Es wird ein Zweifeldträger mit 2 Längssteifen und ohne Quersteifen an der Stütze untersucht. Er wird durch eine Gleichlast und einer Einzellast im ersten Feld belastet. Die Stahlgüte ist S355.
Träger- querschnitt
allgemeine Formelzeichen
Eingangsdaten für das dritte Rechenbeispiel
Quersteifen
a' keine
Träger links
l1 = 5m
Träger rechts
l2 = 6,4m
Belastung links
qEd = 18kN/m
Belastung rechts
qEd = 18kN/m
Einzellast
F= 9,3kN
Querschnittsdaten in mm
oberer Flansch
bf2 =71
tf2 =3
unterer Flansch
bf1 =91
tf1 =7
Steg
hw =600
tw =3
Steife
bsl =30
tsl =4
Steifenflansch
hsl =24
tsl2 =3
obere Steife
hw2 =300
untere Steife
hw1 =150
Da bei diesem kleinen Träger sehr viele Nullen in den Formeln stehen, wird für die Länge öfter der Präfix Milli verwendet. Dabei entstehen natürliche Zahlen ohne Komma.
Schnittgrößen
M
=
−
q
1
⋅
L
1
3
−
q
2
⋅
L
2
3
8
⋅
L
1
+
8
⋅
L
2
−
F
⋅
L
1
2
⋅
3
(
L
1
+
L
2
)
⋅
16
=
−
18
⋅
5
3
−
18
⋅
6
,
4
3
8
⋅
5
+
8
⋅
6
,
4
−
9
,
3
⋅
5
2
⋅
3
(
5
+
6
,
4
)
⋅
16
{\displaystyle M={\frac {-q_{1}\cdot L_{1}^{3}-q_{2}\cdot L_{2^{3}}}{8\cdot L_{1}+8\cdot L_{2}}}-{\frac {F\cdot L_{1}^{2}\cdot 3}{(L_{1}+L_{2})\cdot 16}}={\frac {-18\cdot 5^{3}-18\cdot 6{,}4^{3}}{8\cdot 5+8\cdot 6{,}4}}-{\frac {9{,}3\cdot 5^{2}\cdot 3}{(5+6{,}4)\cdot 16}}}
M
=
6969
91
,
2
+
697
,
5
182
,
4
=
M
q
+
M
F
=
−
76
,
41
−
3
,
82
{\displaystyle M={\frac {6969}{91{,}2}}+{\frac {697{,}5}{182{,}4}}=M_{q}+M_{F}=-76{,}41-3{,}82}
M= - 80,23kNm
V
l
i
n
k
s
=
−
q
1
⋅
L
1
2
+
M
q
L
1
+
M
F
L
1
−
F
2
{\displaystyle V_{links}=-{\frac {q_{1}\cdot L_{1}}{2}}+{\frac {M_{q}}{L_{1}}}+{\frac {M_{F}}{L_{1}}}-{\frac {F}{2}}}
V
l
i
n
k
s
=
−
18
⋅
5
2
+
−
76
,
41
5
+
−
3
,
82
5
−
9
,
3
2
{\displaystyle V_{links}=-{\frac {18\cdot 5}{2}}+{\frac {-76{,}41}{5}}+{\frac {-3{,}82}{5}}-{\frac {9{,}3}{2}}}
Vlinks = - 45 - 15,28 - 0,76 - 4,65
Vlinks = - 65,7
V
r
e
c
h
t
s
=
q
2
⋅
L
2
2
−
M
q
L
2
−
M
F
L
2
{\displaystyle V_{rechts}={\frac {q_{2}\cdot L_{2}}{2}}-{\frac {M_{q}}{L_{2}}}-{\frac {M_{F}}{L_{2}}}}
V
r
e
c
h
t
s
=
18
⋅
6
,
4
2
−
−
76
,
41
6
,
4
−
−
3
,
82
6
,
4
{\displaystyle V_{rechts}={\frac {18\cdot 6{,}4}{2}}-{\frac {-76{,}41}{6{,}4}}-{\frac {-3{,}82}{6{,}4}}}
Vrechts = 57,6 + 11,93 + 0,59
Vrechts = 70,14
N= - 251,5kN
Schubverzerrung
b0 = 0,091/2= 0,0455
Le = 0,25∙(L1 + L2 )
Le = 2,85m
K
=
a
0
⋅
b
0
L
e
=
1
⋅
0,045
5
2
,
85
{\displaystyle K={\frac {a_{0}\cdot b_{0}}{L_{e}}}={\frac {1\cdot 0{,}0455}{2{,}85}}}
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)
K= 0,01592 <0,02
ß=1
keine Schubverzerrung
Grenz c/t
c
t
<
14
⋅
ϵ
=
91
−
3
2
⋅
7
{\displaystyle {\frac {c}{t}}<14\cdot \epsilon ={\frac {91-3}{2\cdot 7}}}
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)
ϵ
=
f
y
d
235
=
355
235
=
0,816
5
{\displaystyle \epsilon ={\sqrt {\frac {f_{yd}}{235}}}={\sqrt {\frac {355}{235}}}=0{,}8165}
6,28 < 11,39
Flansch trägt vollständig mit
Da diese Berechnung schon zweimal durchgeführt wurde, werden jetzt nur die Ergebnisse gezeigt:
Fläche A= 0,00265m²
Schwerpunkt hs = 0,251m
Spannungsnulllinie S= 0,4m
Flächenmoment zweiten Grades I= 0,0001258m4
Spannung oben σ2 = 127,6 N/mm²
Spannung neben der oberen Steife σsl2 = - 63,8 N/mm²
Spannung neben der unteren Steife σsl1 = - 159,5 N/mm²
Spannung unten σ1 = - 255,2 N/mm²
Zuerst werden die wirksamen Breiten der Einzelfelder berechnet. So geht man da für jedes Feld vor:
Randspannungsverhältnis ψ ausrechnen.
Beulwert kσ aus Tabelle Eurocode 4.1 berechnen.
Beulschlankheitsgrad
λ
¯
p
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}}
nach Gleichung 4.3 ermitteln.
Abminderungsfaktor ρ Gleichung 4.2 errechnen.
Bruttobreiten bu und bo bestimmen.
wirksame Breiten mit bu1,eff = bu ∙ρ berechnen
Da dies bereits in den vorherigen Rechenbeispielen vorgeführt wurde, wird dreimal derselbe Rechengang in einer Tabelle zusammengefasst.
Zusammenfassung des Rechengangs für alle 3 Beulfelder
Feld 1
Feld 2
Feld 3
b
0,148
0,146
0,098
ψ
0,625
0,4
-2
kσ
4,8954
5,6549
53,794
λ
¯
p
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}}
0,9638
0,8846
0,5861
ρ
0,8229
0,8915
Kontrolle:
(b1 + tsl /2) + (b2 + tsl ) + (b3 + tls /2)= S
0,15 + 0,15 + 0,1= 0,4 OK
wirksame Breiten
Feld 1
Feld 2
Feld 3
bu
0,06767
0,06348
0,03921
bo
0,08034
0,08252
0,05881
bu eff
0,05567
0,05659
0,03921
bo,eff
0,06611
0,07356
0,05881
Σ beff
0,12179
0,13015
0,09802
verlust
0,02621
0,01585
0
Querschnittswerte der Steifen
wirksame Breiten an der oberen Steife
wirksame Breiten an der oberen Steife
Fläche der Längssteife ohne mitwirkende Breiten
As = bsl ∙tsl + hsl ∙ tsl2 - tsl ∙ tsl2
As = 30∙4 + 24∙3 - 4∙3
As = 180mm²
bu,eff3 + bo,eff2 + tsl = 73,56 + 39,21 + 4= 116,8
bu + bo + tsl = 82,52 + 39,21 + 4= 125,73
Asl = tw ∙(b2o + b3u + tsl ) + As
Asl = 3∙(82,52 + 39,21 + 4) + 180
Asl = 557,1mm²
Der Schwerpunkt xsl wird auf die Stegmitte bezogen.
x
s
l
=
t
s
l
⋅
b
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
)
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
/
2
)
A
s
l
{\displaystyle x_{sl}={\frac {t_{sl}\cdot b_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2)+(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl}/2)}{A_{sl}}}}
x
s
l
=
4
⋅
30
⋅
(
15
+
1
,
5
)
+
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
1
,
5
+
30
−
1
,
5
)
557
,
1
{\displaystyle x_{sl}={\frac {4\cdot 30\cdot (15+1{,}5)+(24-4)\cdot 3\cdot (1{,}5+30-1{,}5)}{557{,}1}}}
xsl = 6,784mm
Isl = 3 Eigen + 3 Steiner
I
s
l
=
∑
(
t
w
3
⋅
(
b
2
o
+
b
3
u
+
t
s
l
)
/
12
b
s
l
3
⋅
t
s
l
/
12
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
3
/
12
t
w
⋅
(
b
2
o
+
b
3
u
+
t
s
l
)
⋅
x
s
l
2
b
s
l
⋅
t
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
−
x
s
l
)
2
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
/
2
−
x
s
l
)
2
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}t_{w}^{3}\cdot (b_{2o}+b_{3u}+t_{sl})/12\\b_{sl}^{3}\cdot t_{sl}/12\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}^{3}/12\\t_{w}\cdot (b_{2o}+b_{3u}+t_{sl})\cdot x_{sl}^{2}\\b_{sl}\cdot t_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2-x_{sl})^{2}\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl}/2-x_{sl})^{2}\end{pmatrix}}}
I
s
l
=
∑
(
3
3
⋅
(
125
,
7
)
/
12
30
3
⋅
4
/
12
(
24
−
4
)
⋅
3
3
/
12
3
⋅
(
125
,
7
)
⋅
6,784
2
30
⋅
4
⋅
(
15
+
1
,
5
−
6,784
)
2
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
1
,
5
+
30
−
1
,
5
−
6,784
)
2
)
=
∑
(
283
9000
45
17360
11328
32338
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}3^{3}\cdot (125{,}7)/12\\30^{3}\cdot 4/12\\(24-4)\cdot 3^{3}/12\\3\cdot (125{,}7)\cdot 6{,}784^{2}\\30\cdot 4\cdot (15+1{,}5-6{,}784)^{2}\\(24-4)\cdot 3\cdot (1{,}5+30-1{,}5-6{,}784)^{2}\end{pmatrix}}=\sum {\begin{pmatrix}283\\9000\\45\\17360\\11328\\32338\end{pmatrix}}}
Isl = 70354mm4
Druckkraft Fs in der Steife
Fs = σsl2 ∙ Asl2 = 63,8∙ 557,1
Fs = 35,56kN
wirksame Breiten an der unteren Steife
As = 180mm²
bu,eff2 + bo,eff1 + tsl = 56,59 + 66,12 + 4= 126,71
bu + bo + tsl = 80,34 + 63,48 + 4= 147,82
Fläche mit wirksamen Breiten
Asl = tw ∙(b1o + b2u + tsl ) + As
Asl = 3∙147,82 + 180
Asl = 623,5mm²
Schwerpunkt xsl
x
s
l
=
t
s
l
⋅
b
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
)
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
/
2
)
A
s
l
{\displaystyle x_{sl}={\frac {t_{sl}\cdot b_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2)+(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl}/2)}{A_{sl}}}}
x
s
l
=
4
⋅
30
⋅
(
15
+
1
,
5
)
+
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
1
,
5
+
30
−
1
,
5
)
623
,
5
{\displaystyle x_{sl}={\frac {4\cdot 30\cdot (15+1{,}5)+(24-4)\cdot 3\cdot (1{,}5+30-1{,}5)}{623{,}5}}}
xsl = 6,289mm
Isl = 3 Eigen + 3 Steiner
I
s
l
=
∑
(
t
w
3
⋅
(
b
1
o
+
b
2
u
+
t
s
l
)
/
12
b
s
l
3
⋅
t
s
l
/
12
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
3
/
12
t
w
⋅
(
b
1
o
+
b
2
u
+
t
s
l
)
⋅
x
s
l
2
b
s
l
⋅
t
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
−
x
s
l
)
2
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
/
2
−
x
s
l
)
2
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}t_{w}^{3}\cdot (b_{1o}+b_{2u}+t_{sl})/12\\b_{sl^{3}}\cdot t_{sl}/12\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}^{3}/12\\t_{w}\cdot (b_{1o}+b_{2u}+t_{sl})\cdot x_{sl}^{2}\\b_{sl}\cdot t_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2-x_{sl})^{2}\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl}/2-x_{sl})^{2}\end{pmatrix}}}
I
s
l
=
∑
(
3
3
⋅
(
147
,
8
)
/
12
30
3
⋅
4
/
12
(
24
−
4
)
⋅
3
3
/
12
3
⋅
(
147
,
8
)
⋅
6
,
29
2
30
⋅
4
⋅
(
15
+
1
,
5
−
6
,
29
)
2
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
1
,
5
+
30
−
1
,
5
−
6
,
29
)
2
)
=
∑
(
333
9000
45
17539
12511
33732
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}3^{3}\cdot (147{,}8)/12\\30^{3}\cdot 4/12\\(24-4)\cdot 3^{3}/12\\3\cdot (147{,}8)\cdot 6{,}29^{2}\\30\cdot 4\cdot (15+1{,}5-6{,}29)^{2}\\(24-4)\cdot 3\cdot (1{,}5+30-1{,}5-6{,}29)^{2}\end{pmatrix}}=\sum {\begin{pmatrix}333\\9000\\45\\17539\\12511\\33732\end{pmatrix}}}
Isl = 73130mm4
Druckkraft Fs in der Steife
Fs = σsl1 ∙ Asl1 = 159,5∙ 623,5
Fs = 99,46kN
Querschnittswerte der zusammengeführten Steife.
Nach dem Eurocode sind 3 Fälle zu untersuchen. Die ersten beiden sind das einzelne Beulen und Knicken der Längssteifen und der dritte Fall ist das Beulen und Knicken beider Längssteifen gleichzeitig. Dabei wird eine Ersatzlängssteife geschaffen. Diese hat die Querschnittswerte der einzelnen Steifen zusammen und die Lage errechnet sich aus der Resultierenden der Kräfte der Steifen.
AL = Asl1 + Asl2 = 557,1 + 623,5
AL = 1180,6mm²
IL = Isl1 + Isl2 = 70354 + 73160
IL = 143514mm4
h
w
L
=
h
w
1
+
(
h
w
2
−
h
w
1
)
⋅
F
s
1
F
s
2
+
F
s
1
{\displaystyle h_{wL}=h_{w1}+{\frac {(h_{w2}-h_{w1})\cdot F_{s1}}{F_{s2}+F_{s1}}}}
h
w
L
=
0
,
15
+
(
0
,
3
−
0
,
15
)
⋅
35
,
5
99
,
46
+
35
,
56
{\displaystyle h_{wL}=0{,}15+{\frac {(0{,}3-0{,}15)\cdot 35{,}5}{99{,}46+35{,}56}}}
hwL = 0,1895
untere
obere
zusammen
Asl
623,46
557,19
1180,7
xsl
6,0629
6,784
Isl
73130
70354
143484
hw
0,15
0,3
0,1895
Berechnung der idealen Beulspannung
drei Möglichkeiten des Ausbeulens
Bei der Berechnung der idealen Beulspannung gibt es die 3 Fälle zu untersuchen. In den ersten beiden Fällen wird das Beulen der einzelnen Steife untersucht, wobei die andere als starr angenommen wird. Der dritte Fall wird mit der zusammengeführten Steife gerechnet. Dabei besteht das Teilfeld immer aus der Steife und den benachbarten Einzelfeldern.
Jetzt wird dreimal der gleiche Rechenweg durchlaufen.
Beulen der unteren Steife
b1 = hw1 = 0,15m
b2 = hw2 - hw1 = 0,15m
b= B1 = b1 + b2 = 0,3m
a
c
=
4
,
33
⋅
I
s
l
,
1
⋅
b
1
2
⋅
b
2
2
t
3
⋅
b
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {I_{sl{,}1}\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{2}^{2}}{t^{3}\cdot b}}}}
a
c
=
4
,
33
⋅
7,313
⋅
10
−
8
⋅
0
,
15
2
⋅
0
,
15
2
0
,
3
⋅
0,003
3
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {7{,}313\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}15^{2}\cdot 0{,}15^{2}}{0{,}3\cdot 0{,}003^{3}}}}}
ac = 1,126m
ac < a=5m
a= Quersteifenabstand
Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4
σ
c
r
,
s
l
=
π
2
⋅
E
I
s
l
1
A
s
l
,
1
⋅
a
2
+
E
⋅
t
3
⋅
b
⋅
a
2
4
⋅
π
⋅
(
1
+
ν
)
2
⋅
σ
l
,
1
⋅
b
1
2
⋅
b
2
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {\pi ^{2}\cdot E_{Isl1}}{A_{sl{,}1}\cdot a^{2}}}+{\frac {E\cdot t^{3}\cdot b\cdot a^{2}}{4\cdot \pi \cdot (1+\nu )^{2}\cdot \sigma _{l{,}1}\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{2}^{2}}}}
für ac > a
σ
c
r
,
s
l
=
1
,
05
⋅
E
A
s
l
,
1
⋅
I
s
l
,
1
⋅
t
3
⋅
b
b
1
⋅
b
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl{,}1}}}\cdot {\frac {\sqrt {I_{sl{,}1}\cdot t^{3}\cdot b}}{b_{1}\cdot b_{2}}}}
für ac < a
σ
c
r
,
s
l
=
1
,
05
⋅
210
⋅
10
9
623
,
46
⋅
10
−
6
⋅
7,313
⋅
10
−
8
⋅
0,003
3
⋅
0
,
3
0
,
15
⋅
0
,
15
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot 210\cdot 10^{9}}{623{,}46\cdot 10^{-6}}}\cdot {\frac {\sqrt {7{,}313\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}003^{3}\cdot 0{,}3}}{0{,}15\cdot 0{,}15}}}
σcr,sl = 3,536∙1014 ∙1,08∙10-6 = 382∙106 N/m²
σcr,sl = 382,6N/mm²
Die Beulspannung darf erhöht werden. Dabei wird die ideale Beulspannung auf den Ort der Steife bezogen.
σ
c
r
,
p
,
1
=
σ
c
r
,
s
l
⋅
S
S
−
h
w
1
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}1}={\frac {\sigma _{cr{,}sl}\cdot S}{S-h_{w1}}}}
σ
c
r
,
p
,
1
=
382
,
6
⋅
0
,
4
0
,
4
−
0
,
15
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}1}={\frac {382{,}6\cdot 0{,}4}{0{,}4-0{,}15}}}
σcr,p,1 = 612,1N/mm²
Beulen der oberen Steife
b1 = hw2 - hw1 = 0,15m
b2 = hw - hw2 = 0,3m
b= B1 = b1 + b2 = 0,45m
a
c
=
4
,
33
⋅
I
s
l
,
1
⋅
b
1
2
⋅
b
2
2
t
3
⋅
b
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {I_{sl{,}1}\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{2}^{2}}{t^{3}\cdot b}}}}
a
c
=
4
,
33
⋅
7,035
⋅
10
−
8
⋅
0
,
15
2
⋅
0
,
3
2
0
,
45
⋅
0,003
3
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {7{,}035\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}15^{2}\cdot 0{,}3^{2}}{0{,}45\cdot 0{,}003^{3}}}}}
ac = 1,4248m
ac < a=5m
Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4
σ
c
r
,
s
l
=
1
,
05
⋅
E
A
s
l
,
1
⋅
I
s
l
,
1
⋅
t
3
⋅
b
b
1
⋅
b
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl{,}1}}}\cdot {\frac {\sqrt {I_{sl{,}1}\cdot t^{3}\cdot b}}{b_{1}\cdot b_{2}}}}
für ac < a
σ
c
r
,
s
l
=
1
,
05
⋅
210
⋅
10
9
557
,
19
⋅
10
−
6
⋅
7,035
⋅
10
−
8
⋅
0,003
3
⋅
0
,
45
0
,
3
⋅
0
,
15
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot 210\cdot 10^{9}}{557{,}19\cdot 10^{-6}}}\cdot {\frac {\sqrt {7{,}035\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}003^{3}\cdot 0{,}45}}{0{,}3\cdot 0{,}15}}}
σcr,sl = 3,957∙1014 ∙0,65∙10-6 = 257∙106 N/m²
σcr,sl = 257,1N/mm²
σ
c
r
,
p
,
2
=
σ
c
r
,
s
l
⋅
S
S
−
h
w
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}2}={\frac {\sigma _{cr{,}sl}\cdot S}{S-h_{w2}}}}
σ
c
r
,
p
,
2
=
257
,
1
⋅
0
,
4
0
,
4
−
0
,
3
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}2}={\frac {257{,}1\cdot 0{,}4}{0{,}4-0{,}3}}}
σcr,p,2 = 1028,3N/mm²
Beulen der gemeinsamen Steife
b1 = hwL = 0,1895m
b2 = hw - hwL = 0,4105m
b= B1 = hw = 0,6m
a
c
=
4
,
33
⋅
I
s
l
,
1
⋅
b
1
2
⋅
b
2
2
t
3
⋅
b
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {I_{sl{,}1}\cdot b_{1}^{2}\cdot b_{2}^{2}}{t^{3}\cdot b}}}}
a
c
=
4
,
33
⋅
14,348
⋅
10
−
8
⋅
0,189
5
2
⋅
0,410
5
2
0
,
6
⋅
0,003
3
4
{\displaystyle a_{c}=4{,}33\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {14{,}348\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}1895^{2}\cdot 0{,}4105^{2}}{0{,}6\cdot 0{,}003^{3}}}}}
ac = 2,083m
ac < a = 5m
Ideale Beulspannung nach Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4
σ
c
r
,
s
l
=
1
,
05
⋅
E
A
s
l
,
1
⋅
I
s
l
,
1
⋅
t
3
⋅
b
b
1
⋅
b
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {1{,}05\cdot E}{A_{sl{,}1}}}\cdot {\frac {\sqrt {I_{sl{,}1}\cdot t^{3}\cdot b}}{b_{1}\cdot b_{2}}}}
für ac < a
σ
c
r
,
s
l
,
l
u
m
p
e
d
=
1
,
05
⋅
210
⋅
10
9
1180
,
7
⋅
10
−
6
⋅
14,348
⋅
10
−
8
⋅
0,003
3
⋅
0
,
6
0,189
5
⋅
0,410
5
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl{,}lumped}={\frac {1{,}05\cdot 210\cdot 10^{9}}{1180{,}7\cdot 10^{-6}}}\cdot {\frac {\sqrt {14{,}348\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}003^{3}\cdot 0{,}6}}{0{,}1895\cdot 0{,}4105}}}
σcr,sl,lumped = 1,867∙1014 ∙0,619∙10-6 = 115,7∙106 N/m²
σcr,sl,lumped = 115,7N/mm²
σ
c
r
,
p
,
l
u
m
p
e
d
=
σ
c
r
,
s
l
,
l
u
m
p
e
d
⋅
S
S
−
h
w
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}lumped}={\frac {\sigma _{cr{,}sl{,}lumped}\cdot S}{S-h_{w2}}}}
σ
c
r
,
p
,
l
u
m
p
e
d
=
115
,
7
⋅
0
,
4
0
,
4
−
0,189
5
{\displaystyle \sigma _{cr{,}p{,}lumped}={\frac {115{,}7\cdot 0{,}4}{0{,}4-0{,}1895}}}
σcr,p,lumped = 219,9N/mm²
Von den 3 idealen Beulspannungen ist die geringste maßgebend.
σcr,p = MIN(σcr,p,1 ;σcr,p,2 ;σcr,p,lumped )
σcr,p = MIN(612,1;1028,3;219,9)
σcr,p = 219,9N/mm²
Mit dieser Spannung kann der Beulnachweis für das Teilfeld geführt werden.
Ac = Asl1 + Asl2 = 623,46 + 557,19
Ac = 1180,7mm²
bu3,eff + bo2,eff + tsl = 56,6 + 66,1 + 4= 126,7
bu2,eff + bo1,eff + tsl = 73,6 + 39,2 + 4= 116,8
Ac,eff,loc = tw ∙(bu3,eff + bo2,eff + tsl ) + :As + tw ∙( bu2,eff + bo1,eff + tsl ) + As
Ac,eff,loc = 3∙126,7 + 180 + 3∙116,8 + 180
Ac,eff,loc = 1090,4mm²
β
A
,
c
=
A
c
,
e
f
f
,
l
o
c
A
c
=
1090
,
4
1180
,
7
{\displaystyle \beta _{A{,}c}={\frac {A_{c{,}eff{,}loc}}{A_{c}}}={\frac {1090{,}4}{1180{,}7}}}
ßA,c = 0,923
λ
¯
p
=
β
A
c
⋅
f
y
k
σ
c
,
r
c
=
0,923
⋅
355
220
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\sqrt {\frac {\beta _{Ac}\cdot f_{yk}}{\sigma _{c{,}rc}}}}={\sqrt {\frac {0{,}923\cdot 355}{220}}}}
λ
¯
p
=
1,220
9
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}=1{,}2209}
Ψ
=
255
,
2
−
127
,
6
=
−
0
,
5
{\displaystyle \Psi ={\frac {255{,}2}{-127{,}6}}=-0{,}5}
ρ
=
λ
¯
p
−
0,055
⋅
(
3
+
Ψ
)
λ
¯
p
2
{\displaystyle \rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\Psi )}{{\overline {\lambda }}_{p^{2}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ
=
1,220
9
−
0,055
⋅
(
3
−
0
,
5
)
1,220
9
2
{\displaystyle \rho ={\frac {1{,}2209-0{,}055\cdot (3-0{,}5)}{1{,}2209^{2}}}}
ρ = 0,72679
Knickstabverhalten
Beim knickstabähnlichen Verhalten wird nur das Ausknicken der unteren Steife untersucht.
Asl1,eff = untere Steife mit wirksamen Breiten
Asl1,eff = tw ∙(b1o,eff + b2u,eff + tsl ) + As
Asl1,eff = 3∙(56,6 + 66,1 + 4) + 180
Asl1,eff = 560,1mm²
Asl1 = untere Steife mit Bruttobreiten
Asl1 = tw ∙(b1o + b2u + tsl ) + As
Asl1 = 3∙(80,3 + 63,5 + 4) + 180
Asl1 = 623,4mm²
β
A
,
c
=
A
s
l
,
1
,
e
f
f
A
s
l
=
560
623
,
4
{\displaystyle \beta _{A{,}c}={\frac {A_{sl{,}1{,}eff}}{A_{sl}}}={\frac {560}{623{,}4}}}
ßA,c = 0,898
Isl1 = 7,313∙10-8 m4
σ
c
r
,
s
l
=
π
2
⋅
E
⋅
I
s
l
A
s
l
⋅
a
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot I_{sl}}{A_{sl}\cdot a^{2}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.9)
σ
c
r
,
s
l
=
π
2
⋅
210
⋅
10
9
⋅
7,313
⋅
10
−
8
0,000
623
⋅
5
2
{\displaystyle \sigma _{cr{,}sl}={\frac {\pi ^{2}\cdot 210\cdot 10^{9}\cdot 7{,}313\cdot 10^{-8}}{0{,}000623\cdot 5^{2}}}}
σcr,sl = 9,72N/mm²
σ
c
r
,
c
=
19
⋅
S
S
−
h
w
1
=
9
,
72
⋅
0
,
4
0
,
4
−
0
,
15
{\displaystyle \sigma _{cr{,}c}={\frac {19\cdot S}{S-h_{w1}}}={\frac {9{,}72\cdot 0{,}4}{0{,}4-0{,}15}}}
σcr,c = 15,56N/mm²
λ
¯
p
=
β
A
c
⋅
f
y
k
σ
c
,
r
c
=
0,898
⋅
355
15
,
6
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\sqrt {\frac {\beta _{Ac}\cdot f_{yk}}{\sigma _{c{,}rc}}}}={\sqrt {\frac {0{,}898\cdot 355}{15{,}6}}}}
λ
¯
p
=
4
,
52
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}=4{,}52}
Im Kommentar [7] zum Eurocode 1993-1-5 wird für e1 eine gigantische Formel (mit Tippfehlern) verwendet. Bildet man das Momentengleichgewicht um den Steg, so lässt sich eine einfache Formel erzeugen.
Definition der Abstände e1 und e2
e2 = xsl = 6,06mm
e2 ∙Asl = (e1 + e2 )∙As
e
1
=
e
2
⋅
A
s
l
A
s
−
e
2
=
6
,
06
⋅
623
180
−
6
,
06
{\displaystyle e_{1}={\frac {e_{2}\cdot A_{sl}}{A_{s}}}-e_{2}={\frac {6{,}06\cdot 623}{180}}-6{,}06}
e1 = 14,94mm
e= MAX(e1 ;e2 )
e= 14,94mm
α= 0,49 für offene Querschnitte
i
=
I
s
l
,
1
A
s
l
,
1
=
73130
623
,
4
{\displaystyle i={\sqrt {\frac {I_{sl{,}1}}{A_{sl{,}1}}}}={\sqrt {\frac {73130}{623{,}4}}}}
i= 10,83mm
αe = α + 0,09e/i (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)2
αe = 0,49 + 0,09∙14,9/10,8
αe = 0,614
k
=
0
,
5
⋅
(
1
+
α
e
⋅
(
λ
¯
p
−
0
,
2
)
+
λ
¯
p
2
)
{\displaystyle k=0{,}5\cdot \left(1+\alpha _{e}\cdot \left({\overline {\lambda }}_{p}-0{,}2\right)+{\overline {\lambda }}_{p^{2}}\right)}
k= 0,5∙(1 + 0,614∙(4,52 - 0,2) + 4,52²)
k= 12,08
χ
c
=
M
I
N
(
1
;
1
k
+
k
2
−
λ
¯
p
2
)
{\displaystyle \chi _{c}=MIN\left(1;{\frac {1}{k+{\sqrt {k^{2}-{\overline {\lambda }}_{p^{2}}}}}}\right)}
χ
c
=
M
I
N
(
1
;
1
12
,
08
+
12
,
08
2
−
4
,
52
2
)
{\displaystyle \chi _{c}=MIN\left(1;{\frac {1}{12{,}08+{\sqrt {12{,}08^{2}-4{,}52^{2}}}}}\right)}
χc = 0,042963
Interaktion
ξ
=
(
σ
c
r
,
p
σ
c
r
,
c
−
1
)
{\displaystyle \xi =\left({\frac {\sigma _{cr{,}p}}{\sigma _{cr{,}c}}}-1\right)}
und ξ wird zwischen 0 < ξ < 1 begrenzt
ξ
=
(
220
15
,
6
−
1
)
{\displaystyle \xi =\left({\frac {220}{15{,}6}}-1\right)}
ξ= 1
ρc = (ρ - χc )∙ ξ∙(2 - ξ) + χc (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)3
ρc = (0,72679 - 0,042963)∙1∙(2 - 1) + 0,042963
ρc = 0,72679
Die wirksamen Querschnittswerte werden in einer Exceltabelle berechnet. So wird in Excel gerechnet:
Zuerst wird der Steg in viele Bereiche unterteilt: Ein Beulfeld unterteilt sich in 2 wirksame Breiten. In der Mitte des Beulfeldes ist ein Loch. Zwischen den Beulfeldern befindet sich die Steife. Das Beulfeld, das Zug enthält wird in einen Zug- und Druckbereich unterteilt (der Zugbereich ist 0 bei reinem Druck). Ist eine Steife nicht vorhanden, so werden die Steglängen des Beulfeldes auf 0 gesetzt.
Dann wird der Schwerpunktabstand der Flächen zum unteren Stegende berechnet.
Der Querschnitt besteht aus sehr vielen Rechtecken mit unterschiedlicher Dicke. Die Stegteile, die am Zugbereich oder Flansch anschließen haben die volle Stegdicke. Die Stegteile, die an einer Steife angrenzen haben eine mit ρc multiplizierte Stegdicke. Die Löcher haben eine Stegdicke
von 0.
Zu jedem Stegstück werden Fläche, Steineranteil, Eigenträgheitsanteil und A∙ Abstand berechnet, die in weiteren Formeln zu Querschnittswerte verarbeitet werden.
Damit lauten die Querschnittswerte
Aeff = 0,002324m²
hs,eff = 0,2616m
Ieff = 0,0001213m4
Widerstandsmoment unten
Widerstandsmoment oben
W
e
f
f
,
u
=
I
Z
=
I
e
f
f
h
s
,
e
f
f
+
t
f
1
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}u}={\frac {I}{Z}}={\frac {I_{eff}}{h_{s{,}eff}+t_{f1}/2}}}
W
e
f
f
,
o
=
I
Z
=
I
e
f
f
h
w
−
h
s
,
e
f
f
+
t
f
2
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}o}={\frac {I}{Z}}={\frac {I_{eff}}{h_{w}-h_{s{,}eff}+t_{f2}/2}}}
W
e
f
f
,
u
=
0,000
1213
0,261
6
+
0,007
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}u}={\frac {0{,}0001213}{0{,}2616+0{,}007/2}}}
W
e
f
f
,
o
=
0,000
1213
0
,
6
−
0,261
6
+
0,003
/
2
{\displaystyle W_{eff{,}o}={\frac {0{,}0001213}{0{,}6-0{,}2616+0{,}003/2}}}
Weff,u = 4,576∙10-4 m³
Weff,o = 3,569∙10-4 m³
MRd = Weff,u ∙fyd
MRd,o = Weff,o ∙fyd
MRd = 4,576∙10-4 ∙355000
MRd,o = 3,569∙10-4 ∙355000
MRd = 162,4kNm
MRd,o = 126,7kNm
Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.
MEd,N = - MEd + NEd ∙(Hs - Hs,eff )
MEd,N = 80,23 + ( - 251,5)∙(0,2513 - 0,2616)
MEd,N = 82,83kNm
Nachweis
η
1
=
M
E
d
,
N
f
y
d
⋅
W
e
f
f
,
u
−
N
f
y
d
⋅
A
e
f
f
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {M_{Ed{,}N}}{f_{yd}\cdot W_{eff{,}u}}}-{\frac {N}{f_{yd}\cdot A_{eff}}}}
η
1
=
0,082
83
0,000
4576
⋅
355
+
0,251
5
355
⋅
0,002
324
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {0{,}08283}{0{,}0004576\cdot 355}}+{\frac {0{,}2515}{355\cdot 0{,}002324}}}
η1 = 0,5099 + 0,3048
η1 = 0,8147
Nachweis erfüllt
Nachweis oben
η
1
=
M
E
d
,
N
f
y
d
⋅
W
e
f
f
,
o
−
N
f
y
d
⋅
A
e
f
f
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {M_{Ed{,}N}}{f_{yd}\cdot W_{eff{,}o}}}-{\frac {N}{f_{yd}\cdot A_{eff}}}}
η
1
=
0,082
83
0,000
3569
⋅
355
+
0,251
5
355
⋅
0,002
324
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {0{,}08283}{0{,}0003569\cdot 355}}+{\frac {0{,}2515}{355\cdot 0{,}002324}}}
η1 = 0,65376 + 0,30484
η1 = 0,9586
Nachweis erfüllt
Nachweis, ob die Stegdicken weiter verringert werden müssen.
σ
c
o
m
,
E
d
=
M
⋅
z
I
+
N
A
=
M
⋅
(
h
s
,
e
f
f
−
h
w
1
)
I
+
N
A
e
f
f
{\displaystyle \sigma _{com{,}Ed}={\frac {M\cdot z}{I}}+{\frac {N}{A}}={\frac {M\cdot (h_{s{,}eff}-h_{w1})}{I}}+{\frac {N}{A_{eff}}}}
σ
c
o
m
,
E
d
=
0,082
83
⋅
(
0,261
6
−
0
,
15
)
0,000
1213
+
0,251
5
0,002
324
{\displaystyle \sigma _{com{,}Ed}={\frac {0{,}08283\cdot (0{,}2616-0{,}15)}{0{,}0001213}}+{\frac {0{,}2515}{0{,}002324}}}
σcom,Ed = 184,4N/mm²
σ
c
o
m
,
E
d
ρ
c
⋅
f
y
/
γ
M
=
184
,
4
0,727
⋅
355
{\displaystyle {\frac {\sigma _{com{,}Ed}}{\rho _{c}\cdot f_{y}/\gamma _{M}}}={\frac {184{,}4}{0{,}727\cdot 355}}}
<1 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.3)
0,7147 < 1
Keine weitere Abminderung erforderlich
Die Nachweise sind zwar erfüllt, doch der Nachweis kann auch genauer geführt werden. Dazu errechnet man sich den Abstand, in dem der Nachweis geführt wird und führt bei der Quersteife den Querschnittsnachweis. Kann die Zugkraft nicht aufgenommen werden, so kann der Nachweis semiplastisch geführt werden.
Das Ergebnis würde so aussehen:
η1 = 0,7512 statt 0,8147
und beim Querschnittsnachweis
η1u = 0,7252 (Nachweisunten)
η1o = 0,3621 (Nachweisoben)
Der semiplastische Nachweis kann nicht geführt werden, weil der Druckflansch zuerst plastifiziert.
Beim Schubbeulen wirken andere Breiten mit.
beff = 15∙ε∙tw = 15∙0,8136∙3
beff = 36,61mm
Asl = (beff ∙2 + tsl )∙tw + As
Asl = (36,61∙2 + 4)∙3 + 180
Asl = 411,7mm²
x
s
l
=
b
s
l
⋅
t
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
)
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
2
/
2
)
A
s
l
{\displaystyle x_{sl}={\frac {b_{sl}\cdot t_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2)+(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl2}/2)}{A_{sl}}}}
x
s
l
=
30
⋅
4
⋅
(
30
/
2
+
3
/
2
)
+
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
3
/
2
+
30
−
3
/
2
)
411
,
7
{\displaystyle x_{sl}={\frac {30\cdot 4\cdot (30/2+3/2)+(24-4)\cdot 3\cdot (3/2+30-3/2)}{411{,}7}}}
xsl = 9,182mm
Isl = 3 Eigen + 3 Steiner
I
s
l
=
∑
(
b
s
l
3
⋅
t
s
l
/
12
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
3
/
12
t
w
3
⋅
(
2
⋅
b
e
f
f
+
t
s
l
)
/
12
t
w
⋅
(
2
⋅
b
e
f
f
+
t
s
l
)
⋅
x
s
l
2
b
s
l
⋅
t
s
l
⋅
(
b
s
l
/
2
+
t
w
/
2
−
x
s
l
)
2
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
⋅
(
t
w
/
2
+
b
s
l
−
t
s
l
/
2
−
x
s
l
)
2
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}b_{sl}^{3}\cdot t_{sl}/12\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2^{3}}/12\\t_{w^{3}}\cdot (2\cdot b_{eff}+t_{sl})/12\\t_{w}\cdot (2\cdot b_{eff}+t_{sl})\cdot x_{sl}^{2}\\b_{sl}\cdot t_{sl}\cdot (b_{sl}/2+t_{w}/2-x_{sl})^{2}\\(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}\cdot (t_{w}/2+b_{sl}-t_{sl}/2-x_{sl})^{2}\end{pmatrix}}}
I
s
l
=
∑
(
30
3
⋅
4
/
12
(
24
−
4
)
⋅
3
3
/
12
3
3
⋅
(
77
,
4
)
/
12
3
⋅
(
77
,
4
)
⋅
9
,
17
2
30
⋅
4
⋅
(
15
+
1
,
5
−
9
,
17
)
2
(
24
−
4
)
⋅
3
⋅
(
1
,
5
+
30
−
1
,
5
−
9
,
17
)
2
)
=
∑
(
9000
45
174
19525
6447
26033
)
{\displaystyle I_{sl}=\sum {\begin{pmatrix}30^{3}\cdot 4/12\\(24-4)\cdot 3^{3}/12\\3^{3}\cdot (77{,}4)/12\\3\cdot (77{,}4)\cdot 9{,}17^{2}\\30\cdot 4\cdot (15+1{,}5-9{,}17)^{2}\\(24-4)\cdot 3\cdot (1{,}5+30-1{,}5-9{,}17)^{2}\end{pmatrix}}=\sum {\begin{pmatrix}9000\\45\\174\\19525\\6447\\26033\end{pmatrix}}}
Isl = 61181mm4
Berechnung des Schubbeulwertes
Es werden vom Einzelfeld und vom Gesamtfeld die Schlankheiten errechnet. Die kleinere ist maßgebend.
Gesamtfeld
kτsl = MAX( Formel 1; Formel 2)
F
o
r
m
e
l
1
=
9
⋅
(
h
w
a
)
2
⋅
(
I
s
l
t
3
⋅
h
w
)
0
,
75
{\displaystyle Formel1=9\cdot \left({\frac {h_{w}}{a}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {I_{sl}}{t^{3}\cdot h_{w}}}\right)^{0{,}75}}
Isl := 2∙Isl , weil es 2 Steifen gibt
F
o
r
m
e
l
1
=
9
⋅
(
0
,
6
5
)
2
⋅
(
2
⋅
6,118
⋅
10
−
8
0,003
3
⋅
0
,
6
)
0
,
75
{\displaystyle Formel1=9\cdot \left({\frac {0{,}6}{5}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {2\cdot 6{,}118\cdot 10^{-8}}{0{,}003^{3}\cdot 0{,}6}}\right)^{0{,}75}}
Formel 1= 0,5905
F
o
r
m
e
l
2
=
2
,
1
t
⋅
I
s
l
h
w
3
{\displaystyle Formel2={\frac {2{,}1}{t}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {I_{sl}}{h_{w}}}}}
F
o
r
m
e
l
2
=
2
,
1
0,003
⋅
2
⋅
6,118
⋅
10
−
8
0
,
6
3
{\displaystyle Formel2={\frac {2{,}1}{0{,}003}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2\cdot 6{,}118\cdot 10^{-8}}{0{,}6}}}}
Formel 2= 4,12
kτsl = MAX(0,5905; 4,1203)
kτsl = 4,1203
k
τ
=
5
,
34
+
4
⋅
(
h
w
a
)
2
+
k
τ
s
l
{\displaystyle k_{\tau }=5{,}34+4\cdot \left({\frac {h_{w}}{a}}\right)^{2}+k_{\tau sl}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)
k
τ
=
5
,
34
+
4
⋅
(
0
,
6
5
)
2
+
4
,
1203
{\displaystyle k_{\tau }=5{,}34+4\cdot \left({\frac {0{,}6}{5}}\right)^{2}+4,1203}
kt = 9,518
Schubbeulschlankheit
λ
¯
w
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}}
λ
¯
w
=
h
w
37,421
⋅
t
⋅
ϵ
⋅
k
τ
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}={\frac {h_{w}}{37{,}421\cdot t\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\tau }}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)
λ
¯
w
=
0
,
6
37,421
⋅
0,003
⋅
0,813
⋅
9,518
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}={\frac {0{,}6}{37{,}421\cdot 0{,}003\cdot 0{,}813\cdot {\sqrt {9{,}518}}}}}
λ
¯
w
=
2,129
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}=2{,}129}
Einzelfeld
Feldhöhe = größtes Schubbeulfeld= 0,3m
k
τ
=
5
,
34
+
4
⋅
(
h
w
a
)
2
{\displaystyle k_{\tau }=5{,}34+4\cdot \left({\frac {h_{w}}{a}}\right)^{2}}
k
τ
=
5
,
34
+
4
⋅
(
0
,
3
5
)
2
{\displaystyle k_{\tau }=5{,}34+4\cdot \left({\frac {0{,}3}{5}}\right)^{2}}
kτ = 5,3544
Schubbeulschlankheit
λ
¯
w
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}}
λ
¯
w
=
h
w
37,421
⋅
t
⋅
ϵ
⋅
k
τ
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}={\frac {h_{w}}{37{,}421\cdot t\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\tau }}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)
λ
¯
w
=
0
,
3
37,421
⋅
0,003
⋅
0,813
⋅
5
,
35
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}={\frac {0{,}3}{37{,}421\cdot 0{,}003\cdot 0{,}813\cdot {\sqrt {5{,}35}}}}}
λ
¯
w
=
1,419
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}=1{,}419}
Einzelfeldbeulen ist nicht maßgebend.
λ
¯
w
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}}
= MIN(1,419;2,129)= 2,129
für
λ
¯
w
{\displaystyle {\overline {\lambda }}_{w}}
> 0,82/η gilt:
χ
w
=
1
,
37
0
,
7
+
λ
¯
w
=
1
,
37
0
,
7
+
2,129
{\displaystyle \chi _{w}={\frac {1{,}37}{0{,}7+{\overline {\lambda }}_{w}}}={\frac {1{,}37}{0{,}7+2{,}129}}}
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)
χw = 0,4842
V
b
,
w
,
R
d
=
χ
w
⋅
f
y
w
⋅
h
w
⋅
t
γ
M
0
⋅
3
{\displaystyle V_{b{,}w{,}Rd}={\frac {\chi _{w}\cdot f_{yw}\cdot h_{w}\cdot t}{\gamma _{M0}\cdot {\sqrt {3}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)
V
b
,
w
,
R
d
=
0,484
⋅
355
⋅
0
,
6
⋅
3
1
⋅
3
{\displaystyle V_{b{,}w{,}Rd}={\frac {0{,}484\cdot 355\cdot 0{,}6\cdot 3}{1\cdot {\sqrt {3}}}}}
Vb,w,Rd = 178,6kN
Der Beitrag der Flansche wird vernachlässigt, weil die Flansche stark ausgelastet sind.
Vb,Rd = Vb,w,Rd = 178,6kN
Schubbeulnachweis
η
3
=
V
E
d
V
b
,
R
d
=
70
,
13
178
,
6
{\displaystyle \eta _{3}={\frac {V_{Ed}}{V_{b{,}Rd}}}={\frac {70{,}13}{178{,}6}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.1)0
η3 = 0,3926 < 1
Nachweis erfüllt
Der Träger muss die Einzellast von 9,3 aufnehmen können. Da dies ein langer Formelapparat ist, bei dem nichts neu ist und der schon einmal im zweiten Rechenbeispiel Kapitel VI durchgearbeitet wurde, wird die Berechnung übersprungen.
Die Längssteife trägt nicht mit.
Leff = 0,0524
FRd = fyd ∙ Leff ∙ tw (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.1)
FRd = 355000∙0,0524∙0,003
FRd = 55,81kN
Nachweis
η
2
=
F
E
d
F
R
d
=
9
,
3
55
,
81
{\displaystyle \eta _{2}={\frac {F_{Ed}}{F_{Rd}}}={\frac {9{,}3}{55{,}81}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.14)
η2 = 0,16662
Nachweis erfüllt
Zuerst muss das plastische Moment ausgerechnet werden. Die Steife trägt mit.
Die Skizze hat keinen relativen Maßstab und ist auf das wichtigste reduziert.
Flächenhalbierende
A= 213 + 1112 + 688 + 637 + 180 + 180
A= 3010mm²
A/2= 1505mm²
Die Flächenhalbierende liegt im Steg über der unteren Steife.
Die wirkende Normalkraft zehrt den Steg von der Flächenhalbierenden beginnend auf.
A
N
=
N
f
y
d
=
251
,
5
35
,
5
=
7,085
c
m
2
{\displaystyle A_{N}={\frac {N}{f_{yd}}}={\frac {251{,}5}{35{,}5}}=7{,}085cm^{2}}
AN = 708,5mm²
AN /2= 352,2mm²
Diese Fläche zehrt den gesamten Steg zwischen den Steifen auf. Dann werden die Steifen geschwächt. Die Flächen der Steifen werden zur Vereinfachung in einem Punkt konzentriert.
Restflächen der Steifen
As,o = As + 70,666 ∙3 - 352,2
As,o = 180 + 212 -352,2
As,o = 37,8mm²
As,u = As + 79,333 ∙3 - 352,2
As,u = 180 + 238 - 352,2
As,u = 63,8mm²
W
=
∑
(
213
⋅
372
,
1
6
¯
637
⋅
232
,
8
3
¯
900
⋅
220
,
6
¯
450
⋅
154
,
3
37
,
8
⋅
70
,
6
¯
63
,
8
⋅
79
,
3
¯
)
=
∑
(
7927
148315
19860
69450
2670
5059
)
{\displaystyle W=\sum {\begin{pmatrix}213\cdot 372{,}1{\overline {6}}\\637\cdot 232{,}8{\overline {3}}\\900\cdot 220{,}{\overline {6}}\\450\cdot 154{,}3\\37{,}8\cdot 70{,}{\overline {6}}\\63{,}8\cdot 79{,}{\overline {3}}\end{pmatrix}}=\sum {\begin{pmatrix}7927\\148315\\19860\\69450\\2670\\5059\end{pmatrix}}}
W= 503473mm³
MPl,Rd = W∙fyd = 0,503473∙355
MPl,Rd = 178,7
Tragfähigkeit Mf,Rd der Flansche allein
Mf,Rd = MIN(A1 ;A2 )∙ (hw + tf1 /2 + tf2 /2)∙fyd Eurocode 7.1.3
Mf,Rd = 213∙(600 + 1,5 + 3,5)∙355
Mf,Rd = 45,747kN
Da noch eine Normalkraft wirkt, muss Mf,Rd reduziert werden.
F
a
k
t
o
r
=
1
−
|
N
E
d
|
(
A
f
1
+
A
f
2
)
⋅
f
y
d
{\displaystyle Faktor=1-{\frac {|N_{Ed}|}{(A_{f1}+A_{f2})\cdot f_{yd}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.9)
F
a
k
t
o
r
=
1
−
251
,
5
(
213
+
637
)
⋅
0,355
{\displaystyle Faktor=1-{\frac {251{,}5}{(213+637)\cdot 0{,}355}}}
Faktor= 0,1665
Mf,Rd := Mf,Rd ∙ Faktor
Mf,Rd = 45,747∙ 0,1665kN
Mf,Rd = 7,618kN
Der Interaktionsnachweis darf im Abstand x geführt werden. Die Höhe ist das größte Beulfeld.
x
=
h
w
−
h
2
2
=
0
,
6
−
0
,
3
2
{\displaystyle x={\frac {h_{w}-h_{2}}{2}}={\frac {0{,}6-0{,}3}{2}}}
x= 0,15
MEd = MEd,N - x∙V + x²∙q/2
MEd = 82,83 - 0,15∙70,13 + 0,15²∙18/2
MEd = 72,51
VEd := VEd - x∙q
VEd = 70,13 - 0,15∙18
VEd = 67,43kN
η
¯
1
=
M
A
X
(
M
E
d
M
p
l
,
R
d
;
M
f
,
R
d
M
P
l
,
R
d
)
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{1}=MAX\left({\frac {M_{Ed}}{M_{pl{,}Rd}}};{\frac {M_{f{,}Rd}}{M_{Pl{,}Rd}}}\right)}
η
¯
1
=
72
,
51
178
,
7
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{1}={\frac {72{,}51}{178{,}7}}}
η
¯
1
=
0
,
4057
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{1}=0,4057}
η
¯
3
=
V
V
R
d
=
67
,
43
178
,
6
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{3}={\frac {V}{V_{Rd}}}={\frac {67{,}43}{178{,}6}}}
η
¯
3
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{3}}
= MIN(0,5;0,3788)
η
¯
3
=
0
,
5
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{3}=0,5}
Nachweis
η
¯
1
+
(
1
−
M
f
,
R
d
M
p
l
,
R
d
)
⋅
(
2
⋅
η
¯
3
−
2
)
2
<
1
{\displaystyle {\overline {\eta }}_{1}+\left(1-{\frac {M_{f{,}Rd}}{M_{pl{,}Rd}}}\right)\cdot (2\cdot {\overline {\eta }}_{3}-2)^{2}<1}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 7.1)
0,405
7
+
(
1
−
7
,
61
178
,
7
)
⋅
(
2
⋅
0
,
5
−
1
)
2
{\displaystyle 0{,}4057+\left(1-{\frac {7{,}61}{178{,}7}}\right)\cdot (2\cdot 0{,}5-1)^{2}}
0,4057 < 1
Nachweis erfüllt
Interaktion zwischen η1 und η2
η
2
+
0
,
8
⋅
η
1
1
,
4
<
1
{\displaystyle {\frac {\eta _{2}+0{,}8\cdot \eta _{1}}{1{,}4}}<1}
0,166
63
+
0
,
8
⋅
0,405
7
1
,
4
{\displaystyle {\frac {0{,}16663+0{,}8\cdot 0{,}4057}{1{,}4}}}
0,35084 < 1
Nachweis erfüllt.
Für den Träger sind bestimmte Mindestanforderungen zu erfüllen. Die Mindestanforderungen sind in allen Rechenbeispielen eingehalten.
Mindestanforderungen an die Längssteife
Eine Längssteife muss mindestens so steif sein, dass sie nicht biegedrillknickt. Dies ist der Fall, wenn
I
T
I
p
>
5
,
3
⋅
f
y
E
{\displaystyle {\frac {I_{T}}{I_{p}}}>5{,}3\cdot {\frac {f_{y}}{E}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.3)
Dieser Nachweis wird auf das einheitliche Format umgeformt:
5
,
3
⋅
f
y
⋅
I
p
I
T
⋅
E
<
1
{\displaystyle {\frac {5{,}3\cdot f_{y}\cdot I_{p}}{I_{T}\cdot E}}<1}
Torsionsträgheitsmoment It
I
t
=
b
s
l
⋅
t
s
l
3
3
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
3
3
{\displaystyle I_{t}={\frac {b_{sl}\cdot t_{sl}^{3}}{3}}+{\frac {(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}^{3}}{3}}}
I
t
=
30
⋅
4
3
3
+
20
⋅
3
3
3
{\displaystyle I_{t}={\frac {30\cdot 4^{3}}{3}}+{\frac {20\cdot 3^{3}}{3}}}
It = 820mm4
Polares Trägheitsmoment Ip um den Anschlusspunkt der Steife an den Steg.
I
y
=
t
s
l
⋅
b
s
l
3
3
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
t
s
l
2
3
12
+
t
s
l
2
⋅
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
(
b
s
l
−
t
s
l
2
2
)
2
{\displaystyle I_{y}={\frac {t_{sl}\cdot b_{sl}^{3}}{3}}+{\frac {(h_{sl}-t_{sl})\cdot t_{sl2}^{3}}{12}}+t_{sl2}\cdot (h_{sl}-t_{sl})\cdot \left(b_{sl}-{\frac {t_{sl2}}{2}}\right)^{2}}
I
y
=
4
⋅
30
3
3
+
20
⋅
3
3
12
+
3
⋅
(
20
)
⋅
(
30
−
3
2
)
2
{\displaystyle I_{y}={\frac {4\cdot 30^{3}}{3}}+{\frac {20\cdot 3^{3}}{12}}+3\cdot (20)\cdot \left(30-{\frac {3}{2}}\right)^{2}}
Iy = 36000 + 45 + 48735
Iy = 84780mm4
I
z
=
b
s
l
⋅
t
s
l
3
12
+
(
h
s
l
−
t
s
l
)
3
⋅
t
s
l
2
12
+
t
s
l
2
⋅
(
h
s
l
−
t
s
l
)
⋅
(
h
s
l
2
)
2
{\displaystyle I_{z}={\frac {b_{sl}\cdot t_{sl}^{3}}{12}}+{\frac {(h_{sl}-t_{sl})^{3}\cdot t_{sl2}}{12}}+t_{sl2}\cdot (h_{sl}-t_{sl})\cdot \left({\frac {h_{sl}}{2}}\right)^{2}}
I
z
=
4
3
⋅
30
12
+
20
3
⋅
3
12
+
3
⋅
(
20
)
⋅
(
24
2
)
2
{\displaystyle I_{z}={\frac {4^{3}\cdot 30}{12}}+{\frac {20^{3}\cdot 3}{12}}+3\cdot (20)\cdot \left({\frac {24}{2}}\right)^{2}}
Iz = 160 + 2000 + 8640
Iz = 10800mm4
Ip = Iy + Iz
Ip = 84780 + 10800
Ip = 95580mm4
Die Formel für Iw ist höchstwahrscheinlich falsch. Sie ist aus dem Kommentar [7] zum Eurocode entnommen, im dem zwischen tsl und tsl2 nicht unterschieden wird.
I
w
=
(
b
s
l
−
t
s
l
+
t
s
l
2
4
)
2
⋅
h
s
l
2
⋅
t
s
l
+
t
s
l
2
6
{\displaystyle I_{w}=\left(b_{sl}-{\frac {t_{sl}+t_{sl2}}{4}}\right)^{2}\cdot h_{sl}^{2}\cdot {\frac {t_{sl}+t_{sl2}}{6}}}
I
w
=
(
30
−
7
4
)
2
⋅
24
3
⋅
7
6
=
798
⋅
16128
{\displaystyle I_{w}=\left(30-{\frac {7}{4}}\right)^{2}\cdot 24^{3}\cdot {\frac {7}{6}}=798\cdot 16128}
Iw = 12870144mm6 = 1,287∙10-11 m4
Nachweis
5
,
3
⋅
f
y
⋅
I
p
I
T
⋅
E
<
1
{\displaystyle {\frac {5{,}3\cdot f_{y}\cdot I_{p}}{I_{T}\cdot E}}<1}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.3)
5
,
3
⋅
355
⋅
10
6
⋅
95580
210
⋅
10
9
⋅
820
=
1,044
3
≮
1
{\displaystyle {\frac {5{,}3\cdot 355\cdot 10^{6}\cdot 95580}{210\cdot 10^{9}\cdot 820}}=1{,}0443\not <1}
Nachweis nicht erfüllt
Es kann auch ein genauerer Nachweis geführt werden. Der Eurocode fordert σcr > θ∙ fyd mit θ=6, gibt aber keine Formel für die Berechnung von σcr an. Der Kommentar [7] zum Eurocode 1993-1-5 enthält im letzten „worked Example“ den benötigten Formelapparat. Der Nachweis wird vereinheitlicht zu
6
⋅
f
y
d
σ
c
r
<
1
{\displaystyle {\frac {6\cdot f_{yd}}{\sigma _{cr}}}<1}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 9.4)
Drehfedersteifigkeit cθ
c
θ
=
E
⋅
t
w
3
3
⋅
b
=
210
⋅
10
9
⋅
0,003
3
3
⋅
0
,
15
{\displaystyle c_{\theta }={\frac {E\cdot t_{w}^{3}}{3\cdot b}}={\frac {210\cdot 10^{9}\cdot 0{,}003^{3}}{3\cdot 0{,}15}}}
mit b= Abstand zwischen den Steifen
cθ = 12600N
Dann errechnet man eine Länge Lcr , die kleiner sein muss, als der Quersteifenabstand, damit die Formel angewendet werden darf.
L
c
r
=
π
⋅
E
I
w
c
θ
4
{\displaystyle L_{cr}=\pi \cdot {\sqrt[{4}]{\frac {EI_{w}}{c_{\theta }}}}}
L
c
r
=
π
⋅
210
⋅
10
9
⋅
1,287
⋅
10
−
11
12600
4
{\displaystyle L_{cr}=\pi \cdot {\sqrt[{4}]{\frac {210\cdot 10^{9}\cdot 1{,}287\cdot 10^{-11}}{12600}}}}
Lcr = 0,38m < a=5m
Formel ist gültig
σ
c
r
=
2
⋅
c
θ
⋅
E
⋅
I
w
+
G
I
t
I
p
{\displaystyle \sigma _{cr}={\frac {2\cdot {\sqrt {c_{\theta }\cdot E\cdot I_{w}}}+GI_{t}}{I_{p}}}}
σ
c
r
=
2
⋅
12600
⋅
210
⋅
10
9
⋅
1,287
⋅
10
−
11
+
80
,
77
⋅
10
9
⋅
820
⋅
10
−
12
9,558
⋅
10
−
8
=
369
+
66
9,558
⋅
10
−
8
{\displaystyle \sigma _{cr}={\frac {2\cdot {\sqrt {12600\cdot 210\cdot 10^{9}\cdot 1{,}287\cdot 10^{-11}}}+80{,}77\cdot 10^{9}\cdot 820\cdot 10^{-12}}{9{,}558\cdot 10^{-8}}}={\frac {369+66}{9{,}558\cdot 10^{-8}}}}
σcr = 4554N/mm²
6
⋅
f
y
d
σ
c
r
<
1
{\displaystyle {\frac {6\cdot f_{yd}}{\sigma _{cr}}}<1}
6
⋅
355
4554
=
0
,
4677
<
1
{\displaystyle {\frac {6\cdot 355}{4554}}=0,4677<1}
Nachweis erfüllt
Starres Auflager Einheiten der Kampfkrafttheorie
Mindestanforderungen an die Quersteifen
Es sind keine Quersteifen vorhanden. Für Quersteifen muss ein Nachweis gegen Biegedrillknicken geführt werden und die Anforderungen nach Eurocode 9.2.1 müssen eingehalten werden. Im Mittelauflager soll eine beidseitige steife Quersteife eingebaut werden.
An den Trägerenden müssen 2 Quersteifen als starre
Auflagersteife eingebaut werden. Die Fläche einer solchen
Quersteife muss mindestens sein:
A
=
4
⋅
h
w
⋅
t
2
e
{\displaystyle A={\frac {4\cdot h_{w}\cdot t^{2}}{e}}}
(Eurocode 1993-1-5 9.3.1.3)
Dabei ist e der Steifenabstand. Er muss größer als ein
Zehntel der Steghöhe sein.
Sind die Quersteifen 10cm entfernt, 6mm dick und 36mm hoch, so ist der Nachweis erfüllt
6
⋅
36
=
4
⋅
600
⋅
3
2
100
{\displaystyle 6\cdot 36={\frac {4\cdot 600\cdot 3^{2}}{100}}}
216= 216 OK
flanschinduziertes Stegbeulen
Dass der Flansch in den Steg einbeult, wird verhindert, wenn folgendes Kriterium eingehalten ist:
h
w
t
w
<
k
⋅
E
f
y
d
⋅
A
w
A
f
c
{\displaystyle {\frac {h_{w}}{t_{w}}}<{\frac {k\cdot E}{f_{yd}}}\cdot {\sqrt {\frac {A_{w}}{A_{fc}}}}}
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 8.1)
mit
Aw = Stegfläche
Acf = effektive Querschnittsfläche des Druckflansches
k= 0,55 für elastische Bemessung
h
w
t
w
=
600
3
=
200
{\displaystyle {\frac {h_{w}}{t_{w}}}={\frac {600}{3}}=200}
k
⋅
E
f
y
d
⋅
A
w
A
f
c
=
0
,
55
⋅
210000
355
⋅
3
⋅
600
7
⋅
91
=
546
,
9
{\displaystyle {\frac {k\cdot E}{f_{yd}}}\cdot {\sqrt {\frac {A_{w}}{A_{fc}}}}={\frac {0{,}55\cdot 210000}{355}}\cdot {\sqrt {\frac {3\cdot 600}{7\cdot 91}}}=546{,}9}
200 < 546,9
Flanschinduziertes Stegbeulen ist ausgeschlossen.
Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie