Plattenbeulen/ Beulen nach beiden Normen und Modelle/ EuroB

Modell der wirksamen Breiten nach dem Eurocode 1993-1-5

Der Eurocode ist so aufgebaut, dass man die Werte in die Formeln einsetzen kann, ohne dabei auf die Einheiten zu achten. Dazu muss man allerdings SI-Einheiten ohne SI-Präfixe verwenden. In dem Lehrbuch werden die gleichen Einheiten wie im Eurocode verwendet, aber mit unterschiedlichen Präfixen.

Maßeinheiten in dem Lehrbuch

Eurocode	Präfix	Einheit		Lehrbuch	Präfix	Einheit
Länge	-	Meter		Länge	-	Meter
Fläche	-	m²		Fläche	-	m²
Kraft	-	Newton		Kraft	Kilo	Newton
Moment	-	Nm		Moment	Kilo	Nm
Spannung	-	N/m²		Spannung	Mega	N/m²

Längen und Flächen werden häufig ohne Präfix angegeben, da diese fast in allen Formeln vorkommen. Für Kräfte und Momente werden zusätzlich Präfixe verwendet. Dadurch wird ein Kompromiss zwischen handlichen Größen und Rechenvereinfachung geschaffen.

Geometrie

Bedeutung der Formelzeichen

allgemeine Formelzeichen für alle Rechenbeispiele

• b_f1= Flanschbreite des unteren Flansches
• b_f2= Flanschbreite des oberen Flansches
• t_f1= Flanschdicke des unteren Flansches
• t_f2= Flanschdicke des oberen Flansches
• σ₁= Spannung im unteren Flansch
• σ₂= Spannung im oberen Flansch
• h_w= Steghöhe
• t_w= Stegdicke
• b_sl= Steifensteghöhe
• h_sl= Steifenflanschbreite
• t_sl= Steifenstegdicke
• t_sl2= Steifenflanschdicke
• h_w1= Lage der unteren Steife
• h_w2= Lage der oberen Steife
• σ_sl1= Spannung in der unteren Steife
• σ_sl2= Spannung in der oberen Steife
• S= Spannungsnulllinie
• h_s= Schwerpunkt des gesamten Trägers

Teilsicherheitsbeiwerte

Die Teilsicherheitsbeiwerte γ_M0 für Tragfähigkeit ist gleich 1 und γ_M1 für Stabilität ist gleich 1,1. Dadurch, dass diese Teilsicherheitsbeiwerte keine beeinflussende Rolle spielen, werden sie in einigen Fällen weggelassen. Das Nationale Anwendungsdokument kann andere Teilsicherheitsbeiwerte festlegen.

γ_M0= 1

γ_M1= 1,1

Schubverzerrung

Schubverzerrung tritt auf, wenn die Flansche lang und schmal sind, während der Träger kurz ist. Dabei kann sich die volle Spannung nur über den Steg aufbauen, während die Flanschenden unvollständig ausgelastet werden. Von unendlich breiten Flanschen trägt nur ein endlicher Teil mit. Dies wird durch eine mittragende Breite berücksichtigt. Nicht mittragende Breiten können nicht beulen. Zugbeanspruchte Querschnittsteile können auch durch Schubverzerrung geschwächt werden.

für b₀ < L_e/50 darf der Einfluss vernachlässigt werden.

L_e= Abstand der Momentennullpunkt

b₀= halbe Flanschbreite

mittragende Breite

b_eff= ß∙b₀ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 3.1)

ß= f(k) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 3.1)

$k={\frac {\alpha _{0}\cdot b_{0}}{L_{e}}}$ mit $\alpha _{0}={\sqrt {1+{\frac {A_{sl}}{b_{0}\cdot t}}}}$

effektive Querschnittsfläche

A_eff= MAX (A_c,eff ∙ ß_k; A_c,eff ∙ ß)

Die Worte effektiv, wirksam und mittragend haben diese Bedeutung

mittragend = berücksichtigt Schubverzerrung

wirksam = berücksichtigt Plattenbeulen

effektiv = mittragend + wirksam

wirksame Flanschbreiten

k_σ= 0,43

${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)

$\rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}188}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}$

b_f:= b_f ∙ρ

Sind die c/t Werte fast eingehalten, so ist ρ fast 1.
Für Längssteifen an Flanschen sind zusätzliche Formelapparate aus zu werten.

Bruttoquerschnittswerte

Für die weitere Berechnung werden Fläche, Flächenmoment zweiten Grades, Schwerpunkt und Spannungsnulllinie benötigt.

Abminderungsfaktor ρ_c

Für Einzelblechfelder ohne Längssteifen gilt:

A_c,eff= A_c∙ρ Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.1

$\rho ={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\Psi )}{{\overline {\lambda }}_{p^{2}}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.2)

${\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}43432\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.3)

k_σ= f(ψ) (Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1)

Statt der effektiven Fläche wird eine effektive Breite berechnet. Zuerst wird der druckbeanspruchte Teil in Bruttobreiten aufgeteilt und dann mit ρ in effektive Breiten umgerechnet.

drei Möglichkeiten des Ausbeulens

Sind Längssteifen vorhanden, so müssen 3 Fälle untersucht werden

Das Ausbeulen der unteren Steife.

Das Ausbeulen der oberen Steife.

Das Ausbeulen der gemeinsamen Steife.

Man nimmt die kleinste kritische Beulspannung. Für Beulen und Knicken mit Längssteifen gibt es im Eurocode Anhang A viele umfangreiche Formeln zur Ermittlung des Beulwertes.

Interaktion zwischen Beulen und Knicken plattenartiges Verhalten

$\sigma _{E}=190000\cdot \left({\frac {t_{w}}{h_{w}}}\right)^{2}$

$\sigma _{cr{,}p}=k_{\sigma }\cdot \sigma _{E}$

knickstabähnliches Verhalten

$\sigma _{cr{,}c}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot t^{2}}{10{,}92\cdot a^{2}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.8)

${\overline {\lambda }}_{ki}={\sqrt {\frac {f_{yk}}{\sigma _{c{,}rc}}}}$

Es gibt hier 2 verschiedene Schlankheiten. Eine für das Knicken und die andere für das Beulen.

$k=0{,}5\cdot \left(1+\alpha \cdot \left({\overline {\lambda }}_{ki}-0{,}2\right)+{\overline {\lambda }}_{ki}^{2}\right)$

α= 0,21 für Einzelfelder

$\chi _{c}=MIN\left(1;{\frac {1}{k+{\sqrt {k^{2}-{\overline {\lambda }}_{ki}^{2}}}}}\right)$

$\xi =\left({\frac {\sigma _{cr{,}p}}{\sigma _{cr{,}c}}}-1\right)$ und 0 < ξ < 1

$\rho _{c}=(\rho -\chi _{c})\cdot \xi \cdot (2-\xi )+\chi _{c}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.13)

Wirksame Breiten

Der Steg wird auf zweifache Weise geschwächt.
Das Einzelfeldbeulen verursacht die wirksamen Breiten.
Das Teilfeldbeulen schwächt die Stegdicke mit ρ_c. Es entsteht eine wirksame Dicke.

Aus den wirksamen Breiten werden die wirksamen Querschnittswerte A, I, hs, S, Wo, Wu errechnet.

$\eta _{1}={\frac {M_{Ed{,}N}}{f_{yd}\cdot W_{eff{,}u}}}-{\frac {N}{f_{yd}\cdot A_{eff}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 4.14)

Bei dem Nachweis muss berücksichtigt werden, dass die Normalkraft durch den verschobenen Schwerpunkt ein zusätzliches Moment erzeugt. Der Nachweis muss nicht direkt über dem Auflager geführt werden, sondern darf ein Stück daneben geführt werden.

Schubbeulen

Beitrag des Steges

k_τ= Wenn(a/h_w >1; 5,34;4) + Wenn(a/h_w <1; 5,34; 4)∙(h_w/a)² + Zusatzterm für Längssteifen. (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.5)

${\overline {\lambda }}_{w}={\frac {h_{w}}{37{,}4\cdot t\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\tau }}}}}$(Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.6)

$\chi _{w}=f\left({\overline {\lambda }}_{w}\right)$(Eurocode 1993-1-5 Tabelle 5.1)

$V_{b{,}w{,}Rd}={\frac {\chi _{w}\cdot f_{yw}\cdot h_{w}\cdot t}{\gamma _{M0}\cdot {\sqrt {3}}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.2)

Beitrag des Flansches

M_f,Rd= (h_w + b_f1/2 + b_f2/2)∙f_yd∙ MIN(b_f1∙t_f1;b_f2∙t_f2)

Wirkt zusätzlich eine Normalkraft, so ist M_f,Rd mit einem Faktor zu reduzieren.

$Faktor=1-{\frac {|N_{Ed}|}{(A_{f1}+A_{f2})\cdot f_{yd}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.9)

$V_{bf{,}Rd}={\frac {b_{f}\cdot t_{f^{2}}\cdot f_{yf}}{c\cdot \gamma _{M1}}}\cdot \left(1-\left({\frac {M_{Ed^{2}}}{M_{f{,}Rd^{2}}}}\right)\right)$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.8)

Gesamttragfähigkeit

$V_{b{,}Rd}=MIN\left(V_{bf{,}Rd}+V_{bw{,}Rd};{\frac {\eta \cdot f_{yd}\cdot h_{w}\cdot t}{\sqrt {3}}}\right)$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.1)

Nachweis

$\eta _{3}={\frac {V}{V_{b{,}Rd}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 5.10)

Lokales Beulen aus einer Einzellast

Dieser Nachweis ist ein großer Formelapparat und völlig unabhängig vom Rest der Berechnung. Beulwert k_f. Dazu muss man die Gleichungen 6.1 bis 6.10 im Eurocode 1993-1-5 hintereinander abarbeiten.

Nachweis

$\eta _{2}={\frac {F_{Ed}}{f_{ywd}\cdot L_{eff}\cdot t_{w}}}$ (Eurocode 1993-1-5 Gleichung 6.14)

Interaktion

Die Interaktionsformeln sind sehr einfach aufgebaut.

Die Interaktion zwischen Biegung und Einzellast lautet einfach:

$\eta _{2}+0{,}8\cdot \eta _{1}$ < 1,4

Da dieser Nachweis von der allgemeinen Form abweicht, wird folgender Nachweis daraus gemacht:

${\frac {\eta _{2}+0{,}8\cdot \eta _{1}}{1{,}4}}$ < 1

Die Interaktion zwischen Biegung und Querkraft lautet:

${\overline {\eta }}_{1}=MAX\left({\frac {M_{Ed}}{M_{Pl{,}Rd}}};{\frac {M_{f{,}Rd}}{M_{pl{,}Rd}}}\right)$

${\overline {\eta }}_{3}={\frac {V_{Ed}}{V_{bw{,}Rd}}}$

${\overline {\eta }}_{1}+\left(1-{\frac {M_{f{,}Rd}}{M_{pl{,}R}d}}\right)\cdot (2\cdot {\overline {\eta }}_{3}-1)^{2}$ < 1

Eine Interaktion zwischen allen 3 Werten gibt es nicht.

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Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen

Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes

Norm: Allgemeiner Lösungsweg ; EuroB ;DINS ;Euros ;DINB ;Untersuchung der Formeln