Mathematik:Topologie: Alte Version

Metrische Räume

Grundlegende Definitionen

In der Topologie untersucht man Mengen, anhand der Lage ihrer Elemente. Um solche Untersuchungen anstellen zu können, benötigt man einen Entfernungs- oder Abstandsbegriff, also ein Mittel um die Lage der Elemente zueinander zu beschreiben. Dieses Mittel ist eine Metrik, und gemäß unserer Anschauung sollte sie einige Eigenschaften besitzen, die sofort einleuchten:

1. Objekte haben zu sich selbst keinen Abstand, insbesondere sind sie sich am nächsten und somit ist die Entfernung zu jedem anderen Objekt größer.
2. Die Entfernung zweier Objekte voneinander ist unabhängig davon, wie ich messe, ob von Objekt A nach B oder umgekehrt. Sie sollte also richtungsunabhängig sein.
3. Umwege vergrößern den Weg zwischen zwei Objekten. Eine Entfernungsfunktion sollte also wachsen, wenn man einen Umweg macht.

Unter diesen Vorgaben gelangt man zur folgenden

Definition:

Für eine Menge $X$ heißt die Funktion $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ eine Metrik auf $X$, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• $\forall _{x,y\in X}:d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (Pos. Definitheit).
• $\forall _{x,y\in X}:d(x,y)=d(y,x)$ (Symmetrie).
• $\forall _{x,y,z\in X}:d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (Dreiecksungleichung).

Das Paar $(X,d)$ heißt dann metrischer Raum. Eine Metrik ist laut Definition also definit, symmetrisch und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele:

• Die euklidische Metrik auf $\mathbb {R} ^{3}$ ist definiert durch:

$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{3}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{3}.$

• Die diskrete Metrik auf einer beliebigen Menge $X$ ist definiert durch:

$d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{falls}}&x=y\\1&{\mbox{falls}}&x\neq y\end{matrix}}\right.\;$ für alle $x,y\in X$.

• Die Verallgemeinerung der euklidischen Metrik auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist definiert durch:

$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$

• Betrachtet man die euklidische Metrik auf $\mathbb {R} ^{n}$ als den metrischen Raum $(\mathbb {R} ^{n},d_{2})$ ergibt sich eine weiter Möglichkeit zu verallgemeinern. Die p-Metrik auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist definiert durch:

$d_{p}(x,y)={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{p}}}$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$, wobei $p\in \mathbb {R}$ und $p\geq 1$ gilt.

• Die Maximums- Metrik auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist definiert durch:

$d_{\infty }(x,y)=max\{d_{1}(x_{i}-y_{i})|1\leq i\leq n\}$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

Definition:

Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum, $a\in X$ und $r\in \mathbb {R} ^{+}$ gegeben. Dann nennen wir fortan:

• $B_{r}(a)=\{x\in X|d(a,x)<r\}$ die (offene) Kugel mit Radius $r$ um $a$.
• $S_{r}(a)=\{x\in X|d(a,x)=r\}$ die Sphäre mit Radius $r$ um $a$.

Sei nun $T\subseteq X$ eine Teilmenge von $X$ dann heißt diese:

• offen, falls gilt: $\forall _{x\in T}:\exists _{r\in \mathbb {R} ^{+}}:B_{r}(x)\subseteq T$.
• abgeschlossen, falls gilt: $X\setminus T$ ist offen.

Die Menge $X\setminus T$ heißt das Komplement von $T$ in $X$.

Stetigkeit

Definition

Seien $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$ metrische Räume. Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ ist stetig, wenn gilt:

• $\forall _{x\in X}:\forall _{\varepsilon \geq 0}:\exists _{\delta \geq 0}:\forall _{x'\in X}:x'\in B_{\delta }(x)\Rightarrow f(x')\in B_{\varepsilon }(f(x))$.

Satz

Eine Funktion $f:(X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})$ ist genau dann stetig, wenn die Urbilder $f^{-1}(O)$ aller offenen Mengen $O$ von $Y$, unter $f$, wieder offen sind. Wenn also gilt:

• $\forall _{O\subseteq Y,O{\mbox{ offen}}}:f^{-1}(O)\subseteq X{\mbox{ offen}}$.

Konvergenz

Definition von Konvergenz: Eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in einem topologischen Raum konvergiert gegen $x$ (welches ebenfalls in dem topologischen Raum liegt), falls außerhalb jeder offenen Umgebung von $x$ nur endlich viele Folgenglieder (und folglich im inneren der Umgebung unendlich viele Folgeglieder) liegen. Man schreibt $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$ Der Punkt $x$ ist der Grenzwert oder Limes der Folge.

$x$ heißt Häufungspunkt, falls in jeder offenen Umgebung von $x$ unendlich viele Folgeglieder liegen.

Bemerkung: Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Korollar: Genau jeder Häufungspunkt einer Folge ist Grenzwert einer Teilfolge der Ausgangsfolge.

Bemerkung: Hat man also einen Häufungspunkt gefunden, so gibt es stets eine Teilfolge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Wählt man umgekehrt eine Teilfolge aus, die einen Grenzwert besitzt, so ist dieser Grenzwert auch Häufungspunkt der Ursprungsfolge.

Beispiele:

• Betrachte $x_{n}=(-1)^{n}$ in $\mathbb {R} ^{n}$. Die Folge lautet $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$. Sie besitzt die Häufungspunkte $1$ und $-1$.
• Betrachte $x_{n}={\frac {1}{n}}$ in $\mathbb {R} ^{n}$. Die Folge lautet $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots$. Der Grenzwert ist $0$, da außerhalb jedes (offenen) Intervalls, das die $0$ enthält, nur endlich viele Folgeglieder liegen.
• Betrachte $x_{n}={\frac {1}{n}}+(-1)^{n}$ in $\mathbb {R} ^{n}$. Die Folge lautet $0,{\frac {3}{2}},-{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},\ldots$ Sie besitzt die Häufungspunkte $1$ und $-1$.
• Betrachte die diskrete Topologie auf einer Menge $X$. Dann konvergieren nur die schließlich konstanten Folgen (das sind die Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, für die es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}=const.\forall N>n$ gibt.)

Lemma: $(X,d)$ sei ein metrischen Raum. Eine Folge $(x_{n})$ in X heißt konvergiert gegen $x\in X$, falls gilt:

$\forall {\varepsilon >0}:\exists {n_{0}\in \mathbb {N} }:\forall {n>n_{0}}:d(x_{n},x)<\varepsilon$.

Definition von Cauchyfolge: $(x_{n})$ heißt Cauchyfolge (CF) im metrischen Raum $(X,d)$, falls gilt:

$\forall {\varepsilon >0}:\exists {n_{0}\in \mathbb {N} }:\forall {n,m\geq n_{0}}:d(x_{n},x_{m})<\varepsilon$.

Definition: Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls in ihm jede Cauchyfolge konvergiert.

Topologische Räume

Topologien können durch Metriken erzeugt werden.

Topologie

Definition

• $X$ sei Menge. Ein System $\mathrm {T}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:
  • Jede Vereinigung von Mengen aus $\mathrm {T}$ ist in $\mathrm {T} :O_{j}\in \mathrm {T} (j\in J,J$ bel. Indexmenge$)\Rightarrow \cup _{j\in J}O_{j}\in \mathrm {T}$.
  • Jeder Durchschnitt endl. vieler Mengen aus $\mathrm {T}$ liegt in $\mathrm {T} :O_{j}\in {\mathcal {T}}(j\in J,J$ endlich$)\Rightarrow \cap _{j\in J}O_{j}\in \mathrm {T}$.
• Ein topologischer Raum (TR) ist ein Paar ($X,\mathrm {T}$), wobei $X$ eine Menge und $\mathrm {T}$ eine Topologie auf $X$ ist. Die Teilmengen von $X$, die zu $\mathrm {T}$ gehören, heißen offene Mengen von ($X,\mathrm {T}$). Die Komplemente von offenen Mengen heißen abgeschlossene Mengen von $(X,\mathrm {T} )$.

Bemerkungen:

• Eine Menge kann zugleich offen und abgeschlossen sein, insbesondere sind $\emptyset$ und $X$ (Grundmenge) immer offen und abgeschlossen. Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.

Umgebung

Die Menge $U$ heißt Umgebung des Punktes $x$ im topologischen Raum $(X,T)$, falls $U$ eine Menge $U'$ der Topologie $\mathrm {T}$ umfasst, die $x$ enthält. In Formeln:

$U$ heißt Umgebung von $x$, falls $\exists U'\in \mathrm {T}$, so dass $x\in U'\land U'\subset U$.

Bemerkungen:

• $U$ muss nicht offen sein.
• Jede offene Menge ist Umgebung aller ihrer Punkte.

Stetigkeit

Definition: Seien $(X,\mathrm {T} )$ und $(Y,\Sigma )$ topologische Räume. Eine Abbildung $f:X\to Y$ heisst stetig (bezüglich der Topologien $\mathrm {T}$ und $\Sigma$), falls jedes Urbild einer offenen Menge wieder offen ist. In Formeln:

$f$ stetig, genau dann wenn $\forall U\in \Sigma$ gilt: $f^{-1}(U)\in \mathrm {T}$.

Bemerkungen:

• Das Wort 'offen' kann sich hier auf zwei verschiedene Topologien beziehen. Es ist sorgfältig darauf zu achten, in welchem Raum man sich befindet.
• Die Testmengen aus $\Sigma$ brauchen keine Bildmengen zu sein.
• Diese Definition liefert für metrische Räume das oben beschriebene $\epsilon -\delta -$Kriterium.

Produkttopologie

Produkttopologie

Quotiententopologie

Quotiententopologie

Zusammenhängende Räume

Zusammenhang

Definition: Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, falls es keine Zerlegung in zwei nicht-leere, offene und disjunkte Teilmengen gibt.

Das folgende Korollar entwirrt die Aussage, indem wir die doppelte Verneinung auflösen.

Korollar: Ein topologischer Raum ist genau dann zusammenhängend, wenn bei jeder Zerlegung in zwei offene disjunkte Teilmengen eine Menge die leere Menge oder die ganze Grundmenge $X$ ist.

Noch einfacher ausgedrückt: Nur die Leere Menge $\emptyset$ und die gesamte Grundmenge $X$ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

Der Begriff des Zusammenhangs ist so zu verstehen, dass es keine isolierten Punkte (sondern nur 'zusammenhängende') Punkte gibt, die eine gewisse topologische Eigenschaft besitzen oder nicht besitzen. Besitzt in einem zusammenhängenden topologischen Raum ein Punkt $x$ eine gewisse Eigenschaft, so gibt es eine Umgebung von $x$, aus der alle Punkte diese Eigenschaft besitzen.

Etwas zugänglicher ist der Begriff wegweise zusammenhängend.

Wegweiser Zusammenhang

Definition: Sei $(X,T)$ ein topologischer Raum. Jede stetige Abbildung $\alpha :[0,1]\to X$ heißt Weg oder Pfad in $X$.

Bemerkung: Die Topologie auf $[0,1]$ wird durch die Topologie von $\mathbb {R}$ induziert durch die Metrik bzw. den Abstandsbegriff. Meistens stellt man sich das Intervall $[0,1]$ als Zeit vor und das Bild in $X$ als zurückgelegten Weg. Man kann o.B.d.A. ein anderes abgeschlossenes Intervall wählen. Der Einfachheit halber wurde hier $[0,1]$ gewählt.

Definition von wegweise zusammenhängend: Ein topologischer Raum $(X,T)$ heißt wegweise zusammenhängend, falls es zu je zwei Punkten $a,b\in X$ einen Weg $\alpha$ gibt mit $\alpha (0)=a$ und $\alpha (1)=b$.

Bemerkung: Die Definition ist intuitiv verständlich; Kann man einen Weg finden von jedem Punkt zu jedem anderen, so ist der Raum wegweise zusammenhängend.

Alltagstaugliches Beispiel: Befinden wir uns auf einer Insel und wollen (trockenen Fußes) aufs Festland, so finden wir keinen Weg. Also sind das Festland zusammen mit der Insel nicht wegweise zusammenhängend. Innerhalb der Insel kommen wir von jedem Punkt zu jedem anderen. Die Insel an sich ist wegeweise zusammenhängend.

Trennungseigenschaften

Definition (Hausdorffsches Trennungsaxiom): Ein topologischer Raum $(X,\mathrm {T} )$ heißt Hausdorff-Raum, wenn für alle Punkte $x,y\in X$ gilt: $x=y$ genau dann, wenn $x$ und $y$ alle ihre Umgebungen teilen.

Bemerkung: Etwas gängiger ist die Definition, dass es zu zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ passende Umgebungen $U(x)$ und $U(y)$ gibt, die disjunkt sind $U(x)\cap U(y)=\emptyset$. An der Formulierung in der Definiton erkennt man, dass zwei Punkte mittels der Topologie unterschieden (bzw. aufgelöst oder getrennt) werden können. In metrischen Räumen beispielsweise kann dies an Hand des Abstands geschehen. Vielen Leuten erscheint es natürlich, zwei Punkte auch unterscheiden zu können. Das dies nicht immer so ist zeigt das folgende

Alltagstaugliches Beispiel: Unser Auge (oder eine Kamera) kann Punkte nur bis zu einem gewissen Grade auflösen. Punkte, die nahe beinander liegen, können nicht mehr unterschieden werden. Hier gilt das Hausorffsche Trennungsaxiom für die "Topologie des Auges" oder der "Topologie der Kamera" nicht.

Kompakte Räume

Definiton: Eine Menge $M$ eines topolgischen Raumes heißt kompakt genau dann wenn jede offene Überdeckung der Menge eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Bemerkung: Eine offene Überdeckung einer Menge $M$ ist eine  Familie $(U_{i})_{i\in I}$von offenen Mengen für die gilt $M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}$. Die Definition von Kompaktheit bereitet erfahrungsgemäß Schwierigkeiten. Hier noch einmal in Worten: Stellen Sie sich vor, sie spielen ein Spiel mit einem Freund. Er nennt Ihnen eine offene Überdeckung Ihrer Menge, also ein paar Mengen, sagen wir: endlich viele, abzählbar unendlich viele oder sogar überabzählbar unendlich viele Mengen. Wenn Ihre Menge kompakt ist können Sie stets endlich viele Mengen (Vorsicht Ironie: Meistens reichen zwei bis drei Millionen Mengen.Ironie aus) daraus wählen, so dass sie trotzdem die Menge ganz bedeckt bekommt. Das darf auch etwas überstehen (d.h. es dürfen in auch zuviele Elemente in Ihrer Überdeckung sein, das schadet nicht). Egal wie sich Ihr Freund anstregen wird, sie können stets souverän die Mengen nennen. Das ist ganz besonders wichtig. Es reicht nicht, dass es eine offene Überdeckung einer Menge gibt, für die Sie dann eine endliche Teilüberdeckung finden müssen. Sie müssen in der Lage sein, für jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung anzugeben. Die Möglichkeit der Auswahl ist übrigens wegen des  Auswahlaxioms sichergestellt.

Satz von Heine-Borel: Eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Bemerkung: Der Satz von Heine-Borel bietet ein handliches und gut vorstellbares Kriterium für Kompaktheit im $\mathbb {R} ^{n}$ (und damit auch im $\mathbb {C} ^{n}$). Warum ist Kompaktheit so wichtig? Darüber gibt der folgende Satz Auskunft:

Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede Folge in einer kompakten Menge $M$ besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis durch Widerspruch: Nehmen wir an, es gäbe eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, die keine konvergente Teilfolge enthält. Dann besitzt jeder Punkt $x\in M$ eine offene Umgebung, in der nur endlich viele Folgenglieder liegen. Die Gesamtheit dieser offenen Umgebungen bildet eine offene Überdeckung. Nach der Definition von Kompaktheit können wir endlich viele Umgebungen auswählen, die trotzdem noch $M$ überdecken. In jeder dieser Umgebungen liegen nur endlich viele Folgeglieder. Somit wären auch in der gesamten Überdeckung nur endlich viele Folgeglieder. Das ist ein Widerspruch, da alle und somit unendlich viele Folgeglieder in $M$ liegen. Korollar: Rechtecke, Kreise usw. (mit Rand!) sind kompakte Teilmengen von $\mathbb {R} ^{2}$, geschlossene Intervalle (d.h. mit Endpunkten) sind kompakte Teilmengen von $\mathbb {R}$.

Homotopie

Wegalgebra

Wir müssen definieren, wie wir Wege miteinander verknüpfen. Dies geschieht einfach durch hintereinander abgehen. Bedingung ist, dass der Endpunkt des ersten Weges mit dem Startpunkt des zweiten Weges übereinstimmt.

Definition: Seien $\alpha ,\beta :[0,1]\to X$ zwei Wege mit $\alpha (1)=\beta (0)$. Dann ist $\gamma :=\alpha *\beta$ ein neuer Weg, falls man definiert

$(\alpha *\beta )(t):=\alpha (2t)$ falls $t\in [0,{\frac {1}{2}}[$ und $(\alpha *\beta )(t):=\beta (2t-1)$ falls $t\in [{\frac {1}{2}},1]$.

Ein Weg $\alpha$ heißt Schleife (englisch: loop), falls Start- und Endpunkt miteinander übereinstimmen, d.h. $\alpha (0)=\alpha (1)$.

Äquivalenz von Wegen

Anschaulich gesprochen sind zwei Wege gleich, lateinisch: äquivelant, falls sie gleiche Anfangs- und Endpunkte haben und man den einen Weg durch ziehen und stauchen in den anderen überführen kann. Die Vorstellung ist, dass der Weg aus einem Gummiband besteht, dass sich beliebig weit ziehen lässt. Etwas mathematischer Gesprochen: Wir möchten gerne den einen Weg stetig in den anderen deformieren. Dafür bedürfen wir einer Art Abbildung von Wegen. Dies bewerkstelligt die

Homotopie: Eine Homotopie $H$ zweier Wege $\alpha ,\beta$ ist eine stetige Abbildung $H:[0,1]\times [0,1]\to X$, so dass $\alpha (t)=H(0,t)$ und $\beta (t)=H(1,t)$ ist.

Existiert für zwei Wege eine solche Homotopie, so nennen wir die Wege homotop.

Satz: Die Eigenschaft 'homotop' ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Reflexiv: Jeder Weg kann durch die konstante Homotopie in sich selbst überführt werden. Symmetrie: Ist $H$ eine Homotopie, wo wird durch ${\tilde {H}}(t,.):=H(1-t,.)$ die gewünschte Homotopie induziert. Transitivität: Durch Hintereinanderausführung der Homotopien.