MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Orthogonal

Winkel und OrthogonalitätBearbeiten

Mit Hilfe des Skalarproduktes lässt sich umgekehrt auch der Winkel zwischen den zu zwei Vektoren gehörenden Pfeilen berechnen. Dieser Winkel wird dann auch als Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel zwischen einem Vektor   und einem zweiten Vektor   (beide nicht der Nullvektor) ist:

 
 


Achtung! Das Produkt im Zähler ist ein Skalarprodukt, das im Nenner ist ein Produkt von Zahlen (Beträge=skalare Größen).


Eine wesentliche Rolle in vielen geometrischen Aufgaben spielt der rechte Winkel  .

Definition

Zwei Vektoren   und  , die einen rechten Winkel einschließen, heißen orthogonal. Symbol:  .

Für den Nullvektor   wird festgelegt, dass er orthogonal zu jedem anderen Vektor sein soll, also   gilt für jeden Vektor  .

 


Beachte Dass der Nullvektor   orthogonal zu jedem anderen Vektor ist, wird in manchen Büchern ausdrücklich ausgeschlossen. Wegen der einfacheren Schreibweisen und der Definition für allgemeinere Vektorräume soll dies aber in diesem Buch so gelten.

Der Nullvektor ist damit der einzige Vektor, der zu sich selbst orthogonal ist.


Satz

Für je zwei Vektoren   und   gilt:

 
 




Zu den Übungsaufgaben