MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Geraden
UrsprungsgeradenBearbeiten
Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt bzw. betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.
Für einen festen Vektor bzw. , der nicht der Nullvektor ist, beschreibt die Menge
eine Ursprungsgerade.
Es hat sich eingebürgert, auf die Mengenschreibweise zu verzichten. Die Gleichung
wird als Parameterform der Ursprungsgerade g bezeichnet, denn für jeden Parameter erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ursprungsgeraden und umgekehrt zu jedem Punkt der Ursprungsgeraden gibt es einen Parameter t, so dass den Ortsvektor des Punktes ergibt.
Der Vektor wird als Richtungsvektor der Ursprungsgeraden bezeichnet.
Parameterform allgemeiner GeradenBearbeiten
Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden
ergibt sich eine andere Gerade
die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor verläuft.
beschreiben. Hierbei ist ein Stützvektor (oder Antragsvektor) und ein Richtungsvektor von g. t ist ein Parameter, für den verschiedene reelle Zahlen eingesetzt werden können. Deshalb heißt diese Darstellung von g Parameterform.
Für jeden Parameter t, den man in die Parameterform der Geraden g einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und für jeden Punkt der Gerade gibt es einen Parameter t, so dass der Ortsvektor des Punktes ist.
Von zwei Punkten zur GeradeBearbeiten
Es soll eine Parameterform der Geraden g durch die Punkte und gefunden werde.
Als Stützvektor können z.B. die Ortsvektoren von A und B dienen .
Die Verbindungsvektoren zwischen A und B sind mögliche Richtungsvektoren
PunktprobeBearbeiten
Es soll geprüft werden, ob der Punkt auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:
- .
Die Vektorgleichung führt zu den drei Gleichungen:
Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.
Beispiele
- Durch die Punkte und verläuft die Gerade:
- Die Gerade g verläuft darüber hinaus durch die Punkte für und für .
- Liegen auch die Punkte und auf g?
- P liegt auf g, denn
- Q liegt dagegen nicht auf g, denn
- Ein Flugzeug befindet sich in einer Höhe von 1200 m, 20 km südlich und 30 km westlich vom Flughafen. Es sinkt mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s. Gleichzeitig bewegt es sich anteilsmäßig mit einer Geschwindigkeit von 100 m/s in Richtung Norden und 225 m/s in Richtung Osten.
- Legt man in einem Koordinatensystem mit dem Flughafen im Ursprung die Nord-Süd-Richtung als 1. Koordinatenachse, die West-Ost-Richtung als 2. Koordinatenachse und die Höhe als 3. Koordinatenachse fest, dann beschreibt die Gerade für t in Sekunden
- die Flugbahn des Flugzeuges bei gleichbleibender Geschwindigkeit.