist dies keine Primzahl.
Die Summe zweier gerader Zahlen ergibt eine gerade Zahl.
Die Summe zweier ungerader Zahlen ergibt eine gerade Zahl.
Die Summe eine geraden Zahl und einer ungeraden Zahl ergibt eine ungerade Zahl.
Wird eine ungerade Zahl halbiert, so ändert sich der Zahlentyp in einen Dezimalbruch mit einer Nachkommastelle, die 5 ist. Z.B 15/2= 7,5.
Wird eine nicht durch 5 teilbare Zahl durch 5 geteilt, so ändert sich der Zahlentyp in einen Dezimalbruch mit einer Nachkommastelle, die 2; 4; 6 oder 8 ist.
Die Nullen vor jeder Zahl werden nie angezeigt. Bei Zahlen zwischen -1 und 1 wird genau eine 0 angezeigt. Nicht erlaubt sind: 0025; 0000345; 000; 01; aber 0.
Eine Zahl durch sich selbst ergibt 1.
Wenn in einer natürlichen Zahl jeder Primfaktor doppelt vorhanden ist und die Wurzel gezogen wird, dann entsteht wieder eine natürliche Zahl, ansonsten entsteht eine reelle Zahl (außer 0 und 1).

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rationale Zahlen besitzen ein Komma und es sind alle Ziffern der Zahl bekannt. Diese werden in Dezimalbrüche und gebrochene Zahlen unterteilt.
Dezimalbrüche haben folgende Eigenschaften:

Primfaktoren
gerade oder ungerade
Vorzeichen
Länge, Nachkommastellen, signifikante Stellen
letzte Ziffer

Es gelten folgende Regeln für Dezimalbrüche:

Dezimalbrüche ohne Nachkommastellen sind ganze Zahlen. Z.B. 2,5• 3,2 ergibt wieder eine ganze Zahl. Rationale Zahlen haben immer Nachkommastellen.
Bei einer Zahl (Dezimalbruch) wird nie eine 0 als letzte Ziffer angezeigt. Nicht erlaubt sind: 1,00; 0,50; 0,00; 153,000; 2,0.
Aus dieser Regel resultiert, dass eine Zahl durch sich selbst 1 ergibt und nicht 1,00.
Es gelten sinngemäß die Regeln 1;2;4;5;11;12 für ganze Zahlen.
Die Regeln 6 bis 8 für ganze Zahlen gelten nur, wenn die Anzahl der Nachkommastellen der Summanden gleich ist und die Summe der letzten Ziffern nicht 10 oder 0 ist. Z.B. 2,4+3,4= 5,8 aber: 5,62+(-1,52)= 4,1.
Wird eine ungerade Zahl halbiert, so erhöht sich die Anzahl der Nachkommastellen um 1 und die letzte Ziffer ist 5. Z.B. 0,15/2= 0,075. Eine 5 wird nie weggerundet.
Wird eine Zahl, deren letzte Ziffer 5 ist, verdoppelt, so sinkt die Anzahl der Nachkommastellen um 1. Das gleiche gilt bei Multiplikation mit einer geraden natürlichen Zahl.
Wird eine Zahl deren letzte Ziffer nicht 5 ist durch 5 geteilt, so erhöht sich die Anzahl der Nachkommastellen um 1 und die letzte Ziffer ist 2;4;6 oder 8.
Wird eine Zahl, deren letzte Ziffer 2;4;6 oder 8 ist, verfünffacht oder mit einer durch 5 teilbaren ganzen Zahl multipliziert, so sinkt die Anzahl der Nachkommastellen um 1.
Können einige Regeln nicht eingehalten werden, weil die maximale Länge überschritten wird, so ändert sich der Zahlentyp in eine reelle Zahl.
Wird zu einer Zahl eine ganze Zahl addiert, dann ändert sich keine Ziffer nach den Kommastellen. Z.B. 1,425+2 = 3,425.
Für eine Summe zweier Zahlen mit unterschiedlichen Nachkommastellen gilt dies sinngemäß. Z.B. 3,90625+ 1,6= 5,50625.
Es gilt Zahlentreue! Eine Zahl wird an anderer Stelle in unveränderter Länge wiederverwendet. Es wird NIE gerundet! Wird auf Seite 17 die Zahl 1,425 errechnet, so taucht sie auf Seite 39 nie als 1,4 auf, sondern als 1,425. Dadurch ist die Zahl mit Suchfunktionen findbar. Ein Verweis, wo die Zahl herkommt ist nicht nötig.
Daraus resultieren folgende Regeln:
Bei Multiplikation mit 10^x wird das Komma x Stellen nach rechts verschoben.
Bei der Division durch 10^x wird das Komma um x Stellen nach links verschoben.
Entstandene Nullen als letzte Ziffer werden nicht angezeigt.
Z.B. 1337/ 100 = 13,37 und nicht 13,4.
Wird bei einer Rechenoperation der Zahlentyp nicht auf reell geändert, so entstehen keine Rundungsfehler.
Die Zahlendungen 25; 75; 125; 375; 625; 875 kennzeichnen lange Zahlen als Dezimalbruch. Diese entstehen häufig bei der Division durch eine Zahl, die viele Zweien als Primfaktoren enthalten. Z.B. 4,0625; 36,25.

Gebrochene Zahlen haben folgende Eigenschaften:

Primfaktoren
Vorzeichen
Periode und deren Länge
Nachkommastellen, signifikante Stellen

Führende Nullen werden nicht als signifikante Stellen gezählt. Achtel-Endungen (sowie die 25 und 75) und Perioden werden als eine signifikante Stelle gezählt. Beginnt eine Zahl mit einer 1 und einer weiteren Ziffer, so werden beide Ziffern als eine signifikante Stelle gezählt. Z.B. haben 17 & 0,05 eine und 4,625 & 7,333 zwei signifikante Stellen.

Es gelten folgende Regeln für gebrochene Zahlen:

Es gelten sinngemäß die Regeln 1;2;3;9;10;Zahlentreue;12 für Dezimalbrüche.
Die einstellige Periode wird kenntlich gemacht, in dem sie mindestens 3 mal wiederholt wird. Ist die Periodenziffer größer als 4, so darf die letzte Ziffer auch um 1 größer angezeigt werden. Z.B 4,333; 0,888; 0,889. Bei 0,1666; 0,1667; 0,8333 (egal wo das Komma ist), darf eine Ziffer weggelassen werden. Z.B. 0,0833.
Wird eine (gebrochene) Zahl mit einstelliger Periode mit 9 multipliziert, so verschwindet die Periode und der Zahlentyp ändert sich in einen Dezimalbruch (oder vielleicht in eine ganze Zahl). Z.B. 1,444•0,9= 1,3
Eine zweistellige oder dreistellige Periode muss mindestens 2 mal wiederholt werden. Z.B 7,2323.
Vielfache der Periode 09 bedeuten eine Division durch 11.
Vielfache der Periode 037 bedeuten eine Division durch 27 und Vielfache der Periode 027 bedeuten eine Division durch 37.
Die Periode 142857 stellt eine Division durch 7 dar und die 6 Ziffern werden einmal dargestellt. Z.B. 0,857142. Die maximale Länge wird allerdings schnell überschritten, sodass sich die Zahl in eine reelle Zahl ändert. Weiterhin wird die Zahl zu einer reellen Zahl gerundet, wenn diese von geringer Wichtigkeit ist.
Wird eine Zahl in Regel 3 bis 7 mit einer Zahl multipliziert, die die passenden Primfaktoren enthält, so ändert sich der Zahlentyp in einem Dezimalbruch. Z.B. 0,3703703•27= 10 (ganze Zahl).
Ist die Periode länger als 3 Ziffern, dann wird der Zahlentyp als reell eingestuft.

Rechenoperationen erhöhen wahrscheinlich die Komplexität einer Zahl. Das bedeutet, dass der Zahlentyp erhöht wird oder die signifikanten Stellen steigen. In diesem Absatz wird auf das Wort „wahrscheinlich“ in jedem Satz verzichtet. Reelle Zahlen sind am komplexesten und ganze Zahlen sind am einfachsten. Bei einer Addition (oder Subtraktion oder Multiplikation) hat das Ergebnis den höchsten Zahlentyp der beiden Summanden. Eine Division durch eine kurze Zahl erzeugt eine gebrochene Zahl und eine Division durch eine lange Zahl erzeugt eine reelle Zahl. Harte Formeln wie Sinus, Logarithmus, nicht ganzzahlige Potenzen und Wurzeln erzeugen reelle Zahlen. Reelle Zahlen sind nie selbstgewählt. Wird mit einer reellen Zahl gerechnet, so ist auch das Ergebnis reell.

Rechnen mit reellen Zahlen

Reelle Zahlen sind der komplexeste Zahlentyp. Das Rechnen mit ihnen ist verlustbehaftet und es entstehen Rundungsfehler. Sie besitzen so viele Nachkommastellen, dass nicht alle bekannt sind.

Reelle Zahlen haben folgende Eigenschaften

Einzigartig
Länge, Nachkommastellen, signifikante Stellen
Vorzeichen
Letzte Ziffer (aber keine Primfaktoren)

Es gelten folgende Regeln für reelle Zahlen:

Es gelten sinngemäß die Regeln 11;12 für ganze Zahlen.
Es gelten sinngemäß die Regeln 2;10 und Zahlentreue für Dezimalbrüche.
In Excel und im Taschenrechner werden reelle Zahlen mit so vielen Stellen dargestellt bis die Zeile voll ist. Um Schreibarbeit in Worddokumenten zu sparen wird eine reelle Zahl mit mindestens 4 signifikanten Stellen dargestellt. Z.B. 367,3; 0,002348; 98,24. Kommen in der Umgebung fast keine rationalen Zahlen vor, dann werden sie mit 3 signifikanten Stellen dargestellt. Weitere Regeln erhöhen die Anzahl der Stellen.
Die Anzahl der Stellen wird um eins erhöht bei:
Die Zahl beginnt mit 1.
Die Zahl endet mit 5.
Die Zahl hat kein Komma.
Eine 1;3;7 oder 9 als letzte Ziffer zeigt, dass es sich bei der Zahl wahrscheinlich um eine reelle Zahl handelt. Regel 4 kann außer Kraft gesetzt werden.
Wichtige Zahlen haben mehr Nachkommastellen. Es gilt Zahlentreue!
Endet eine Zahl mit 0, dann werden bis zu 3 Stellen mehr angezeigt, bis sie nicht mehr mit 0 endet. Endet die Zahl mit 3 Nullen, dann ändert sich der Zahlentyp in einen Dezimalbruch.
Eine reelle Zahl ist so darzustellen, sodass sie nicht mit rationalen Zahlen verwechselt werden kann. Eine Periode darf nicht erkennbar sein und die Zahl darf nicht mit 25; 75; 125; 375; 625; 875 enden. Wiederholt sich die Periode 4 mal, so ändert sich der Zahlentyp in eine gebrochene Zahl.
Reelle Zahlen sind länger darzustellen, wenn die Ziffern sonst einen Dezimalbruch ergeben, der die Potenz einer kleinen Zahl zeigt.
Das Runden auf eine 1;3;7 oder 9 wird leicht bevorzugt.
Das Abrunden wird leicht bevorzugt.
Beispiele:
Zahl in Wirklichkeit -> Zahl in Text (Zahl in Umgebung mit wenig rationalen Zahlen)
25,232456 -> 25,23 (25,2)
25,252456 -> 25,253 (25,3)
25,632456 -> 25,63 (25,63 da 256= 2⁸)
2523,2456 -> 2523 (2523)
2524,2456 -> 2524,3 (2524)
253,52456 -> 253,53 (253)
15,244456 -> 15,244 (15,24)
15,342456 -> 15,343 (15,3)
15,432456 -> 15,43 (15,43)
15,404456 -> 15,404 (15,404)
15,305456 -> 15,305 (15,3)
15,300456 -> 15,3004 (15,3)
15,300046 -> 15,3 Dezimalbruch (15,3 reell)
15,000456 -> 15,0004 reell (15 natürliche Zahl)
3,1249856 -> 3,12499 (3,12)
71,111056 -> 71,11 gebrochen (71,11 gebrochen)
6,5612456 -> 6,5612 da 6561= 3⁸ (6,56)
Einige reelle Zahlen treten häufig auf. Einige Zahlen sind für folgende Bedeutung reserviert (das Komma kann an beliebiger Stelle sein):
1,732= 3^0,5
1,414= 2^0,5
0,866= sin(Pi/3)= 0,75^0,5
3,14= Pi (Komma nur nach der 3)
Wenn reelle Zahlen addiert werden, sollten sie die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben. Das gleiche gilt für reelle Arrays.
Die Regeln für gerade und ungerade Zahlen gelten nicht. Z.B. 2,534+ 7,123= 9,656 oder 9,657 oder 9,658.
Reelle Zahlen können keine Eingabewerte (außer Konstanten) sein. Beinhaltet ein Eingabefeld eine Reelle Zahl, so wurde diese stehs berechnet.

Messwerte sind von Natur aus reelle Zahlen, von denen aber nur wenig signifikante Stellen bekannt sind. Werden Messwerte verwendet, dann gibt es im Standardzahlensystem Probleme: vom Wesen her sind diese reell, verhalten sich aber wie Dezimalbrüche. Gleiche Probleme gibt es, wenn Zahlen aus einem anderen Zahlensystem importiert werden.
Z.B. 0,89^2,00= 0,79; nächster Rechenschritt; 0,79•100,00= 79,00. Die 79 verhält sich wie eine natürliche Zahl, ist aber reell. Obendrein widerspricht der Zahlentreue, dass Zahlen nicht mit 0 enden, da 79,00 als 79 weiter verwendet wird.

Das Zahlensystem in Anwendung

Man hat folgenden Fall: Die Formeln fehlen, aber der Rechenweg muss verstanden werden. Dies tritt häufig auf, wenn die Berechnung im portablen Dokumentformat vorliegt, ein wichtiger Schmierzettel unter dem Schreibtisch auftaucht oder das Buch mit den Formeln liegt einfach zu weit weg.

Folgendes wurde gerechnet.

Zahlen mit 2 Nachkommastellen
	a	e	ge
N	15,00	30,00	15,00
A	0,20	0,05	0,30
L	2,22	1,50	6,50
f	0,85	0,85	0,91
gA	3,00	1,50	4,50
gL	33,33	45	97,5
K	85,00	57,38	400,03
Kges	277,38		400,03

Alle Zahlen sind auf 2 Nachkommastellen begrenzt. Das mag der eine oder andere schick finden, aber für das Verständnis was gerechnet wurde, ist das nur wenig hilfreich. Bei weiteren Rechnungen ist Zahlentreue nicht zu erwarten.
Grundrechenarten lassen sich nur anhand der Größe der Zahl finden. Z.B. 15,00•0,20= 3,00.

So sehen die Werte aus, wenn man etwa 3 signifikante Stellen angibt.

Zahlen mit 3 signifikanten Stellen
	a	e	ge
N	15	30	15
A	0,200	0,050	0,300
L	2,22	1,5	6,5
f	0,850	0,850	0,912
gA	3,00	1,50	4,50
gL	33,3	45	97,5
K	85,0	57,4	400
Kges	277		400

Bei der Anzahl N können Nachkommastellen auftreten. Bei konsequent angewendeten Messwertzahlensystemen ist Zahlentreue möglich. Zahlentreue ist für das seitenübergreifende Verständnis wichtig. Für dieses aus dem Kontext gerissene Beispiel bietet auch diese Zahlendarstellung keine zusätzlichen Hinweise, wie diese Zahlen errechnet wurden.

So sehen die Zahlen in Excel und im Wikibook aus.

Zahlen im Standardzahlenformat
Excel	a	e	ge	Wikibook	a	e	ge
N	15	30	15	N	15	30	15
A	0,2	0,05	0,3	A	0,2	0,05	0,3
L	2,2222222	1,5	6,5	L	2,222	1,5	6,5
f	0,85	0,85	0,911752	f	0,85	0,85	0,9117
gA	3	1,5	4,5	gA	3	1,5	4,5
gL	33,333333	45	97,5	gL	33,33	45	97,5
K	85	57,375	400,03119	K	85	57,375	400,03
Kges	277,375		400,03119	Kges	277,375		400,03

Dieses Zahlensystem liefert neben dem Wert noch Eigenschaften, die genutzt werden können, um den Rechenweg zu rekonstruieren.

Eigenschaften der Zahlen
Typ	a	e	ge	Letzte Ziffer	a	e	ge
N	natürlich	natürlich	natürlich	N	5	0	5
A	dezimal	dezimal	dezimal	A	2	5	3
L	gebrochen	dezimal	dezimal	L	-2	5	5
f	dezimal	dezimal	reell	f	5	5	-2
gA	natürlich	dezimal	dezimal	gA	3	5	5
gL	gebrochen	natürlich	dezimal	gL	-3	5	5
K	natürlich	dezimal	reell	K	5	5	-9
Kges	dezimal		reell	Kges	5		-9

Primfaktoren	a	e	ge	Län. Sig. Na.	a	e	ge
N	3•5	2•3•5	3•5	N	2;-;0	2;-;0	2;-;0
A	40818	5/100	40819	A	2;1;1	3;1;2	2;1,1
L	10•2/9	40577	40587	L	-;1;0	2;2;1	2;2;1
f	17•5/100	17•5/100	keine	f	3;2;2	3;2;2	6;6;6
gA	3	40577	40583	gA	1;-;0	2;2;1	2;2;1
gL	100/3	3•3•5	5•5•?	gL	-;1;0	2;-;0	3;2;1
K	17*5	?/8	keine	K	2;-;0	5;3;3	8;8;5
Kges	?/8		keine	Kges	6;4;3		8;8;5

Die gebrochenen Zahlen haben noch Eigenschaften zur Periode und deren Länge und die reellen Zahlen sind unverwechselbar einzigartig.

So stellt man den Rechenweg wieder her:
Es gibt 2 gebrochene Zahlen, die in einer Beziehung stehen können:
Eine gebrochene Zahl plus, minus oder mal einem kurzem Dezimalbruch oder ganze Zahl ergibt wahrscheinlich wieder eine gebrochene Zahl. Weiterhin entstehen gebrochene Zahlen bei einer Division.
Beide gebrochene haben eine einstellige Periode. Die Addition oder Subtraktion der beiden würde ein Ergebnis mit höherer Anzahl an signifikanten Stellen hervorbringen. Die Division hingegen erzeugt eine natürliche Zahl, die auch in der Tabelle vorhanden ist. Wahrscheinlich ist gL= L•N. Wie die 2,222 errechnet wird, lässt sich nicht erkennen. In den anderen beiden Spalten wird geprüft, ob ebenfalls gL= L•N gilt.
Durch zufälliges Probieren, was auch in anderen Zahlensystemen möglich ist, lässt sich herausfinden, dass Zeile gA = A•N. Da Rundungsfehler nur bei reellen Zahlen vorkommen, gibt es eine größere Sicherheit, dass auch gA = A•N stimmt.
Da 2 Zeilen bereits gleiche Formeln haben, könnten in weiteren Zeilen ebenfalls gleiche Formeln vorkommen.

Seltsam hingegen ist, dass in der Zeile f zwei Dezimalbrüche und eine reelle Zahl auftauchen. Reelle Zahlen sind nie selbst gewählt, sondern immer errechnet. Leichte Formeln wie die Grundrechenarten können aus kurzen Zahlen nur selten reelle Zahlen erzeugen. Für die Erzeugung einer reellen Zahl wird immer eine reelle Zahl als Eingangswert benötigt. Harte Formeln wie Sinus, Wurzel oder besonders lange Formeln erzeugen aus kurzen Zahlen fast immer reelle Zahlen. Weiß man, dass f mit einer harten Formel errechnet wird, so kann man schlussfolgern, dass nur der Wert in der letzten Spalte errechnet wurde und die anderen beiden geschätzt wurden.
Schaut man sich die Zeile für K an, so stellt man fest, dass K mit einer leichten Formel errechnet wird, denn die ersten beiden Zahlen sind Dezimalbrüche. Nimmt man an, dass eine leichte Formel dahinter steckt, so kann die reelle Zahl in der letzten Spalte eine reelle Zahl als Eingangswert haben. Es kommt f in Frage. Subtrahieren und Addieren ergibt aus 2 Gründen wenig Sinn. Zum einen ist der Größenunterschied zu groß und zum anderen gibt es keine identischen Ziffernfolgen. K/f ergibt Dank der hohen Länge hingegen einen Dezimalbruch von 438,75. Das Produkt zweier Zahlen, die mit 5 enden, endet mit 25 oder 75. Mit Glück findet man, dass die 438,75 das Produkt der beiden Zellen darüber ist. Sollte man wegen mangelnder Länge keinen Dezimalbruch erhalten haben, so gibt K in Zeile e Hinweise zur Lösung. Die 57,375 hat nämlich eine Achtel-Endung. Diese kommt selten durch Addition zustande, aber häufig durch Multiplikation mit Zahlen, die mit 5 enden. Ebenfalls kann eine 375 durch Division durch gerade Zahlen entstehen. Gerade Zahlen gibt es in der Tabelle nur wenig, dafür viele, die mit 5 enden. Da es keine Beziehungen unter den Spalten gibt, werden die darüber liegenden Zahlen verwendet. Aufgrund der reellen Zahlen rechts daneben, wird die 57,375 durch f=0,85 dividiert. Es entsteht 67,5. Dieses Ergebnis ist kürzer und somit liegt man auf dem richtigen Weg. Diese Zahl enthält viele 3 und 5 als Primfaktoren. Es ist wahrscheinlich, dass die beiden darüber liegenden Werte miteinander multipliziert wurden, weil diese ebenfalls 3 und 5 als Primfaktoren enthalten. Die Probe mit den anderen Spalten zeigt, dass die Formel K= f•gL•gA richtig ist.

In der letzten Zeile fehlt ein Wert und einer ist kopiert. In der letzten Zeile und Spalte treten allgemein häufig besondere Formeln auf. In dieser Tabelle trifft dies für die letzte Spalte nicht zu, aber wegen des fehlenden Wertes für die letzte Zeile. Die 277,375 könnte die Summe der beiden Zahlen aus der Zeile K sein, zumal ein Summand die gleichen 4 letzten Ziffern hat. Leider fehlen bei der Summe 135. Mit Glück könnte man sehen, dass 135= 3*45 ist sodass die Formel lautet: Kges= Ka+ Ke+ gLe• gAa. Eine andere Möglichkeit ist, dass man sich erinnert, dass es für Kges die leichte Formel K= K= fa•La•Aa•a² +fe•Le•Ae•e²+ a•e•Le•Aa oder die harte Formel K= Lra•N•(gAb+gAa) +…… mit Na1= Na•e(Lra-Lrb)/Lad gibt. Die harte Formel scheidet aus 2 Gründen aus: Zum einen kommt dort b anstelle von e vor und zum anderen erzeugt eine E-Funktion immer eine reelle Zahl.

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Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Verschiedenes: Ziel des Lehrbuches ; Tipps ; Tools ; Berechnung der semiplastischen Tragfähigkeit ; Auswertung ; Verzeichnisse