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Das Vektorprodukt / Kreuzprodukt

(Teile dieses Abschnittes basieren auf: Kreuzprodukt, 7. Dezember 2006 (Wikipedia). Die Autorenliste zum Exportzeitpunkt ist hier einzusehen.)

In einem der Beispiele im vorangegangenen Kapitel wurde ein Vektor gesucht, der jeweils orthogonal zu zwei vorgegebenen Vektoren war. Schauen wir uns die Problemstellung noch einmal an:

Vorgegeben sind zwei Vektoren ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}$. Gesucht ist ein Vektor ${\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\end{pmatrix}}$ mit ${\vec {a}}\perp {\vec {c}}$ und ${\vec {b}}\perp {\vec {c}}$, also ${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=0$ und ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0$. Damit ergibt sich das Gleichungssystem mit Unbekannten $c_{1},\,c_{2},\,c_{3}$:

${\begin{vmatrix}a_{1}\cdot c_{1}&+&a_{2}\cdot c_{2}&+&a_{3}\cdot c_{3}&=&0\\b_{1}\cdot c_{1}&+&b_{2}\cdot c_{2}&+&b_{3}\cdot c_{3}&=&0\\\end{vmatrix}}$

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist

$c_{1}=a_{2}\,b_{3}-a_{3}\,b_{2},\;c_{2}=a_{3}\,b_{1}-a_{1}\,b_{3},\;c_{3}=a_{1}\,b_{2}-a_{2}\,b_{1}$

Also ist ein möglicher Vektor ${\vec {c}}={\begin{pmatrix}a_{2}\,b_{3}-a_{3}\,b_{2}\\a_{3}\,b_{1}-a_{1}\,b_{3}\\a_{1}\,b_{2}-a_{2}\,b_{1}\end{pmatrix}}$

Die Verknüpfung, die zwei Vektoren diesen dritten Vektor zuordnet heißt Vektorprodukt.

Definition

Sind ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}$ so ist das Vektorprodukt aus ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ definiert als: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{2}\,b_{3}-a_{3}\,b_{2}\\a_{3}\,b_{1}-a_{1}\,b_{3}\\a_{1}\,b_{2}-a_{2}\,b_{1}\end{pmatrix}}$

 

Im Gegensatz zum Skalarprodukt (Vektor mal Vektor = Skalar) liefert das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder einen Vektor, daher auch der Name Vektorprodukt. Wegen der Schreibweise ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ wird das Vektorprodukt häufig auch Kreuzprodukt genannt.

Geometrische Eigenschaften des Vektorproduktes

Rechte-Hand-Regel

Ist ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$, dann gilt

• ${\vec {c}}$ ist orthogonal zu jedem der beiden Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$.
• $\left|{\vec {c}}\right|=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin(\varphi )$. Damit entspricht der Betrag von ${\vec {c}}$ der Fläche des Parallelogramms, dass von den Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gebildet wird.
• Die Orientierung von ${\vec {c}}$ ist durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt. Die Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt.

 

Beweis

• Die Orthogonalität ergibt sich leicht durch nachrechnen.
• Beh.: $\left|{\vec {c}}\right|=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin(\varphi )$

${\begin{array}{rcl}\left[\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin(\varphi )\right]^{2}&=&\left|{\vec {a}}\right|^{2}\cdot \left|{\vec {b}}\right|^{2}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\\&=&\left|{\vec {a}}\right|^{2}\cdot \left|{\vec {b}}\right|^{2}\cdot \left(1-\cos ^{2}(\varphi )\right)\\&=&\left|{\vec {a}}\right|^{2}\cdot \left|{\vec {b}}\right|^{2}-\left|{\vec {a}}\right|^{2}\cdot \left|{\vec {b}}\right|^{2}\cdot \cos ^{2}(\varphi )\\&=&\left|{\vec {a}}\right|^{2}\cdot \left|{\vec {b}}\right|^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}\\&=&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)\cdot \left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right)-\left(a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}+a_{3}\,b_{3}\right)^{2}\\\end{array}}$

Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Umsortieren liefert:

${\begin{array}{rcl}\left[\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin(\varphi )\right]^{2}&=&\underbrace {a_{2}^{2}\,b_{3}^{2}-2\,a_{2}\,a_{3}\,b_{2}\,b_{3}+a_{3}^{2}\,b_{2}^{2}} _{=(a_{2}\,b_{3}-a_{3}\,b_{2})^{2}}\\&&\qquad +\underbrace {a_{3}^{2}\,b_{1}^{2}-2\,a_{1}\,a_{3}\,b_{1}\,b_{3}+a_{1}^{2}\,b_{3}^{2}} _{=(a_{3}\,b_{1}-a_{1}\,b_{3})^{2}}\\&&\qquad \qquad +\underbrace {a_{1}^{2}\,b_{2}^{2}-2\,a_{1}\,a_{2}\,b_{1}\,b_{2}+a_{2}^{2}\,b_{1}^{2}} _{=(a_{1}\,b_{2}-a_{2}\,b_{1})^{2}}\\&=&\left(a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{3}\right)^{2}+\left(a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\right)^{2}\\&=&\left|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\right|^{2}\\&=&\left|{\vec {c}}\right|^{2}\\\end{array}}$

Da $\varphi \in \left[0^{\circ };180^{\circ }\right]$ also $\sin(\varphi )\geq 0$ gilt auch: $\left|{\vec {c}}\right|=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin(\varphi )$

• Die Rechte-Hand-Regel soll nur an folgendem Beispiel nachvollzogen werden:

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}$

 

Weitere Eigenschaften des Vektorproduktes

Für das Vektorprodukt gelten zwei Distributivgesetze:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$ und

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$.

Das Kommutativgesetz gilt dagegen nicht, sondern es gilt: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$ Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen.

 

Beispiele

• Finde einen Vektor, der sowohl zu ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\14\\\end{pmatrix}}$ als auch zu ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\\end{pmatrix}}$ orthogonal ist.

${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\14\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0-14\\-56-0\\1-8\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14\\-56\\-7\\\end{pmatrix}}=-7\cdot {\begin{pmatrix}2\\8\\1\\\end{pmatrix}}$

• Gegeben ist das Dreieck $\left.\Delta _{ABC}\right.$ mit $A\left(1|7|4\right)$, $B\left(2|9|0\right)$ und $C\left(4|5|7\right)$. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

${\overrightarrow {AB}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-4\\\end{pmatrix}},\;{\overrightarrow {AC}}={\begin{pmatrix}3\\-2\\3\\\end{pmatrix}},\;{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}={\begin{pmatrix}-2\\-15\\-8\\\end{pmatrix}}$

Damit ist der Flächeninhalt des von ${\overrightarrow {AB}}$ und ${\overrightarrow {AC}}$ aufgespannten Parallelogrammes

$\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {293}},{\mbox{FE}}\approx 17,12\,{\mbox{FE}}$

Der gesuchte Flächeninhalt des Dreiecks ist also

$A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot \left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|\approx 8,56\,{\mbox{FE}}$

• In der Physik spielt das Drehmoment bei Rotationsbewegungen eine wichtige Rolle. Wirkt auf einen Körper eine Kraft ${\vec {F}}$ an einem Punkt mit Ortsvektor ${\vec {r}}$ vom Drehzentrum aus angetragen, dann ist das Drehmoment ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$.

Ein Körper kann sich um den Koordinatenursprung als Drehzentrum in allen Richtungen frei drehen. Im Punkt $P\left(2|3|1\right)$ wirkt eine Kraft ${\vec {F}}={\begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}}$ auf den Körper. Dann ist das Drehmoment, dass der Körper erfährt ${\vec {M}}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$

• In der Elektrodynamik wird die Kraft ${\vec {F}}$, auf eine Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ durch ein Magnetfeld ${\vec {B}}$ bewegt als Lorentzkraft bezeichnet. Es gilt ${\vec {F}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}$

 

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