Plattenbeulen/ Beulen nach beiden Normen und Modelle/ DINS

Modell der wirksamen Spannungen nach dem DIN 18800-3

Geometrie

Schubverzerrung findet man im DIN-Fachbericht und sieht ähnlich aus wie im Eurocode.

wirksame Flanschbreiten

k_σ= 0,43

${\overline {\lambda }}_{p}={\sqrt {\frac {f_{yk}}{\sigma _{pi}}}}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}12176\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$ (hergeleitete Formel)

$\kappa _{p}={\frac {1}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}-0{,}51}}$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

b_f:= b_f ∙ κ_p

Sind die b/t Werte fast eingehalten, so ist κ_p fast 1. Auch hier gehen die Formeln nahtlos ineinander über.

Bruttoquerschnittswerte

Für die weitere Berechnung werden Fläche, Flächenmoment zweiten Grades, Schwerpunkt und Spannungsnulllinie benötigt.

Abminderungsfaktor κ_px

k_σ= f(ψ)(DIN 18800-2 Tabelle 26)

${\overline {\lambda }}_{p}={\sqrt {\frac {f_{yk}}{\sigma _{pi}}}}={\frac {b}{t_{w}\cdot 28{,}12176\cdot \epsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}$ (hergeleitete Formel)

Diese Schlankheit wird auch für das Knickstabverhalten verwendet.

$\kappa _{p}=MIN(1{,}25;1{,}25-0{,}25\cdot \Psi )\cdot \left({\frac {1}{\overline {\lambda }}}-{\frac {0{,}22}{{\overline {\lambda }}^{2}}}\right)$ (DIN 18800-3 Tabelle 1)

Interaktion zwischen Beulen und Knicken

$k=0{,}5\cdot \left(1+0{,}34\cdot \left({\overline {\lambda }}_{p}-0{,}2\right)+{\overline {\lambda }}_{p}^{2}\right)$

$\kappa _{k}={\frac {1}{k+{\sqrt {k^{2}-{\overline {\lambda }}_{p^{2}}}}}}$

${\frac {\sigma _{pi}}{\sigma _{ki}}}=k_{\sigma }\cdot \alpha ^{2}\cdot {\frac {1+\Sigma \delta _{L}}{1+\Sigma \gamma _{L}}}$(DIN 18800-3 Gleichung 23)

$\Lambda ={\overline {\lambda }}_{p^{2}}+0{,}5$ und 2< Λ <4 (DIN 18800-3 Gleichung 22)

$\rho ={\frac {\Lambda -\sigma _{pi}/\sigma _{ki}}{\Lambda -1}}$ und 0 < ρ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 21)

$\kappa _{px}=(1-\rho ^{2})\cdot \kappa +\rho ^{2}\cdot \kappa _{k}$ (DIN 18800-3 Gleichung 24)

Nachweis

Da die DIN ausgesteifte Felder nicht behandelt, wird nach dem Eurocode vorgegangen. Zuerst werden wirksame Breiten ausgerechnet, dann aus κ_px eine wirksame Dicke errechnet und diese in DIN 18800-2 weiterverarbeitet. In DIN 18800-3 wird nur κ_px benötigt.

$\sigma _{d}={\frac {M\cdot z}{I}}+{\frac {N}{A}}$

σ_P,Rd= κ_px∙f_yd (DIN 18800-3 Gleichung 11)

${\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{P{,}Rd}}}$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 9)

Schubbeulen

k_τ= WENN(a/h_w >1; 5,34;4) + WENN(a/h_w <1; 5,34; 4)∙(h_w/a)²

σ_E= 189800∙(t_w/h_w)²

τ_pi= k_τ∙σ_E

${\overline {\lambda }}_{w}={\sqrt {\frac {\tau _{Rd}}{\tau _{pi}\cdot {\sqrt {3}}}}}$

$\kappa _{\tau }={\frac {0{,}84}{{\overline {\lambda }}_{w}}}$

$\kappa _{\tau }={\frac {1{,}16}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}$ für Längssteifen und ${\overline {\lambda }}_{p}>1{,}38$

$\tau _{Ed}={\frac {V}{A}}$

$\tau _{P{,}Rd}={\frac {f_{yk}\cdot \kappa _{\tau }}{\gamma _{M}\cdot {\sqrt {3}}}}$ (DIN 18800-3 Gleichung 12)

Nachweis

${\frac {\tau _{Ed}}{\tau _{P{,}Rd}}}$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 10)

Lokales Beulen aus einer Einzellast

c= s_s + 2∙b_f

α=a/b und ß=c/a

σ_y,pi= k_σy∙σ_e∙a/c

k_σy= f(α;ß) aus Diagramm

σ_y= F/(c∙t_w)

Dann wird auf Beulen und Knicken untersucht und das Ergebnis ist der Abminderungsfaktor κ_py. Im Buch „Kranbahnen“, 3. Auflage, von Seeßelberg [10] wird σ_yki= 1,88∙σ_e vorgeschlagen; herleiten lässt sich aber nur σyki= 1∙σ_e. Auch der Eurocode gibt in Gleichung 4.8 und Gleichung A.1 an, dass σ_yki= σ_e (a und b müssen vertauscht werden, wegen der y-Richtung). Die um das 1,88fach erhöhte Knicklast reduziert aber die Tragfähigkeit.

Für das knickstabähnliche Verhalten wird die Beulschlankheit wiederverwertet.

σ_p,rd= f_yd∙κ_py

Nachweis

${\frac {\sigma _{y}}{\sigma _{p{,}Rd}}}$ < 1

Neben dem Diagramm gibt es auch im Buch „Kranbahnen“ [10], 3. Auflage, auch eine Tabelle. Zwischen diesen Zahlen muss interpoliert werden. Eine lineare Interpolation bringt für α<1 schlechte Ergebnisse.

Beulwerte für α und ß

ß↓α→	0,5	1	2	3	4	6	8	10	20	30
0	12,5	3,23	1,17	0,73	0,52	0,34	0,25	0,2	0,1	0,01
0,1	13	3,27	1,21	0,79	0,59	0,47	0,4	0,35	0,24	0,19
0,2	13,5	3,35	1,27	0,86	0,68	0,6	0,54	0,51	0,42	0,37
0,4	15	3,67	1,45	1,06	0,91	0,84	0,8	0,77	0,7	0,67
0,6	17	4,22	1,72	1,33	1,19	1,12	1,09	1,06	1	0,98
1	21	6,08	2,55	2,03	1,93	1,81	1,77	1,72	1,68	1,65

Für die Doppelinterpolation wird eine Gleichung benötigt, die erst einmal hergeleitet werden muss:

Zielwert zwischen 4 bekannte Werte

	x1	x	x2
y1	zlo		zro
y		Ziel
y2	zlu		zru

Die Interpolationsformel für 2 Zahlen lautet

$z_{o}=z_{lo}+{\frac {(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ für oben

$z_{u}=z_{lu}+{\frac {(z_{ru}-z_{lu})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ für unten

Zwischenwerte

	x1	x	x2
y 1	zlo	zo	zro
y		Ziel
y2	zlu	zu	zru

Zwischen zo und zu muss auch noch interpoliert werden.

$z=z_{o}+(z_{u}-z_{o})\cdot {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$für oben

Alternativ kann auch zl und zr ausgerechnet werden und dann z interpoliert werden. Auf den Beweis, dass in beiden Fällen das Gleiche herauskommt, wird verzichtet.

Setzt man zo und zu in die Gleichung ein, so entsteht:

$z=z_{lo}+{\frac {(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}+{\frac {\left(z_{lu}+{\frac {(z_{ru}-z_{lu})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}-z_{lo}+{\frac {(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\right)\cdot (y-y_{1})}{y_{2}-y_{1}}}$

Diese lange Gleichung lässt sich vereinfachen, sodass mit dieser z interpoliert werden kann.

$z=z_{lo}+{\frac {(z_{ro}-z_{lo})\cdot (x-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}+\left(z_{lu}-z_{lo}+(z_{ru}-z_{lu}+z_{lo}-z_{ro})\cdot \left({\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)\right)\cdot \left({\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\right)$

Interaktion

Der Interaktionsnachweis wird nach Herrn Habermanns Gleichung geführt.

$\left({\frac {|\sigma _{x}|}{\sigma _{xP{,}R{,}d}}}\right)^{e_{1}}+\left({\frac {|\sigma _{y}|}{\sigma _{yP{,}R{,}d}}}\right)^{e_{1}}+\left({\frac {\tau }{\tau _{P{,}R{,}d}}}\right)^{e_{3}}-V\cdot \left({\frac {|\sigma _{x}\cdot \sigma _{y}|}{\sigma _{xP{,}R{,}d}\cdot \sigma _{xP{,}R{,}d}}}\right)$ < 1 (DIN 18800-3 Gleichung 14)

e₁= 1 + κ_x⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 15)

e₂= 1 + κ_y⁴ (DIN 18800-3 Gleichung 16)

e₃= 1 + κ_x∙ κ_y∙ κ_τ² (DIN 18800-3 Gleichung 17)

V= (κ_x∙ κ_y)⁶ (DIN 18800-3 Gleichung 18)

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Norm: Allgemeiner Lösungsweg ; EuroB ;DINS ;Euros ;DINB ;Untersuchung der Formeln