Eine Einfeldkastenträgerstütze aus S355 wird mit 3kN/m und -431kN belastet. Der Kastenträger ist unausgesteift. Die Skizze hat einen irrationalen Maßstab und die Dicken sind zehnfach überhöht.
Statisches System
Maße des Querschnitts
oberer Flansch |
bf2 |
0,29 |
tf2 |
0,003
|
---|
unterer Flansch |
bf1 |
0,29 |
tf1 |
0,003
|
Steg |
hw |
0,39 |
tw |
0,003
|
Schnittgrößen
- M= q∙L²/8
- M= 3∙7²/8
- M= 18,375kNm
- N= - 433,1kN
- V= q∙L/2
- V= 3∙7/2= 10,5kN

Schubverzerrung
- b0= 0,29/2= 0,145
- Le= L1
- Le= 7m

- K= 0,0207 ≈ 0,02
- ß= f(k) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)

- ß= 0,998
effektive Querschnittsfläche
- Aeff= MAX (Ac,eff ∙ ßk; Ac,eff ∙ ß)
- ßk ist maßgebend, da k < 1
- ßk= 0,9980,0207
- ßk= 0,99994 ≈ 1
Schubverzerrung wird vernachlässigt
Grenz c/t
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)

Beulnachweis erforderlich
- kσ= 4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)


(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
- ρ= 0,45303
Für den Biegeknicknachweis werden die Querschnittswerte des vollständigen Trägers verwendet. Für die Beulnachweise wird mit geschwächten Flanschen gerechnet. Daher müssen diese Werte jetzt berechnet werden, bevor die Flanschlänge überschrieben wird.
- As= bf2∙tf2 + 2∙hw∙tw + bf1∙tf1
- As= 290∙3 + 390∙3∙2 + 290∙3
- As= 4080mm²
Der Schwerpunkt liegt wegen Doppelsymmetrie in der Mitte.
- hs = hw/2= 195mm
Flächenträgheitsmoment Iy


- Iy= 10-5∙(2,966+ 6,718 + 0)
- Iy= 9,684∙10-5m4
Flächenträgheitsmoment Iz


- Iz= 10-5∙(1,22+ 4,62)
- Iz= 5,839∙10-5m4
Jetzt kann die Flanschbreite überschrieben werden.
- bf:= ρ∙(bf -6∙tw)+6∙tw
- bf:= 0,45303∙(0,29-6∙0,003)+6∙0,003
- bf:= 0,1412
Vereinfachend wird mit der kürzeren Länge beider Flansche weiter gerechnet. Für den unteren Flansch darf eine größere Breite angesetzt werden, in dem die Schlankheit in Abhängigkeit der vorhandenen Spannung reduziert wird. Doch dies erfordert eine iterative Berechnung.
BruttoquerschnittswerteBearbeiten
- As= bf2∙tf2 + 2∙hw∙tw + bf1∙tf1
- As= 141,2∙3 + 2∙390∙3 + 141,2∙3
- As= 3187mm²
Der Schwerpunkt hs wird vom oberen Stegende aus nach unten gemessen.



- hs =195mm
Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen


- I= 10-5∙(2,966+ 1,636 + 1,636 + 0)
- I= 6,238∙10-5m4
Spannung σ2 im oberen Stegende


- σ2= -57,44 - 135,88
- σ2= -193,32N/mm²
Spannung σ1 im unteren Stegende
- σ1= 57,44 - 135,88
- σ1= - 78,44N/mm²
Spannungsnulllinie S


- S= 0,656m
Die Spannungsnulllinie liegt außerhalb des Trägers
- b= 0,39m
Randspannungsverhältnis ψ

- ψ= 0,406
Beulwert kσ
(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
- kσ= 5,633
Beulschlankheitsgrad
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)


Abminderungsfaktor ρ
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
- ρ = (2,367 - 0,055∙(3 + 0,406))/2,367²
- ρ = 0,38895
Bruttobreiten
(Eurocode 1993-1-5 Bild A.1)
- bu= 0,1697
- bo= b - bu = 0,39 - 0,17
- bo= 0,2202
wirksame Breiten
- bu1,eff= bu∙ρ = 0,1697∙0,38895
- bu1,eff= 0,06603
- bo1,eff= bo∙ρ = 0,2202∙0,38895
- bo1,eff = 0,08558
- Σbeff = 0,06603 + 0,08565
- Σbeff = 0,1517
- Verlust= b - Σbeff
- Verlust= 0,39 - 0,1517
- Verlust= 0,2383m
Knickstabähnliches Verhalten ist ausgeschlossen, weil das Beulfeld wesentlich länger ist als es hoch ist.
Abminderungsfaktor ρc für Plattenbeulen
- ρc= 0,38895
Wirksame QuerschnittswerteBearbeiten
Die Berechnung der wirksamen Querschnittswerte wird übersprungen.
- Aeff= 0,001757m²
- heff= 0,20298
- Iy,eff= 5,536∙10-5 m4


- Iz,eff= 10-5∙(5,839 - 0,1647 - 2,822)
- Iz,eff= 2,851∙10-5m4
Widerstandsmoment oben |
Widerstandsmoment unten
|
---|
 |
|
 |
|
Weff,o= 2,704∙10-4m³ |
Weff,u= 2,934∙10- 4m³
|
MRd= Weff,o∙fyd |
MRd,u= Weff,u∙fyd |
MRd= 2,704∙10-4∙355000 |
MRd,u= 2,934∙10- 4∙355000
|
MRd= 96,1kNm |
MRd,u= 104,3kNm
|
Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.
- MEd,N= MEd + NEd∙(Hs,eff - Hs)
- MEd,N= 18,375 + ( - 433)∙(0,195 - 0,203)= 18,375+ 3,464
- MEd,N= 21,83kNm
Nachweis
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)4

- η1= 0,228 + 0,694
- η1= 0,9213
Nachweis erfüllt
Querschnittsnachweis unten


- η1u= - 0,209 + 0,694
- η1u= 0,484
Nachweis erfüllt
Querschnittswerte Eurocode
|
Werte |
Nettowerte
|
---|
A |
0,00408 |
0,0017575
|
Iy |
0,00009685 |
0,00005536
|
Iz |
0,00005839 |
0,00002852
|
Es werden die Werte des ungeschwächten Querschnitts und die Fläche des effektiven Querschnittes benötigt.
Nachweisformat
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
- Nb,Rd= χ∙Aeff∙fyd/γM1 (Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.48)
Um mit der DIN vergleichen zu können, werden diese beiden Gleichungen zu einem einheitlichen Nachweis verschmolzen.
Biegeknicknachweis

Nachweis gegen Biegeknicken um die schwache Achse

wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.

- Ncr= 2,469MN
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)


- α= 0,34 für geschweiße Kastenquerschnitte (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.2)

- Φ= 0,5∙(1+ 0,34∙(0,503-0,2)+0,503²)
- Φ= 0,678
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)

- χ= 0,88306
Nachweis
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)

- 0,7861 < 1
Nachweis erfüllt
Nachweis gegen Biegeknicken um die starke Achse

- wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.

- Ncr= 4,097MN
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)



- Φ= 0,5∙(1+0,34∙(0,39-0,2) + 0,39²)
- Φ= 0,608
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)

- χ= 0,92992
Nachweis
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)

- 0,7463 < 1
Nachweis erfüllt
Biegung mit Normalkraft
- cmy= 0,95 für ψ=0 (ψ ≠ Randspannungsverhältnis) und αn=0 mit ψ und αn nach Tabelle B.3
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle B.1)
- kyy= 0,95∙(1+0,6∙0,39∙0,7463)
- kyy= 1,116
- My,Rk= Weff∙ fyd (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.7)
- My,Rk= 96,11kN
Nachweis
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.61)

- 0,7463+ 0,2536
- 1 < 1
Nachweis erfüllt
Schubbeulen und InteraktionBearbeiten
Der Schubnachweis ist erfüllt, wird aber nicht gezeigt. Bei Einfeldträgern leisten die Flansche einen Beitrag zur Schubtragfähigkeit, aber laut Eurocode 1993-1-5 Kapitel 7.1.5 ist für Kastenträger Mf,Rd=0. Damit können Kastenträger keinen Beitrag zur Schubtragfähigkeit leisen.
Der Interaktionsnachweis wird nicht geführt, weil Schub und Biegung an unterschiedlichen Stellen sind.