MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-E

Gegeben ist eine Ebene in Hesse'scher Normalenform

Lot auf Ebene.png

und ein Punkt

Die Gerade ist die Lotgerade vom Punkt P auf die Ebene E (denn sie durchstößt E senkrecht und verläuft durch P).

Sei (*) der Ortsvektor des Lotfußpunktes L.

Dann ist der Abstand

Da der Lotfußpunkt auch ein Punkt der Ebene ist, muss auch gelten:

Einsetzen von (*) in diese Gleichung liefert

Damit ergibt sich allgemein:

Satz

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene E mit Hesse'scher Normalenform ist :