Mathematik: Topologie

Band 10 des Werkes Mathematik

Vorwort

Die Topologie (von griechisch: τόπoς „Ort“ und λόgoς „Lehre“) gründet sich auf den Begriff der Nähe. Topologische Räume sind Mengen, in denen als einzige Struktur "Umgebungen" für die Elemente definiert sind. Im Gegensatz zur Geometrie oder Analysis verzichtet die Topologie damit zwar auf Maße und Rechenoperationen, ermöglicht aber die abstrakte Beschreibung von Eigenschaften, die nur von diesem Umgebungsbegriff abhängen. Durch diese Allgemeinheit kann die Topologie die Konzepte anderer Teilgebiete der Mathematik integrieren. Die Aussagen, die man in diesem allgemeinen Rahmen machen kann, finden sich denn auch in anderen Teilgebieten wieder.

Ein anschaulicher Zugang zur Topologie ist der, sie als eine Abstraktion der Geometrie aufzufassen.

Die Geometrie handelt von Figuren wie z. B. Linien, Kreisen, Dreiecken etc. und deren Lageänderungen. Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Geometrie ist die Kongruenz, die besagt, daß kongruente Figuren "bis auf Änderungen der Lage" gleich sind. Solche Änderungen der Lage im Raum sind Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Eine Abstraktionsstufe der Kongruenz ist das Konzept der Ähnlichkeit, wobei ähnliche Figuren "bis auf ihre Größe" gleich sind. Änderungen der Größe sind zentrische Streckungen und Stauchungen.

In der Topologie geht man noch einen Schritt weiter und betrachtet beliebige stetige Änderungen, die Homotopien genannt werden. Topologische Objekte wie z. B. geometrische Figuren werden als "gleich bis auf Homotopie" angesehen, wenn sie sich stetig ineinander überführen lassen. Man kann sich das ein bisschen so vorstellen, als hätte man Objekte aus Knetgummi und die Homotopien beschreiben deren Verformungen. In diesem Sinne sind z. B. Kreise, Ellipsen und Dreiecke beliebiger Größe gleich. Eine Kreisscheibe ist sogar das gleiche wie ein Punkt.

Es geht übrigens das Gerücht, dass Topologen nicht zwischen einer Kaffeetasse und einem Doughnut unterscheiden können.

Die mengentheoretische Topologie beschäftigt sich mit den Eigenschaften topologischer Räume und stetiger Abbildungen. Ziel der algebraischen Topologie ist es, Kriterien für die "Gleichheit bis auf Homotopie" zu finden. Dazu werden algebraische Strukturen untersucht, die man aus topoplogischen Räumen gewinnen kann.

Alte Version

Hier befindet sich die alte Version dieses Buchprojekts. Zur Zeit wird das Buch über Topologie von Grund auf neu aufgebaut. Die alte Version war eher rudimentär, die neue Version wird hoffentlich besser.

Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe: Mathematikstudenten (und anderweitig an Mathematik interessierte)

• Lernziele: Ein umfassendes Bild der mengentheoretischen sowie der algebraischen Topologie

• Buchpatenschaft / Ansprechperson: aylex

• Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Die beiden großen Teile sind mengentheoretische Topologie sowie algebraische Topologie. Der Anspruch ist eine vollständige Abhandlung des "Lehrbuchwissens" der Topologie. Dies ist ein hehres Ziel, wird jedoch nur mit sehr viel Arbeit zu erreichen sein.

Inhaltsverzeichnis

Mengentheoretische Topologie Einleitung und Grundlagen Topologische Räume Stetige Abbildungen Zusammenhang Filter und Konvergenz Konstruktion topologischer Räume Trennungseigenschaften / Urysohn's Lemma Kompakte Räume Topologische Räume (alt) Trennungseigenschaften (alt) Uniforme Räume

Algebraische Topologie Homotopie Homologie Kohomologie

Einleitende Beispiele

Ganze und rationale Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sowie die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ unterscheiden sich von ihrer mengentheoretischen Struktur nicht, da sie beide abzählbar unendliche Mengen sind. Von ihrer topologischen Struktur unterscheiden sie sich jedoch intuitiv. Jede ganze Zahl ist von den restlichen ganzen Zahlen auf gewisse Art und Weise getrennt, während beliebig nahe an jeder rationalen Zahl weitere rationale Zahlen liegen. Diese Beobachtung lässt sich schon mit Hilfe der metrischen Struktur der beiden Mengen begründen: Es gibt keine (im metrischen Sinne) stetige Bijektion zwischen den beiden Mengen, deren Umkehrfunktion auch (im metrischen Sinne) stetig ist.