Plattenbeulen/ viertes Rechenbeispiel/ EuroB

Geometrie

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Eine Einfeldkastenträgerstütze aus S355 wird mit 3kN/m und -431kN belastet. Der Kastenträger ist unausgesteift. Die Skizze hat einen irrationalen Maßstab und die Dicken sind zehnfach überhöht.

Statisches System
Querschnitt
Maße des Querschnitts
oberer Flansch bf2 0,29 tf2 0,003
unterer Flansch bf1 0,29 tf1 0,003
Steg hw 0,39 tw 0,003

Schnittgrößen

M= q∙L²/8
M= 3∙7²/8
M= 18,375kNm
N= - 433,1kN
V= q∙L/2
V= 3∙7/2= 10,5kN

Schubverzerrung

b0= 0,29/2= 0,145
Le= L1
Le= 7m
K= 0,0207 ≈ 0,02
ß= f(k) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)
ß= 0,998

effektive Querschnittsfläche

Aeff= MAX (Ac,eff ∙ ßk; Ac,eff ∙ ß)
ßk ist maßgebend, da k < 1
ßk= 0,9980,0207
ßk= 0,99994 ≈ 1

Schubverzerrung wird vernachlässigt

Grenz c/t

(Eurocode 1993-1-1 Tabelle 5.2)

Beulnachweis erforderlich

kσ= 4
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)
(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ= 0,45303

Für den Biegeknicknachweis werden die Querschnittswerte des vollständigen Trägers verwendet. Für die Beulnachweise wird mit geschwächten Flanschen gerechnet. Daher müssen diese Werte jetzt berechnet werden, bevor die Flanschlänge überschrieben wird.

As= bf2∙tf2 + 2∙hw∙tw + bf1∙tf1
As= 290∙3 + 390∙3∙2 + 290∙3
As= 4080mm²

Der Schwerpunkt liegt wegen Doppelsymmetrie in der Mitte.

hs = hw/2= 195mm

Flächenträgheitsmoment Iy

Iy= 10-5∙(2,966+ 6,718 + 0)
Iy= 9,684∙10-5m4

Flächenträgheitsmoment Iz

Iz= 10-5∙(1,22+ 4,62)
Iz= 5,839∙10-5m4

Jetzt kann die Flanschbreite überschrieben werden.

bf:= ρ∙(bf -6∙tw)+6∙tw
bf:= 0,45303∙(0,29-6∙0,003)+6∙0,003
bf:= 0,1412

Vereinfachend wird mit der kürzeren Länge beider Flansche weiter gerechnet. Für den unteren Flansch darf eine größere Breite angesetzt werden, in dem die Schlankheit in Abhängigkeit der vorhandenen Spannung reduziert wird. Doch dies erfordert eine iterative Berechnung.

Bruttoquerschnittswerte

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As= bf2∙tf2 + 2∙hw∙tw + bf1∙tf1
As= 141,2∙3 + 2∙390∙3 + 141,2∙3
As= 3187mm²

Der Schwerpunkt hs wird vom oberen Stegende aus nach unten gemessen.

hs =195mm

Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen

I= 10-5∙(2,966+ 1,636 + 1,636 + 0)
I= 6,238∙10-5m4

Spannung σ2 im oberen Stegende

σ2= -57,44 - 135,88
σ2= -193,32N/mm²

Spannung σ1 im unteren Stegende

σ1= 57,44 - 135,88
σ1= - 78,44N/mm²

Spannungsnulllinie S

S= 0,656m

Die Spannungsnulllinie liegt außerhalb des Trägers

Berechnung von ρc

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b= 0,39m

Randspannungsverhältnis ψ

ψ= 0,406

Beulwert kσ

(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)
kσ= 5,633

Beulschlankheitsgrad

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)

Abminderungsfaktor ρ

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)
ρ = (2,367 - 0,055∙(3 + 0,406))/2,367²
ρ = 0,38895

Bruttobreiten

(Eurocode 1993-1-5 Bild A.1)
bu= 0,1697
bo= b - bu = 0,39 - 0,17
bo= 0,2202

wirksame Breiten

bu1,eff= bu∙ρ = 0,1697∙0,38895
bu1,eff= 0,06603
bo1,eff= bo∙ρ = 0,2202∙0,38895
bo1,eff = 0,08558
Σbeff = 0,06603 + 0,08565
Σbeff = 0,1517
Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,39 - 0,1517
Verlust= 0,2383m

Knickstabähnliches Verhalten ist ausgeschlossen, weil das Beulfeld wesentlich länger ist als es hoch ist.

Abminderungsfaktor ρc für Plattenbeulen

ρc= 0,38895

Wirksame Querschnittswerte

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Die Berechnung der wirksamen Querschnittswerte wird übersprungen.

Aeff= 0,001757m²
heff= 0,20298
Iy,eff= 5,536∙10-5 m4
Iz,eff= 10-5∙(5,839 - 0,1647 - 2,822)
Iz,eff= 2,851∙10-5m4
Widerstandsmoment oben Widerstandsmoment unten
Weff,o= 2,704∙10-4 Weff,u= 2,934∙10- 4
MRd= Weff,o∙fyd MRd,u= Weff,u∙fyd
MRd= 2,704∙10-4∙355000 MRd,u= 2,934∙10- 4∙355000
MRd= 96,1kNm MRd,u= 104,3kNm

Der verschobene Schwerpunkt erhöht das Moment.

MEd,N= MEd + NEd∙(Hs,eff - Hs)
MEd,N= 18,375 + ( - 433)∙(0,195 - 0,203)= 18,375+ 3,464
MEd,N= 21,83kNm

Nachweis

(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1)4
η1= 0,228 + 0,694
η1= 0,9213

Nachweis erfüllt

Querschnittsnachweis unten

η1u= - 0,209 + 0,694
η1u= 0,484

Nachweis erfüllt

Biegeknicknachweis

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Querschnittswerte Eurocode
Werte Nettowerte
A 0,00408 0,0017575
Iy 0,00009685 0,00005536
Iz 0,00005839 0,00002852

Es werden die Werte des ungeschwächten Querschnitts und die Fläche des effektiven Querschnittes benötigt.

Nachweisformat

(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
Nb,Rd= χ∙Aeff∙fydM1 (Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.48)

Um mit der DIN vergleichen zu können, werden diese beiden Gleichungen zu einem einheitlichen Nachweis verschmolzen.

Biegeknicknachweis


Nachweis gegen Biegeknicken um die schwache Achse

wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.

Ncr= 2,469MN
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)
α= 0,34 für geschweiße Kastenquerschnitte (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.2)
Φ= 0,5∙(1+ 0,34∙(0,503-0,2)+0,503²)
Φ= 0,678
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)
χ= 0,88306

Nachweis

(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
0,7861 < 1

Nachweis erfüllt

Nachweis gegen Biegeknicken um die starke Achse

wobei Ncr und Iy nach Eurocode 1993-1-1 Gl. 6.49 mit Bruttoquerschnittsgrößen berechnet werden.
Ncr= 4,097MN
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.51)
Φ= 0,5∙(1+0,34∙(0,39-0,2) + 0,39²)
Φ= 0,608
(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.49)
χ= 0,92992

Nachweis

(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.46)
0,7463 < 1

Nachweis erfüllt

Biegung mit Normalkraft

cmy= 0,95 für ψ=0 (ψ ≠ Randspannungsverhältnis) und αn=0 mit ψ und αn nach Tabelle B.3
(Eurocode 1993-1-1 Tabelle B.1)
kyy= 0,95∙(1+0,6∙0,39∙0,7463)
kyy= 1,116
My,Rk= Weff∙ fyd (Eurocode 1993-1-1 Tabelle 6.7)
My,Rk= 96,11kN

Nachweis

(Eurocode 1993-1-1 Gleichung 6.61)
0,7463+ 0,2536
1 < 1

Nachweis erfüllt


Schubbeulen und Interaktion

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Der Schubnachweis ist erfüllt, wird aber nicht gezeigt. Bei Einfeldträgern leisten die Flansche einen Beitrag zur Schubtragfähigkeit, aber laut Eurocode 1993-1-5 Kapitel 7.1.5 ist für Kastenträger Mf,Rd=0. Damit können Kastenträger keinen Beitrag zur Schubtragfähigkeit leisen.

Der Interaktionsnachweis wird nicht geführt, weil Schub und Biegung an unterschiedlichen Stellen sind.


Modell der wirksamen Spannungen nach dem Eurocode 1993-1-5

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Bei dem Spannungsnachweis fließen die Abminderungsfaktoren für Beulen und Knicken ein.

ρc= 0,38895
χ= 0,92992

Spannungsnachweis

 
 
 

Nachweis nicht erfüllt



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: Eurocode ;DIN ;Zusammenfassung