Natur: Grenzen

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Grenzen des naturwissenschaftlichen Weltbildes und Grenzen der Natur

Albert Einstein
„Das Unverständlichste am Universum ist im Grunde, das wir es verstehen.“

Quelle: Unbekannt

An der Grenze des Universums aus dem Buch von  Camille Flammarion, L'Atmosphere: Météorologie Populaire (Paris, 1888), Seite 163

Grenzen des naturwissenschaftlichen Weltbildes

Die Naturwissenschaften maßen sich nicht an, eine Erklärung für alles zu haben. Es bleiben Lücken, die noch geschlossen werden können. Es bleiben unbewiesene Behauptungen und Gegensätze, die möglicherweise nie beweisbar sein werden. Außerdem gibt es wichtige Fragen, die sich auf naturwissenschaftliche Anwendungen beziehen und in der die Verantwortung des Wissenschaftlers gefragt ist. Es gibt Bereiche, in denen andere Wissenschaften gefragt werden müssen, Bereiche, in denen die naturwissenschaftlichen Antworten ganz interessant, aber keineswegs immer die besten sind.

Das Bild An der Grenze des Universums stammt aus dem Buch  Camille Flammarion, L'Atmosphere: Météorologie Populaire (Paris, 1888), Seite 163 von einem unbekannten Künstler.

Siehe dazu auch das Bild von  Paul Klee: Die Grenzen des Verstandes

Das Naturwissenschaftliche Denken lehrt uns Bescheidenheit

Wenn die Fixsterne nicht einmal fix sind, wie könnt ihr dann sagen, daß alles Wahre wahr ist?

 Georg Christoph Lichtenberg

Siegmund Freud sprach von den  Kränkungen der Menschheit durch das moderne naturwissenschaftliche Denken. Man kann diese Sichtweise auch etwas positiver darstellen. Zwar haben uns die Naturwissenschaften große technische Möglichkeiten eröffnet und viele vorher unbeantwortete Rätsel gelöst. Gleichzeitig zeigt uns das naturwissenschaftliche Denken auch klare Grenzen auf und lehrt uns Bescheidenheit. Einige Punkte, in denen sich diese Bescheidenheit zeigt, sind im folgenden aufgelistet:

• 1.Wir sind uns nur begrenzt unseres eigenen Denkens bewußt. Das Unbewußte regiert uns mehr als wir vielleicht wahr haben wollen. Der freie Wille kommt nur unter bestimmten Voraussetzungen und mit erheblichen Einschränkungen zum Tragen.

• 2.Der Mensch stammt vom Tier ab.

• 3.Der Mensch ist nicht von sich aus gut und sozial, sondern oft auch egoistisch und berechnend.

• 4.Die Entwicklungen im Bereich der Computerwissenschaften (Künstlichen Intelligenz) lassen erwarten, dass zumindest Teilbereiche der Intelligenz nicht dem Menschen vorbehalten sind, sondern in Maschinen nachgebildet werden können.

• 5.Der Mensch ist politisch manipulierbar, was bis zum fabrikmäßigen Massenmord führen kann.

• 6.Die Anwendung der Atombombe kann bis zur Vernichtung der gesamten Menschheit führen.

• 7.Der Mensch ist auf das Ökosystem Erde angewiesen und kann es nicht beliebig ausbeuten.

• 8.Jeder Mensch ist sterblich.

• 9.Irgendwann wird das Leben auf der Erde unwiederbringlich zu Ende gehen.

Philosophische Fragen

Eine Reihe von Fragen, die über das naturwissenschaftliche Weltbild hinausgehen, sind im folgenden beschrieben.

Was war vor dem Urknall ?

Bislang gibt es einige Hinweise, daß der Urknall der Beginn des heute sichtbaren und erforschbaren Weltraumes war. Aber was kam davor ?

Da aber mit dem Raum auch die Zeit innerhalb dieses Universums entstanden ist, impliziert die Frage das unser Universum innerhalb von „etwas Anderem“ eingebettet ist. Die meisten Menschen, die diese Frage stellen, sind sich dieser Tatsache nicht bewusst, da sie nach Alltagsverständnis die Zeit ebenso wie die newtonsche Physik als absolut ansehen. Nach der Relativitätstheorie besitzt jedoch jedes Objekt eine eigene Zeit, die im Vergleich zu anderen Zeiten umso langsamer vergeht, je schneller sich das Objekt bewegt.

Gibt es Information ohne Informationsträger ?

Bislang geht die Mehrheit der Naturwissenschaftler davon aus, daß Information nur eine Eigenschaft der Materie oder der Energie ist. Demnach hätte Information keine eigenständige Existenz. Es gäbe auch keine wie auch immer gearteten Informationsteilchen.

Diese Vorstellung ist unbewiesen und möglicherweise wird sie sich nie beweisen lassen.

Stimmt der Satz, dann müssen auch alle Vorstellungen von Wesen, die nur aus Information bestehen, verworfen werden.

Hinweise darauf, daß der Satz nicht stimmt, liefert die von der Fachwelt kaum beachtete Theorie einer einheitlichen Beschreibung der Materie von  Burkhard_Heim

Gibt es Gott ?

Siehe Welche Gottesvorstellung passt zum naturwissenschaftlichen Weltbild?

Was ist der Sinn des Lebens ?

Das Überleben

Sisyphus bei der Arbeit

Die Natur hat einen wichtigen Beitrag zur Frage nach der Sinnbewertung unseres Tuns gegeben, denn die Selektion von besser an die Umwelt angepaßten Lebensformen ist eine Sinnbewertung. Vieles menschliche Tun muß sich dem Überlebensprinzip unterwerfen und erhält dadurch einen für jeden verständlichen Sinn. Dies mag vielen Menschen zu banal erscheinen, doch wenn sie ehrlich sind, werden sie erkennen, wie wichtig dieser erste und wichtigste Sinn des Lebens ist.

Der Mensch ist dabei wohl das einzige Lebewesen, daß sich ganz bewußt gegen diesen Sinn des Lebens auflehnen und beispielsweise Selbstmord begehen kann. Den schleichenden Selbstmord durch ein mehr oder minder bewußtes Fallenlassen in eine depressive Passivität gibt es aber auch im Tierreich. So kann ein junger Affe den Tod seiner Mutter manchmal nicht überwinden, er hört zu Essen auf, obwohl er alt genug wäre sich Nahrung zu verschaffen, verläßt sein Nest nicht mehr und stirbt nach einigen Tagen am Hunger und Durst.

Siehe  Sinn_des_Lebens

Was kann neben dem Überlebensprinzip noch weiter Sinn des Lebens sein ?

Aus naturwissenschaftlicher Sicht ist ein weiterer Sinn des Lebens, die Vorstellungen und das Wissen des Menschen von der Natur zu verbessern und zu verfeinern.

A.v.Humboldt
„Ein Versuch, die Natur lebendig und in ihrer erhabenen Größe zu schildern, in dem wellenartig wiederkehrenden Wechsel physischer Veränderlichkeit das Beharrliche aufzuspüren, wird daher auch in späteren Zeiten nicht ganz unbeachtet bleiben.“

Quelle: Kosmos, Vorrede

Für einen Naturwissenschaftler ist es auch sicherlich sehr befriedigend zu sehen, wie das Leben der Menschen durch technische Anwendung naturwissenschaftlicher Kenntnisse etwas leichter und sicherer wurde. Der heutige übergewichtige, bewegungsarme, allzeit gut temperierte und medienberieselte, denkfaul gewordene Zeitgenosse wird diese Freude und Sinngebung allerdings gar nicht mehr richtig wahrnehmen können.

Sinn des Lebens in Kurzfassung

Es gibt nicht nur einen Sinn des Lebens sondern mehrere. Wenn man sich nur an einen Sinn festhängt, dann kann es einem passieren, daß man irgendwann allein und sinnentleert dasteht.

Liste von Antworten

• Den Kindern ein guter Vater oder eine gute Mutter sein.
• In der Ehe ein verläßlicher Partner zu sein.
• Der Natur wieder Raum zurückgeben.
• Ein Leben ohne großen Energie- und Geldeinsatz führen.
• Die Natur besser kennenzulernen.
• Ohne großen Aufwand zu genießen:
  • Die Natur, Das Essen und Trinken, Die Sexualität, Die menschliche Gemeinschaft
  • Die Kultur( Musik, Filme, Bücher etc)
• Ein Haus zu bauen, das sparsam mit der Energie umgeht.
• Helfen, den Dreck aufzuräumen, der bislang erzeugt wurde.
• Etwas zu hinterlassen, was andere noch brauchen können.
• Auszuwählen aus dem Überfluß der Bücher, Filme und Musik, das Wertvolle rauspicken.
• Gegen den Hunger und die Unwissenheit etwas tun.
• Mit menschlichen Mitteln gegen das Bevölkerungswachstum etwas tun.
• Schmerz, Angst und Krankheit so weit als möglich zu vermindern.
• Mitzuhelfen, allen Menschen auf dieser Erde ein würdiges Leben zu ermöglichen.
• Ideologien zu kritisieren und ihre Protagonisten zu ärgern.

Gibt es einen freien Willen ?

Die meisten menschlichen Handlungen sind kein Zufall, sondern teilweise bewusstes und teilweise unterbewusstes Abwägen von Alternativen und Auswählen der zum gegebenen Zeitpunkt anscheinend vorteilhaftesten (Ökonomie des Alltagslebens). Das ist zumindest die Meinung der meisten wissenschaftlich tätigen Psychologen. Wahrscheinlich war ein im wesentlichen deterministisch arbeitendes Gehirn in der Evolution erfolgreicher als ein häufig zufallsgesteuertes Gehirn.

Es ist bis heute in der Psychologie und Neurophysiologie umstritten, ob es im menschlichen Gehirn einen Zufallsgenerator gibt oder nicht. In Situationen in denen man sich ganz schnell zwischen zwei Alternativen entscheiden muss, wäre so ein Zufallsgenerator vielleicht hilfreich. Eine Situation, die in der Evolution sicher sehr häufig aufgetreten ist, war die Frage Kampf oder Flucht, wenn einem ein feindliches Tier plötzlich gegenüberstand.

Siehe z. B. http://www.jneurosci.org/cgi/content/abstract/13/1/334

• Siehe auch http://www.rhodes.edu/Psych/wetzel/random/intro.html
  • Can You Behave Randomly? Kann man sich zufällig verhalten ?

Zwischen den Begriffen Zufall und freier Wille existiert ein enger Zusammenhang. Man kann argumentieren, dass eine freie Entscheidung eine Entscheidung ist, die zumindest teilweise nicht von anderen Einflüssen (innerer und äußerer Art) bestimmt wird. Sie ist also nicht determiniert. Dies kann aber gerade auch als Definition von Zufall angesehen werden.

Es ist nun eine Aufgabe der Philosophie, Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Begriffe genauer herauszuarbeiten. Der englische Begriff random number (wörtlich: freie Zahl) für Zufallszahl weist auf diesen Zusammenhang hin.

Fragen der Politik, der Gesellschaft und Technik

Was ist die beste Regierungs- und Staatsform ?

Zur Lösung dieser Frage, wird die Naturwissenschaft wenig beitragen können. Trotzdem ist die Frage wichtig. Nur in einer einigermaßen offenen Gesellschaft, die kritikfähig ist, können sich die Naturwissenschaften weiter entwickeln. Naturwissenschaftliche Forschung muß finanziert werden. Nur eine Gesellschaft die ausreichend Geld hat, wird sich teure naturwissenschaftliche Forschung leisten können. Neben der Demokratie wird wahrscheinlich die Expertokratie immer wichtiger werden. Beide Staatsformen müssen von einem starken Rechtstaat und einer wachen Öffentlichkeit kontrolliert werden.

Wie kann man die Umweltzerstörung stoppen und eine nachhaltige wirtschaftliche Entwicklung fördern ?

Folgender Vorschlag ist vielleicht ganz interessant:

Europäische Umweltzentralbank

Die Geldentwertung ähnelt in gewisser Weise der Entwertung der Natur durch Umweltverschmutzung und Rohstoffverschwendung. Wie wäre es wenn man den Sachverstand der in der europäischen Zentralbank nutzen würde, um die galoppierende Zerstörung unserer Umwelt in den Griff zu bekommen. Man sollte eine Institution schaffen, mit der die Entwertung unserer natürlichen Umwelt kontrollieren und durch Abgaben , wie zb eine Kohlendioxid -oder Abgasabgabe, in vernünftigem Maße bremsen könnten.

So eine Institution sollte man Europäische Umweltzentralbank nennen. Die über Abgaben hereinkommenden Gelder würden an jeden Bundesbürger in gleichmäßiger Höhe wieder ausgezahlt. Dies könnte einen Teil, später die komplette Sozialhilfe ersetzen und die Kommunen entlasten. Wer beispielsweise viel Erdöl oder Erdgas verbraucht, würde viel in die Bank einzahlen müssen, bekäme aber auch nur den gleichen Betrag wie der, der gar kein Erdöl verbraucht. So wird ein Anreiz zum sparsamen Umgang mit fossilen Energieträgern gesetzt und Umweltzerstörung teuer gemacht.

Detailliertes zum Thema Europäische Umweltzentralbank findet sich im folgenden Text:

Die Europäische Umweltzentralbank

Durch die wirtschaftliche Entwicklung wird in vielen industrialisierten Ländern das Bruttosozialprodukt immer weiter gesteigert. Gleichzeitig wird dabei das Naturkapital, der Wert aller natürlichen Lebensgrundlagen, eher verkleinert. Dieses Naturkapital läßt sich nicht genau in Euro und Cent ausdrücken. Es steht teilweise völlig außerhalb des Wirtschaftsprozesses und so entgeht vielen Menschen dieser Wertverlust. Es geht vielfach Unwiederbringliches verloren, wenn beispielweise Tier- oder Pflanzenarten aussterben oder Böden großflächig verseucht werden.

Wie kann man diese Entwicklung aufhalten, ohne dabei das wirtschaftliche System durch allzu viele Vorschriften und Verbote zu behindern ?

Dazu kann man sich das Prinzip der Bundesbank zu eigen machen. Aus den bitteren Erfahrungen einer unkontrollierten Inflation wurde der Bundesbank die Aufgabe übertragen, die Geldentwertung zu begrenzen.

Dies wurde zumindest in der Bundesrepublik ganz gut erreicht. Es wurde eine unabhängige Bundesbank geschaffen, welche die Leitzinsen festlegt und die Geldmenge begrenzt.

In Analogie dazu kann man einer neu zu schaffenden Institution, der Europäische Umweltzentralbank, eine ähnliche inflationsbekämpfende Aufgabe zur Bewahrung des Naturkapitals zuweisen.

Ähnlich wie die  Europäische Zentralbank muß diese Behörde unabhängig sein und sie muß mit wirksamen Instrumenten ausgestattet sein, um ihre Ziele durchzusetzen.

Eine der wichtigsten Steuerungsgrößen in unserem heutigen Wirtschaftsystem ist der Preis einer Ware oder einer Dienstleistung. Dieser Preis ist aber keine konstante Größe, sondern er wird durch eine Vielzahl von Einflüssen reguliert mit Schwankungen nach oben und nach unten.

Die zu schaffende Bank muß demnach am wirtschaftlich entscheidenden Preismechanismus eingreifen können, so wie auch die Zentralbank den Preis für zu leihendes Geld durch die Leitzinsen beeinflußt.

Diese Europäische Umweltzentralbank muß Abgaben festlegen können, die vom Anbieter einer Ware abgeführt werden müssen, wenn er die Ware verkaufen will.

So könnte die Europäische Umweltzentralbank zum Beispiel eine Kohlendioxidabgabe auf alle fossilen Energieträger einführen, um der Zunahme des Kohlendioxidgehaltes der Atmosphäre und dem Treibhauseffekt entgegenzuwirken.

Im Gegensatz zu den Regierungen ist sie bei der Festlegung der Höhe dieser Abgabe unabhängig. Sie ist weder abhängig von der aktuellen Konjunkturentwicklung noch muß sie Rücksicht auf Wählerstimmen nehmen.

Verpflichtet ist sie in erster Linie der Bewahrung des Naturkapitals.

Da sich dieses Naturkapital nicht genau beziffern läßt, ist die Europäische Umweltzentralbank allerdings angewiesen auf Umweltbilanzen, die sie selbst führen muß oder die sie erstellen läßt. Diese Umweltbilanzen sollten in mindestens jährlichen Abständen wichtige Umweltparameter wie Energieverbrauch, Abgasproduktion, Wasserverbrauch und Abwasserproduktion etc erfassen und bewerten. Sie sollten veröffentlicht werden.

Die von der Europäische Umweltzentralbank eingenommenen Abgaben zahlt man jährlich an jeden Bürger in einem für alle gleich hohen Betrag wieder aus. Dieses einfache Umverteilungsprinzip wird von vielen Umweltorganisationen vorgeschlagen, da es unbürokratisch ist und den Energie- und Rohstoffsparer direkt belohnt.

Oder die Einnahmen werden für förderungswürdige Entwicklungen ausgegeben, so zum Beispiel zu Förderung der Energieeinsparung, der Abgas- und Abwasserreinigung etc. Die Kohlendioxidabgabe würde dann zum Beispiel für die Förderung von Energiesparmaßnahmen in Betrieben und Haushalten oder für die Förderung erneuerbarer Energiequellen zur Verfügung stehen.

Für die Politiker bringt die hier vorgeschlagene Europäische Umweltzentralbank zwar eine Einschränkung ihrer politischen Gestaltungsmöglichkeit mit sich. Gleichzeitig können sie aber eine drückende Verantwortung zumindest teilweise abgeben. Die Umweltpolitik würde unabhängiger vom politischen Tagesgeschehen.

Auch der Wirtschaft und den Verbrauchern wäre geholfen, da sie von unnötiger Bürokratie, von Verboten und Vorschriften befreit wären. Der entscheidende Steuermechanismus der Wirtschaft über den Preis und den Markt bliebe erhalten. So könnten notwendige Anpassungen an dringende Umweltbedürfnisse wahrscheinlich schneller erfolgen als durch ständige Planungsversuche von nicht Planbarem.

Wie man genau die Kompetenzen einer solchen Europäische Umweltzentralbank festlegt, ist diskutierbar. So kann man zum Beispiel die Zahl der Abgabearten auf einige wenige begrenzen. Oder man legt durch die Politik die Arten der Abgabe fest und die Europäische Umweltzentralbank ist dann nur für die Höhe der Abgabe zuständig. Dabei sollte aber die Kohlendioxidabgabe als ein sehr wichtiges Instrument von vornherein dazugehören. Eine reine beobachtende und beratende Rolle, wie sie derzeit das Umweltbundesamt in Berlin hat, ist unzureichend.

Vielleicht kann die Einrichtung einer solchen Europäische Umweltzentralbank die weitere Entwertung unseres Naturkapitals stoppen und die jetzt schon galoppierende Inflation in diesem Bereich verhindern. Die zur Zeit noch fortschreitende Entwertung des Naturkapitals wird sich sicher schlimmer auswirken als die Wirtschaftskrise nach dem 1. Weltkrieg mit ihrer völligen Geldentwertung.

Meines Erachtens wäre das Instrument einer zweckgebundenen Umweltabgabe, beispielsweise eine CO2 Abgabe besser als eine CO2 Steuer. Eine Steuer ist nicht zweckgebunden und weckt die Begehrlichkeit, sie für andere Zwecke einzusetzen, so daß das erwünschte Ziel des Energiesparens oder des Umweltschutzes nur zur Hälfte über höhere Preise erreicht würde.

Bei einer Steuer muß über Einführung, Festsetzung der Höhe und Abschaffung der Steuer immer wieder in einem längeren politischen Entscheidungsprozeß diskutiert werden. Typisches Beispiel ist die Mineralölsteuer, deren flexible Anpassung erhebliche Probleme bereitet, wohingegen eine Anpassung der Leitzinsen der Bundesbank bereits heute ohne größeres Aufsehen erfolgt, obwohl sie sicher für jeden einzelnen und die Wirtschaft genauso wichtige Konsequenzen hat wie die Mineralölsteuer.

Links

•  Europäische Umweltagentur
•  Umweltbundesamt

Wie kann man den Frieden zwischen den Staaten und den einzelnen Bevölkerungsgruppen erhalten ?

Das ist eine politisch - moralische Frage. Aus Sicht einer pragmatischen Ethik sind Krieg und Bürgerkrieg ein vermeidbares Versagen der Politik. So wie im 19. Jahrhundert Arbeitsunfälle und Berufskrankheiten ein riesiges Problem der aufkommenden Industrialisierung waren und erst durch die Einführung von Versicherungen und Berufsgenossenschaften weitgehend begrenzt wurden, muß die Waffenindustrie dazu gezwungen werden, ihre Produkte zu versichern. Im Schadensfall muß ein finanzieller Ausgleich erfolgen. Dies wäre ein entscheidender Schritt zur Friedenssicherung. Erst wenn jeder Waffeneinsatz teuer wird und die Folgen bezahlt werden müssen, wird der Waffengebrauch zurückgehen. Diese allgemeine, am besten von der UNO kontrollierte Waffenversicherung muß auch bei Kriegseinsätzen von Waffen zahlen.

Sollen wir die Atomenergie nutzen ?

Siehe beispielsweise http://de.wikipedia.org/wiki/Kernenergie-Argumente

Grenzen der Natur

Vielen Menschen ist nicht bewußt, daß uns die Natur absolute Grenzen setzt. Viel zitiert wird dabei Albert Einstein mit der Aussage: Alles ist relativ. Ob er dies wirklich gesagt oder geschrieben hat, scheint fraglich. Jedenfalls ist dieser Satz falsch. Denn Einstein selbst hat gezeigt, daß beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit eine absolute Grenze ist. Sie ist ein konstanter absoluter Grenzwert nach oben und dieser Wert ist nicht relativ zu irgendeiner anderen Größe oder zu einem Bezugspunkt. Im folgenden sind einige Grenzen, die uns die Natur setzt, aufgeführt. Es ist wichtig, sich diese Grenzen der Natur und unserer Kenntnisse bewußt zu machen.

Bislang bekannte Grenzen der Natur

Materie
Grenze nach unten	Grenze nach oben
Moleküle	Materie im Urknall
Atome	Galaxien
Elementarteilchen	alle Sterne
Quarks	schwarze Löcher

Atome, Elemente
Beginn	Ende
Wasserstoff	Uran
	Transurane

Energie
Grenze nach unten	Grenze nach oben
kleiner Lichtquant	Energie einer Atombombe
	Energiegehalt der Sonne
	Energiegehalt des Urknalls

Temperatur
Grenze nach unten	Grenze nach oben
Gefrierpunkt des Wassers	Siedepunkt des Wassers
absoluter Nullpunkt - 273 Grad Celsius	Temperatur in den Sternen
	Temperatur im Urknall > 1 Mio Grad

Geschwindigkeit
Grenze nach unten	Grenze nach oben
keine Geschwindigkeit	Lichtgeschwindigkeit
nur relativ feststellbar	ungefähr 300000 km/sek

Wellenlänge
Grenze nach unten	Grenze nach oben
Gammastrahlen	Radiowellen

Raum
Grenze nach unten	Grenze nach oben
Atomare Größenordnung	Ende des sichtbaren Weltraumes

Zeit
Grenze nach rückwärts	Grenze nach vorne
Urknall	eigener Tod
Entstehung von Sonne u. Erde	der Tod aller Menschen
Beginn des Lebens	Ende des Lebens auf der Erde
Erste Menschen	Ende der Erde beim Ausbrennen der Sonne
eigene Geburt	Ende der Welt

Information
kleinste Informationseinheit	größte Informationmenge
0 Bit	in unserem Gehirn
1 Bit	in allen Bibliotheken der Welt
	im Erbgut der Natur
	in den Naturgesetzen
	in der Struktur d. gesamten Weltalls

Die  Planck-Einheiten und die Planckskala als Grenzen der Physik

Die Planck-Skala markiert eine Grenze für die Gültigkeit der bekannten Gesetze der Physik. Man muss davon ausgehen, dass für Distanzen kleiner als die Planck-Länge (ca. 10^-35 m) und Zeiten kürzer als die Planck-Zeit (ca. 10^-43 s) Raum und Zeit ihre uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verlieren. Jedes Objekt, das kleiner wäre als die Planck-Länge, hätte aufgrund der sog. Unschärferelation so viel Energie bzw. Masse, dass es zu einem  Schwarzen Loch zusammenfallen würde.

Bei Energien in der Größenordnung der Planck-Energie, $1{,}22\times 10^{19}$ GeV, würde auch die Gravitation gleich stark zu den, bei dieser Energie längst  vereinigten, drei  Wechselwirkungen sein.

Die Planck-Skala ergibt sich aus den drei grundlegenden Naturkonstanten,

• der Gravitationskonstante G,
• der Lichtgeschwindigkeit c und
• dem planckschen Wirkungsquantum h. Setzt man diese zu 1, ergibt sich ein natürliches Einheitensystem, die  Planck-Einheiten.

Grenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnis

Die Planck-Länge l_P ist ca. 10²⁰ mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge der verwendeten Teilchen vergleichbar mit l_P sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit E_P. Die über E = mc² zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal größer als die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems.

Diese Überlegung markiert eine bedeutende Grenze für die derzeit absehbaren Möglichkeiten der Experimentalphysik. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Einheiten lassen sich daher als ein Indiz dafür werten, dass eine Vereinigung von Quanten- und Relativitätstheorie sowie ein erschöpfendes Verständnis des Urknalls und damit des Universums und seiner Existenz sich jenseits der praktischen Möglichkeiten naturwissenschaftlicher Erkenntnis befinden könnten.

Grenze der Gültigkeit der bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser $\Delta x$, so ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf $\Delta p$ genau bestimmbar, wobei

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls im Bereich $\Delta p<{\frac {\hbar }{2\Delta x}}$ schwanken kann, ohne dass dies messbar ist. Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

$mc^{2}=E=\Delta pc={\frac {\hbar c}{2\Delta x}}$

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

$r={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von $\Delta x$ wächst $\Delta p$ und damit auch m und r bis schließlich $r\approx \Delta x$ wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse, indem man $r=\Delta x$ setzt und die beiden letzten Gleichungen nach r und m auflöst.

Zum gleichen Konflikt führt auch die Vorstellung eines Vorganges, der kürzer als die Planck-Zeit wäre. Die Planck-Zeit ist die Zeit, die das Licht benötigt, um die Strecke einer Planck-Länge zurückzulegen. Da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann, müsste ein solcher Vorgang in einem Objekt stattfinden, das kleiner als die Planck-Länge wäre.

Grenzen in der Mathematik

Wenn man meint, die Mathematik setze keine Grenzen, so stimmt das nicht so ganz allgemein. Erstaunlich ist beispielsweise, dass es in der zweidimensionalen Geometrie unendlich viele gleichseitige und gleichwinklige Vielecke gibt. In der 3 dimensionalen Geometrie gibt es aber nur 5 regelmäßige konvexe Vielflächner, die sogenannten 5 platonischen Körper.

Die 5 platonischen Körper

Die platonischen Körper sind eine nach dem griechischen Philosophen  Platon benannte Gruppe von fünf besonders regelmäßigen geometrischen Körpern. Man nennt sie konvexe Polyeder (Vielflächner). Sie sind dadurch charakterisiert, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Sie werden deswegen auch reguläre oder regelmäßige Körper genannt.

Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen:

• Tetraeder (vier Dreiecke),
• Hexader (das ist der Kubus oder Würfel) (sechs Quadrate),
• Oktaeder (acht Dreiecke),
• Dodekaeder (zwölf Fünfecke) und
• Ikosaeder (zwanzig Dreiecke).

Die fünf platonischen Körper

Tetraeder	Würfel	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder
Seitenflächen:
4 gleichseitige Dreiecke	6 Quadrate	8 gleichseitige Dreiecke	12 regelmäßige Fünfecke	20 gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen/Kanten/Ecken
4 / 6 / 4	6 / 12 / 8	8 / 12 / 6	12 / 30 / 20	20 / 30 / 12
Anzahl der Kanten in einer Ecke
3	3	4	3	5

Grundlegende Eigenschaften

Anzahl der platonischen Körper

Je zwei platonische Körper vom selben Typ sind zueinander ähnlich, d. h., ein platonischer Körper ist durch die Angabe seiner Größe (z. B. durch die Länge seiner Kanten) eindeutig bestimmt. In diesem Sinne ist es also gerechtfertigt von dem Tetraeder, dem Hexaeder usw. zu sprechen.

Es gibt nur genau diese fünf Typen von platonischen Körpern. Der Beweis dafür findet sich schon bei  Euklid.

Dualität

Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers, so erhält man (mit den Verbindungslinien als Kanten) wieder einen platonischen Körper, und zwar mit demselben Mittelpunkt. Dieser Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet.

Auf Grund der Konstruktion ist klar, dass jeder Fläche des Ursprungskörpers jeweils eine Ecke des dualen Körpers entspricht. Außerdem entspricht jeder Kante, die zwei Flächen trennt, eine Kante, die zwei Ecken verbindet. Daraus ergibt sich, dass auch jeder Ecke des Ursprungskörpers jeweils eine Fläche des dualen Körpers entspricht. (Man kann sich das so verbildlichen, dass jede Fläche eine Ecke des Ursprungskörpers „abschneidet“.)

Wiederholt man diese Konstruktion (konstruiert man also den zum Dualkörper dualen Körper), so erhält man einen (verkleinerten) platonischen Körper des Ausgangstyps mit gleichem Mittelpunkt.

Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet (d. h., er „steht auf dem Kopf“).

Tetraeder in Tetraeder	Oktaeder im Würfel	Würfel im Oktaeder	Ikosaeder im Dodekaeder	Dodekaeder im Ikosaeder

Symmetrie

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:

• Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig, d. h. jede Ecke (Kante, Fläche) kann durch eine Symmetrie des Körpers auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.

Aufgrund ihrer symmetrischen Eigenschaften erfüllen alle platonischen Körper die Eigenschaft eines kubischen Kristalls. Ferner haben sie die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

• eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
• eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
• eine Kugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (oder das Zentrum) des platonischen Körpers.

Platonische Körper jenseits der Mathematik

Würfel fürs Rollenspiel

Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.

• Zusätzlich zum klassischen, geometrischen Würfel, der leicht herzustellen ist und schon seit Jahrtausenden für Glücksspiele verwendet wurde, finden heute auch die anderen platonischen Körper (welche auch als Würfel bezeichnet werden) eine Anwendung im Spiel, z. B. im Fantasy-Rollenspiel . Die Voraussetzungen dazu sind eine physikalisch gleichmäßige Dichteverteilung – also homogenes Material – sowie die gleichartige Beschaffenheit aller Ecken und Kanten.
• Platonische Körper sind seit langem Objekte der Bildenden Kunst. In der modernen Kunst hat sich vor allem  M. C. Escher mit ihnen und ihnen ähnlichen regelmäßigen Körpern beschäftigt; auch Werke von  Salvador Dali thematisieren platonische Körper oder ihre Entfaltung.

Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.

• Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Dodekaeder kommen in der Natur als (idealisierte) Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich bei Quasikristallen.
  Zum Beispiel bilden Kochsalz und Alaun, das beim Ausfällen mit gewissen anderen Stoffen dotiert ist, Würfelkristalle. Reines Alaun kristallisiert als Oktaeder.
  Dabei ist die Abgrenzung zwischen den einzelnen Formen nicht absolut, sondern die interne Symmetrie kann sich in unterschiedlichen Ausprägungen äußern. In der Mineralogie fallen alle platonischen Körper, Pentagondodekaeder, Rhombendodekaeder, Kuboktaeder und ihre Mischformen unter den Begriff kubisch. Nicht wenige Mineralien können dementsprechend mehrere dieser kubischen Formen annehmen. Dazu gehört zum Beispiel Pyrit, das sowohl als Würfel als auch als Oktaeder oder Dodekaeder vorkommt.
• Platonische Körper, im speziellen das Ikosaeder, sind sehr häufig Strukturformen, wie sie bei Clustern (also kleinen Nanoteilchen) beobachtet werden.
• Tetrahedran, Dodecahedran und Cuban sind organische Moleküle
• Über den Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders wird bis heute spekuliert.

Weblinks

 Commons: Platonische Körper – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

• Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets
• [1]
• [2]
• Platonische Körper aus Flechtstreifen
• Pentagondodekaeder bei den Kelten und Römern
• Platonische Körper, LernUmgebung vom Lehrstuhl für Mathematik und ihrer Didaktik, Universität Bayreuth
• Vierdimensionale Platonische Polychora
• Bastelbögen für platonische Körper zum Ausdrucken
• Polyedergarten

Tribar

Penrose-Dreieck

Das  Penrose-Dreieck, auch Tribar genannt, ist die wahrscheinlich berühmteste unmögliche Figur. Es zeigt drei Balken, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind.

Dreiteilung eines Winkels

In der Geometrie der Ebene ist es unmöglich eine Winkel nur mit Zirkel und Linie in 3, 5 oder 7 Teile zu teilen.

Unendlichkeit in der Mathematik

Literatur

• Eine kurze Geschichte der Unendlichkeit Paolo Zellini
  • 250 Seiten Verlag: C.H. Beck; Auflage: 1 (27. Januar 2010)

• Die Natur der Unendlichkeit Amir D. Aczel
  • Verlag: Rowohlt Tb. (2002)

• Das Unendliche: Mathematiker ringen um einen Begriff Rudolf Taschner
  • 141 Seiten Verlag: Springer, Berlin; Auflage: 2., verb. A. (Juni 2009)

Links

• http://www.forum-grenzfragen.de