Plattenbeulen/ Berechnung der semiplastischen Tragfähigkeit

Für reine Biegeträger ist es sinnvoll, den Druckflansch etwas dicker zu machen. Das hat 2 Vorteile. Zum einen rutscht der Schwerpunkt herunter, sodass größere Zugbereiche und größere Beulwerte entstehen. Zum anderen muss der Druckflansch, der nicht seine volle Streckgrenze erreicht, nicht so viele Spannungen aufnehmen. Jedoch entsteht das kleine Problem, dass der Zugflansch schnell seine Streckgrenze erreicht.

Abhilfe schafft der Eurocode 1993-1-1: (ein Satz über 6.2.2) „(10) Tritt Fließen als Erstes auf der Zugseite des Querschnitts auf, so dürfen bei der Ermittlung der Beanspruchbarkeit von Klasse-3-Querschnitten die plastischen Reserven auf der Zugseite der neutralen Achse durch den Ansatz einer Teilplastizierung ausgenutzt werden.“

Nach dem Eurocode ist plastifizieren im Zugbereich erlaubt. Verbeulte Querschnitte sind aber Klasse 4. Allerdings darf der Beulnachweis ein Stück neben der Stütze geführt werden. Über der Stütze ist dafür ein normaler Spannungsnachweis zu führen. Dieser Spannungsnachweis wird mit ungeschwächtem Querschnitt geführt, also ein Querschnitt Klasse 3.

Da es für das semiplastische Moment keine Formel gibt, wird sie jetzt hergeleitet.

Bei der elastischen Spannungsverteilung ist an einem Trägerende die Streckgrenze erreicht. Bei der plastischen Spannungsverteilung ist die Streckgrenze im ganzen Träger erreicht. Die semiplastische Spannungsverteilung bildet ein Zwischending. Dabei ist die Streckgrenze an beiden Trägerenden und in einem Stegstück erreicht.

Kräfte im semiplastischen Zustand

Es wird eine Vereinfachung getroffen. Die Kraft in den Flanschen wirkt im Schwerpunkt und deren Größe ist Streckgrenze mal Fläche. Dies liegt leicht auf der unsicheren Seite. Es wirkt keine Normalkraft.

Der Trägersteg unterteilt sich in 3 Längen. Länge A beschreibt die Länge des plastifizierten Stegstücks. Länge B beschreibt die Länge des nicht plastifizierten Stegstücks unter Zugspannungen. Länge C beschreibt die Länge des nicht plastifizierten Stegstücks unter Druckspannungen.

Es wirken 5 Kräfte

F₂ ist die Zugkraft des Obergurtes.F₂= A₂∙f_yd

F₁ ist die Druckkraft des Untergurtes.F₁= A₁∙f_yd

F_1EL ist die elastische Druckkraft des unteren Stegstücks.F_1EL= t_w∙c∙f_yd/2

F_2EL ist die elastische Zugkraft des mittleren Stegstücks.F_2EL= t_w∙b∙f_yd/2

F_2PL ist die plastische Zugkraft des oberen Stegstücks.F_2PL= t_w∙a∙f_yd

Zwischen allen Kräften muss Gleichgewicht herrschen.

F₂ + F₁ + F_1EL + F_2EL + F_2PL= 0

Aus Gründen der Dehnung müssen die elastischen Kräfte gleich groß sein.

F_1EL + F_2EL= 0

Es gilt ebenfalls:

c = b

Damit lässt sich das Gleichgewicht vereinfachen zu

F₂ + F₁ + F_2PL= 0 (nach F_2PL umstellen)

F_2PL = F₁ - F₂

F_2PL muss größer als 0 sein, sonst ist die Formel nicht anwendbar.

Nun kann die plastifizierte Länge a ausgerechnet werden.

F_2PL= t_w∙a∙f_yd und F_2PL = F₁ - F₂

F₁ - F₂= t_w∙a∙f_yd

$a={\frac {F_{1}-F_{2}}{t_{w}\cdot f_{yd}}}$ mit F₂= A₂∙f_yd und F₁= A₁∙f_yd

$a={\frac {(A_{1}-A_{2})\cdot f_{yd}}{t_{w}\cdot f_{yd}}}$ f_yd kürzen

$a={\frac {A_{1}-A_{2}}{t_{w}}}$

Die Länge b und c errechnet sich mit:

$b=c={\frac {h_{w}}{2}}-{\frac {a}{2}}={\frac {h_{w}}{2}}-{\frac {A_{1}-A_{2}}{t_{w}\cdot 2}}$

Nun kann das semiplastische Moment ausgerechnet werden. Dabei wird immer Kraft mal Hebelarm gerechnet.

$M_{PE{,}Rd}={\frac {F_{1EL}\cdot 2\cdot b}{3}}+{\frac {F_{2EL}\cdot 2\cdot c}{3}}+F_{1}\cdot \left(c+{\frac {t_{f1}}{2}}\right)+F_{2PL}\cdot \left(b+{\frac {a}{2}}\right)+F_{2}\cdot \left(a+b+{\frac {t_{f2}}{2}}\right)$

Die elastischen Terme können zusammengefasst werden,

da b=c und F_1EL= F_2EL und F_EL= t_w∙b∙f_yw/2

${\frac {F_{1EL}\cdot 2\cdot b}{3}}+{\frac {F_{2EL}\cdot 2\cdot c}{3}}={\frac {4\cdot b^{2}\cdot t_{w}\cdot f_{yw}}{6}}$

Für die anderen Summanden wird die Kraft durch ihre Formel ersetzt. Somit entsteht die endgültige Formel für die semiplastische Momententragfähigkeit.

$M_{PE{,}Rd}={\frac {2\cdot b^{2}\cdot t_{w}\cdot f_{yw}}{3}}+A_{1}\cdot f_{yd1}\cdot \left(b+{\frac {t_{f1}}{2}}\right)+t_{w}\cdot a\cdot f_{yw}\cdot \left(b+{\frac {a}{2}}\right)+A_{2}\cdot f_{yd2}\cdot \left(a+b+{\frac {t_{f2}}{2}}\right)$

Zu dieser Formel gibt es einige Besonderheiten. Die Spannungsnulllinie liegt in der Flächenhalbierenden. Dadurch muss nur in der Formel die 2/3 entfernt werden und schon ergibt sich die Formel für die plastische Momententragfähigkeit. Dies gilt nur für Biegung ohne Normalkraft.

$M_{PE{,}Rd}=b^{2}\cdot t_{w}\cdot f_{yw}+A_{1}\cdot f_{yd1}\cdot \left(b+{\frac {t_{f1}}{2}}\right)+t_{w}\cdot a\cdot f_{yw}\cdot \left(b+{\frac {a}{2}}\right)+A_{2}\cdot f_{yd2}\cdot \left(a+b+{\frac {t_{f2}}{2}}\right)$

Einbau einer Normalkraft in die Gleichung

Da meist noch eine Normalkraft wirkt, muss die Gleichung erweitert werden. Die Normalkraft greift im Schwerpunkt des Trägers an.

Kräfte im semiplastischen Spannungszustand mit Normalkraft

Es muss wieder Gleichgewicht zwischen den 6 Kräften herrschen. Die beiden elastischen Kräfte heben sich auf, sodass F_2PL berechnet werden kann.

F_2PL = F₁ - F₂ + N

F_2PL muss größer als 0 sein, sonst ist die Formel nicht anwendbar. F_2PL ist größer als 0, wenn bei einer elastischen Spannungsermittlung die Zugspannung in der Randfaser größer ist als die Druckspannung.

Nun kann die plastifizierte Länge a ausgerechnet werden

F_2PL= t_w∙a∙f_yd und F_2PL = F₁ - F₂ - N

Richtung von Moment und Normalkraft

F₁ - F₂ + N= t_w∙a∙f_yd

$a={\frac {F_{1}-F_{2}+N}{t_{w}\cdot f_{yd}}}$mit F₂= A₂∙f_yd und F₁= A₁∙f_yd

$a={\frac {(A_{1}-A_{2})\cdot f_{yd}+N}{t_{w}\cdot f_{yd}}}$f_yd kürzen

$a={\frac {A_{1}-A_{2}+N/f_{yd}}{t_{w}}}$

Die Länge b und c errechnet sich mit:

$b=c={\frac {h_{w}}{2}}-{\frac {a}{2}}={\frac {h_{w}}{2}}-{\frac {A_{1}-A_{2}+N/f_{yd}}{t_{w}\cdot 2}}$

Die Formel ändert sich nur um den Term der Normalkraft.

Die Normalkraft dreht um die Spannungsnulllinie mit dem Hebelarm:

a + b - (h_w - S)

$M_{PE{,}Rd}={\frac {2\cdot b^{2}\cdot t_{w}\cdot f_{yw}}{3}}+A_{1}\cdot f_{yd1}\cdot \left(b+{\frac {t_{f1}}{2}}\right)+t_{w}\cdot a\cdot f_{yw}\cdot \left(b+{\frac {a}{2}}\right)+A_{2}\cdot f_{yd2}\cdot \left(a+b+{\frac {t_{f2}}{2}}\right)-N\cdot \left(a+b+S-h_{w}\right)$

Zusammenfassung

$M_{PE{,}Rd}={\frac {2\cdot b^{2}\cdot t_{w}\cdot f_{yw}}{3}}+A_{1}\cdot f_{yd1}\cdot \left(b+{\frac {t_{f1}}{2}}\right)+t_{w}\cdot a\cdot f_{yw}\cdot \left(b+{\frac {a}{2}}\right)+A_{2}\cdot f_{yd2}\cdot \left(a+b+{\frac {t_{f2}}{2}}\right)-N\cdot \left(a+b+S-h_{w}\right)$

mit

$a={\frac {A_{1}-A_{2}+N/f_{yd}}{t_{w}}}$

$b={\frac {h_{w}}{2}}-{\frac {a}{2}}$

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