MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ SkalarprodBew

Beweise mit Hilfe des Skalarproduktes

Bearbeiten

Mit Hilfe der vorangegangenen Eigenschaften des Skalarproduktes lassen sich viele elementargeometrische Sätze leichter beweisen. Als Beispiel soll hier der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dienen.

Beispiel: Der Höhensatz

 
Voraussetzungen:
  1.  
  2.  
  3.   und  
  4.   und   haben die gleiche Richtung und Orientierung.

Zu zeigen:  

Beweis: Aus 1. folgt   und  

Aus 2. folgt  

Also

 

Es folgt  

 


Weitere Beispiele für elementargeometrische Sätze, die sich auf ähnliche Art beweisen lassen sind:

  • der Kathetensatz,
  • der Satz des Pythagoras in Vektorschreibweise:  
  • der Satz des Thales.

Zu den Übungsaufgaben

Das Kapitel "Das Vektorprodukt" kann unter Umständen übersprungen werden. Dann geht es weiter bei   "Geraden und Ebenen"