MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand E-E

Es soll der Abstand zweier paralleler Ebenen bestimmt werden.

Auch hier sollte zunächst festgestellt werden, dass die beiden Ebenen auch tatsächlich parallel zu einander verlaufen. Wie das geht ist hier erklärt. Steht fest, dass die Ebenen parallel sind, dann ist der Abstand der Ebenen nichts anderes als der Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene.

Die Aufgabe besteht also aus zwei Teilen:

1. Einen Punkt P der einen Ebene finden.
2. Den Abstand diese Punktes P zur anderen Ebene bestimmen (hier erklärt).

Beispiele

Eine Ebene

$E_{1}:\;1\cdot x_{1}-2\cdot x_{2}+2\cdot x_{3}=-5$

und eine Ebene in Hesse'scher Normalenform

$E_{2}:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}=0$

Die Ebene verlaufen parallel, denn die Normalenvektoren sind kollinear.

Der Punkt $P\left(-1|1|-1\right)$ ist ein Punkt der ersten Ebene, denn $1\cdot (-1)-2\cdot 1+2\cdot (-1)=-5$. Es gilt:

$d(E_{1},E_{2})=d(P,E_{2})=\left|{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}\right|=5\,\mathrm {LE}$

 

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