Mathematik: Topologie: Trennungseigenschaften

Trennungseigenschaften sind Eigenschaften, die beschreiben, inwieweit sich Punkte in einem topologischen Raum voneinander trennen lassen. Das heißt intuitiv: Liegen Punkte so nahe beeinander, dass ich sie (topologisch) nicht unterscheiden kann? Oder liegt der eine Punkt so nahe bei einem anderen, dass ich ihn nicht von diesem anderen Punkt unterscheiden kann, andersherum aber sehr wohl?

Topologische Räume, bei denen man Punkte nicht voneinander trennen kann, sind für gewisse topologische Theorien unschön, und werden dort daher nicht weiter betrachtet (z. B. in Teilen der Homotopietheorie). In anderen Gebieten treten topologische Räume, in denen dies nicht der Fall ist, jedoch natürlich auf (z. B. in der Theorie der stetigen Verbände).

Im Folgenden geben wir einen Überblick über Trennungseigenschaften (oder auch Trennungsaxiome):

T0

Definition: T0

Sei $X$ ein topologischer Raum. $X$ heißt $T_{0}$-Raum, wenn für alle $x\neq y$ eine offene Menge $U$ existiert, so dass entweder $x\in U\wedge y\notin U$ oder $x\notin U\wedge y\in U$

Definition: T1

Ein topologischer Raum erfüllt das Trennungsaxiom T1, falls man für je zwei gegebene verschiedene Punkte x und y eine Umgebung $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ mit $y\notin U$ existiert.

T1

Beispiel: Kofinite Topologie auf unendlichen Mengen

Betrachte eine unendliche Menge X mit der kofiniten Topologie. Dieser topologische Raum erfüllt das Trennungsaxiom T1. Dies sieht man wie folgt: Seien zwei verschiedene Punkte x und y gegeben. Die Menge $X\setminus \{y\}$ hat ein endliches Komplement, ist also offen. Sie enthält x, aber nicht y. Dieser topologische Raum erfüllt jedoch nicht das Trennungsaxiom T2. Dies sieht man wie folgt: Seien wieder zwei verschiedene Punkte x und y gegeben. Sei $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ eine Umgebung von x. Dann ist das Komplement von U endlich, denn U enthält per Definition eine offene Menge. Das gleiche ist der Fall für jede Umgebung von y. In einer unendlichen Menge sind zwei Mengen mit endlichem Komplement jedoch nie disjunkt.

Charakterisierung von T1-Räumen

Satz: Für einen topologischen Raum $X$ sind folgende Eigenschaften äquivalent:

(a) X ist ein T1-Raum.

(b) Jede einpunktige Menge ist abgeschlossen.

(c) Jede Teilmenge $A\subset X$ ist der Durchschnitt aller ihrer Umgebungen.

Beweis:

(a)=>(b): Es sei $x\in X$ fest gewählt. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem $y\neq x$ eine offene Menge $U_{y}$, die $x$ nicht enthält. Somit ist $U=\bigcup \{U_{y}|y\in X\wedge y\neq x\}$ als Vereinigung offener Mengen offen. Weiter gilt $\{x\}=X\backslash U$. Somit ist diese Einpunktmenge Komplement einer offenen Menge und definitionsgemäß abgeschlossen.

(b)=>(c): Sei $x\notin A$.$X\backslash \{x\}$ ist eine offene Umgebung von $A$ und es gilt $A=\bigcap \{X\backslash \{x\}|x\neq A\}$.

(c)=>(a): Da $\{x\}$ nach Voraussetzung Durchschnitt all seiner Umgebungen ist, muss es zu jedem $y\neq x$ eine Umgebung von $x$ geben, die $y$ nicht enthält.

T2

Definition: T2 (Hausdorffsch)

Ein topologischer Raum erfüllt das Trennungsaxiom T2, falls für je zwei verschiedene Punkte x und y Umgebungen $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ und $V\in {\mathfrak {U}}(y)$ existieren, so dass $U\cap V=\emptyset$ gilt. Solche topologischen Räume nennt man auch hausdorffsch.

Beispiel: Metrische Räume

Jeder metrische Raum erfüllt das Trennungsaxiom T2. Denn seien x und y zwei verschiedene Punkte mit Abstand 2d. Dann werden diese Punkte durch Kugeln mit Radius d voneinander getrennt. Dies zeigt insbesondere, dass nicht jede Topologie von einer Metrik induziert wird. Denn es gibt topologische Räume, die das Trennungsaxiom T2 nicht erfüllen (wie z. B. ein indiskreter Raum mit mehr als einem Element).