MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Geraden

UrsprungsgeradenBearbeiten

Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt   bzw.   betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.

Definition

Für einen festen Vektor   bzw.  , der nicht der Nullvektor ist, beschreibt die Menge

 

eine Ursprungsgerade.

Es hat sich eingebürgert, auf die Mengenschreibweise zu verzichten. Die Gleichung

 

wird als Parameterform der Ursprungsgerade g bezeichnet, denn für jeden Parameter   erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Ursprungsgeraden und umgekehrt zu jedem Punkt der Ursprungsgeraden gibt es einen Parameter t, so dass   den Ortsvektor des Punktes ergibt.

Der Vektor   wird als Richtungsvektor der Ursprungsgeraden bezeichnet.

 


Parameterform allgemeiner GeradenBearbeiten

Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden

 

ergibt sich eine andere Gerade

 

die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor   verläuft.

Definition
Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form
 

beschreiben. Hierbei ist   ein Stützvektor (oder Antragsvektor) und   ein Richtungsvektor von g. t ist ein Parameter, für den verschiedene reelle Zahlen eingesetzt werden können. Deshalb heißt diese Darstellung von g Parameterform.

Für jeden Parameter t, den man in die Parameterform der Geraden g einsetzt, erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und für jeden Punkt der Gerade gibt es einen Parameter t, so dass   der Ortsvektor des Punktes ist.

 


Von zwei Punkten zur GeradeBearbeiten

Es soll eine Parameterform der Geraden g durch die Punkte   und   gefunden werde.

Als Stützvektor können z.B. die Ortsvektoren von A und B dienen  .

Die Verbindungsvektoren zwischen A und B sind mögliche Richtungsvektoren  

 

PunktprobeBearbeiten

Es soll geprüft werden, ob der Punkt   auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:

 .

Die Vektorgleichung   führt zu den drei Gleichungen:

 

Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.