MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstände

Der Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem entspricht gerade dem Betrag des Vektors, der den einen Punkt in den anderen Punkt verschiebt. Sind zwei Punkte $A\left(a_{1}|a_{2}|a_{3}\right)$ und $B\left(b_{1}|b_{2}|b_{3}\right)$ vorgegeben, dann ist ihr Abstand:

$d(A,B)=\left|{\overrightarrow {AB}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\\\end{pmatrix}}\right|$

also

$d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}$

Der Abstand eines Punktes P zu einem anderen geometrischen Objekt, wie z.B. einer Gerade [Ebene] wird durch das Lot des Punktes P auf die Gerade [Ebene] bestimmt. Das Lot ist dabei diejenige Gerade, die die vorgegebene Gerade [Ebene] senkrecht schneidet und durch den Punkt P verläuft. Den Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit der vorgegebenen Gerade [Ebene] nennt man den Lotfußpunkt L.

• Lotgeraden
• 
  Lot auf eine Gerade
• 
  Lot auf eine Ebene

Der Abstand des Punktes P zu der Geraden [Ebene] entspricht dann dem Abstand des Punktes P zum Lotfußpunkt L. Mit diesem Konzept kann der Abstand eines Punktes zu einer Geraden [Ebene] auf den Abstand zweier Punkte zurückgeführt werden. Da andererseits zahlreiche andere Abstand-Probleme auf die Frage nach dem Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. einer Ebene zurückgeführt werden können, lassen sich auch diese Probleme letztlich auf die Frage nach dem Abstand zweier Punkte reduzieren.

Die typischen Abstands-Probleme der analytischen Geometrie sind:

• Abstand eines Punktes von einer Geraden
• Abstand zweier paralleler Geraden
• Abstand eines Punktes von einer Ebene
• Abstand einer Ebene und einer parallelen Gerade
• Abstand zweier paralleler Ebenen
• Abstand zweier windschiefer Geraden

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