Mathematik: Topologie: Zusammenhang

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Zusammenhängende Räume

Ein wichtiges Konzept in der Topologie ist der Zusammenhang von Räumen. Man unterscheidet dabei verschiedene Stufen des Zusammenhangs. Die schwächste Form des Zusammenhangs liefert die folgende Definition.

Definition: Zusammenhang

Sei $X$ ein topologischer Raum. $X$ heißt zusammenhängend, wenn es keine Zerlegung von $X$ in zwei disjunkte, nicht leere offene Mengen $U$ und $V$ gibt. Anders gesagt, sind $U,V$ offen, $U\cap V=\emptyset$ und $U\cup V=X$, dann folgt $U=\emptyset$ oder $V=\emptyset$. Ist $A$ eine Teilmenge eines topologischen Raumes $X$, so heißt $A$ zusammenhängend, wenn $A$ mit der Unterraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist.

Beispiel: Das Intervall $[0,1]$ ist zusammenhängend.

Beweis: Sei also $[0,1]=A\cup B,A\cap B=\emptyset ,A,B$ offen. Angenommen, $A\neq \emptyset$. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke $x>0$ von $A$. Angenommen $x\notin A$. Dann ist $x\in B$, $B$ ist offen, und daher gibt es ein kleines Intervall $]x-\epsilon ,x]$ um $x$, das noch ganz in $B$ enthalten ist. Also ist $x-\epsilon \notin A$, und damit ist $x$ nicht die kleinste obere Schranke von $A$. Es muss also $x\in A$ sein. Angenommen, es ist $x\not =1$. Da $A$ offen ist, gibt es ein Intervall $]x-\delta ,x+\delta [$ um $A$, das noch ganz in $A$ ist. Also ist $x$ wegen $x<x+\delta /2\in A$ keine obere Schranke von A. Es muss also $x=1$ sein. Falls auch $B\not =\emptyset$ ist, überlegt man sich genauso, dass für eine obere Schranke $y$ von $B$ $y=1$ sein muss . Dann ist aber $1\in A\cap B\not =\emptyset$ im Widerspruch zur Voraussetzung.$\ \surd$

Der Zusammenhang liefert eine Idee davon, dass der anfangs definierte Rand einer Menge seinen Namen verdient. Es gilt nämlich der folgende

Satz: Sei $B$ irgendeine Teilmenge eines topologischen Raumes $X$ und sei $A\subseteq X$ zusammenhängend. Wenn $A$ sowohl das Innere $B^{o}$ von $B$ als auch das Äußere $X-{\overline {B}}$ trifft, dann trifft es auch den Rand $\partial B$ von $B$. In Formeln: aus $A\cap B^{o}\neq \emptyset$ und $A\cap (X-{\overline {B}})\neq \emptyset$ folgt $A\cap \partial B\neq \emptyset$.

Beweis: Da ${\overline {B}}$ per Definition abgeschlossen ist, ist $X-{\overline {B}}$ offen. $B^{o}$ ist ebenfalls per Definition offen. Wegen $B^{o}\subseteq {\overline {B}}$ ist $(X-{\overline {B}})\cap B^{o}=\emptyset$. $B^{o}$ und $X-{\overline {B}}$ sind also offene, disjunkte Mengen. Nun ist aber $X=(X-{\overline {B}})\cup {\overline {B}}=(X-{\overline {B}})\cup B^{o}\cup \partial B$. Wenn also $A\cap \partial B=\emptyset$ wäre, wäre $A\subseteq ((X-{\overline {B}})\cup B^{o})$ im Widerspruch zum Zusammenhang von $A$.  $\surd$

Satz: Ist $A\subseteq X$ eine zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes $X$, so ist auch der Abschluss ${\overline {A}}$ von $A$ zusammenhängend.

Beweis: Seien $U,V$ disjunkte in $X$ offene Mengen mit ${\overline {A}}\subseteq U\cup V$. Dann ist auch $A\subseteq U\cup V$. Sei $A\cap U\neq \emptyset$. Da $A$ zusammenhängend ist, muss $A\cap V=\emptyset$ sein. Also ist $A\subseteq (X-V)$. Da $V$ offen und damit $X-V$ abgeschlossen ist, folgt ${\overline {A}}\subseteq (X-V)$. Dann ist aber ${\overline {A}}\cap V=\emptyset$ und das bedeutet, dass ${\overline {A}}$ zusammenhängend ist.$\ \surd$

Satz: Sei $\{A_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ eine Familie zusammenhängender Teilmengen eines topologischen Raumes $X$. Wenn $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \emptyset$, dann ist $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$ zusammenhängend.

Beweis: Nehmen wir an, dass $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }$ nicht zusammenhängend ist. Es gibt also zwei in $X$ offene disjunkte Mengen $U,V$, sodass $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap U\neq \emptyset$, $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap V\neq \emptyset$ und $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\subseteq (U\cup V)$. Wegen $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap U\neq \emptyset$ ist $A_{\nu }\cap U\neq \emptyset$ für ein $\nu \in \Lambda$. Wegen $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\subseteq (U\cup V)$ ist auch insbesondere $A_{\nu }\subseteq (U\cup V)$. Da $A_{\nu }$ zusammenhängend ist, muss $A_{\nu }\cap V=\emptyset$ sein, und das bedeutet $A_{\nu }\subseteq U$. Dann ist aber wegen $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\neq \emptyset$ auch $A_{\lambda }\cap U\neq \emptyset$ für jedes $\lambda \in \Lambda$. Weiter ist für jedes $\lambda$ wegen $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\subseteq (U\cup V)$ auch $A_{\lambda }\subseteq (U\cup V)$, und wegen des Zusammenhangs von $A_{\lambda }$ muss dann $A_{\lambda }\cap V=\emptyset$ sein. Dann folgt aber $(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap V=\emptyset$ im Widerspruch zur Annahme.$\ \surd$

Ein weiterer Satz betrifft stetige Abbildungen.

Satz: Ist $X$ ein zusammenhängender Raum und $f:X\to Y$ stetig, so ist das Bild $f(X)$ von $X$ zusammenhängend.

Beweis: Wäre $f(X)$ nicht zusammenhängend, so gäbe es zwei disjunkte, nicht leere und offene Mengen $U$ und $V$ in $Y$, sodass $f(X)\cap U\neq \emptyset ,f(X)\cap V\neq \emptyset$ und $f(X)\subseteq (U\cup V)$. $f^{-1}(U)$ und $f^{-1}(V)$ sind dann nicht leer, disjunkt und wegen der Stetigkeit von $f$ auch offen in $X$. Schließlich ist dann $X=f^{-1}(f(X))\subseteq f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$ im Widerspruch zum Zusammenhang von $X$. $\surd$

Satz (Zwischenwertsatz): Ist $X$ ein zusammenhängender Raum und $f:X\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion von $X$ in die reellen Zahlen. Seien weiter $s,t\in f(X)$ mit $s<t$. Dann wird auch jeder Wert zwischen $s$ und $t$ angenommen, ist also $s<y<t$, so folgt $y\in f(X)$.

Beweis: Zunächst ist wegen des vorigen Satzes $f(X)$ zusammenhängend. Angenommen es gibt ein $s<y<t$ mit $y\notin f(X)$. Dann sei $K=\{z\in \mathbb {R} \mid z<y\}$ die offene Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als $y$ sind, und $G=\{z\in \mathbb {R} \mid z>y\}$ die offene Menge aller Zahlen größer als $y$. Offensichtlich ist $K\cap G=\emptyset$. Wegen $s,t\in f(X)$ sind $f(X)\cap K$ und $f(X)\cap G$ nicht leer. Schließlich ist $f(X)\subseteq (K\cup G)$ im Widerspruch zum Zusammenhang von $f(X)$.$\ \surd$

Definition: Zusammenhangskomponente

Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$. Die Zusammenhangskomponente $K(x)$ von $x$ ist die Vereinigung aller zusammenhängenden Teilmengen von $X$, die $x$ enthalten. Anders gesagt, ist $\Lambda _{x}=\{A\subseteq X\mid x\in A$ und$\ A$ zusammenhängend $\ \}$, so ist $K(x)=\bigcup _{A\in \Lambda _{x}}A$.

Satz: Die Zusammenhangskomponente $K(x)$ ist zusammenhängend und abgeschlossen.

Beweis: $K(x)$ ist als Vereinigung zusammenhängender Mengen mit nicht leerem Durchschnitt (mindestens $x$ ist drin) wieder zusammenhängend. Falls $K(x)=X$ ist, ist $K(x)$ trivialerweise abgeschlossen. Sei andernfalls $y\in (X-K(x))$. Dann ist nach Definition von $K(x)$ die Menge $K(x)\cup \{y\}$ nicht zusammenhängend. Es gibt also offene, disjunkte Mengen $U,V$ mit $(K(x)\cup \{y\})\cap U\neq \emptyset$, $(K(x)\cup \{y\})\cap V\neq \emptyset$ und $(K(x)\cup \{y\})\subseteq (U\cup V)$. Da $K(x)$ zusammenhängend und $K(x)\subseteq (U\cup V)$ ist, ist $K(x)\cap U=\emptyset$ oder $K(x)\cap V=\emptyset$. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit $K(x)\cap U=\emptyset$. Dann muss aber $\{y\}\cap U\neq \emptyset$ oder anders gesagt $y\in U$ sein. Das bedeutet aber, dass es zu $y\in (X-K(x))$ noch eine offene Umgebung, nämlich $U$, gibt mit $y\in U\subseteq (X-K(x))$. Das ist aber gerade die Offenheit von $X-K(x)$, und $K(x)$ ist daher abgeschlossen.$\ \surd$

Satz: Die Zusammenhangskomponenten zweier Punkte $x,y$ sind entweder gleich oder disjunkt.

Beweis: Sei $K(x)\cap K(y)\neq \emptyset$. Dann ist $K(x)\cup K(y)$ zusammenhängend, und daher ist $(K(x)\cup K(y))\subseteq K(x)$. Es gilt also $K(x)\subseteq (K(x)\cup K(y))\subseteq K(x)$ und daher $K(x)=(K(x)\cup K(y))$. Genauso schließt man $K(y)=(K(x)\cup K(y))$ und damit folgt $K(x)=K(y)$. $\ \surd$

Satz: Ist $O\subseteq X$ gleichzeitig offen und abgeschlossen und ist $x\in O$, dann ist $K(x)\subseteq O$.

Beweis: Da $O$ offen und abgeschlossen ist, sind $O$ und $X-O$ offene disjunkte Mengen. Sei $A$ eine zusammenhängende Teilmenge von $X$ und $x\in A$. Dann ist $A\subseteq (O\cup (X-O))$ und $A\cap O\neq \emptyset$. Wegen des Zusammenhangs von $A$ ist dann $A\cap (X-O)=\emptyset$ und daher $A\subseteq O$. Dies gilt für jede zusammenhängende Menge die $x$ enthält, und das bedeutet $K(x)\subseteq O$.$\ \surd$

Die nächst stärkere Stufe des Zusammenhangs ist der Wegzusammenhang. Wie der Name schon vermuten lässt, bedeutet diese Form des Zusammenhangs, dass sich je zwei Punkte eines Raumes durch einen Weg verbinden lassen. Das wird präzisiert durch die folgende

Definition: Wegzusammenhang

Ein topologischer Raum $X$ heißt wegzusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine stetige Abbildung $w:[0,1]\to X$ gibt mit $w(0)=x$ und $w(1)=y$. Die Abbildung $w$ heißt Weg von $x$ nach $y$. Eine Teilmenge $A\subseteq X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in A$ einen Weg von $x$ nach $y$ in $A$ gibt, also eine stetige Abbildung $w:[0,1]\to A$ mit $w(0)=x$ und $w(1)=y$.

Der nächste Satz gibt Auskunft darüber, warum der Wegzusammenhang eine stärkere Eigenschaft als der Zusammenhang ist.

Satz: Eine wegzusammenhängende Teilmenge $A$ eines topologischen Raumes $X$ ist zusammenhängend.

Beweis: Angenommen, $A$ ist nicht zusammenhängend. Dann gibt es zwei nicht leere, disjunkte offene Mengen $U,V$ mit $U\cap A\neq \emptyset ,V\cap A\neq \emptyset$ und $A\subseteq (U\cup V)$. Sei nun $x\in A\cap U,y\in A\cap V$ und $w:[0,1]\to A,w(0)=x,w(1)=y$ ein Weg von $x$ nach $y$. Dann sind $w^{-1}(U)$ und $w^{-1}(V)$ offen in $[0,1]$ wegen der Stetigkeit von $w$. Es ist $w^{-1}(U)\cap w^{-1}(V)=\emptyset$ wegen $U\cap V=\emptyset$. Weiter ist $w^{-1}(U)\neq \emptyset$ wegen $w(0)=x\in U$ und ebenso $w^{-1}(V)\neq \emptyset$. Schließlich ist $[0,1]=w^{-1}(U)\cup w^{-1}(V)$ wegen $w([0,1])\subseteq A\subseteq U\cup V$ im Widerspruch zum Zusammenhang von $[0,1]$.$\ \surd$

Als nächstes werden ein paar Beispiele vorgestellt.

• Der reelle Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist wegzusammenhängend, denn für $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ definiere den Weg $w:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ von $x$ nach $y$ durch $w(t):=ty+(1-t)x$.

• Eine Menge $X$ mit der indiskreten Topologie ist wegzusammenhängend.

• In einer Menge $X$ mit der diskreten Topologie sind alle Punkte isoliert, man kann keine zwei Punkte durch einen Weg verbinden.

• Schließlich noch ein Beispiel für einen Raum, der zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, und zwar der Graph der Funktion $f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$, genauer: $X=\{(0,0)\}\cup \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=\sin \left({\frac {1}{x}}\right),x\neq 0\right\}$ mit der Unterraumtopologie des $\mathbb {R} ^{2}$.

Beweis: Angenommen, $X$ wäre wegzusammenhängend. Dann gäbe es einen Weg $w:[0,1]\to X$ mit $w(0)=\left(-{\frac {1}{2\pi }},0\right)$ und $w(1)=\left(+{\frac {1}{2\pi }},0\right)$. Ein solcher Weg ist auch eine Abbildung in den $\mathbb {R} ^{2}$ und man kann $w$ schreiben als $t\mapsto w(t)=(w_{1}(t),w_{2}(t))$ mit stetigen Funktionen $w_{1}:[0,1]\to \mathbb {R}$ und $w_{2}:[0,1]\to \mathbb {R}$. Betrachte die Funktion $w_{1}:[0,1]\to \mathbb {R}$ mit $w_{1}(0)=-{\frac {1}{2\pi }}$ und $w_{1}(1)=+{\frac {1}{2\pi }}$. Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder Wert $-{\frac {1}{2\pi }}<z<+{\frac {1}{2\pi }}$ angenommen und damit ist auch $w_{1}^{-1}(0)\neq \emptyset$. Da $\{0\}$ abgeschlossen ist, ist auch $w_{1}^{-1}(0)$ abgeschlossen in $[0,1]$ und es existiert das Maximum $s$ von $w_{1}^{-1}(0)$. Dann ist $w_{1}(s)=0$ und $w_{1}(r)>0$ für alle $s<r\leq 1$. In jeder Umgebung $U$ von $s$ ist ein Intervall von $s$ bis $s+\delta$ enthalten, sodass $s+\delta \in U$ und $w_{1}(s+\delta )>0$. Die Funktion $w_{1}$ ist auf $[0,1]$ und damit auch auf dem Intervall $[s,s+\delta ]$ stetig, und daher werden nach dem Zwischenwertsatz auch alle Werte $0<z<w_{1}(s+\delta )$ angenommen. Wähle nun eine natürliche Zahl $n>1$ so, dass $n>{\frac {1}{2\pi w_{1}(s+\delta )}}$. Dann ist $0<{\frac {1}{2\pi n+{\frac {\pi }{2}}}}<{\frac {1}{2\pi {\frac {1}{2\pi w_{1}(s+\delta )}}}}={\frac {1}{\frac {1}{w_{1}(s+\delta )}}}=w_{1}(s+\delta )$. Es gibt also ein $s<r<s+\delta$ mit $w_{1}(r)={\frac {1}{2\pi n+{\frac {\pi }{2}}}}$. Wegen $w_{2}(r)=\sin(1/w_{1}(r))=\sin \left(2\pi n+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$ ist $w(r)=(w_{1}(r),w_{2}(r))=(w_{1}(r),1)$. Betrachte nun die Kugel ${\mathcal {B}}_{0,5}(0,0)$ um $(0,0)$ mit Radius $0,5$. Wie gerade ausgeführt gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung $U$ von $s$ ein $r\in U$ mit $w(r)=(w_{1}(r),1)\notin {\mathcal {B}}_{0,5}(0,0)$ im Widerspruch zur Stetigkeit von $w$.

Bleibt noch zu zeigen, dass $X$ zusammenhängend ist. Man kann sich leicht überlegen, dass die Teilmenge $X_{+}:=\{(x,\sin(1/x))\mid x>0\}$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist. Ebenso ist $X_{-}:=\{(x,\sin(1/x))\mid x<0\}$ zusammenhängend. Nach einem der vorigen Sätze sind dann auch ${\overline {X_{+}}}=X_{+}\cup \{(0,0)\}$ und ${\overline {X_{-}}}=X_{-}\cup \{(0,0)\}$ zusammenhängend. Weiter ist ${\overline {X_{+}}}\cap {\overline {X_{-}}}=\{(0,0)\}\neq \emptyset$ und damit folgt, dass $X={\overline {X_{-}}}\cup {\overline {X_{+}}}$ zusammenhängend ist. $\ \surd$

Analog zur Zusammenhangskomponente kann man natürlich auch eine Wegzusammenhangskomponente definieren.

Definition: Wegzusammenhangskomponente

Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$. Die Wegzusammenhangskomponente oder auch Bogenkomponente $W(x)$ von $x$ ist die Menge aller Punkte in $X$, die durch einen Weg von $x$ erreichbar sind. Also $W(x)=\{y\in X\mid \exists w:[0,1]\to X,w(0)=x,w(1)=y\}$.

Bemerkungen

• Die Bogenkomponente eines Punktes $x$ ist wegzusammenhängend und damit zusammenhängend.
• Die Bogenkomponente $W(x)$ eines Punktes ist in der Zusammenhangskomponente enthalten, also $W(x)\subseteq K(x)$.
• Ist $x\in O$ und $O$ gleichzeitig offen und abgeschlossen, so ist $W(x)\subseteq K(x)\subseteq O$, also $W(x)\subseteq O$

Satz: Sind $x,y$ zwei Punkte des Raumes $X$, so ist entweder $W(x)\cap W(y)=\emptyset$ oder $W(x)=W(y)$. Die Bogenkomponenten sind also entweder gleich oder disjunkt.

Beweis: Angenommen, $W(x)\cap W(y)\neq \emptyset$ und $z\in W(x)\cap W(y)$. Dann gibt es einen Weg $w_{1}:[0,1]\to X,w_{1}(0)=x,w_{1}(1)=z$ von $x$ nach $z$ und einen Weg $w_{2}:[0,1]\to X,w_{2}(0)=y,w_{2}(1)=z$ von $y$ nach $z$. Wir wollen nun zeigen, dass $W(x)\cup W(y)\subseteq W(x)$ ist. Sei dazu $v\in W(x)\cup W(y)$. Falls $v\in W(x)$ ist, ist nichts zu tun. Anderenfalls ist $v\in W(y)$, und es gibt einen Weg $w_{3}$ von $y$ nach $v$. Definiere die Abbildung $w:[0,1]\to X$ durch

$w(t)={\begin{cases}w_{1}(3t),&0\leq t\leq 1/3\\w_{2}(2-3t),&1/3\leq t\leq 2/3\\w_{3}(3t-2),&2/3\leq t\leq 1\end{cases}}$

Dann ist $w$ stetig und ein Weg von $x$ entlang $w_{1}$ nach $z$, von $z$ rückwärts entlang $w_{2}$ nach $y$ und schließlich von $y$ entlang $w_{3}$ nach $v$. Es ist also $v\in W(x)$ und damit $W(x)\cup W(y)\subseteq W(x)$ wie behauptet. Daraus erhält man schließlich $W(x)\subseteq W(x)\cup W(y)\subseteq W(x)$, also $W(x)=W(x)\cup W(y)$. Genauso schließt man, dass $W(y)=W(x)\cup W(y)$ ist, und das bedeutet $W(x)=W(y)$. $\ \surd$

Schließlich gibt es auch noch lokale Versionen der Zusammenhangsdefinitionen, in denen es um den Zusammenhang in der Umgebung eines Punktes geht.

Definition: lokaler Zusammenhang

Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$. $X$ heißt lokal zusammenhängend in $x$, wenn es in jeder Umgebung $U$ von $x$ eine zusammenhängende Umgebung $U'$ von $x$ gibt mit $x\in U'\subseteq U$. $X$ heißt lokal zusammenhängend, wenn $X$ für alle Punkte $x\in X$ lokal zusammenhängend in $x$ ist.

Definition: lokaler Wegzusammenhang

Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$. $X$ heißt lokal wegzusammenhängend in $x$, wenn es in jeder Umgebung $U$ von $x$ eine wegzusammenhängende Umgebung $U'$ von $x$ gibt mit $x\in U'\subseteq U$. $X$ heißt lokal wegzusammenhängend, wenn $X$ für alle Punkte $x\in X$ lokal wegzusammenhängend in $x$ ist.

Zum Schluß folgt noch ein Beispiel dafür, dass die beiden letzteren Versionen wirklich etwas Neues bedeuten. Der "Kamm" ist ein Raum, der zwar wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist, aber im Punkt $(0,1)$ ist er weder lokal zusammenhängend noch lokal wegzusammenhängend, da die "Zinken" für $x$ gegen 0 immer dichter werden.

Der Kamm ist definiert als $X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x=0,0\leq y\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x=1/n,n\in \mathbb {N} ,0\leq y\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 1,y=0\}$.

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