Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt bzw. betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.
Definition
Für einen festen Vektor bzw. , der nicht der Nullvektor ist, beschreibt die Menge
eine Ursprungsgerade.
Es hat sich eingebürgert, auf die Mengenschreibweise zu verzichten. Die Gleichung
wird als Parameterform der Ursprungsgerade g bezeichnet, denn für jeden Parameter erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ursprungsgeraden und umgekehrt zu jedem Punkt der Ursprungsgeraden gibt es einen Parameter t, so dass den Ortsvektor des Punktes ergibt.
Der Vektor wird als Richtungsvektor der Ursprungsgeraden bezeichnet.
Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden
ergibt sich eine andere Gerade
die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor verläuft.
Definition
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form
beschreiben. Hierbei ist ein Stützvektor (oder Antragsvektor) und ein Richtungsvektor von g. t ist ein Parameter, für den verschiedene reelle Zahlen eingesetzt werden
können. Deshalb heißt diese Darstellung von g Parameterform.
Für jeden Parameter t, den man in die Parameterform der Geraden g einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und für jeden Punkt der Gerade gibt es einen Parameter t, so dass der Ortsvektor des Punktes ist.
Es soll geprüft werden, ob der Punkt auf der Geraden mit
folgender Parameterform liegt:
.
Die Vektorgleichung führt zu
den drei Gleichungen:
Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.
Beispiele
Durch die Punkte und verläuft die Gerade:
Die Gerade g verläuft darüber hinaus durch die Punkte für und für .
Liegen auch die Punkte und auf g?
P liegt auf g, denn
Q liegt dagegen nicht auf g, denn
Ein Flugzeug befindet sich in einer Höhe von 1200 m, 20 km südlich und 30 km westlich vom Flughafen. Es sinkt mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s. Gleichzeitig bewegt es sich anteilsmäßig mit einer Geschwindigkeit von 100 m/s in Richtung Norden und 225 m/s in Richtung Osten.
Legt man in einem Koordinatensystem mit dem Flughafen im Ursprung die Nord-Süd-Richtung als 1. Koordinatenachse, die West-Ost-Richtung als 2. Koordinatenachse und die Höhe als 3. Koordinatenachse fest, dann beschreibt die Gerade für t in Sekunden
die Flugbahn des Flugzeuges bei gleichbleibender Geschwindigkeit.