Mit Hilfe des Skalarproduktes lässt sich umgekehrt auch der Winkel zwischen den zu zwei Vektoren gehörenden Pfeilen berechnen. Dieser Winkel wird dann auch als Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet:
Winkel zwischen zwei Vektoren
Der Winkel zwischen einem Vektor und einem zweiten Vektor (beide nicht der Nullvektor) ist:
Achtung! Das Produkt im Zähler ist ein Skalarprodukt, das im Nenner ist ein Produkt von Zahlen (Beträge=skalare Größen).
Eine wesentliche Rolle in vielen geometrischen Aufgaben spielt der rechte Winkel .
Definition
Zwei Vektoren und , die einen rechten Winkel einschließen, heißen orthogonal. Symbol: .
Für den Nullvektor wird festgelegt, dass er orthogonal zu jedem anderen Vektor sein soll, also gilt für jeden Vektor .
Beachte Dass der Nullvektor orthogonal zu jedem anderen Vektor ist, wird in manchen Büchern ausdrücklich ausgeschlossen. Wegen der einfacheren Schreibweisen und der Definition für allgemeinere Vektorräume soll dies aber in diesem Buch so gelten.
Der Nullvektor ist damit der einzige Vektor, der zu sich selbst orthogonal ist.
Satz
Für je zwei Vektoren und gilt:
Beweis
Teil 1
Teil 2
In den ersten beiden Fällen ist bzw. und damit gilt per Definition . Es ist also noch der dritte Fall zu betrachten:
Da aber als (kleinerer der beiden) Winkel zwischen und aus dem Intervall ist, gilt:
Beispiele
Gegeben sind die Vektoren und .
Die beiden Vektoren schließen den Winkel ein
Gegeben ist das Dreieck mit . Bestimme die Innenwinkel des Dreiecks.
Bestimme alle Vektoren, die zum Vektor orthogonal sind.
Sei orthogonal zu . Dann gilt:
Also sind alle Vektoren mit folgender Darstellung orthogonal zu :
Finde einen Vektor, der sowohl zu als auch zu orthogonal ist.
Sei
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Für ergibt sich und