MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand g-E

Es soll der Abstand einer Ebene und einer zu dieser Ebene parallelen Gerade bestimmt werden.

Zunächst sollte festgestellt werden, dass die Gerade auch tatsächlich parallel zur Ebene verläuft. Wie das geht ist hier erklärt. Steht fest, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft, dann ist der Abstand der Gerade von der Ebene nichts anderes als der Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene.

Die Aufgabe besteht also aus zwei Teilen:

1. Einen Punkt P der einen Gerade finden (hier erklärt).
2. Abstand diese Punktes P zur Ebene bestimmen (hier erklärt).

Beispiele

Eine Ebene in Hesse'scher Normalenform

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}=0$

und eine Gerade

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}6\\6\\3\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

Die Gerade verläuft parallel zur Ebene, denn das Skalraprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade ist

${\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6\\6\\3\\\end{pmatrix}}=0$.

Der Punkt $P\left(-1|1|-1\right)$ ist ein Punkt der Geraden. Es gilt:

$d(g,E)=d(P,E)=\left|{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}\right|=5\,\mathrm {LE}$

 

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